Модель собственных колебаний сдвига по толщине для пьезокварцевых пластин резонаторов одноИ двухповоротных срезов Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

*

УДК 621373 И. В. ХОМЕНКО

А. Н. ЛЕПЕТАЕВ А. В. КОСЫХ

Омский государственный технический университет

МОДЕЛЬ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СДВИГА ПО ТОЛЩИНЕ ДЛЯ ПЬЕЗОКВАРЦЕВЫХ ПЛАСТИН РЕЗОНАТОРОВ

ОДНО- И ДВУХПОВОРОТНЫХ СРЕЗОВ

В статье описывается численно-аналитическое моделирование толщинно-сдвиговых колебаний пьезокварцевых пластин резонатора. Модель применима для кварцевых резонаторов одноповоротных и двухповоротных срезов, позволяет исследовать частотные свойства и активность мод сдвиговых колебаний по толщине в зависимости от среза кварца, формы пластины, расположения и формы электродов при различных температурах. Графическое решение модели показывает области локализации колебаний.

Ключевые слова: кварцевый резонатор, модель колебаний, колебания сдвига по толщине, термочувствительная мода, активность ангармонической моды.

Основным компонентом широко используемых кварцевых генераторов являются кварцевые резонаторы. Известно, что в кварцевых резонаторах помимо возбуждения колебания на рабочей частоте могут возбуждаться другие моды колебаний, являющиеся, так же как и рабочее колебание, неотъемлемым физическим свойством кварцевой пластины конкретной формы, размеров и углов среза [1—3]. Нерабочие моды, являются основной причиной появления возмущений в АЧХ кварцевых резонаторов. Это приводит к появлению дополнительных шумов в выходных сигналах генераторов и затрудняет использование таких резонаторов в фильтрах. Акустическая связь между модами может послужить причиной провалов активности рабочей моды. Исследование активности мод в зависимости от конструкции резонатора является актуальной задачей. Вопросам построения и апробации численно-аналитической модели толщинно-сдвиговых колебаний кварцевого резонатора посвящена предлагаемая работа.

Аналитические методы решения задачи определения собственных частот колебаний пьезопластины, разработанные Тирстеном и Стивенсоном [1, 2], не всегда позволяют обеспечить необходимую точность расчетов из-за принятых в них допущениях; кроме того, в расчетные формулы входят величины, определение которых также весьма трудоемко. Известны попытки численного расчета собственных частот колебаний [3], но используемая там сетка метода конечных элементов является довольно грубой, что характерно для объемных задач при стандартных объемах памяти персональных компьютеров.

В работе применены аналитические формулы для формирования уравнений зависимости компонент амплитуды колебаний от координат на поверхности пьезопластины, которые затем решаются численным методом. Анализируя аналитические вы-

ражения, через разложение их в ряды и анализируя степень влияния членов ряда на конечный результат численного расчёта, можно построить модель достаточной точности с приемлемым временем расчёта. От трёхмерной задачи можно перейти к двумерной, задав изменение по одной из координат уравнением поверхности пластины резонатора в виде зависимости её толщины от двух оставшихся координат. При таком подходе расчетная сетка конечных элементов достаточно плотная, что позволяет получать решение с достаточной точностью. Погрешность расчетов при этом в основном определятся адекватностью аналитической модели.

Для построения и расчёта модели необходимо предварительно выбрать углы среза кварцевой пластины резонатора, толщину пластины в центре и температуру, при которой необходимо рассчитать частоты колебаний. Значения констант кварца, необходимые для расчетов, приведены в [4]. Учитывая температурные коэффициенты первого, второго и третьего порядков для констант упругости, коэффициентов теплового расширения, пьезоэлектрических констант и величины диэлектрической проницаемости, можно рассчитать соответствующие материальные константы и толщину в центре пьезопластины для выбранной температуры. Далее, используя правила преобразования тензоров, можно вычислить компоненты тензоров материальных констант в повёрнутой системе координат, соответствующей выбранным углам среза пьезокварцевой пластины относительно кристаллографических осей кварца [5, 6]. Вышеописанные действия удобней всего оформить в виде программы, например, в среде MatCAD, и далее использовать при любых заданных значениях температуры, углов среза и толщины пьезопластины. После проведённых предварительных расчётов получаем данные для моделирования собственных колебаний кварцевой пластины.

Рассмотрим один из возможных путей формирования аналитической модели собственных колебаний пьезокварцевой пластины. Стоячую волну (моду) основного резонанса толщинно-сдвигового колебания можно получить сложением двух бегущих в противоположные направления волн вида:

Щу (у,t) = Ау • ^[ю^ + у / V)] = Ау • ^(ю • t +'% • у) и2у (у^ ) = - Ау • ^[ю^ - у / v)]= - Ау • ^(ю^ -£• у), (1)

где Ау — амплитуда колебания падающей волны (зависит от координат X и Z), ю — круговая частота, V — скорость распространения волны в пластине, £, — волновой коэффициент (коэффициент распространения), являющийся пространственным аналогом круговой частоты.

Таким образом, стоячая волна:

иу (уЛ ) = и1у (ул) + и2у (уЛ ) = = (- 2 • Ау • sin(ю • t))• sin(^n • у)

(2)

Для анализа пространственных амплитуд смещений достаточно записать выражение в виде: иу = • зт(^п • у) , где максимальная амплиту-

да смещений частиц кварцевой пластины равна

-2Ау5т\^

п =1, 3, 5,.

В качестве расчетной системы координат будем использовать систему координат пьезопластины: ось X будет направлена вдоль длины пластины, ось Y — вдоль ее толщины, а ось Z — вдоль ширины. Будем использовать стандартную нумерацию осей координат, при которой ось X имеет номер 1, Y — 2, и Z — 3.

Обозначим для произвольной точки на поверхности пьезопластины амплитуды компонент смещений частиц среды через А.(і=1..3), а толщину пластины в данной точке обозначим через Л. В плоских резонаторах используют полуволновые размеры пьезоэлемента, у которого в направлении частотного размера укладывается целое нечётное п число полуволн £,п-Л = пп. В линзовых пьезоэлементах это равенство выполняется уже не во всех точках, поскольку толщина резонатора уже не является константой.

Для заданного номера гармоники п с учетом принятых обозначений можно записать следующее выражение для компонент смещений частиц среды и.:

и. = А. singi у),

(3)

где = пж/к + г\., п — номер гармоники, — неизвестная малая добавка к коэффициенту распространения, необходимая для обеспечения граничных условий на поверхности резонатора.

При малых изменениях толщины пластины, когда произведение У намного меньше единицы, на поверхности пластины (где у=Л/2) можно использовать следующие приближенные соотношения:

sin^.h/2)«-(-1)(n+1)/2, соя(^ ,Л/2)« п-(Л/2)(-1)'п+1)/2.

(4)

Можно также пренебречь синхронным изменением знака выражений (4) при изменении номера гармоники и упростить выражения:

sm(l/Л/2)«1, ,Л/2)«-п /Л/2.

(5)

Для каждой точки пьезокварцевой пластины можно записать выражения для шести компонент относительной деформации: г1 = dих/dx, т2=ёиу/dy, r3=dUz/dz, r4 = dUy/dz+dUz/dy, r5 = dUz/dx+dиX/ /dz, r6 = dUy/dx+dUx/dy. Для краткости записи применим следующее обозначение: символы, расположенные в индексе после запятой, обозначают частную производную этой величины по соответствующей координате, например dUy/dx= U21. Тогда амплитуды деформаций можно записать в виде:

Г={и1,1-^2, из,3, и2,3-^. из,1 +и1,3' и2,1 -Vі

(6)

Компоненты тензора напряжений определяются по формуле: Тр=С г^ где С — тензор эффективных коэффициентов упругости кварца в системе координат пьезопластины (с учетом пьезоэффекта). Здесь и далее при обозначении индексов будем использовать следующее правило имен: индексы с именами I, j, к принимают значения от 1 до 3, а индексы с именами p, q принимают значения от 1 до 6.

С учетом сделанных приближений, для механически свободной пьезокварцевой пластины, не имеющей свободных электрических зарядов, основное уравнение формы колебаний моды вдоль поверхности, разрешённое относительно амплитуд U. и амплитуд напряжений, для собственных частот тол-щинно-сдвиговых колебаний может быть записано в виде:

Ги + Га3 + С,.2Л +рюи = °

(7)

где ю — собственная угловая частота моды, р — плотность кварца, а тензор Л, характеризующий градиент деформации, с учетом приближений (5) определяется выражениями:

Л {h1,1, а'и? ^33 ^2,3+^^ ^3,1 +

+^1,3, ^2,1 + а-Ц }т,

(8)

где а = (п-п/Л)2.

Из уравнений (7) с использованием выражений (6) и (8) формируется система дифференциальных уравнений относительно амплитуд смещений. Ниже, для примера, приведена система уравнений, полученная описанным способом.

■^11 7}3

^- + ^- + с16 сіх сіг

ґ аи- л

йхйу

Ґ

+ СяРі\™\ +

+ с36

+ с66

йгйу у + с56

' аи2

+ с46

<Шч

аи2

йгйу сШ,

йхйу йгйу

\2

сіхсіу

-ил™

ТІ2 ?23

-і—— + Сі о

сіх сіг

аи.

с23

ащ

йгіу

+ с25

ОхОу с24

+ рС/іЮ =0

+ ски2\™\ +

(1г(1у

сіхсіу йгйу

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

315

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

*

+ с26

аи2

сіхйу

+ р и2(о —О

Переходя к электрическим параметрам резонатора, кинетическую энергию колебаний можно сопоставить с энергией запасенной в катушке индуктивности эквивалентной схемы резонатора:

7із Г33 ^-+^- + сы йх йг

сШ,

сіхсіу

+ С24^2і^| +

+ с34

+ с46

+ с45

аи2

+ с44

*и2

сігсіу сШ,

ч

аиг____________^

йхйу сігсіу

\2

Лхйу

-щ™

+ р[73(в =0

Т2 =и.ю2шя,

(9)

Л = Ло-Л,

■*7

1-

(10)

Активность моды определяется её динамическим сопротивлением. Вывод формулы для расчёта динамического сопротивления мод через амплитуды смещений можно произвести через величину кинетической энергии колебаний.

Объемная плотность кинетической энергии

Т1Т 1

^ = 2

(11)

2

(15)

1Ш — амплитуда тока через резонатор. Индуктивность резонатора Ьш можно выразить через добротность О и сопротивление потерь Rш :

(16)

где срч — компоненты тензора эффективных коэффициентов упругости кварца в системе координат пьезопластины (с учетом пьезоэффекта) С .

Данная система уравнений должна быть дополнена граничными условиями на поверхности резонатора, в области электродного покрытия:

Подставляя (16) и (14) в (15), получаем выражение для сопротивления потерь, которое характеризует динамическое сопротивление резонатора:

рсо

2 01

"{(^І2 +А2 +А2

^ІСІБ.

(17)

где ш.8 — поверхностная плотность электродного покрытия.

Решение всей системы в модальном анализе дает собственные частоты мод и распределение амплитуд смещений частиц по поверхности пьезоэлемента. Уравнение поверхности плосковыпуклого резонатора с учётом возможной эллипсоидной формы выражается через толщину в центре пластины Л0, полуоси (радиусы) эллипсоида Rx, Rsy, Rsz и координаты x

Ток через резонатор можно вывести через плотность тока смещения J. Компонента электрического смещения по оси У, вызванная механической деформацией гр, через соответствующий пьезоэлектрический коэффициент е2р выражается в системе СИ:

^2 = е2ргр + с ,

(18)

где константа С, может быть определена из условия равенства нулю электрического потенциала ф на электродах после решения уравнения Пуассона:

Є2р Лр йУ

(19)

где 8а — абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Решение (18) для одной из ориентаций пластины приводится в [4, с. 50 — 52].

Поверхностная плотность зарядов на электродах равна величине электрического смещения на поверхности резонатора, поэтому

Бе

<Н

(20)

где р — плотность материала, и — амплитуда скорости движения в данной точке.

Полная кинетическая энергия получается интегрированием (11) по объему резонатора:

Л/2 Л/2

. (12)

V 5-й/2 2 5-й/2

Амплитуда скорости движения в каждой точке

<Ш

. (13)

Пренебрегая добавками и подставляя (13) в (12), получаем:

Ек=^\(Ах+АІ+А?

^ісів.

(14)

где Se — площадь электрода.

Подставляя (6) в (18), принимая во внимание гармонический закон изменения величин во времени, пренебрегая производными амплитуды колебаний вдоль поверхности пластины и используя уравнение (20), получаем:

1т= М

Бе

Ае26 + ^2е22 + ^Зе24

СІв .

Подставляя (21) в (17), получим:

рсо| (а2 +А2+ А? \lids

Дш=-

80

Ае26 + ^2е22 + Азе24

І

(21)

(22)

Выражения (6—10), (22), массивы материальных констант и геометрические параметры кварцевой

и z:

2

Сравнение значений собственных частот колебаний

Значения собственных частот, полученных разными способами для резонатора SC — среза с параметрами: срез ухЬ1/22° 20'/34° 6', радиус кривизны Я = 300 мм, І3П=5000 кГц

Мода Измеренные частоты, приведённые в работе Тирстена, кГц Аналитический расчет частот, проведённый Тирстеном, кГц Расчет частот с использованием полученной модели, кГц

302 5089 5078 5078

320 509б 5085 5089

304 5194 51б8 5177

340 5178 5154 5154

322 5185 51б1 51б3

324 5278 5243 524б

342 52б8 523б 5240

Таблица 2

Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными

Вычисленное значение частоты, кГц Индексы моды Вычисленное значение динамического сопротивления, Ом Измеренное значение частоты, кГц Измеренное значение динамического сопротивления, Ом

Резонатор ТД-среза с радиусом кривизны Rs = 100 мм и Qcзll = 0.825 10б

10100,3б С311 198 10100,400 19б,б

10302,89 С313 595 10295,724 б3б

10332,18 С331 778 10315,2бб бб0

10494,9 С315 2913 10495,7б4б 1947

10522,б3 С333 2088 10507,9б8 3795

11057,9 В311 1б2 11004,88 132

Резонатор ТД-среза с радиусом кривизны Rs = 300 мм и Qcзll = 1,110б

9999,819 С311 103 9999,825 95,4

10117,93 С313 843 10118,502 587

10134,б7 С331 1400 1013б,598 4700

10229,93 С315 8797 1024б,122 814б

1бб24,83 С511 23б 1бб33,880 288

10947,05 В311 87 10904,б7 5б

пластины и электродов являются основой предлагаемой численно-аналитической модели толщинно-сдвиговых колебаний кварцевых пластин. Величина добротности О задаётся исходя из уровня достигаемых применяемой технологией изготовления кварцевой пластины средних значений добротности для выбранных размеров пластины. Уравнения решены метод конечных элементов, с использованием программы решения дифференциальных уравнений в частных производных [7].

Первая апробация предлагаемой модели производилась путём расчёта резонаторов с известными параметрами и сравнением с данными приведенными в исследовании известных зарубежных авторов [2]. Ниже (табл. 1) приводятся результаты сравнения расчетов значений собственных частот колебаний для пластин SC-срезов.

Как видно из этой таблицы, расчет по приведенной методике дает более близкие результаты к измеренным данным, чем расчет по формулам Тирстена.

Далее апробация модели проводилась на основе экспериментальных данных, полученных в работе.

В табл. 2 приведен пример сравнения результатов расчёта и результатов измерения, полученных с помощью анализатора параметров электронных цепей NETWORK ANALYZER 250В (Saunders & Associates Inc). Исследовались резонаторы двухповоротного ТД-среза (yxbl/23025'/340), изготовленных на 3-й механический обертон. Конструкция кварцевой пластины резонаторов представляла собой плосковыпуклый прямоугольный элемент 10 ммх7 мм с закруглёнными углами. В модели для всех ангармоник исследуемого резонатора при вычислении динамического сопротивления мод с помощью выражения (22) использовалось измеренное значение добротности Q основной С-моды 311. Толщина в центре пластины h0, используемая в модели, корректировалась в пределах ±0,3% от размера, под который кварцевая пластина изготавливалась.

Графические результаты расчёта собственных мод колебаний, проведённые на основе предлагаемой модели, имеют близкое сходство со снимками рентгеновской топографии колеблющихся кварцевых пластин, приведённых в исследовании [8]. Не

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

*

98

мм

R *v= 100 мм

R 5v= 102 мм

Рис. 1. Изменение распределения линий уровня относительных значений амплитуд смещений для моды С333 для трех значений радиуса RSX при неизменной толщине в центре пластины Ц, и неизменными двумя другими полуосями, равными RS=100 мм

Рис. 2. График зависимости частоты моды С333 от отклонения размеров полуосей эллипсоидной поверхности от сферы:

1 — зависимость от RSX, 2 — зависимость от ^у, 3 — зависимость от RSZ

все моды могут возбуждаться электрически подачей сигнала соответствующей частоты, в частности моды, у которых чётное число максимумов перекрывается площадью электродов, или динамическое сопротивление которых больше модуля отрицательного сопротивления подключаемой схемы генератора. Но если частота рабочей моды, например термочувствительной В-моды, окажется близкой к частоте одной из таких мод, может возникнуть акустическая связь с поглощением энергии рабочего колебания и соответствующим увеличением динамического сопротивления [9].

При производстве кварцевой пластины, для увеличения добротности резонатора наиболее часто применяют линзообразную форму. Поверхности пластины придают сферическую форму с RS= RSX=RSY= RSZ. Однако реально сферичности можно добиться только с некоторой погрешностью, и поэтому более точно математически описать поверхность можно, применяя параметры эллипсоида (10). На рис. 1 показан изменяющийся вид распределения амплитуд смещений для моды С333 для трёх значений радиуса RSX. Моделировались сдвиговые колебания по толщине кварцевой пластины ТД-среза с радиусом кривизны RS=100 мм (линзообразная форма) и частотой =10,100 МГц. Электроды резонатора на кварцевой пластине имеют квадратную форму. Замкнутые кривые линии означают относительные уровни амплитуд смещений.

На рис. 2 и 3 показаны рассчитанные на модели зависимости значений частоты и динамического сопротивления моды С333 от отклонения размера полуоси эллипсоида в пределах ±5% при неизменной толщине в центре пластины и двумя другими полуосями, равными RS=100 мм для резонатора ТД-среза (yxbl/23025'/340). Моделирование показало, что при изменении размеров полуосей в пределах ± 5% форма линий уровня смещений и активность основных мод колебания меняются незначительно (около 1%), а частота на ±180 ppm, в то время как частота моды С333 меняется на ±1330 ppm (рис. 2). Динамическое сопротивление мод с высокими индексами может меняться в несколько раз (рис. 3) от точности выполнения линзообразной формы пластины резонатора. Измеряя частоты и динамические сопротивления мод с высокими индексами можно контролировать сферичность линзообразных пластин и выполнение технологических операций при их производстве.

С помощью модели получены распределения амплитуд смещений частиц поверхности кварцевого пьезоэлемента ТД-среза для колебаний опорной С-моды и для колебаний термочувствительной В-моды. Колебания сдвига по толщине термочувствительной В-моды являются ортогональными к колебаниям сдвига опорной С-моды, по вектору смещений частиц пьезоэлемента. Расчёт распределения амплитуд смещений частиц позволяет описать локализацию пространственно-совмещённого температурного датчика кварцевого резонатора, построенного на термочувствительной В-моде, относительно опорной С-моды и сравнить, с использованием тепловой модели резонатора, тепловые постоянные времени С-моды и В-моды в зависимости от температуры резонатора, построить расчётные тепловые переходные характеристики [10].

Заключение. Представленная в статье разработанная модель собственных толщинно-сдвиговых колебаний в пьезокварцевой пластине имеет достаточную точность вычислений для анализа применяемых конструктивных решений, позволяет учиты-

96 98 100 102 104 мм

Ом

5000

4000-

3000-

2000J

!

\ ,3

/ 1V /

2 \

98

100

102

104 мм

Рис. 3. График зависимости динамического сопротивления моды С333 от отклонения размеров полуосей эллипсоидной поверхности от сферы:

1 — от ^Х, 2 — от К8У, 3 — от

вать влияние конечных размеров, влияние формы граней кристаллической пластины и не имеет ограничения на форму электродов и закон изменения толщины пластины. Модель позволяет определить частоты собственных толщинно-сдвиговых колебаний резонаторов, проанализировать активность мод, изучить влияние отклонений геометрических параметров пьезоэлемента на частоту и активность мод, наглядно показать распределения амплитуд смещений, позволяет оптимально подобрать форму и размеры электродов для повышения активности необходимой моды колебаний. Использованный подход позволяет также получить результаты непосредственно в графическом виде.

Библиографический список

1. Tiersten H. F., Yang J. S. An analysis of contoured quartz resonators with beveled cylindrical edges. Proceedings of the 49th Annual Symposium on Frequency Control, p.p.727 — 739, San Francisco, California, USA 1995.

2. Stevens D. S., Tiersten H. F. An analysis of doubly-rotated contoured quartz crystal resonators. Proceedings of the 39th Annual Symposium on Frequency Control, 1985, pp.436-447.

3. Dulmet B., Bourquin R., Spassov L., Velcheva R.. Finit element analysis of activity dips in NLC-cut quartz temperature sensors, pp. D_033, Proc. Of 16-th European Frequency and Time Forum, 2002.

4. Зеленка, И. Пьезоэлектрические резонаторы на объемных и поверхностных акустических волнах: Материалы, технология, конструкция, применение / И. Зеленка ; пер. с чешск. — М. : Мир, 1990. - 584 с.

5. Дж. Най. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц / Дж. Най. — 2-е изд. — М.

: Мир, 1967. — 385 с.

6. B. A. Auld. Acoustic fields and waves in solids. Volume 1. USA, Wiley, 1973, p.p.74-76.

7. Сайт разработчика (PDE Solutions Inc) программы, предназначенной для построения сценарных моделей решения дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов [Электронный ресурс]. — URL : http://www.pdesolutions.com (дата обращения :12.05.2012).

8. Slavov S. X-ray diffraction topography analysis of TS-TT vibrations in contoured AT-cut quartz resonators // 1998 IEEE international frequency control symposium, 1998. — p. 836 — 843.

9. Хоменко, И. В. Исследование нестабильности динамического сопротивления В-моды двухмодового кварцевого резонатора ТД-среза в интервале температур / И. В. Хоменко, А. В. Косых, А. Н. Лепетаев // Омский научный вестник. — 2005. — № 3(32). — С. 157—161.

10. Хоменко, И. В. Результаты исследования термостатированного кварцевого генератора с двухмодовым возбуждением резонатора ТД-среза на численно-аналитической модели / И. В. Хоменко // Омский научный вестник. — 2008. — № 3(70). — С. 115—121.

ХОМЕНКО Игорь Витальевич, кандидат технических наук, научный сотрудник кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики». Адрес для переписки: e-mail: [email protected] ЛЕПЕТАЕВ Александр Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики».

КОСЫХ Анатолий Владимирович, доктор технических наук, заведующий кафедрой «Радиотехнические устройства и системы диагностики», проректор по научной работе.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 31.05.2012 г.

© И. В. Хоменко, А. Н. Лепетаев, А. В. Косых

Книжная полка

621.391/У54

Умняшкин, С. В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов [Текст] : учеб. пособие для вузов по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника» / С. В. Умняшкин. -М. : ИД Форум. - [Б. м.] : ИНФРА-М, 2012. - 301, [1] с. : рис., табл. - (Высшее образование). - Библиогр.: с. 301-302.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Информатика и вычислительная техника» и специальности «Прикладная математика», включает в себя общие теоретические вопросы, связанные с цифровым представлением сигналов, основами анализа линейных дискретных систем. Значительное внимание уделено вопросам эффективного представления информации (сжатия данных) и использования вейвлет-преобразований.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ