Моделирование процесса растворения двухслойных гранул Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 66.061.1

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСТВОРЕНИЯ ДВУХСЛОЙНЫХ

ГРАНУЛ

А.В. Одинцов, А.Г. Липин, А.С. Кувшинова

Ивановский государственный химико-технологический университет

Составлено математическое описание процесса растворения сферической частицы, заключенной в композиционную оболочку. Предложен алгоритм решения уравнений математической модели. Результаты моделирования подтверждены экспериментальными данными.

Ключевые слова: растворение, гранула, капсула, математическое моделирование, массоперенос.

Путем заключения гранул минеральных удобрений в растворимые и нерастворимые оболочки обеспечивают пролонгированное выделение полезных компонентов, повышают прочность гранул, защищают от воздействий окружающей среды. Композиционные оболочки состоят из порошкообразного вещества, закрепленного на гранулах минерального удобрения с помощью связующего.

В настоящей работе исследовался процесс массопереноса активных ве-

ществ из капсулированных сферических частиц через нерастворимую в воде композиционную оболочку. Весь процесс можно условно разделить на два периода. В течение первого происходит растворение твердого ядра и диффузия растворенного компонента через оболочку. Второй период начинается после растворения ядра и заканчивается, когда всё растворенное вещество перейдет через оболочку в окружающий раствор.

Рис. 1. Расчетная схема 1- капсула; 2- слой раствора; 3- растворимое ядро

Процесс переноса вещества от верхности капсулы и внутри капсулы

растворяющегося ядра (в первом перио- описывается дифференциальными урав-

де) через слой раствора к внутренней по- нениями молекулярной диффузии (1), (2):

дС/дт = D • (д2с/дг2 + (2/г)дС/дг), Rs < г <R„,

8CJ8t = Dk -(д2Ск/дг2 +(2/г)дСк/дг), R„ <r<RK

(1)

(2)

где С, В - концентрация и коэффициент диффузии вещества в растворе; Ск, Вк -концентрация и коэффициент диффузии вещества в капсуле; г - радиус; Кя, К, -начальный и текущий радиусы ядра; Кк -наружный радиус капсулы; г - время.

Условия однозначности включают

равенства концентраций (3) и диффузионных потоков (4) на границе раствора и капсулы. Концентрация раствора у поверхности ядра равна насыщенной (5). Массообмен капсулы с окружающей жидкостью происходит по закону массо-отдачи (6).

С(Ля,г) = Ск(Ля,г):

(3)

В -дС(Дя,т)/8г = Вк ■ дСк(Іїя,т)/дг,

(4)

С{К,,т) = Снас,

(5)

-Вк ■ дСк (Дк, т)/дг = Р-{СК ,т) - Сж).

Ск (г ,0) = 0 .

(6)

(7)

Концентрация растворимого компонента Сж в окружающей жидкости оп-

ределяется из следующего уравнения:

Уж-сЄжІдт = р-(Ск(Кк,т)-Сж)^-я-К2к-Мгі

(8)

где Уж - объем жидкости, N - количество гранул, р - коэффициент массоотдачи.

Текущий радиус растворяющегося ядра находится из уравнения:

(9)

При расчете второго периода граничное условие (5) заменяется на условие

симметрии концентрационного поля:

дС(0,т)/дг = 0 .

(10)

Уравнение (9) исключается, так как К8=0.

Решение данной задачи, учитывая изменяющийся радиус твердого ядра, является весьма затруднительным даже численными методами. В случае, если коэффициент диффузии растворимого компонента в капсуле существенно ниже коэффициента диффузии в растворе, имеется возможность упростить рассматри-

д2С/дг2 +(2/г)дС/дг =0 .

ваемую систему уравнений (1)-(9). Будем считать, что перенос вещества через оболочку настолько медленный, что в каждый момент времени в области <г<Кя раствора внутри капсулы "успевает" установиться квазистационарное распределение концентраций, удовлетворяющее уравнению:

Решение этого уравнения при гра- С(К!,,т) = Снас имеет вид [1]:

ничных условиях С{Кя,т) = Ск{Кя,т),

СИ = Снас - {Снас - Сш) • а ■- Я, /г)/( 1 - Я, /Яя), (12)

где Снас - концентрация насыщенного рас- Диффузионный поток через слой

твора, Свн - концентрация раствора на раствора к внутренней п°верхн°сти кап-

внутренней поверхности капсулы. сулы определяется выражением:

дт(т) = 4-7г-Пр- (Снас -Свн )/(!/*, -1/Кя). (13)

Среднеобъемная массовая концентрация в слое раствора составит:

кя

Сср = 3/[(4 -ллк': С (г) ■г 2 ■ ¿г = (14)

К

= снас -\(Снас -С„)/(]//?, -0/2)■(«; -«1)1 (К -К)\-

Радиус твердого ядра в каждый уравнения материального баланса:

момент времени может быть найден из

тн — т = + тр. (15)

В левой части этого равенства ко- части - как сумма масс твердого ядра и

личество растворимого компонента внут- вещества в растворе внутри капсулы в

ри капсулы представлено как разность данный момент времени.

начальной массы твердого ядра и массы Величины, входящие в уравнение

компонента, прошедшего через внутрен- (15) определяются следующими соотно-

нюю поверхность капсулы, а в правой шениями:

ти=фуя-К1-рт, (16)

т=Т\Чт 00 ' , (17)

0

т, = (4/3)-тг-Я3 -ртв , (18)

тн=ф)-7Г-(К3я-^)-Сср. (19)

Подставляя формулы (16)-(19) в преобразования, получаем:

уравнение (15) и проводя алгебраические

(4/3) -ж-(Я3я- Д3) • ртв - \дп (г) • йт - (4/3) -ж-(Я3я- Д3)-Сср = 0 . (20)

0

Прежде чем подставить в (20) вы- учитывая, что согласно формуле (13):

ражение для Сср (14), преобразуем его,

(Сиас - свн )/(1/Д, -1/Я я) = дт (г)/( 4 -п-Вр). (21)

Тогда имеем:

Сср=Сиас -\(/т (г)/(4-ж- /)/()|-|1/ЛЛ -(3/2)-(Я; -1<:)/(Л1 (22)

Подставив формулу (22) в (20), щего радиуса твердого ядра К :

получаем уравнение относительно теку-

(4/3) -Я,3)-(ртв-Снас)-т-[дт(т)/(3-Вр)]-[(Я3я -Д,3)/я,-(3/2)-(К2я-Д2)] = 0. (23)

Поток массы растворенного веще- сулы может быть найден по формуле:

ства через внутреннюю поверхность кап-

Чт (Т) = ~Вк ■ 4 ■ Ж ■ Кя ■ сСк (Кя , Т)МТ ■ (24)

Систему уравнений (2), (4), (6), щенного раствора Сш = СЦ; = Снас.

(8), (12), (23), (24) можно решить числен- На каЖдОМ временном шаге Ат

ным методом. Для этого область расчеты производятся в следующей по-

Кя <г<Кк разобьем на N слоев с шагом Ь. следовательности. Применяя одну из из-

В начальный момент времени принимаем вестных конечно-разностных схем, нахо-

концентрацию на внутренней поверхно- дим значения концентрации во всех

сти капсулы равной концентрации насы- внутренних узлах расчетной сетки:

с: = СI +13.Д. . Ат/ф• (г3+1 -г3))]• [г2 • (си -С1)-г 2+1 • (С*\<п<М-\. (25)

Здесь гп - координата п-го узла, Ь- шаг по т + Ат.

координате, С* - концентрация в капсуле в Концентрацию в ]ЧГ-ом узле на по-

~к верхности капсулы находим из гранично-

п-ом узле в момент времени Т, С„- кон-

го условия (6):

центрация в п-ом узле в момент времени

- А, • (С* - С^)/А = Р-(Скм-Сж). (26)

Тогда:

Скм = (С*_! + тс ■ сж)/( 1+тс), (27)

где, Шс = р ■ /;//),. - сеточный критерий Рассчитываем поток растворенно-

Био. го вещества:

дт(т) = Вк-4-ж-м; ■ (Ск0 -СТ)/А . (28)

Масса растворимого компонента, ность капсулы к данному моменту вре-

прошедшая через внутреннюю поверх- мени, определяется суммированием:

т

т+Ат

= т + Чт •д* ■

(29)

Текущий радиус твердого ядра на- определяем концентрацию на внутренней

ходим путем решения уравнения (23). поверхности капсулы:

Далее, используя граничное условие (4),

Сш Гп |/>, -Снж;/(1/Д, 1 А\) • II А’:’ (Т 1'\/\1К А’: /, • />, (1 А\ 1 А’. )|. (30)

Изложенный выше алгоритм расчета реализован средствами пакета Mathcad. Выполнен численный экспери-

мент. На рис. 2-4 представлены результаты моделирования.

1 1

0,8 -

е? 0,6 -

0,4 -

0,2 -

0 -

0

20

40

60

т, мин

Рис.2. Изменение относительного радиуса ядра во времени

0,08

0,06

к

О

О

0,04

0,02

0

0,5

1

г, мм

1,5

2

Рис.4. Изменение относительной концентрации растворимого компонента в грануле во втором периоде

(ч

и

О

Время растворения: 1- 6 мин 2- 17 мин 3- 34 мин

- 2/

“ 3

0

0,5

1

г, мм

1,5

2

1 И

Время растворения:

1- 54 мин

1 2- 56 мин 0,8

"7 3- 61 мин ¡5

2 \ 4- 69 мин § 0,6 -

з7 Л 0,4-

4х " од-

^ 1 0 -

Рис.3. Изменение концентрации растворимого компонента в грануле в первом периоде

- моделирование • эксперимент

0

20

Состав (толщина) оболочки:

1- сульфат калия, жидкое стекло (0,35 мм) 2- карбонат кальция, жидкое стекло (0,4 мм)

60

40 т, мин

Рис.5. Изменение доли высвободившегося растворимого компонента во времени

80

0

0

Видно, что скорость растворения ядра с течением времени уменьшается (рис. 2). Графики рис. 3 иллюстрируют характер изменения концентрации растворенного вещества в слое раствора вокруг твердого ядра и в капсуле. На рис. 4 приведены профили концентраций растворенного вещества внутри капсулы и в оболочке во втором периоде процесса.

В экспериментальных исследованиях в роли растворимого ядра выступала гранулированная аммиачная селитра. В состав оболочек в качестве связующего входил силикат натрия, порошкообразными компонентами являлись сульфат калия и карбонат кальция. Массовые доли оболочек по отношению к массе ядра составили соответственно 0,9 и 1,1, тол-

щины оболочек - 0,35 и 0,4 мм. Опыты по определению времени растворения капсулированных гранул проводились на лабораторной установке, состоящей из стеклянной емкости с установленной на ее дне кюветой для исследуемого образца, пропеллерной мешалки с приводом от электродвигателя и кондуктометрическо-го анализатора жидкости АЖК 3102 с датчиком проточно-погружного типа. Пропеллерная мешалка обеспечивала равномерность распределения растворенного вещества по объему жидкости и создавала поток, омывающий электроды кондуктометрического датчика. Концентрацию растворенного вещества определяли, измеряя через установленные промежутки времени удельную электропроводность раствора.

Эффективный коэффициент диффузии вещества в капсуле Б к находили путем решения обратной задачи. Коэффициент массоотдачи р определяли на

аналогичных образцах аммиачной селитры без оболочки при тех же экспериментальных условиях. Кривые, характеризующие кинетику высвобождения растворимого вещества из капсулированных гранул, представлены на рис. 5. Скорость высвобождения аммиачной селитры при увеличении толщины оболочки уменьшается. Сопоставление опытных и расчетных данных, приведенных на рис. 5 показывает их хорошее соответствие.

Таким образом, разработанная модель процесса растворения двухслойных гранул вполне согласуется с результатами эксперимента, что позволяет прогнозировать время и скорость высвобождения вещества из капсулированных частиц.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аксельруд Г.А. Молчанов А.Д. Растворение твердых веществ. -М. Химия. 1977. - 272 с.

SIMULATION OF TWO-PLY GRANULES SOLUTION PROCESS

A.Odintsov, A.Lipin, A.Kuvshinova, N.Turkova

Mathematical formulation of dilution process of globule, enclosed in compositional capsule, was developed. Solution algorithm of mathematical model equations was proposed. Simulation results were confirmed by experimental data.

Keywords: dilution, granule, capsule, mathematical modeling, mass transfer.