CC BY
39
УДК 62.235 А. С. Кучик
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРИВОДА ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ОРГАНА ПРОХОДЧЕСКОГО КОМБАЙНА
UDC 62.235 A. S. Kuchik
MATHEMATICAL MODELING OF FUNCTIONING MODES OF THE DRIVE DEVELOPED FOR AN OPERATING ELEMENT OF THE MINING AND TUNNELING MACHINE
Аннотация
Приведены результаты исследования разработанного привода исполнительного органа проходческого комбайна, полученные на основе математического моделирования. Определены зависимости показателей качества переходных процессов привода от параметров проектируемого привода. Выполнен анализ устойчивости системы привода. Приведены графики переходных процессов и их анализ.
Ключевые слова:
проходческий комбайн, привод рабочего органа комбайна, кинематическая схема привода, динамическая модель, математическая модель, матрица Якоби, устойчивость системы, показатели качества переходных процессов.
Abstract
The paper presents the results of the study of the drive developed for an operating element of the mining and tunneling machine, which were obtained based on mathematical modeling. The dependencies between quality indicators of transient processes of the drive and parameters of the designed drive are determined. The analysis of drive system stability is performed. The graphs of transient processes and their analysis are given.
Key words:
mining and tunneling machine, drive of the operating element of the machine, kinematic drive scheme, dynamic model, mathematical model, Jacobi matrix, system stability, quality indicators of transient process.
Одной из разновидностей проходческих машин являются комбайны избирательного действия. В ОАО «Бела-руськалий» данный тип комбайнов в основном применяется для проведения ремонта выработок, производства камер, ниш и сбоек, а также для проходки штреков с высотой до 5,1 м и площадью в свету до 35 м2.
Производительность комбайна в большей мере зависит от надежности функционирования его механизмов. Одним из механизмов, работающих в наиболее сложных условиях, является
©Кучик А. С., 2017
трансмиссия, обеспечивающая преобразование параметров потока энергии, подводимой к исполнительному рабочему органу комбайна, который непосредственно контактирует с забоем и испытывает высокие динамические нагрузки. Современные методы разработки горной породы постоянно требуют создания новых типов приводов с высокими показателями надежности, производительности при одновременном снижении металлоёмкости и удельной энергоемкости. Современная техника нуждается в применении современ-
ных компьютерных технологий проектирования, методов математического моделирования, позволяющих оценить динамические процессы в приводе рабочих органов и влияние на них параметров передающих энергию механизмов.
Разработка динамической модели привода рабочего органа комбайна
Исполнительный орган комбайна относится к многомерным динамическим системам, состоящим из множества взаимодействующих между собой и с внешней средой элементов. Его можно представить как динамическую систему с сосредоточенными параметрами, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений [1].
Разработка модели связана с решением ряда задач:
- разработка динамической модели системы;
а)
От электродвигателя 1 вращающий момент передается на солнечную шестерню 2 механизма привода, далее через сателлиты 3, взаимодействующие с коронным колесом 4, - на водило 5 планетарного ряда. Водило 5, удержива-
- определение параметров элементов модели;
- составление системы дифференциальных уравнений, описывающих состояние и процесс функционирования элементов динамической модели;
- интегрирование дифференциальных уравнений;
- анализ качества переходных процессов.
При построении динамической модели привода рабочего органа комбайна применён метод сосредоточенных масс [1], при котором абстрактные элементы модели наделяются определенными физическими свойствами - инерционными, упругими, диссипативными, трансформаторными. Построение динамической модели основано на использовании кинематической схемы привода, представленной на рис. 1, а.
б)
емое в центральной части редуктора подшипниками 6 и 7, приводит во вращение посаженную на него коническую шестерню 8. Эта шестерня, в свою очередь, передает вращающий момент на коническое зубчатое колесо 9 и соеди-
Рис. 1. Кинематическая схема (а) и динамическая модель (б) привода
ненную с ним цилиндрическую вал-шестерню 10. Далее вращающий момент делится на два потока, передаваемые одновременно двум зубчатым колесам 11, жестко закрепленным на выходных валах 12, соединенных с режущими коронками 13 рабочего органа комбайна.
При необходимости формирования арочной формы выработки, как наиболее устойчивой к обрушению, подвижный корпус 14 может поворачиваться относительно неподвижного корпуса 15 на подшипниках 16 и 17 посредством гидромоторного узла 18 через червячный редуктор 19 и открытую прямозубую передачу 20.
Динамическая модель привода, сформированная на основании кинематической схемы, представлена на рис. 1, б.
Динамическая модель включает 6 инерционных элементов, 5 упругих и диссипативных элементов, 4 трансформаторных элемента.
Параметры инерционных элементов: 31 - приведенный момент инерции, учитывающий инерционные свойства ротора двигателя, полумуфты и солнечной шестерни, связанных с ротором;
32 - приведенный момент инерции, учитывающий инерционные свойства водила планетарного ряда с подшипниками, осями сателлитов, ведущей конической шестерней и крепежных деталей;
33 - приведенный момент инерции, учитывающий инерционные свойства ведомого конического колеса, вал-шестерни цилиндрической передачи и подшипников; 34, 35 - приведенные моменты инерции, учитывающие инерционные свойства выходного вала, ведомого цилиндрического зубчатого колеса, подшипников, крепежных деталей и непосредственно режущей коронки с забурником; 3б - приведенный момент инерции, учитывающий инерционные свойства сателлитов с подшипниками.
Параметры упругих элементов: с - коэффициент жесткости, учитывающий упругие свойства зубьев солнечной шестерни, шпоночных и зубчатых
соединений полумуфт; с2 - коэффициент жесткости, учитывающий упругие свойства водила, зубьев конической передачи, шпонки, зубьев цилиндрической передачи, вал-шестерни; с3, с4 - коэффициенты жесткости, учитывающие упругие свойства выходного вала, шпоночных соединений; с5 - коэффициент жесткости, учитывающий упругие свойства зубьев сателлитов планетарного ряда.
Параметры диссипативных элементов: ц2, ц3, ц4, ц5 - коэффициенты сопротивления, учитывающие диссипативные свойства тех же элементов, что соответствующие параметры упругих элементов.
Параметры трансформаторных элементов: ц,и2,П2, Ц,,^ и4,П4 -передаточные числа и КПД, характеризующие преобразующие свойства планетарного ряда, конической, цилиндрической передач, звена солнечная шестерня-сателлит соответственно.
На динамическую систему исполнительного органа оказывают влияние внешние воздействия типа потенциала: М1 - внешнее воздействие, соответствующее моменту двигателя; М2, Мз -внешние воздействия, соответствующие моментам сопротивления резанию.
Определение параметров динамической модели
На современном этапе проектирования эскизная компоновка проекта включает в себя трехмерное моделирование механизмов. В программных продуктах, позволяющих производить трёхмерное моделирование, заложена функция определения моментов инерции. С её помощью определены искомые значения, приведенные в табл. 1.
Методика определения коэффициентов жесткости для упругих элементов динамической модели отражена в [2, 3]. Численные значения параметров упругих элементов приведены в табл. 2.
Табл. 1. Значения параметров инерционных элементов привода
Параметр Значение, кг-м2 Параметр Значение, кг-м2
¿1 2,369 ¿4 118,407
¿2 2,64 ¿5
¿3 4,859 ¿6 0,4
Табл. 2. Значения параметров упругих элементов
Параметр Значение, Нм/рад Параметр Значение, Нм/рад
с1 0,68-106 с4 7,2-106
с2 4,2-106 с5 16,7 -106
съ 7,2 -106
Коэффициент сопротивления дис-сипативного элемента зависит от параметров элементов динамической модели, непосредственно к нему примыкающих, и вычисляется по формуле
^ i = 2 У ¿1 , (1)
где у - относительный коэффициент затухания колебаний; - параметр
инерционного элемента парциальной системы; ш)- - собственная парциальная частота.
При определении коэффициента сопротивления используют парциальные системы с упругим базовым элементом [1]. Парциальные системы для определения коэффициента сопротивления представлены на рис. 2.
Рис. 2. Парциальные системы с базовым упругим элементом: а - парциальная система с базовым упругим элементом сь б - то же с базовым упругим элементом с5; в - то же с базовым упругим элементом сй i = 3.. .5
Для парциальной системы на рис. 2, а параметр инерционного элемента
/ _¿1 ¿2 и12 ¿6 и4_ (2)
¿1 =-2-2-2-2' У '
¿2 ^ ¿6 ^ + ¿1 ¿6 и4 + ¿1 ¿2 ^
для парциальной системы на рис. 2, б
¿5 = ¿6, (3)
а для парциальной системы на рис. 2, в
3' =
31и1 ■11+1 ЛЦ2 + Л+1
(4)
Численные значения коэффициентов сопротивления динамической моде-
ли при у = 0,2 приведены в табл. 3.
Значения передаточных чисел и КПД трансформаторных элементов представлены в табл. 4.
Табл. 3. Значения параметров диссипативных элементов
Параметр Значение, Нмс/рад Параметр Значение, Нмс/рад
Ц1 425,7 Ц3 5927
Ц2 1417 Ц4
Ц5 1035
Табл. 4. Значения передаточных чисел и КПД зубчатых передач привода
Номер передачи и Номер передачи и
1 4,941 0,97 3 2,684 0,97
2 1,722 0,96 4 3,941 0,97
Разработка математической модели привода рабочего органа комбайна
Математическая модель технического объекта на макроуровне представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомыми функциями в этих уравнениях являются базисные фазовые координаты, а независимой переменной - время.
Для упрощения процесса построения математической модели и возмож-
ности реализации вычислительных процессов на ЭВМ наиболее удобен структурно-матричный метод [1]. Вначале необходимо по динамической модели объекта исследования построить ориентированный граф (орграф), представляющий структурную математическую модель системы.
Орграф разработанной динамической модели (см. рис. 1, б) изображен на рис. 3.
Рис. 3. Орграф динамической модели
Для дальнейшего построения математической модели на основе орграфа следует сформировать матрицу инци-денций, численно отражающую направление передачи сигналов, и матрицу трансформаторных элементов. Эти мат-
рицы в статье не приводятся. Математическая модель, включающая систему дифференциальных уравнений (5) и систему компонентных уравнений дисси-пативных элементов (6), представлена далее.
йщ йг
йг
йщ3 йг ёю4 йг ёщ5 йг ёю6 йг йМ.
= [М, - (Му1 + М „)]/ ¿1;
(Му2 + М..) (Му! + М„)и, П - у2 ^
и2 П2
(Му2 + Ми) -
(Му2 + Мц) + (Му3 + М ,3) и3 П
= [(Му3 + М ,3) - М2]/¿4;
= [(Му3 + М,3) - М3]/¿5;
= [(Му1 + М„)и4 п4 - (Му5 + М,5)]/¿6;
у1
йг йМ.
у2
йг йМ,
у3
йг йМ,
у4
йг йМ,
= с1(ю1 - щ2и1 - щ6и4);
= с2(щ2/и2 - щ3);
= с3(щ3/и3 - щ4); = с4(щ3/и3 - щ5);
у5
йг
= с5щ6;
¿3;
(5)
М ,1 = - щ2и1- щ6и4);
М,2 = ^2(щ2/ и2 - щ3); М ,3 = ^ 3(щ3/ и3- щ4); М,4 = ^4(Щ3/ и3 - Щ5); М ,5 = ^5®6.
(6)
Функции внешних воздействий
Внешняя среда воздействует на динамическую систему посредством двух источников потенциалов: момента электродвигателя М1 и моментов сопротивления резанию М2 и М3 на каждой из
коронок (см. рис. 1, а).
Механическая характеристика электродвигателя [4] представлена на рис. 4, а; величина и характер изменения момента сопротивления резанию -на рис. 4, б.
2
Рис. 4. Функции внешних воздействий: 1 - функция изменения внешнего воздействия при внедрении коронки в массив; 2 - функция изменения внешнего воздействия при резании в вертикальной плоскости; 3 - функция изменения внешнего воздействия при резании в горизонтальной плоскости
Оценка устойчивости проектируемой динамической системы
Устойчивость технической системы можно оценить без решения системы дифференциальных уравнений. Для этого используется матрица Якоби. Оценка устойчивости и выявление формы колебаний осуществляются по спектру матрицы Якоби. Если вещественные
Табл. 5. Спектр матрицы Якоби
части собственных значений матрицы Якоби отрицательны, система устойчива и переходные характеристики будут затухающими. Мнимые части собственных значений матрицы Якоби - резонансные частоты исследуемой системы.
Матрица Якоби в статье не приводится. В табл. 5 представлен спектр собственных значений.
1 Яе 1т 1 Яе 1т 1 Яе 1т 1 Яе 1т
1 -8582 693 4 -498 -2349 7 0 0 10 -3,1 162,8
2 -8582 -693 5 -293,5 933,5 8 -18,1 227,6 11 -3,1 -162,8
3 -498 2349 6 -293,5 -933,5 9 -18,1 -227,6
На основании полученного спектра матрицы Якоби можно сделать следующие выводы:
1) исследуемая система устойчива, т. к. вещественные части всех собственных значений отрицательны;
2) собственные значения матрицы Якоби содержат мнимые части, отличные от нуля, поэтому переходные процессы в системе будут колебательными.
Анализ качества переходных процессов
Для оценки качества переходного процесса использованы следующие показатели:
1) время переходного процесса
2) коэффициент динамичности кд;
3) интегральная оценка отклонения графика от идеальной характеристики I.
Рассмотрим два вида внешних воздействий на исследуемую систему:
1) пуск электродвигателя, когда частота вращения инерционных элементов равна нулю. Графики изменения частот вращения инерционных элементов и моментов в упругих элементах представлены на рис. 5 и 6;
2) внедрение режущей коронки в массив при резании в горизонтальной плоскости (самый распространенный случай). Частоты вращения инерционных элементов при этом номинальные, нагрузка прикладывается мгновенно. Графики изменения моментов в упругих элементах представлены на рис. 7.
Произведем анализ влияния параметров динамической модели на характер переходного процесса в упругих
элементах привода. Для наглядности графическое построение выполним для третьего упругого элемента, характер изменения которого влияет на форму переходного процесса в остальных упругих элементах, а также исключим гармоническую составляющую внешней нагрузки.
Влияние относительного коэффициента затухания колебаний у на критерии оптимальности представлено на рис. 8, влияние параметра ¿3 - на рис. 9, параметра ¿4 - на рис. 10, параметра с2 - на рис. 11, параметра с3 - на рис. 12. Остальные параметры не оказывают влияния на характер переходного процесса и в статье их анализ не приводится.
Рис. 5. Графики изменения частоты вращения масс в переходном процессе при пуске электродви-
гателя
10 кН-м
\ МУ2 & уЗ, Му4
л! й А
Му1 / Му 5 / м У ^
0,1
0,2
0,3
0,4
Рис. 6. Графики изменения моментов в упругих элементах при пуске электродвигателя
д
Гуз
Щл
О ОД 0,2 0,3 с 0,4
Рис. 7. Графики изменения моментов в упругих элементах при внедрении коронки в массив
0 ОД 0,2 с 0,3 50 75 100 125 150 175 % 200
Рис. 8. Графики изменения моментов при различных у: 1 - Му3 при у / уноМ = 50 % ; 2 - Му3 при
У / у ном = 100 % ; 3 - Му3 при у / Уном = 200 %
Рис. 9. Графики изменения моментов при различных величинах /3: 1 - Му3 при 33/ 33 ном = 50 %;
2 - Му3 при 33/ 33 ном = 100 % ; 3 - Му3 при 33/ 33 ном = 200 %
О ОД 0,2 с 0,3 50 75 100 125 150 175%200 1 -► т / т _+
° 4 ' ° 4ном ^
Рис. 10. Графики изменения моментов при различных величинах ¿4: 1 - Му3 при J4/ J4 ном = 50 %;
2 -Му3 при ¿4 / ¿4 ном = 100 % ; 3 -Му3 при ¿4 / ¿4 ном = 200 %
а) 15 кН-м
12
Му3 3
Л 3 2
Ч1
ОД
б) 120
%
105
90
?п
Со,' 75 I
60
7
\
Л д
Ч
0,2 с 0,3
50 75 100 125 150 175%200
Рис. 11. Графики изменения моментов при различных величинах с2: 1 - Му3 при С2/ С2 ном = 50 %;
2 - Му3 при С2 / С2 ном = 100 % ; 3 - Му3 при С2 / С2 ном = 200 %
а) 15 кН-м
12
Мл
А 3
I
0,1
6) 150 %
120
60
\
\ Ч
к д N С
0,2 с 0,3 —►
50 75 100 125 150 175%200
Рис. 12. Графики изменения моментов при различных величинах с3: 1 - Му3 при с3/с3ном = 50 %; 2 - Му3 при с3/с3ном = 100 %; 3 - Му3 при с3/с3ном = 200 %
Выводы
1. Разгон масс до их номинальных частот вращения происходит за 0,22 с.
2. Пуск электродвигателя сопровождается пиковым ростом момента в приводе с коэффициентом динамичности 2,9, после чего происходит еще один пиковый рост с коэффициентом динамичности 1,7 при переходе двигателя в номинальный режим работы. Переходный процесс заканчивается за 0,35 с.
3. Внедрение коронки в массив сопровождается пиковым ростом момента в приводе с коэффициентом динамичности 1,8, переходный процесс заканчивается за 0,18 с. Изменение величины параметров инерционных элементов 31, 32, 36, с1, с5 в 2 раза практически не оказывает влияния на характер протекания переходного процесса, поэтому графики не приводятся.
4. Увеличение параметра 33 снижает динамичность, интегральную оценку и время переходного процесса. Необхо-
димо стремиться к максимальной величине данного параметра.
5. Увеличение параметра 34 практически не оказывает влияния на динамичность, однако в значительной мере повышает интегральную оценку и время переходного процесса. Необходимо стремиться к минимальной величине данного параметра.
6. Увеличение параметра с2 практически не оказывает влияния на динамичность, незначительно повышает интегральную оценку, однако существенно снижает время переходного процесса. Необходимо стремиться к максимальной величине данного параметра.
7. Увеличение параметра с3 практически не оказывает влияния на динамичность, однако в значительной мере снижает интегральную оценку и время переходного процесса. Необходимо стремиться к максимальной величине данного параметра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тарасик, В. П. Математическое моделирование технических систем : учебник / В. П. Тарасик. -Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2016. - 592 с.
2. Маслов, Г. С. Расчеты колебаний валов : справ. пособие / Г. С. Маслов. - М. : Машиностроение, 1968. - 272 с.
3. Молибошко, Л. А. Компьютерные модели автомобилей : учебник / Л. А. Молибошко. - Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2012. - 294 с. : ил.
Статья сдана в редакцию 20 марта 2017 года Александр Сергеевич Кучик, аспирант, Белорусско-Российский университет. Тел.: 8-029-778-22-57. Aleksandr Sergeyevich Kuchik, PhD student, Belarusian-Russian University. Phone: 8-029-778-22-57.
