Моделирование процесса порционного дозирования Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62-198.2 : 681.5.015

А.Б. Шушпанников, Б.А. Федосенков МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОРЦИОННОГО ДОЗИРОВАНИЯ

Объемные дозаторы дискретного действия нашли широкое применение в пищевой и других отраслях промышленности для подачи жидких и сухих дисперсных материалов. Их выходной материалопотоковый сигнал описывается, как правило, функцией в виде трапецеидальной волны. Чтобы оперировать моделями периодических сигналов расходов дозаторов для поиска диапазона согласованных режимов работы дозирующе-смесительного оборудования, их параметры представляют в виде функциональных зависимостей с помощью Фурье-разложения.

_____Дозатор дискретного действия, сыпучий материал, Фурье-разложение.___________________________________

Введение

Объемные дозаторы дискретного действия нашли широкое применение в пищевой и других отраслях промышленности для подачи жидких и сухих дисперсных материалов. В простейшем случае эти устройства представляют собой мерные сосуды, которые циклически загружаются из бункера и разгружаются в приемную емкость. Их производительность регулируют путем изменения скорости наполнения мерника (времени цикла) или его объема.

В большинстве случаев дозаторы относительно просты и имеют невысокую погрешность. Для несжимаемых сред (жидких и содержащих жидкую фазу) погрешность обычно не превышает одной десятой процента (л — 0,1 %), а при дозировании хорошо сыпучих материалов л — 0,5 %. В

конструкциях, где при дозировании трудносыпучих ингредиентов предусмотрены средства

стабилизации потока дисперсной фазы, л — 4 %.

К недостаткам следует отнести скважную (дискретную) подачу ингредиентов. При этом сигнал порционного дозатора, как правило, имеет форму прямоугольной или - в общем случае -трапецеидальной волны [1]. Эти флуктуации в виде ряда концентрационных всплесков ухудшают качество готового продукта, что требует в непрерывном производстве повышения

инерционности следующего за дозатором оборудования и соблюдения согласованных режимов их работы. Задача еще более усложняется при составлении многокомпонентных композиций.

Методы исследования

Для поиска диапазона согласованных режимов работы дозирующе-смесительного оборудования методами математического моделирования необходимо в соответствующей форме описать фрагменты смесительного агрегата и их входные и выходные воздействия.

Чтобы оперировать моделями периодических сигналов расходов дозаторов, их параметры надо представить в виде функциональных зависимостей. В инженерно-технических расчетах в подобных случаях наиболее часто используют преобразование рядами Фурье, представляющее собой

декомпозицию дискретного периодического сигнала в виде конечной суммы гармонических колебаний.

После определения значения коэффициентов ряда Фурье записывается аналитическое уравнение массового расхода порционного дозатора в виде суммы тригонометрических функций. Далее, для амплитудно-частотного анализа смесительного агрегата, это выражение преобразуют по Лапласу.

На рис. 1 представлена форма импульсов дозирования, последовательность которых с периодом следования Та формируется в общем режиме объемным дозатором дискретного действия.

Длительность передних (от пТа до пТ+0у) и задних (от пТа+®г до пТа+@о) фронтов с разными значениями крутизны незначительна. Верхние части (от пТ^+@/ до пТ^+®г) продолжительны и максимально уплощены, поскольку ими определяется номинальный режим расхода Хш^ при формировании доз (порций). Интервал, длящийся с момента окончания периода отсечки (то есть с момента полного блокирования разгрузочного отверстия) до момента начала формирования новой порции (от (п-1)Та+%а до пТ^), является паузой (здесь п - номер цикла дозирования).

Рис. 1. Параметризация сигнала порционного дозирования для общего режима

Длительность фронтов и вершины импульса порции целесообразно задавать не абсолютными, а относительными параметрами. Тогда скважности порционного дозирования, интервала формирования дозы до начала отсечки и интервала достижения режима номинального дозирования соответственно равны:

Х = -

©,

Ц =

©

СІ .

V = -

©

©

(1)

/

При этих условиях дозирующий поток на выходе из порционного дозатора на промежутке первого цикла дозирования описывается следующими функциональными зависимостями:

Хд(г) Н

Хтд Хцу -А ' ХтА , ХтА

1 -ц I Та 0,

т

при 0 < г < —а-ХцУ

Та -й

при —— < г < — ХцУ Хц

Та -й

при — < г < — Р Хц Х

Т

при тх <г < Та

(2)

Для получения цепочки трапецеидальных импульсов расхода на протяжении произвольного количества циклов следует воспользоваться расширенным описанием:

т-1

Хд(г) = £•

п=0

Хтд Х^

Та Хтй,

(г - пТ )

при пТ < г < пТ +

Тл

т

Хтй ц (_Х_ 1 -ц IТа

0 ,

при пТ +--------< г < пТ + —

Х^ Хц

—(г - пТ)- 1І , при пТ + — < г < пТ + —

Хц

при п- + -^ < г < п- + -а

где ш - количество формируемых циклов дозирования; п - номер цикла.

Трапецеидальный импульс с периодом Та с достаточной точностью для практических расчетов аппроксимируется тригонометрической суммой вида

^ / ч А 10 ( 2к% . 2к% ^

Ха (і) = —0 +> Ак соб-------------------------------------------------------------і + Вк Біп-і

а V ^ Л гр Л гр

2 >- А

к=Л

(4)

где к - номер гармонической составляющей; А о, Дь Вк - коэффициенты разложения по Фурье, которые находятся следующим образом:

Ты

АЛ =^ (і)

ТЫ 0

СОБ

^ 2к% л --------і

V ТЫ у

^ 2к% Л

------і

Ты

йі

йі

(5)

Подставляя в (5) выражение (2), описывающее процесс формирования доз материала Х() порционным дозатором, находим коэффициенты Фурье-разложения как функцию режимных параметров дозирования (X, ц, V, Та, Хша).

После ряда преобразований получаем расчетные формулы для определения коэффициентов Фурье для общего случая работы дозатора, соответствующие удвоенному значению постоянной (фоновой) составляющей дозирующего потока А0 и амплитудам переменных составляющих - четной Ак и нечетной Вк гармоник:

Ао =

Х„

X

Хт цХ

2v-1 ц-1

------+ -—

цv ц

2к%

Х„

Хт Хц

2к2%2

Х|^

2кж

Xцv

1

(цv + v-1);

,, і | ( 2к% | (2к% -1 1+-----1 СОБ I--I- СОБ I---

ц-1V V Хц ^ ^Х

1

2кк ) . (2кк

vБ1п I т---1+-------I Б1пI — I-Б1пI —

Xцv у ц -11 V Хц у V X

(6)

;(7)

.(8)

Изображение по Лапласу импульсной переходной функции, необходимое для амплитудночастотного анализа смесительного агрегата, запишется следующим образом:

Т А 10

(і)]-А| + 1

(

к=1

Аг,

5і

Б2 +»2-

ае

Б2 + ®2,„

ае у

(9)

где А0, Ак, Вк, к - соответственно коэффициенты Фурье-модели и номер гармоники разложения сигнала порционного дозирования; юАк - частота к-й гармоники порционного дозатора.

Результаты и их обсуждение

Выше был описан алгоритм Фурье-разложения цепочки трапецеидальных импульсов, формируемых дозатором порционного типа. Теперь рассмотрим частный случай [2] реализации этого процесса, когда в смесителе готовится двухкомпонентная композиция.

Порционный дозатор [3], изображенный на рис. 2, имеет два загрузочных бункера для разных компонентов. Мерные камеры, отличающиеся по объему, формируют два неодинаковых по амплитуде сигнала ХтА1 и ХтА2. Кроме того, частоты их следования различаются в два раза (периоды ТА1 и Та2).

Устройство состоит из двух бункеров 1 и 2, пластины 3 с мерниками 5, 6 и двух транспортеров: длинного 7 и короткого 8. Пластина 3 совершает возвратно-поступательное движение таким образом, чтобы мерник 6 за цикл два раза, слева и справа, вышел за пределы транспортера 8 в положение «выгрузка». В то же время мерник 5 лишь один раз справа за роликом 10 займет положение «выгрузка», т.е. бункер 2 будет опорожняться вдвое чаще первого. На рис. 2 объем камеры 6 вдвое больше камеры 5, значит, расходы ингредиентов будут соотноситься как 4:1.

Кронштейн 12 синхронизирует движение лент конвейера и пластины 3. Устраняя относительное смещение нижних срезов мерников по ленте, он тем самым препятствует истечению сыпучего материала в возможный зазор между ними.

Для приготовления двухкомпонентной смеси (пшеничная мука : манная крупа) в соотношении 10:1 первый сигнал с учетом периодов дозирования и скважностей должен иметь следующие режимные параметры: импульсный весовой расход муки

ХтА1 = 25 г/с; период дозирования ТА1 = 1 с;

скважности: Х! = 2,2, = 1,4, VI = 2,7. Второй:

импульсный весовой расход крупы ХтА2 = 6,25 г/с; период дозирования ТА2 = 2 с; скважности: Х2 = 4,4; д2 = 1,3; v2 = 2,8.

й

й

VI СОБ

о/2 2

2к %

0

0

Таблица 1

Коэффициенты Фурье-модели для общего режима работы порционного дозатора

Рис. 2. Порционный дозатор, выполненный по а.с. № 1744489: 1 - бункер для компонента с меньшим расходом; 2 - бункер для компонента с большим расходом; 3 - пластина; 4 - направляющие; 5, 6 -дозирующие камеры; 7, 8 - бесконечная лента; 9, 10, 11 -ролики; 12 - кронштейн

В соответствии с выражениями (6)-(8) рассчитываются коэффициенты А0, Ак, Вк Фурье-модели, значения которых сведены в табл. 1.

Тогда первый сигнал дозатора опишется выражением

X1 (і ) = 8,237 + 2,082 соб(6 ,28і ) +

+13,173 Біп(6,28і) - 5,968 соь(12,56і) +

+1,198 біп(12,56і) - 0,142 со$(18,84і) -

- 0,097 БІп(18,84і) -1,749 соь(25,12і) +

+1,214 БІп(25,12і) - 0,983 соь(31,4і) - (10)

- 0,909 БІп(31,4і) - 0,05 соб(37,68і ) -

- 0,107 БІп(37,68і) - 0,209 соь(43,96і) -

- 0,164 Біп(43,96і) - 0,03 со$(50,24і) -

- 0,011 БІп(50,24і) - 0,012 соб(56,52і ) -

- 0,057 БІп(56,52і) + 0,021 соб(62, 8і) +

+ 0,226 БІп(62,8і).

Второй - выражением вида

Х2 (і) = 1,062 +1,502 соб(3,14і ) +

+1,339 БІп(3,14і) + 0,193 соб(6 ,28і ) +

+1,694 БІп(6,28і) - 0,731 соб(9,42і) +

+1,028 БІп(9,42і) - 0,752 соб(12,56і) +

+ 0.163 біп(12,56і) - 0,268 соб(15,7і ) - (11)

- 0,167 БІп(15,7і) + 0,029 соб(18,84і ) +

+ 0,024 БІп(18,84і) - 0,075 соь(21,98і) +

+ 0,228 БІп( 21,98і) - 0,273 соь(25,12і) +

+ 0,142 БІп( 25,12і) - 0,59 соб(28,26і ) -

- 0,078 БІп(28,26і) - 0,079 соб(31, 4і) -

- 0,156 БІп(31,4і).

№ гармон ики Значения коэффициентов Фурье-модели

А0 Ак Вк

Первый сигнал

1 16,474 2,082 13,173

2 -5,968 1,980

3 -0,142 -0,097

4 -1,749 1,214

5 -0,983 -0,909

6 -0,050 -0,107

7 -0,209 -0,164

8 -0,030 -0,011

9 -0,012 -0,057

10 0,021 0,226

Второй сигнал

1 2,123 1,502 1,339

2 0,193 1,694

3 -0,731 1,028

4 -0,752 0,163

5 -0,268 -0,167

6 0,029 0,024

7 -0,075 0,228

8 -0,273 0,142

9 -0,259 -0,078

10 -0,079 -0,156

Осциллограмма первого сигнала, полученная Фурье-разложением, приведена на рис. 3, второго -на рис. 4. На рис. 5 приведена осциллограмма суммарного сигнала дозатора.

Рис. 3. Первый сигнал порционного дозатора, выполненного по а.с. № 1744489, при периоде дозирования Т<и = 1 с

Рис. 4. Второй сигнал порционного дозатора при периоде дозирования Та2 = 2 с

Второе воздействие:

Ь[х2 (і )] =

1,062 1,502Б

- + -

Б

01935

Б2 + 39,438

9,684_________

Б2 + 88,736 Б

Б2 + 9,86 10,638 Б2 + 39,438 0,752Б

4,204

+ ~^----------+

Б2 + 9,86 0,731Б Б2 + 88,736 2,047

■ + ■

0,268Б

+157,754 2,622

Б2 + 246,49 Б2 + 246,49 Б2 + 354,946

2

■ + ■

Б2 +157,754 0,029Б

2

0,452

Б2 + 354,946 0,273Б

-у 2

■ + ■

0,075Б Б2 + 483,12 3,567

у 2

5,011

Б2 + 631,014 Б2 + 631,014 Б2 + 798,628

Б2 + 483,12 0,259Б

" 2

2,204

0,079Б

4,898

Б2 + 798,628 Б2 + 985,96 Б2 + 985,96

2

2

- +

Рис. 5. Суммарный сигнал порционного дозатора

Запишем выходные воздействия порционного дозатора, преобразованные по Лапласу, необходимые для амплитудно-частотного анализа смесительного агрегата.

Первое воздействие на смеситель со стороны дозатора:

і[х1(і )] =

8,237

2,082Б

82,726

Б

Б2 + 39,438 Б2 + 39,438

5,968Б

Б2 +157,754 Б2 +157,754 Б2 + 354,946

- + -

15047

0,142 Б

2

2

1,827

1749Б

Б2 + 354,946 Б2 + 631,014 Б2 + 631,014

2

- + -

43,863

(12)

2

0,983Б

28,543

0,05 Б

Б2 + 985,96 Б2 + 985,96 Б2 +1419,782

4,032

0,209Б

7,209

Б2 +1419,782 Б2 +1932,482 Б2 +1932,482

0,03Б 0,553 0,012Б

Б2 + 2524,058 Б2 + 2524,058 Б2 + 3194,51

3,222 — + - 0,021Б — +- 14,193

Б2 + 3194,51 Б2 + 3943,84 Б2 + 3943,84

На основании выражений (12) и (13) формируем электронную модель материалопотока на выходе порционного дозатора (рис. 6, поз. 1) с числом гармоник в каждом из каналов, равным 10.

Рис. 6. Алгоритмическая блок-схема математической модели порционного дозирования: 1 - дозатор

(а.с. № 1744489); 2 - смеситель

+

+

+

+

+

+

На данной схеме в качестве внешнего воздействия используется единичная импульсная функция (функция Дирака 5(0), изображение которой £{5(/)}=1. При этом сигнал на выходе каждого блока в том и другом каналах соответствует записанному в блоке изображению соответствующей составляющей к-й гармонике, к = 1,10. Порядок изображения сигнала в каждом из каналов N = 41. Таким образом, суммарный порядок вычислительной сложности совокупного сигнала

дозирования равен 82. В состав схемы входят два сумматора и узел смесительного устройства 2.

На основании вышеприведенных

математических моделей (12), (13) и схемы их вычислительной реализации (см. рис. 6) сформирована структурная часть общей системы моделирования смесеприготовительных процессов в агрегате, включающей устройство бинарного дозирования (см. рис. 2), работающее на смесительный узел центробежного и/или вибрационного действия.

Список литературы

1. Федосенков, Б.А. Процессы дозирования сыпучих материалов в смесеприготовительных агрегатах непрерывного действия - обобщенная теория и анализ (кибернетический подход) : монография / Б.А. Федосенков, В.Н. Иванец; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. - Кемерово, 2002. - 200 с.

2. Шушпанников, А.Б. Смесительные агрегаты вибрационного типа для дисперсных материалов : монография / А.Б. Шушпанников, Г.Е. Иванец; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. - Кемерово, 2008. - 152 с.

3. А.с. СССР № 1744489, кл. С0Ш1/18, опубл. 30.06.92, бюл. № 24 (4738616/10 от 18.09.89). Устройство для объемного дозирования / Шушпанников А.Б., Иванец В.Н., Пимаков А.Г., Еремин А.Т.

ГОУ ВПО «Кемеровский технологический институт пищевой промышленности», 650056, Россия, г. Кемерово, б-р Строителей, 47.

Тел./факс: (3842) 73-40-40 е-таіі: [email protected]

SUMMARY A.B. Shushpannikov, B.A. Fedosenkov The batch dosing process modeling

Volumetric discrete-type dozers have a wide application in the food and other branches of industry to feed fluid and dry dispersed materials. As a rule, their output flow signal is depicted as a trapezoid type waveform. In order to operate with the models of periodical flow signals for seeking a range of associated regimes of dosing and mixing equipment performance, the models parameters are presented in the form of functions by means of Fourier decomposition.

Discrete-type dozer, bulk material, Fourier decomposition.

Kemerovo Institute of Food Science and Technology 47, Boulevard Stroiteley, Kemerovo, 650056, Russia Phone/Fax: +7(3842) 73-40-40 e-mail: [email protected]