Моделирование образования шейки при растяжении кругового цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

моделирование образования шейки при растяжении кругового цилиндра © 2006 г. М.С. Ластенко

Stability of equilibrium of a circular cylinder made of homogeneous isotropic incompressible material during uniaxial tension and aftercritical deformation of the cylinder are studied with use of exact three-dimensional equations of nonlinear elasticity. It is found that a homogeneous state of the cylinder loses the stability after reaching a maximum point on a tension diagram and is replaced then by an in-homogeneous axisymmetric state known as "neck", which develops further.

Постановка задачи

Рассмотрим процесс одноосного растяжения стержня, имеющего форму кругового цилиндра. Будем считать материал цилиндра однородным, изотропным и несжимаемым. За лагранжевы координаты примем цилиндрические координаты г , р, г, в которых область, занимаемая телом, задается неравенствами 0 < г <го , 0 <р< 2п, 0 <г<I, где г0 и I - радиус и длина цилиндра соответственно. Цилиндр испытывает конечную осесимметричную деформацию, которая описывается соотношениями Я = Я(г, г), Ц = р ,

2 = 2 (г, г), где Я , Ц , 7 - цилиндрические координаты точек тела после деформации.

Система уравнений, описывающих деформацию несжимаемого изотропного упругого тела при отсутствии массовых сил, состоит [1] из уравнений равновесия для тензора напряжений Пиолы Б

divD = e r

dD 1 --+—e.

dr r

dD

3<p

-+e У

dD

~dz

= 0

(1)

(2)

и определяющих соотношений Б = (ёП / ёН) • С-Т - рС-Т, где ег, ер, ег - ортонормированный базис цилиндрической системы координат; П - удельная потенциальная энергия деформации; Н = - логарифмическая мера деформации; С = С • С - мера деформации Коши-Грина; С = gradR - градиент деформации,

С-Т = (ст )-1=(с-1 )Т ; R = Яег + 2ег - вектор положения частицы тела в деформированном состоянии; р - давление в несжимаемом теле, не выражаемое через деформацию. Условие несжимаемости материала имеет вид det С = 1.

Будем считать, что боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузки, а на торцах отсутствуют силы трения, т. е. касательные напряжения; задано постоянное нормальное перемещение, что соответствует на-гружению стержня в жесткой испытательной машине. В результате получим следующие граничные условия: Бгг(го,г) = 0 , БГг(го,г) = 0 , ^ (г,0) = 0 ,

Вгг (г, I) = 0, 2 (г,0) = 0, 2 (г, I) = Л I, (3)

где Л - заданная положительная постоянная (коэффициент растяжения по оси цилиндра).

Рассматривается модель материала со степенным упрочнением, для которой упругий потенциал имеет вид

П= А Гв , А > 0, в> 1, (4)

удовлетворительно описывает [2-4] поведение ряда упругопластических конструкционных материалов (сталь, медь, некоторые другие пластичные металлы и сплавы) при активном нагружении и может служить обобщением деформационной теории пластичности на случай больших деформаций.

Однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра, являющееся решением краевой задачи (1), (3), описывается следующим образом:

Я = Л~1/2г, 2 = Лг,

1 ( 3 //2-1 Р = Po =--Aß -I lnß-U.

(5)

Растягивающая сила, приложенная к торцам цилиндра, выражается соотношением

P = nr0 Aß |

ß/2

l~1\nß-1l.

Данная зависимость имеет одну точку максимума Л* = ехр(в -1).

Линеаризованная задача об исследовании устойчивости

Из многочисленных опытов на простое растяжение хорошо известно [2-4], что после достижения максимума на диаграмме растяжения стержня процесс однородного деформирования становится неустойчивым, образуется шейка.

Воспользуемся бифуркационным критерием устойчивости равновесия [1]. Рассмотрим осесимметричную форму равновесия упругого цилиндра, мало отличающуюся от однородного одноосного растяжения, R = R0 + , р(г, г) = р0 + ер1 (г, г), -1/2

R0 = Л гег + Лгег, w = и(г, г)ег + ^(г, г)ег. (6)

Здесь е - малый параметр; w - вектор добавочного перемещения. Подставляя (6) в (1)-(4) и отбрасывая члены второго и более высокого порядков относительно е , получим линейную однородную краевую задачу с неизвестными функциями и(г , г) , ^(г, г) и Р1(г, г), которая всегда имеет тривиальное решение и = V = р1 = 0. Нетривиальные решения этой задачи будем искать в виде

u(r,z) = U(r)cos| -^z

Pi(r, z) = AQ(r) cos| —z

nn

w(r, z) = W(r) sinl -^z

n = 1,2,3, K

где А, ß - постоянные; Г = 4trH2 . Данная модель

Таким образом, задача об исследовании устойчивости сводится к задаче о нахождении спектра критических значений параметра Л, при которых сущест-

вуют нетривиальные решения, и к определению собственных функций - мод выпучивания.

Полученная задача решена численно [5] конечно-разностным методом. Критические значения параметра Л существуют только на ниспадающем участке диаграммы растяжения, т. е. при Л > Л* . Для каждого значения параметра волнообразования вдоль оси цилиндра п = 1,2,3,... существует критическое значение

Лп, причем с ростом п монотонно растет и Лп. Первое значение Л1 расположено очень близко к Л*, все последующие значения Лп также близки друг к другу.

Определены собственные функции линеаризованной задачи - моды выпучивания w п, которые, в частности, характеризуются тем, что моды с четными номерами симметричны относительно среднего поперечного сечения цилиндра, тогда как моды с нечетными номерами несимметричны.

Установлено, что с ростом п увеличивается осцилляция решения по радиальной координате. Подробное описание особенностей спектра критических значений Лп и мод выпучивания содержится в [5].

Таким образом, каждому Лп однозначно соответствует вектор добавочного перемещения w п, определенный численно по г и аналитически - по г .

Поскольку решение линейной однородной задачи определено с точностью до произвольного постоянного множителя, амплитуда выпучивания е и число закритических форм равновесия не могут быть найдены из линеаризованной краевой задачи устойчивости. Для анализа закритического поведения цилиндра необходимо обратиться к нелинейным уравнениям (1)-(4), описывающим деформацию упругого тела.

Вариационный подход к задаче о растяжении цилиндра

Обратимся к вариационному принципу Лагранжа, согласно которому выполнение уравнений равновесия, записанных в перемещениях, и граничных условий эквивалентно стационарности потенциальной энергии тела [1]. Основываясь на этом принципе, будем считать равновесное состояние устойчивым, пока потенциальная энергия имеет в нём минимальное значение. Если же в процессе нагружения возникает возможность существования равновесного состояния с потенциальной энергией меньшей, чем в текущем состоянии, то текущая форма равновесия теряет устойчивость, сменяясь более выгодной с энергетической точки зрения новой формой равновесия. Такой подход к исследованию устойчивости позволяет в отличие от линеаризованной задачи не ограничиваться лишь малыми отклонениями от однородного деформированного состояния.

Для решения задачи о закритическом деформировании цилиндра воспользуемся методом Ритца, накладывая на однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра (5) полученные при решении линеаризованной задачи моды выпучивания w п. С математической точки зрения представляется логичным накладывать моды последовательно, начиная с первой. Такая задача решена [6], и в результате получена закритическая форма цилиндра, которую можно трактовать, как соответствую-

щую конструкционным материалам, для которых характерно слабовыраженное шейкообразование.

Однако, принимая во внимание симметричность задачи по постановке, представляется оправданным с физической точки зрения сужение класса решений задачи закритического деформирования до форм, симметричных относительно среднего поперечного сечения цилиндра.

Итак, рассмотрим однородное состояние цилиндра (5), на которое последовательно накладываются М мод выпучивания w 2п, начиная со второй моды. Тогда осесимметричная форма упругого цилиндра задаётся следующим образом

M

R = R о + 2 c2n w 2n

n=1

I 2nn

Ro =Л 1/2rer +Äze z

w2n = U2n (r)cos| |er + W2n (r)sm| ■

I 2nn

(7)

У I -у I )

где неизвестными являются только амплитуды наложенных мод выпучивания С2п .

Подставляя в выражение для потенциала (4) форму цилиндра из (7), получим потенциал как функцию М + 3 переменных П = П(Л, г, г, С2, С4,.. С2М).

Таким образом, с учетом граничных условий (3), потенциальная энергия тела приобретает вид г02п1

V = | | |П(Л, г, г, С2, С4,.. С2Ми при фик-

0 0 0

сированном Л оказывается нелинейной функцией М переменных С2п . Задача сводится к поиску таких значений этих переменных, которые доставляли бы функции V(р2, С4,.. С2М) стационарные значения, т.е. возникает система нелинейных алгебраических уравнений относительно С2п

V2 = V2 (с2 , c4,.. С2М ) = 0 V4 = V4 (с2 , c4,.. С2М ) = 0

(8)

V2M = V2M (<

Со , С л С

2M

)= 0

где V2. = dVЧС4'" С2М ) = r

dc

2n

0 0 0 dc2n

z.

Ввиду громоздкости опустим запись уравнений (8) в явном виде.

Закритическое деформирование.

Образование шейки

Параметр модели в определяет коэффициент растяжения Л* = ехр(в -1), соответствующий точке максимума на диаграмме растяжения стержня. В данной работе мы рассматриваем случай в = 1,005, что соответствует Л* = 1,005. Близко к данному значению оказываются коэффициенты растяжения, соответствующие максимуму на диаграмме растяжения для таких металлов, как, например, сталь и бронза при определенных условиях [4].

Процесс растяжения цилиндра исследовался следующим образом: последовательно, с определенным шагом возрастания задавались значения Л , начиная от 1.0, что соответствует исходному недеформиро-

z ie

ванному состоянию тела. Для каждого фиксированного значения Л производился поиск решений системы уравнений (8) с помощью специально разработанного итерационного метода. Наибольшее количество наложенных мод, для которого был проведен подробный анализ решения задачи, равно семи.

Установлено, что на возрастающем участке диаграммы растяжения цилиндра существует только тривиальное решение системы (8) С2п = 0, п = 1... М, т. е. однородное напряженно-деформированное состояние сохраняет устойчивость.

Ниспадающий участок диаграммы растяжения характеризуется наличием четырех решений, включая тривиальное. Найденным решениям соответствуют равновесные состояния тела с различной потенциальной энергией. При этом наименьшее значение потенциальной энергии соответствует одному из нетривиальных решений системы (8), которое, очевидно, и определит текущее состояние тела на ниспадающем участке диаграммы растяжения.

Рассмотрим особенности данного решения. Значения амплитуд наложенных мод выпучивания С2(2к+1),

к = 0, 1, 2, к положительны, тогда как С4т , т = 1, 2, 3, к - отрицательны. Установлено, что абсолютные значения С2п убывают с ростом порядкового номера моды. С ростом коэффициента растяжения, начиная от Л*, абсолютные значения амплитуд постепенно возрастают и по достижении коэффициентом растяжения некоторого значения, существенно удаленного от Л* , начинают убывать. По мере увеличения Л первым начинает убывать абсолютное значение амплитуды второй моды, затем четвертой и так далее. Вероятно, применительно к эксперименту начало убывания значений амплитуд можно интерпретировать как разрушение образца.

В данной работе рассматривается цилиндр с размерами г0 = 1, I = 20 . Приведенные ниже результаты получены при М = 7 .

В таблице приведены решения системы (8), соответствующие двум различным значениям коэффициента растяжения: Л = 1,095 и Л = 1,195, большее из которых соответствует максимуму амплитуды второй моды.

Решения системы (8), соответствующие двум различным значениям Л

2

с 1,095 1,195

С2 0,07498 0,11388

С4 - 0,06601 - 0,10246

С6 0,05375 0,08597

С8 - 0,04017 - 0,06616

С10 0,02692 0,04532

С12 - 0,01553 - 0,02666

С14 0,00788 0,01217

На рис. 1, 2 представлено неоднородное осесим-метричное деформированное состояние цилиндра, задаваемое соотношениями (7) и соответствующее решениям, приведенным в таблице для Л = 1,095 и Л = 1,195 соответственно. Рис. 1, 2 последовательно иллюстрируют процесс растяжения цилиндра. Для наглядности используется разный масштаб по й и 2 . Пунктирная линия на рисунках соответствует исходному недеформированному состоянию цилиндра.

R

Рис. 1

Рис. 2

Из рисунков хорошо видно, что полученное решение задачи о закритическом деформировании растягиваемого цилиндра полностью соответствует экспериментально наблюдаемой форме шейки, образующейся при растяжении металлических образцов [2].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (05-0100638).

Литература

1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980.

2. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1954.

3. КачановЛ.М. Основы механики разрушения. М., 1974.

4. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. 2: Конечные деформации. М., 1984.

5. Зубов Л.М., Ластенко М.С. // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 135-143.

6. Ластенко М.С. // Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Вып. 8. Ростов н/Д, 2004. С. 73-81.

Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики РГУ

16 декабря 2005 г.