Моделирование планетарной передачи Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.839.36 В. П. Тарасик

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНОЙ ПЕРЕДАЧИ

UDC 621.839.36 V. P. Tarasik

MODELING OF PLANETARY GEAR

Аннотация

Изложена методика математического моделирования планетарной передачи. Приведены графики переходных характеристик и процессов разгона системы с учётом и без учёта упругих свойств зубчатых зацеплений. Отмечены существенные различия этих процессов и целесообразность установки корпуса передачи на эластичных подушках.

Ключевые слова:

планетарная передача, зубчатое зацепление, мотор-редуктор, математическая модель, переходная характеристика, процесс разгона динамической системы.

Abstract

The techniques of mathematical modeling of planetary gearing.are presented The graphs of transient characteristics and processes of the system acceleration are given with and without taking into account elastic properties of the gearing. Their significant differences are described, and the feasibility of placement of the gear housing on elastic cushions is shown.

Key words:

planetary gear, gearing, motor reducer, mathematical model, transient characteristics, process of dynamic system acceleration.

Планетарные передачи находят широкое применение в различных технических объектах - в мобильных машинах в качестве механизмов трансмиссий, в мотор-редукторах и в других изделиях, где требуется получить большое передаточное число при малых габаритах.

При моделировании процессов функционирования технических объектов с планетарными передачами обычно не учитывается деформация зубьев зубчатых колес, что не позволяет в полной мере дать описание их физических свойств.

Рассмотрим методику моделирования планетарной передачи на примере

мотор-редуктора и оценим получаемые результаты с целью выявления влияния упругих свойств на характеристики переходных процессов. Используем в качестве примера одноступенчатый планетарный редуктор с цилиндрическими прямозубыми шестернями, заимствованный из [1], конструкция которого с отображением размеров всех основных деталей редуктора представлена на рис. 1.

На рис. 2 показана кинематическая схема рассматриваемой планетарной передачи. На ней приняты следующие обозначения: а - центральное колесо наружного зацепления ЦКНЗ; Ь - центральное колесо внутреннего зацепления ЦКВЗ; к - водило; ^ - сателлит. Числа зубьев

© Тарасик В. П., 2016

колёс: 2а = 23; =127; zs = 52; мо- колёс х = 0 . Количество сателлитов

дуль т = 2 мм. Коэффициент сдвига пб =3 •

исходного контура для всех зубчатых

245

_300

422

Рис. 1. Исследуемый планетарный редуктор

Рис. 2. Кинематическая схема планетарной передачи Машиностроение

Кинематические свойства планетарной передачи описываются уравне-

нием

Шa - КшЬ - (1" К)ШИ = ^ (1)

где шa,Шь,Ши - угловые скорости соответствующих элементов передачи; K - кинематический параметр,

K ^

Шь

(2)

=0

При ши = 0 водило остановлено, а колеса a и Ь вращаются в противоположные стороны, поэтому K отрицательно. Модуль кинематического параметра можно определить через соотношение чисел зубьев ЦКВЗ и ЦКНЗ: |К| = zь|za = 5,5217 . В планетарной передаче одно из звеньев Ь или И) неподвижно. В рассматриваемой схеме это колесо Ь (см. рис. 2, а), поэтому её передаточное число и, согласно выражению (1), вычисляется из соотношения

и

= Щ/ШИ = 1 - К .

(3)

Так как К отрицательно, получаем и = 6,5217.

В качестве источника энергии рассматриваемого механизма примем асинхронный электродвигатель АИР132М4 с параметрами: мощность Р = 11 кВт; номинальный вращающий момент Мном = 72 Нм; номинальная частота

вращения пном = 1450 об/мин; момент

инерции ротора J = 0,0349 кгм2.

Характерная особенность планетарной передачи в том, что она имеет три внешних звена, посредством которых взаимодействует с объектами внешней по отношению к ней среды, и внутреннее звено, связывающее между собой её внешние звенья. К внешним звеньям относятся зубчатые колёса a и Ь, а также водило И, к внутреннему звену - сателлит 5.

Для построения математической

модели планетарной передачи составим её динамическую модель, учитывающую физические свойства передачи (инерционные, упругие, диссипативные, трансформаторные), а также воздействия на неё внешней среды (источника и потребителя энергии). Инерционными свойствами обладают вращающиеся зубчатые колёса и водило, способные накапливать кинетическую энергию. Их параметрами являются моменты инерции J^, г = 1, п, где п - количество инерционных элементов. Упругие элементы отображают способность накапливать потенциальную энергию вследствие деформации звеньев планетарной передачи. Параметры упругих элементов - коэффициенты жёсткости су, у = 1, N, где

N - количество упругих элементов. Если учесть упругие свойства зубчатых колёс планетарной передачи, то эти колёса окажутся связанными между собой упругой дифференциальной связью.

В результате динамическая модель планетарной передачи имеет вид (рис. 3), где моменты инерции J2, Jз, J4 отображают инерционные свойства основных звеньев передачи (зубчатых колёс a и Ь и водила И ), а упругий элемент с коэффициентом жёсткости с2 - их взаимодействие. Момент инерции J\ характеризует инерционные свойства двигателя - источника энергии, а J5 - приводимого рабочего органа - потребителя энергии. Параметры ду, у = 1, N характеризуют свойства диссипативных элементов, рассеивающих энергию. Параметрами трансформаторных элементов ТЭ1 и ТЭ2 являются передаточные числа и^, и2 и КПД гц, Г2.

Основное условие построения адекватной математической модели -выполнение требований закона сохранения энергии: кинетическая и потенциальная энергии компонентов модели и отображаемых ими элементов реального объекта должны полностью совпадать.

Рис. 3. Динамическая модель планетарной передачи

При определении кинетической энергии введённых в динамическую модель инерционных элементов необходимо учесть кинематические связи внешних звеньев планетарной передачи а, Ъ и h с внутренним звеном s, принимая во внимание конструктивное исполнение этих звеньев и их геометрические размеры. Сателлиты совершают сложное движение, которое можно разложить на два составляющих (вращательное относительно собственной оси сателлита и вращательное совместно с во-дилом), т. е. представить его в виде суммы относительного и переносного движений. Кинетическая энергия сателлитов тогда будет равна сумме кинетических энергий в обоих видах

движений Екэ = Ек^.отн + Е^.пер . Значения этих составляющих вычисляются по формулам:

Ек£.отн 0,5пз^3®£.отн ;

Ек?.пер 0,5пятя^я.пер,

■¿'"¿'¿.пер

где Js - момент инерции сателлита относительно собственной оси; п8 - количество сателлитов; ю^отн - угловая скорость вращения сателлита относительно собственной оси; т8 - масса са-

теллита; vs.пер - переносная линейная

скорость оси сателлита, обусловленная вращением водила.

Для определения ю^отн и vs.пер

рассмотрим кинематическую схему планетарной передачи, представленную на рис. 2, б. Значение ю^отн рассчитываем при VD = 0 :

ю

¿.отн valrs (ralrs) юа

где га, ^ - радиусы делительных окружностей колёс а и s соответственно.

Принимая во внимание, что

^ =(гЪ - га V2 , |К| = гъ1га , получаем

2ю,

ю

s.отн

1 + К

Тогда

Е =2п I

ю.

,2 '

(4)

(1 + К)

Переносная скорость сателлита vs.пер определяется угловой скоростью

водила юh , т. е. vs.пер =ГН юh , где ГН -радиус расположения осей сателлитов (см. рис. 2, б). С учётом этого

Е

22

о.пер

0,5nsmsrh юh.

(5)

В результате получаем следующие выражения для вычисления кинетических энергий основных звеньев планетарной передачи с учётом взаимодействия их с сателлитами:

Ш,

(1 + К)

Ека Ja 2 + 2nsJS

ЕкЬ = '^Ь 2 ;

ЕкИ = Jh — + пт Ги Ши

2 '

'И

2

2

(6)

(7)

(8)

Для определения приведенных моментов инерции, соответствующих представленной на рис. 3 динамической модели, вычислим производные кинетических энергий основных звеньев планетарной передачи по их фазовым координатам, т. е. по угловым скоростям ша, Шь и ши соответственно.

В результате получаем следующие выражения для вычисления моментов инерций динамической модели планетарной передачи:

J2 = Ja +

а ' (1+К)2

<13 = Jи + п5т5ги ; J4 = .1ь .

(9)

(10) (11)

Коэффициенты жёсткости входного с1 и выходного с3 валов планетарного редуктора вычисляются по методике, изложенной в [2], в зависимости от их конфигурации и геометрических размеров. Значение С4 реактивного упругого элемента зависит от способа крепления ЦКВЗ к корпусу и упругих свойств деталей крепежа. Если корпус передачи устанавливается на фундамент посредством резиновых подушек, то С4 определяется их жёсткостью.

Определение С2 осуществляется с учётом изгибных и контактных дефор-

маций зубьев планетарной передачи. В [3] изложена методика их определения. На её основе было получено значение коэффициента жёсткости С2 зубчатой передачи исследуемого планетарного редуктора.

Передаточное число щ трансформаторного элемента ТЭ1 соответствует формуле (3), а элемента ТЭ2 - и2 = |К|.

Для моделируемой передачи получены следующие значения параметров элементов динамической

модели: Jl = 0,0349; !2 = 5,718 -10-4;

Jз = 5,845 -10 2 кгм2. Значение момента инерции J4 зависит от способа крепления корпуса передачи к фундаменту. При установке его на резиновых подушках колесо Ь поворачивается под действием реактивного момента вместе с корпусом, поэтому момент инерции оказывается весьма значительным. В рассматриваемом примере получено

J4 = 5,424 -10-1 кгм2. Если же корпус к фундаменту прикреплён жёстко, то деформируется только лишь конструктивный элемент крепления колеса к корпусу, например шпонка. В расчётах получилось

в этом случае /4 = 4,458 -10-3 кгм2. Значение J5 было принято равным 1,5 кгм2.

Коэффициенты жёсткости упругих элементов: с\ = 2,076 -104 ;

с2 = 5,727 -105 ;

с3 = 1,099 -105 ;

с4 = 6,408 -10 Н-м/рад. Коэффициенты демпфирования диссипативных элементов вычислялись на основе парциальных моделей [4] при следующих значениях относительных коэффициентов затухания: у^ = 0,25 ; у2 = 0,1; У3 = 0,15 ; у4 = 0,25 . При жёстком креплении корпуса к фундаменту принималось у 4 = 0,1. Получены следующие значения коэффициентов демпфирования: ^ = 1,709; |д2 = 3,007; |д3 = 23,585;

^4 =38,598 №мх/рад. При жёстком креплении корпуса ^,4 = 106,890 .

Для получения математической модели мотор-редуктора с планетарной

передачей использован структурно-матричный метод [4]. Система дифференциальных уравнений соответствует динамической модели на рис. 3:

йю1! ёг = (М1 - М у1 - М д1)/11;

йю21йг = (Му1 + Мд1 -Му2 -Мд2^12;

(Му2 + Мд2 )М1 Л1 - Му3 - Мд3 ^3 ; (Му 2 + Мд2)м2Л2 - Му4 - Мд4 4;

ёг = ёю 4/ ёг = ёш^ёг = (Му3 + Мд3 -М2)/15; ёМ у\[ёг = С1(ш1 - Ш2); ёМу^ёг = С2(®2 - ®3М1 - ®4М2); ёМу3/ёг = С3(ш3 - Ю5); ёМ у41 ёг = С4Ш4,

(12)

где М1, М2 - внешние воздействия;

М

у!'

, Му4 - моменты упругих эле-

ментов; Мд1, ..., Мд4 - моменты дис-

д1> ^ д4

сипативных элементов.

Моменты Мд1, . ляются по формулам:

Мд4 вычис-

Мд1 = -ю2);

Мд2 = Д2(®2 -«3^1 -Ю4М2);

Мд3 =^3(ю3 -ю5);

Мд4 = Д4Ш4.

(13)

На основе уравнений (12) выполнено моделирование переходных характеристик и процесса разгона системы электродвигатель - мотор-редуктор -рабочий механизм.

На рис. 4 приведены переходные характеристики для двух вариантов крепления корпуса редуктора к фундаменту: графики на рис. 4, а, в, д соответствуют установке корпуса на резиновых подушках, а на рис. 4, б, г, е -жёсткому закреплению.

Переходная характеристика - это реакция системы на внешнее ступенчатое воздействие. При моделировании

было принято скачкообразное изменение вращающего момента с 20 на 40 Н м. Исходное состояние объекта -статическое равновесие, соответствующее постоянному внешнему воздействию = 20 Н м. После скачкообразного изменения М1 возникает переходный процесс, и объект постепенно переходит в новое статическое состояние. Поскольку время окончательного перехода сравнительно велико, полагают, что переходный процесс завершён, если переходная характеристика входит в заданный коридор стабилизации, ширина которого составляет 5 % от полного статического изменения регистрируемых графиков этих характеристик [4].

Согласно рис. 4, а-е, графики переходных характеристик рассматриваемых вариантов существенно различаются. При эластичном креплении корпуса процессы более плавные и быстрее затухают, а значения нагрузок на элементы объекта, оцениваемые величинами

упругих элементов Му^, г = 1,4, существенно меньше, чем при жёстком креплении.

а) рад/с

ш.

-1

-2

А

И и ш3 \1

•Д \ /К V ®Л /7 ___У /

б) рад/с

ю.

-1

-2

¡>щ

Д®4

ш

\\1 ®3

в)

800 | рад/с2 6001

4001

200

-200

-400

[

1 8

'81/\?4

л /Т» /V Е5

800 г рад/с2 600

400

200

-200

-400

д)

400 Нм

300

200

е)

М.

100

Л Л Чз

/у\ ¡\ \ / •____

/ У

400 Н-м

300

200

М.

100

ДА/

л м,

кп \~ifK

I

м

7

у4

т

0 0,04 0,08 0,12 0,16 С 0,20 0 0,04 0,08 0,12 0,16 с 0,20

£ 1

е2Д А Л, Е4

: о Г/ С □

Е5

О 0,04 0,08 0,12 0,16 с 0,20 0 0,04 0,08 0,12 0,16 с 0,20

Л А

О 0,04 0,08 0,12 0,16 с 0,20 0 0,04 0,08 0,12 0,16 с 0,20

Рис. 4. Переходные характеристики объекта моделирования

В табл. 1 приведены численные значения показателей оценки качества переходных характеристик. Отметим, что коэффициент динамичности Ад и

время переходного процесса представляют собой общепринятые крите-

рии качества переходного процесса. В сопоставляемых вариантах коэффициенты динамичности различаются на 18 %, а время переходного процесса -на 85 %.

Табл. 1. Показатели оценки переходных характеристик планетарной передачи

Показатель оценки С учётом упругих свойств зубчатого зацепления Без учёта упругих

переходной свойств зубчатого

характеристики с эластичной установкой с жёстким креплением зацепления

корпуса передачи корпуса передачи

Максимальный момент, Н'м, и ко-

эффициент динамичности Му1- / кдди

входной вал 49,2 / 1,23 57,8 / 1,45 59,8 / 1,46

выходной вал 313,5 / 1,23 371,5 / 1,45 378,7 / 1,48

зубчатое зацепление 49,2 / 1,23 57,8 / 1,45 -

реактивный элемент 288,2 / 1,30 318,1 / 1,44 -

Максимальное угловое ускорение

сосредоточенной массы, рад/с2:

ротор двигателя 570,3 584,7 578,3

рабочий механизм 40,2 78,7 78,5

ЦКНЗ 622,7 663,5 226,5

ЦКВЗ 136,5 0 -

водило 104,4 101,2 34,2

Время переходного процесса, с 0,1 0,185 0,117

При моделировании разгона исследуемого объекта характеристика воздействия электродвигателя Му(г) описывалась выражением

М10+Аг

м\(г ) =

при г < г^ М1тах при г: < г < г2; (14) В+С/«1 при г > г2,

где М10 - начальное значение вращающего момента электродвигателя; М | тах - максимальный момент электродвигателя; А, В, С - параметры характеристики момента М\(г); г1, г2 - значения временных интервалов характеристики момента; г - текущее время.

На рис. 5, а, в, д представлены характеристики разгона при установке корпуса планетарной передачи на резиновых подушках, а на рис. 5, б, г, е -при жёстком креплении корпуса к фундаменту.

Графики на рис. 5 получены при следующих параметрах характеристики воздействия электродвигателя (4): М10 = 20 Н м; М 1тах = 70 Н м; А = 500 Нм/с; В = 6,957 Нм;

С = 1980,5 Нм^рад/с. Значение момента нагрузки рабочего механизма М2 =Мдо М1Л1. Из приведенных графиков видно существенное различие полученных характеристик. При эластичном креплении происходит быстрое затухание колебаний моментов упругих элементов Муг и затем осуществляется

плавный разгон сосредоточенных масс системы . При жёстком же креплении корпуса в течение длительного времени наблюдаются высокочастотные колебания моментов Му^, угловых скоростей шг- и угловых ускорений вг- сосредоточенных масс с большими амплитудами, что отрицательно отражается на плавности процесса разгона.

В табл. 2 приведены значения показателей оценки качества процесса разгона сравниваемых вариантов.

Если не учитывать упругие свойства зубчатых зацеплений планетарной передачи, то динамическая модель приобретает следующий вид (рис. 6).

Рис. 5. Графики процесса разгона системы электродвигатель - мотор-редуктор - рабочий механизм

Табл. 2. Показатели оценки процесса разгона системы электродвигатель - мотор-редуктор -рабочий механизм

Показатель оценки С учётом упругих свойств зубчатого зацепления Без учёта упругих свойств зубчатого зацепления

процесса разгона с эластичной установкой корпуса передачи с жёстким креплением корпуса передачи

Максимальный момент Муг, Нм:

входной вал 47,5 50,6 47,9

выходной вал 297,3 318,1 298,2

зубчатое зацепление 47,5 50,6 -

реактивный элемент 271,7 279,2 -

Максимальное угловое ускорение сосре-

доточенной массы, рад/с2:

ротор двигателя 572,9 / -799,0 573,1 / -884,3 573,1 / - 799,4

рабочий механизм 70,8 / - 85,1 126,9 / - 85,1 113,6 / - 85,2

ЦКНЗ 693,6 / - 8,1 746,1 / - 325,3 699,1 / - 88,1

ЦКВЗ 150,4 / - 85,7 « 0 -

водило 91,1 / - 102,6 113,6 / - 47,9 107,2 / - 13,5

Рис. 6. Упрощённая динамическая модель планетарной передачи

Момент инерции 12 учитывает инерционные свойства всех компонентов планетарной передачи и определяется из условия сохранения неизменной кинетической энергии Ек = Ека + ЕкЪ + . На основе этого равенства осуществляется приведение моментов инерции всех компонентов планетарной передачи 1а, 1ъ, Jh к массе колеса а, т. е. к моменту инерции 12 на рис. 6. Поскольку

в данном случае колесо Ъ планетарной передачи неподвижно, то принимаем 1ъ = 0. В результате

12 = 1а + ЛА2 .

(15)

Математическая модель мотор-редуктора в данном случае описывается системой дифференциальных уравнений

ёш1/ёг = (М1 - Му1 - Мд1у 11;

¿«2/ йг = [м у1 + Мд1 - (М у 2 + Мд2)/(ил) ^ 12;

¿©3/ л = (М у 2 + М д2 - М 2)/13; dMуlj ёг = С1(ш>1 -©2);

ёМу2!ёг = С2 (©2 /и - ©3).

На рис. 7, а-в показаны графики переходных характеристик для модели без учёта упругих свойств зубчатых зацеплений. По форме они аналогичны графикам, представленным на рис. 4, б, г, е, а различаются количественными значениями показателей, что

видно из табл. 1. В табл. 1 и 2 даны значения моментов в упругих элементах Муг и максимальных угловых ускорений вг сосредоточенных масс системы,

полученные без учёта упругих свойств зубчатых зацеплений.

Рис. 7. Переходные характеристики (а-в) и характеристики разгона (г-е), полученные на основе упрощённой динамической модели

В табл. 3 приведены значения резонансных частот сравниваемых вариантов моделей. Очевидно, что они также существенно различаются. В трёх-массовой модели выявляются только

высокие частоты. Применение упрощённой модели не позволяет обнаружить низкочастотный резонанс проектируемого объекта.

Табл. 3. Резонансные частоты колебаний сосредоточенных масс динамических моделей

В герцах

Вид динамической модели Номер резонансной частоты

1 2 3 4

5-массовая: с эластичной установкой корпуса с жёстким креплением корпуса 3-массовая 6,045 • 103 6,799 • 103 6,603 • 103 5,588 • 102 1,713 • 103 1,087 • 102 8,009 • 101 5,378 • 102 1,544 • 101 5,690 • 101

Предлагаемая методика моделирования динамических характеристик планетарной передачи позволяет получить адекватное описание её физических свойств и обеспечить высокую точность определения показателей качества переходных характеристик и

процесса разгона объекта исследования. На её основе можно осуществлять оптимизацию параметров и характеристик планетарной передачи и всей механической системы в целом, в составе которой использована данная передача.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атлас конструкций узлов и деталей машин / О. А. Ряховский [и др.] ; под ред. О. А. Ряховского. -М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. - 380 с.

2. Проектирование трансмиссий автомобилей : справочник / А. И. Гришкевич [и др.] ; под ред. д-ра техн. наук, проф. А. И. Гришкевича. - М. : Машиностроение, 1984. - 272 с.

3. Тарасик, В. П. Определение параметров жёсткости зубчатых передач автомобилей и тракторов / В. П. Тарасик // Тракторы и сельхозмашины. - 2016. - № 11. - С. 23-29.

4. Тарасик, В. П. Математическое моделирование технических систем : учебник / В. П. Тарасик. -Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2016. - 592 с.

Статья сдана в редакцию 29 сентября 2016 года

Владимир Петрович Тарасик, д-р техн. наук, проф., Белорусско-Российский университет. Тел.: +375-222-25-36-45.

Vladimir Petrovich Tarasik, DSc (Engineering), Prof., Belarusian-Russian University. Phone: +375-222-25-36-45.