Моделирование продольных колебаний упругой пластины с пленкой из "мягкого" материала Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 51-74

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ПЛЕНКОЙ ИЗ «МЯГКОГО» МАТЕРИАЛА Симонов Валерий Николаевич к.т.н., доцент, e-mail: simonov. valer@yandex. ru Лошманов Леонид Павлович

к.т.н., доцент Гольцев Владимир Юрьевич к.т.н., доцент

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (государственный, Министерство образования и науки Российской Федерации), кафедра «Физики прочности»,

115409, г. Москва, Каширское ш., 31

Аннотация. В связи с бурным развитием нанотехнологии в биохимии и биомедицине весьма актуально создание сенсорной техники для этих отраслей. Оптимальное конструирование таких устройств невозможно без математического моделирования происходящих в них явлений и процессов. В данной работе приводится вывод математической модели низкочастотного кварцекристаллического сенсора концентрации паров и газов в различных средах. Основой таких сенсоров являются пленки из т.н. «мягких» материалов -полимеров, гелей и жидкостей. Модель разработана с применением методов классической теории колебаний. Получены аналитические выражения, связывающие резонансную частоту и добротность колебательной системы «упругая пластина - вязкоупругая пленка» с геометрическими размерами и комплексными модулями упругости пластины и пленки. Корректность модели иллюстрируется результатами экспериментальной проверки.

Ключевые слова: кристаллический кварц, резонатор, мягкие пленки, вязко-упругие пленки, QCM, QCN, QCM-D.

Введение. Одной из интересных современных технологий в области измерения параметров тонких и сверхтонких пленок является технология кварцекристаллического микро- и нановзвешивания (QCM, QCN), поскольку она позволяет отслеживать сверхмалые изменения массы пленки, например, при химической или биохимической реакции. Кроме того, эта технология позволяет контролировать механические свойства контактирующего с кварцевым резонатором материала, не только твердого и упругого, но вязкого, вязкоупругого и даже жидкого (QCM-D) [2 - 4].

QCM и QCM-D приборы используют кварцевые резонаторы толщинно-сдвиговых мод колебаний (TSM), имеющих, как правило, частоту выше 5 МГц. При этом в биологических, органических и полимерных пленках, организуемых на поверхности таких резонаторов, на таких частотах могут возникать резонансы, что обусловлено низкой величиной модуля упругости перечисленных материалов. В результате зависимости параметров резонатора от массы и механических свойств пленки становятся немонотонными, что приводит к сильному искажению информации. Для работы с пленками, имеющими низкие значения модулей

упругости необходимо снижать рабочую частоту резонатора, что в случае использования ТБМ резонаторов невозможно в силу различных физических и технических причин. Это обстоятельство ограничивает применение кварцевых микровесов.

В работе [1] описано устройство для исследования многокомпонентных жидкостей с использованием кварцевого резонатора в виде пластины (бруска), совершающего продольные по длине колебания. На одну из больших граней пластины в область, свободную от электродов, наносится пленка исследуемого жидкого раствора. Регистрация динамики импеданса резонатора позволила авторам получить количественные различия между исследуемой и «эталонной» жидкостями в процессе их высыхания. Однако какая-либо информация, позволяющая определить физико-механические свойства материала пленки такого резонатора в этой статье, как и других статьях этих авторов, не содержится.

Частота упомянутого резонатора продольных колебаний лежит в диапазоне (50 - 100) кГц. Это значит, что его использование может позволить работу с пленками, имеющими модуль упругости на порядок ниже, чем в случае ТБМ резонаторов. Для этого необходимо иметь математическую теорию подобного сенсора. Однако такой теории пока не существовало. Данная работа имеет целью устранить этот пробел.

1. Теория. Вид резонатора с пленкой из вязко-упругого материала в разрезе и распределение смещений в теле бруска и пленки схематично изображены на рис. 1.

Рис. 1. Связанные колебания растяжения-сжатия вдоль оси Х и сдвига по толщине вдоль оси Ъ

Рассмотрим колебания такой системы. Под действием переменного электрического поля брусок кварцевого резонатора совершает колебания растяжения-сжатия вдоль оси X. В отсутствие пленки колебательное смещение в пластине ич не зависит от координаты Ъ и постоянно вдоль толщины бруска. При наличии пленки колебание проникает в неё, что из-за различий в акустических свойствах приводит к неоднородному распределению колебаний вдоль Ъ как в пленке, так и в пластине. Примем следующие допущения. Функции смещения в пластине и пленке зависят только от координат х, ъ и от времени 1. Материал бруска резонатора - кристаллический кварц - имеет идеально упругие свойства, а материал пленки обладает вязкоупругими свойствами. Тогда колебательные смещения в пленке и(х,2,1) и вне пленки ич(х^,1) описываются схожими уравнениями:

д2иП

-11

дх2

+ С55

Э211д дг2

= Р

д2щ дг2

где Cii, C55- модули упругости кристаллического кварца, р и р' - соответственно плотности кварца и пленки, G= G'+jG"- комплексный модуль сдвига пленки.

Используя принцип разделения переменных и находя решение в виде линейных комбинаций тригонометрических функций, представим смещения в следующем виде:

uq x,z,t = ( Л^ sin кхх + Bq cos кхх Cq sin kzz + Dq cos kzz )exp(jo)t) (3) Uf x,z,t =(AfSinyxx +Bf cos yxx CfSinyzz + cos yzz ) exp(jtút)(4) где Aq,Bq,Cq,Dq,Af,Bf,Cf,Df- коэффициенты, kx и kz - постоянные распространения колебаний в пластине, ух и Yz- постоянные распространения колебаний в пленке, ю -циклическая частота.

Подставляя (3) в (1), а (4) в (2), после дифференцирования получаем дисперсионные уравнения:

Сцк1 + c55fc| = ро)2 (5)

Eyl + Gy2z = р'ш2 (6)

Граничные условия имеют вид:

На свободных краях бруска и пленки напряжения растяжения-сжатия равны нулю: cii = 0, при х = 0 и х = L, (7)

Е^ = Опри х = 0 и х = L(8)

На свободных поверхностях пластины и пленки сдвиговые напряжения равны нулю: с55^-= 0, при z = 0 и z = -H (8)

G^=0 при z = h (9)

На поверхности раздела сред смещения и напряжения равны (возможным «проскальзыванием» смещения на границе пренебрегаем):

uq = uf при z = 0 (10)

при z = 0 (11)

Подставляя (3), (4) в граничные условия (7)-(11) и приравняв к нулю определитель получившейся однородной системы линейных уравнений, получаем уравнение, упростив которое, находим постоянные распространения кх,ух и уравнение связи между постоянными распространения kz и yz:

кх=ух = un/L, где n - номер гармоники резонатора (12)

c55kztg kzH = -Gyztg(yzh) (13)

Поделив уравнение (5) на р, уравнение (6) на р' и подставляя в эти уравнения кх и ух из (1 2), после преобразований получаем:

< + (14)

+ ^ = (15)

где 1йчп = тт(Сц / руп/Ь- циклическая частота п-ой гармоники колебаний растяжения-сжатия стержня без пленки, 0)уп = п(Е / р)2п/Ь- циклическая частота п-ой гармоники

колебаний растяжения-сжатия гипотетического стержня из материала пленки длиной Ь, не связанной механически с кварцевой пластиной.

Обе частоты ючп и могут быть вычислены, поскольку зависят от констант материалов и размеров бруска с пленкой.

В результате мы получили систему из трех уравнений (13) - (16) относительно трех неизвестных: двух постоянных распространения к2,у2 и частоты ю.

Эти уравнения можно упростить, если учесть, что длина кварцевого бруска на два порядка превышает его толщину, поэтому частота колебаний растяжения-сжатия ючп во много раз меньше частоты первой гармоники сдвиговых колебаний по толщине бруска и кгН « 1. Тогда Ьд кгН « кгН и из (13) получаем

к! = -Сут1д(ухК)/с55Н (16)

2 "7

Теперь, подставив к2 из (16) в (14), поделив (14) и (15) на после преобразований с

2 2

учетом того, что а /адп - 1 = (а/адп-1)(а/адп+ 1) ~ 2(а/адп- 1) = 2ё/„, где ё/„ = (а-адп)/адп= (—/г)//п - относительное изменение комплексной частоты, получаем:

б^ = 0,5 К-Я 1д{у2К)/у2К (17)

п р'н ьг ЕП

где К = — - массонагрузка, К = - эластонагрузка,

у2 = ^п р\1-К/К)/С, (18)

Здесь и далее в общем случае 5Г является комплексной величиной: Я/п = Л/п+;Гп/2, (19)

где = ([-/ог)//оп, - относительное изменение собственно частоты/ колебаний резонатора с пленкой по сравнению с частотой /0п резонатора без пленки, Гп -диссипативные потери колебательной энергии в системе, обусловленные потерями в пленке.

В первом приближении можно полагать Гп = 1^п - 1^0п, где Qn и Q0n-соответственно добротности резонатора с пленкой и без пленки на п-ой гармонике.

Выражение (17) схоже с аналогичными формулами из теории QCM-D, описывающими толщинно-сдвиговые колебания резонаторов в вязко - упругих средах[2,3]. Различие же заключается в том, что, наряду с влиянием массонагрузки Я появляется противоположное по знаку влияние эластонагрузки К. Таким образом, несмотря на то, что резонатор совершает колебания растяжения-сжатия, характеризующиеся модулем продольной упругости, модуль сдвига пленки О играет существенную роль в характере изменения частоты и добротности резонатора. Для таких материалов пленки, как органические, полимерные, гели и жидкости модули упругости на несколько порядков ниже модулей упругости кварца (К/Я«1), и формула (17) упрощается

= о.5ше(у2Ь) , (20)

ЧхЬ

где Уп = аЧп 7Г , (21)

отличаясь от аналогичной формулы для толщинно-сдвиговых колебаний, приведенной в [2, 3], коэффициентом 0,5. Следовательно, весь теоретический аппарат, использованный в технологии QCM-D, может быть использован в экспериментальных работах с кварцевыми микровесами на основе резонатора продольных колебаний.

2. Эксперименты. В качестве чувствительных элементов в данной работе, использовались кварцевые резонаторы частотой 1-ой гармоники 60 кГц, изготовленные предприятием ООО «СКТБ ЭлПА», г. Углич Ярославской области. Внешний вид резонаторов приведен на рис. 2.

Рис. 2. Внешний вид резонатора. 1 - кварцевая пластина хуз/1° 30' среза размером 48,0 х 4,5 х 1,2 mm, 2 - электроды, 3 - электрические выводы

Для измерения параметров резонаторов был использован модуль возбуждения колебаний и измерения параметров пьезорезонатора KH1240 фирмы Kolinker Industrial Equipments (Южная Корея).

В качестве исследуемых пленок использовались пленки глицерина, наносившиеся шприцем. При этом с точностью 10-5 г контролировался вес резонатора с пленкой. По весу, известной плотности и поперечным размерам пленки вычислялась ее толщина. Величина вязкости раствора определялась по известным табличным данным.

На рис.3 и 4 приведены зависимости частоты и потерь от вязкости раствора глицерина в воде. Вязкость в эксперименте изменялась путем изменения концентрации глицерина в растворе.

Рис. 3. Теоретическая и экспериментальная зависимости изменения частоты первой гармоники от вязкости пленки раствора глицерина в воде: сплошная линия (теория), квадраты (эксперимент)

Рис. 4. Теоретическая и экспериментальная

зависимости изменения акустических потерь первой гармоники от вязкости пленки раствора глицерина в воде: сплошная линия (теория), квадраты (эксперимент)

Некоторые несоответствия между экспериментальными и расчетными значениями объясняются тем, что геометрическая форма жидких пленок не совпадает с идеализированной в модели (рис. 1). Кроме того, масса жидких пленок вследствие их большой толщины (1 - 2 мм) в экспериментах была сравнима с массой резонатора, и нанесение их на один из краев резонатора смещал центр масс, и крепление резонатора уже приходилось не на узел колебаний, что приводило к дополнительной утечке колебательной

энергии. Это особенно хорошо заметно на зависимостях изменения акустических потерь: на рис. 4 - потери в эксперименте заметно выше расчетных.

Заключение. Полученные в экспериментах результаты показали достаточное для инженерной практики совпадение с теоретическими расчетами. Разработанная модель позволяет проводить расчеты конструкции химических и биохимических сенсоров и прогнозировать их основные метрологические параметры: такие, как коэффициент преобразования и форму рабочей характеристики.

Работа выполнена в рамках проекта №16-07-00097-а, поддерживаемого Российским Фондом фундаментальных исследований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Т.А. Яхно, А.Г. Санин, C.V. Vacca, F. Falcione, О.А. Санина, В.В. Казаков, В.Г. Яхно. Новая технология исследования многокомпонентных жидкостей с использованием кварцевого резонатора. Теоретическое обоснование и приложения // Журнал технической физики. 2009. том 79. вып. 10. С. 22-29.

2. Lucklum, R., Behling, C., Cernosek, R.W., Martin, S.J., 1997. Determination of complex shear modulus with thickness shear mode resonators. J. Phys. D Appl. Phys., 30, Pp. 346-356.

3. Lucklum, R., Behling, C., Hauptmann, P., 1999. Role of mass accumulation and viscoelastic film properties for the response of acoustic-wave-based chemical sensors. Anal. Chem. 71, 2488-2496.

4. Hauptmann, P., Lucklum, R., Hartmann, J., Auge, J., Adler, B., 1993. Using the quartz microbalance principle for sensing mass changes and damping properties. Sens. Actuators A 37-38, 309-316.

УДК 51-74

MODELING OF LONGITUDINAL OSCILLATIONS OF ELASTIC PLATES WITH THE FILM OF "SOFT" MATERIAL Valery N. Simonov

Ph.D., Associate Professor, e-mail: simonov.valer@yandex.ru Leonid P. Loshmanov Ph.D., Associate Professor

Vladimir Y. Goltsev Ph.D., Associate Professor National Research Nuclear University "Moscow Engineering Physics Institute" (the state, the Russian Federation Ministry of Education and Science), Department of "Physics of Strength",

115409, Moscow, Kashirskoyesh, 31,

Abstract. Due to the rapid development of nanotechnology, biochemistry and biomedicine is very important the creation of sensor technology for these industries. Optimal design of such devices is impossible without mathematical modeling taking place in these phenomena and processes. This paper presents a mathematical model of

CuMonoe B.H., floMManoe Ä.n., fonb^e B.W.

the low-frequency output of the QCM sensor of the concentration of vapors and gases in different environments. The basis of such sensors are so-called "soft" materials films -polymers, gels and liquids. The model was developed using the methods of the classical theory of vibrations. The analytical expressions relating the resonant frequency and the quality factor of the oscillating system "elastic plate - viscoelastic film" with the geometric dimensions and the complex modulus of elasticity of the plate and the film. The correctness of the model is illustrated by the results of experimental verification. Keywords: quartz crystal resonator, soft film, viscoelastic film, QCM, QCN, QCM-D.

References

1. Yakhno, T.A., Sanin, A.G., Vacca, C.V., Falcione, F., Sanina, O.A., Kazakov, V.V. and Yakhno, V.G. (2009) Novaya tekhnologiya issledovaniya mnogokomponentnykh zhidkostey s ispol'zovaniyem kvartsevogo rezonatora. Teoreticheskoye obosnovaniye i prilozheniya [A New Technology for Studying Multicomponent Liquids Using a Quartz Crystal Resonator: Theoretical Justification and Applications] // Tekhnicheskaya Fizika = Technical Physics, 54, 1423-1430. Available at: http://dx.doi.org/10.1134/S1063784209100041.

2. Lucklum, R., Behling, C., Cernosek, R.W., Martin, S.J., 1997. Determination of complex shear modulus with thickness shear mode resonators. J. Phys. D Appl. Phys. 30, Pp. 346-356.

3. Lucklum, R., Behling, C., Hauptmann, P., 1999. Role of mass accumulation and viscoelastic film properties for the response of acoustic-wave-based chemical sensors. Anal. Chem. 71, Pp. 2488-2496.

4. Hauptmann, P., Lucklum, R., Hartmann, J., Auge, J., Adler, B., 1993. Using the quartz microbalance principle for sensing mass changes and damping properties. Sens. Actuators A 37-38, 309-316.