Моделирование показателей в условиях априорной неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

4. Vyatkin A. V., Efremov A. A., Karepova E. D., Shaydurov V. V. Using of hybrid computational systems for solving the advection problem [Ispol'zovanie gibridnyh vychislitel'nyh sistem dlja reshenija uravnenija perenosa modificirovannym metodom traektorij] // Trudy 5 Mezhdunarodnoj konferencii Sistemnyj analiz i informacionnye tehnologii "SAIT-2013" [Proceeding of 5th International conference on system analysis and information technologies]. Institute of Computational

Modelling of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Krasnoyarsk, 2013, pp. 45-55 (In Russ).

5. Godunov S. K., Ryaben'kii V. S. Raznostnye shemy (vvedenie v teoriju) [Difference schemes (introduction to theory)]. Moscow: Nauka Publ., 1977. 440 p. (In Russ).

© Botkhh A. B., 2015

УДК 519.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

А. А. Городов, В. А. Суслова, Е. А. Казакова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: glexx84@mail.ru

Рассмотрена проблема моделирования процессов при минимальном количестве данных. Сформулированы причины возникновения априорной неопределенности при моделировании показателей. Приведены модели прогнозирования показателей коротких временных рядов.

Ключевые слова: моделирование, короткий временной ряд, прогнозирование.

MODELING PARAMETERS UNDER A PRIORI UNCERTAINTY CONDITIONS

A. A. Gorodov, V. A. Suslova, E. A. Kazakova

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: glexx84@mail.ru

The problem of simulation of processes with a minimum amount of data is considered. Causes of a priori uncertainty when modeling indicators are formulated. Models to forecast the indicators of short time series are given.

Keywords: modeling, short time series, forecasting.

В состоянии системного кризиса, в котором на сегодняшний день находится Россия, исключительно важным представляется точное управление. Однако эффективно управлять можно только на основе знания и прогноза. Классическая фраза Блеза Паскаля «Предвидеть - значит управлять» сейчас справедлива еще в большей степени, чем раньше.

Современная наука располагает большим количеством разнообразных методов прогнозирования, каждый управленец и специалист по планированию должен владеть навыками прикладного информационно-математического прогнозирования для принятия грамотных, обоснованных решений, и уметь сделать правильный выбор метода прогнозирования в каждой конкретной ситуации. Следовательно, процесс прогнозирования является особо актуальной и значимой задачей, требующей пристального внимания и решения.

Все современные теории прогнозирования в той или иной степени используют математический аппарат, связанный с понятием временного ряда. Ряд наблюдений

х(Д х^), ..., х((ы)

анализируемой случайной величины (), произведенных в последовательные моменты времени

/2, ..., tN , называется временным рядом.

Используемые различные методы прогнозирования на основе временных рядов можно объединить в группы. Классификация будет выглядеть следующим образом:

1. Трендовые модели (кривые роста).

2. Модели сглаживания (метод скользящих средних, экспоненциальное сглаживание).

3. Авторегрессионные модели и их модификации.

Модели сглаживания, как показано в [1], являются

частными случаями авторегрессионных моделей. Авторегрессионная модель первого порядка представляет собой линейную регрессию зависимости последующих значений ряда от предыдущих. В целом переоценить значимость авторегрессионных моделей при прогнозировании крайне сложно. Для сельского хозяйства прогноз часто осуществляется на основе

Решетнеескцие чтения. 2015

простых моделей авторегрессии [2]. В ряде случаев, используют скользящие средние и линейный тренд.

Часто данные о предыстории изменения экономического показателя отсутствуют, т. е. либо имеется сверхкороткий временной ряд, либо имеются структурные изменениями во временном ряду, тогда использовать весь временной ряд, описывающий показатель, невозможно, и построенная модель будет неадекватна. Недостаточность информации приводит к ситуации, при которой крайне тяжело сделать прогноз, а тем более качественно построить модель. Данная проблема получила название прогнозирования в условиях априорной неопределенности. Такая ситуация распространена во многих областях знаний.

Математически доказано, что в ситуации, когда набор значений для прогноза ограничен, строить модель не рационально. Так, при наличии одного значения можно воспользоваться теоремой Бернулли «Лучший прогноз на завтра - сегодня» и тем самым достичь наименьшего математического ожидания ошибки.

Прогнозную модель уравнения авторегрессии второго порядка (ЛЯ(2)) можно представить следующим образом:

У г+к = а1 (к)X +а2(к)X-1, где а1 (к) и а2 (к) - это весовые коэффициенты.

В работе [2] доказаны теоремы, вводящие значения весовых коэффициентов, которые будут равны

а1 (к) = 1 1 + ^ и а2 (к) = ——.= . Данные ко-

•ч/5 2 у/5 1 + л/ 5

эффициенты показывают, что любой прогноз в модели ЛЯ(2) - это распределение предыстории в будущем через золотое сечение.

Модель авторегрессии третьего порядка (ЛЯ(3)) представим так:

у + к =а1(к) х( +а2(к) хм +а3(к) х(-2, а весовые коэффициенты а1 (к), а2 (к) и а3 (к) равны соответственно

+ X 2 + 1] 3в Р2 - 2Р + 4 ' р2 - 2Р + 4 27Р

и --=г,

( +^2 +1)2 [р2 - 2Р + 4]

вычисленные практически через коэффициенты ряда Трибоначчи, где

р = ^586+io^/3T, х1 = 319+3/33,

X2 = 3/i9 - Зу!ЗЗ .

Из выше сказанного следует, что в ряде случаев прогноз в моделях AR(3) есть средневзвешенное последних трех значений динамического ряда с весами золотого сечения.

В дальнейшем планируется рассмотреть авторегрессии более высоких порядков и выявить возможные закономерности прогнозов в этих моделях. Для временного ряда из четырех показателей можно использовать коэффициенты, близкие к золотому сечению. Вопрос же о значении этих коэффициентов пока в настоящее время открыт.

Библиографические ссылки

1. Городов А. А. Моделирование временных рядов на основе нормированных числовых рядов // СУИТ. 2010. № 1(35). С. 4-7.

2. Городов А. А., Кузнецов А. А. Свойства прогнозов в моделях авторегрессии по методу числовых рядов // Системы управления и информационные технологии. 2011. № 3(41). С. 10-13.

References

1. Gorodov A. A. SUIT. 2010. No. 1(35), рр. 4-7.

2. Gorodova A. A., Kuznetsov A. A. SUIT. 2011. No. 3(41), рр. 10-13.

© Городов А. А., Суслова В. А., Казакова Е. А., 2015

УДК 519.63

ПОЛУЛАГРАНЖЕВЫЙ ПОДХОД ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ--СТОКСА ДЛЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*

Е. В. Дементьева1,2*, Е. Д. Карепова1,2

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44

2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: *e.v.dementyeva@icm.krasn.ru

Обсуждается применение полукагранжевого подхода в методе конечных элементов к численному моделированию течений вязкой несжимаемой жидкости в канале на основе уравнений Навье-Стокса.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, метод конечных элементов, полулагранжевый метод.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00296, проект № 14-01-31203).