Моделирование нестационарных динамических систем методом изображающих векторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Пат. 2229139 РФ. МКИ G01R 23/16. Способ спектрального анализа сложных несинусоидальных периодических сигналов представленных цифровыми отсчетами / В.С. Аврамчук, Е.И. Гольдштейн. Заявлено 10.12.02; Опубл. 20.05.2004, Бюл. № 14. - 10 с.: ил.

7. Пат. 2229140 РФ. МКИ G01R 23/16. Способ спектрального анализа многочастотных периодических сигналов, представлен-

ных цифровыми отсчетами / В.С. Аврамчук, Е.И. Гольдштейн. Заявлено 28.03.03; Опубл. 20.05.2004, Бюл. № 14. - 7 с.: ил.

8. Пат. 2231076 РФ. МКИ G01R 23/16. Способ определения частоты сетевого напряжения / В.С. Аврамчук, Е.И. Гольдштейн. Заявлено 02.07.03; Опубл. 20.06.2004, Бюл. № 15. - 7 с.: ил.

УДК 681.5.01

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ИЗОБРАЖАЮЩИХ ВЕКТОРОВ

Ю.Н. Шалаев

Институт «Кибернетический центр» ТПУ E-mail: [email protected]

Проводится в векторно-матричной форме синтез управляющего сигнала нестационарных динамических систем по желаемой характеристике выходного сигнала и предложен алгоритм оценки их параметров методом изображающих векторов. Это операторный метод, который всякой временной функции на конечном промежутке времени ставит в соответствие n-мерный вектор, а линейному оператору - матрицу (nxn). Дальнейшие преобразования, необходимые для оценки параметров и управления системы, ведутся численными методами. Все это позволяет успешно использовать вычислительную технику, а окончательный результат на основании формулы обращения записывать в аналоговой форме.

Современные технологические процессы и производства характеризуются многофакторностью и сложными зависимостями между параметрами. И поэтому широкое распространение систем с переменными параметрами в области автоматического управления, в информационно-измерительных системах, а также необходимость более глубокого количественного и качественного изучения процессов, протекающих в таких системах, приводит к интенсивной разработке цифровых методов синтеза и анализа подобных систем и объектов.

Качество управления объектами в динамике определяется многими факторами. Это наличие возмущений и их характер, тип объекта - стационарный, нестационарный, линейный, нелинейный. Тем не менее, доминирующим фактором, во многом определяющим эффективность решения задачи управления, является положенная в основу исследования математическая модель исследуемого объекта или процесса. Для решения задачи управления и идентификации нестационарными объектами использован метод изображающих векторов [1-3], который сочетает в себе как цифровые, так и аналитические приемы решения поставленной задачи.

Суть метода изображающих векторов состоит в том, что каждой функции Д/) ставится в однозначное соответствие вектор Р={/1/’2,.../р}. Для функции ДО, определенной на промежутке времени [0, /0], имеет место разложение

/ (Т) = Х/Л (т), (1)

к=0

где /к - коэффициенты Фурье; Тк(т) - ортонорми-рованные смещенные полиномы Чебышева 1-го рода; т=///0 - безразмерная независимая переменная.

Приведем некоторые свойства метода изображающих векторов. Операции интегрирования функции /(т) соответствует в области изображающих векторов умножению ее изображающего вектора на матрицу интегрирования:

¥ = & + у(0 V Г0(т), (2)

где I - матрица интегрирования, у(0) - начальные условия, е1 - единичный вектор, Т0(т) - полином Чебышева.

Для многократного интегрирования при нулевых начальных условиях матрица интегрирования возводится в соответствующую степень:

У = 1к¥.

Аналогичное положение имеет место и для матрицы дифференцирования Б [1].

Произведению двух функций к(т) = г(т)/(т)

в области изображающих векторов соответствует соотношение вида

Н = 2(1 )Г, (3)

где / - матрица Якоби [1].

Таким образом, изображение произведения двух функций равно произведению изображений матрицы известной функции ¿(т) на изображающий вектор другой. Изображающей матрицей условно названа матричная функция 2(1), которая получается из заданной функции ¿(т) заменой скалярного аргумента т на матрицу /. Ввиду равнозначности двух функций их произведение коммутативно, т. е. равно произведению матрицы второй функции на изображающий вектор первой. Тогда выражение (3) запишется как

H = QTdiag[z(т),z(r2),..., z(rp)]QF, (4)

где Q — интерполяционная матрица [1], составленная из значений базовых полиномов в узлах интерполирования, p — размерность интерполяционной матрицы Q, z(Tk) - значения функции z(t) в нулях р-го полинома Чебышева. Для учета интервала разложения матрица Якоби J умножается скалярно на величину t0. Восстанавливается исходная функция времени Дт) по изображающему вектору в соответствии с формулой обращения

f(T) = (F ,Т(т)), (5)

где правая часть имеет смысл скалярного произведения изображающего вектора на переменный вектор полиномов Чебышева Т(т).

При описании объекта управления в виде передаточной функции уравнение, связывающее выходной сигнал y(t) и сигнал управления u(t) в операторной форме, запишется как

Y = W (s)U, (6)

где W(s) - передаточная функция объекта управления.

Изображающий вектор выходного сигнала y(t) на интервале [0, t0] (6) можно записать согласно соотношениям (1, 2) как

Y = (t0I )W (t0I )U. (7)

Разрешая соотношение (7) относительно вектора управляющего сигнала, получим

U = W (t0I y\t0I )Y. (8)

Для матрицы дифференцирования выражение (6) запишется как

U = W (D)Y. (9)

Выходной сигнал y(t) можно задать в виде произвольной функции перемещения объекта управления по заданным координатам. Для получения изображающего вектора произвольного выходного сигнала Y на интервале времени [0, t0] воспользуемся соотношением перехода от точечного изображающего вектора к изображающему вектору Y следующего вида

Y = 2/pQTY(Tk ), (10)

где Y(Tk)={y(Tk)} - точечный изображающий вектор, представляющий собой вектор, элементы которого есть значения функции y(t) в нулях первого из отброшенных полиномов Чебышева. С учетом точечного изображающего вектора (10) соотношения (8, 9) запишутся как

U = 2/pW (f0I )lQTY (тк ),

U = 2/pW (D )QTY (Tk ).

Рассмотрим динамическую систему, которая описывается дифференциальным уравнением вида

A0 (t ) Y(n) (t ) + Al (t )Y (n-1)(t ) +... +

+A(„_D(t )Y (t ) + An (t )Y (t ) = U, (11)

где А(), 1=0,п - переменные коэффициенты, непрерывные на интервале [0, /0].

На основании правил перехода к изображающим векторам (1-4) дифференциальное уравнение (6) запишется следующим образом

[А0(3) В” + А,(3) Вп-1 +... + Ап_х (3) В + Ап (3)] = и

или в[А(3), Б(3 )]¥ = и. (12)

При расчете реакции динамических нелинейных нестационарных систем управления на управляющее воздействие заданные нелинейные коэффициенты по методу изображающих векторов переводят в точечные изображающие векторы. Таким образом, имея значения неизвестной функции в определенных точках, узлах интерполирования, можно провести определенную нелинейную операцию над этими точками, например: операцию вычисления модуля функции; нелинейностей, заданных в виде графика насыщения; различных тригонометрических и степенных зависимостей в этих точках. Далее полученный преобразованный точечный изображающий вектор переводят в изображающий вектор соответствующей нелинейной операции.

Рассмотрим систему, которая описывается нелинейным дифференциальным уравнением следующего вида:

F(t,y) + ¿{(Г,у)} = и, (13)

где левая часть уравнения (13) состоит из линейной части Д/,у) и нелинейной Ь(1,у).

По методу изображающих векторов рассмотрим вычисление неизвестной функции у(1) при действии нелинейного оператора Ь. Переходим к точечным изображающим векторам, тогда нелинейная часть соотношения (13) запишется как

^¿(у(тк)} = QTdiag[ Ьу(тк Ш

где Я - оператор перехода от точечных изображающих векторов функций, стоящих под знаком оператора, к изображающим векторам этих функций.

В векторно-матричной форме соотношение (13) запишется в следующем виде

F (3 ,¥) + Ог Ь¥к Ю = и.

Восстанавливается управляющая функция времени Щ) по изображающему вектору (8, 9, 12, 13) и в соответствии с формулой обращения

и (г) = (и ,Т (г)), (14)

Таким образом, при описании объектов управления различными методами (передаточная функция или соответствующее дифференциальное уравнение) можно получить вектор управляющего сигнала в зависимости его от выходного сигнала У, преобразовать по соотношению (14) и подать на вход системы сигнал в аналоговой форме.

Задача оценки параметров динамической системы сводится к нахождению:

• формальной структуры модели;

• конструктивных параметров объекта управления;

• неизвестных параметров модели системы управления.

Динамику системы управления успешно описывают с помощью дифференциальных и интегральных уравнений [4]

V а.*— у(1) = УЬ.

I л +1 -п ' х 1

й1

(И

1=0

-и(?),

(15)

Формальная структура системы управления на основании многих источников определена в виде дифференциального уравнения (15). Оператор идентификации объекта управления запишем в виде передаточной функции

В (з)

Ж (з) =

А(з)'

(16)

у«)=¿т).

(19)

В области изображающих векторов соотношение (19) запишется как

w = DH.

По соотношению (5) получили аналитический вид весовой функции

у (?) = (у,Т ()).

Для оценки нулей передаточной функции вводится постоянный коэффициент с>1 и на интервале от 0 до /0 по соотношению у(/)у(с/)<0 оценивается порядок числителя передаточной функции (16), т. е. количество подынтервалов, на которых находятся нули весовой функции у(/).

По весовой функции (19) получаем числовую характеристику передаточной функции, для этого воспользуемся интегральным преобразованием Лапласа

W (gi) = | м>(^ехр( - git) dt,

(20)

где ё1 - вещественный параметр на интервале [0,/0]; Ж(£;)- оператор системы управления.

Оператор системы управления (15) для вещественной переменной ё запишется как

Ьт8т + Ьт-^-1 +... + Ь,е + Ь0. ёп + ап-1 ё"-1 + ••• + ахё + а„ ' (21)

Ж (я) = -

Таким образом, задача оценки параметров передаточной функции по виду переходного процесса системы управления к(() сводится к оценке конструктивных параметров передаточной функции (16), при этом т<п, и нахождению неизвестных параметров модели а;(/=0,п-1) и ЬД/=0,т).

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом изображающих векторов, для этого переходной процесс к(¡) преобразуем в изображающий вектор по соотношениям (1, 2):

Н = {Н1,к2,:;кр }. (17)

По вектору (17) и из формулы обращения (5) получаем аналитическую зависимость переходного процесса в виде полинома порядка р:

Щ) = (Н ,Т«)). (18)

По аналитической зависимости (18) функции к(/) находим время переходного процесса /0 от момента включения системы до момента, когда модуль отклонения переходного процесса от установившегося значения не превосходит заданной величины зоны нечувствительности.

Для нахождения весовой функции системы у(/) воспользуемся дифференциальной связью между весовой и переходной функциями

Для оценки конструктивных параметров п, т воспользуемся уравнениями (20, 21) и предельным соотношением

= С

(22)

Из полученного соотношения (22) находится оценка конструктивных параметров

л 1п сп-т

п - т = -

1п с

В результате введенных допущений при оценке параметров п, т получается вещественное число, содержащее целую часть и мантиссу. Мантиссу полученного выражения принимаем за единицу и прибавляем к целой части. Таким образом, задача нахождения конструктивных параметров п, т решена.

Для нахождения коэффициентов передаточной функции необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений порядка п+т+1 следующего вида:

п— 1 т

ё1Ж(ёк) + Ж(ёк)V а1ё‘к - V Ь1ёк = 0,

.=0 1=0

к = 0, п + т +1.

По найденным коэффициентам а1,Ь1 и конструктивным параметрам п и т записываем передаточную функцию исследуемой системы.

Необходимо отметить, что переходной процесс (17) может быть на выходе нестационарной и нелинейной динамических систем. Изложенный метод оценки параметров динамических систем позволяет аппроксимировать эти системы передаточными функциями линейных динамических систем.

Предложенный метод моделирования нестационарных систем управления позволяет получить сигнал управления в зависимости от выходного сигнала У и для исследуемой (идентифицируемой) системы управления. Действительно, по полученной передаточной функции идентифицируемой системы по соотношениям (8) или (9) и (14) получаем управляющий сигнал и(т), который и можно подать на вход исследуемой системы управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Осипов В.М. Основы метода изображающих векторов и линейное преобразование сигналов // В сб.: Вопросы программирования и автоматизации проектирования. - Вып. 1. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1971. - С. 1-13.

2. Осипов В.М., Шалаев Ю.Н. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на

АВМ методом изображающих векторов // Известия вузов. Приборостроение. - 1977. - № 12. - С. 43-47.

3. Шалаев Ю.Н. Применение метода изображающих векторов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // В сб.: Автоматизация управления и АСУ ТП. - Томск: Изд-во ТПУ, 1977. - С. 101-105.

4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972. - 768 с.

УДК 539.12.01

МЕДЛЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ МАССИВНЫХ ТЕЛ В ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ИОРДАНА-БРАНСА-ДИККЕ

В.И. Рейзлин

Институт «Кибернетический центр» ТПУ E-mail: [email protected]

Рассматривается задача о медленном вращении релятивистских тел в скалярно-тензорной теории тяготения. В первом приближении по угловой скорости получено уравнение, описывающее вращение, его внешнее решение и выражение для момента импульса. Приведены результаты численного интегрирования этих уравнений. В расчетах применялось уравнение состояния нейтронно-звездной материи в модели однобозонного обмена. Полученные результаты сравниваются с данными наблюдений пульсаров.

Проблеме вращающихся тел в рамках общей теории относительности (ОТО) посвящен ряд работ [1-5]. В [1] было найдено точное решение уравнений Эйнштейна для стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля в вакууме. В [2-5] рассматривалось приближенное общее решение, описывающее поле медленно вращающегося тела.

Представляет интерес рассмотрение данного вопроса с точки зрения альтернативных теорий гравитации. Одной из них является скалярно-тензорная теория Иордана-Бранса-Дикке [6-8]. Задача вращения тел в этой теории рассмотрена в работе [9]. Настоящая статья посвящена данному вопросу и ограничивается моделью медленного вращения, при котором угловая скорость а удовлетворяет условиям:

юг << 1, ю2 <<M/г3.

(1)

g»v¥’P J,

Г%= 8ж(3 + 2а)

(2)

(3)

зор энергии-импульса материи, выражающийся через давление Р и плотность вещества р следующим образом:

Т^=(Р + р)ил- . (4)

Первое из них означает, что линейная скорость любого элемента тела много меньше скорости света С, а второе - малость центробежных сил по сравнению с силами тяготения. В (1) М - масса тела, г -радиальная координата; здесь и далее используются единицы с=0=1, О - гравитационная постоянная.

Уравнения поля в скалярно-тензорной теории тяготения имеют следующий вид [6-8]:

Оиу=-8^¥^1тиу-^¥^1(¥,и¥у -I/2 -ёиУ¥,вГР)-

где \у - дальнодействующее скалярное поле; а -безразмерная константа связи ^-поля; ё^ - метрический тензор; О^ - тензор Эйнштейна; Т^ - тен-

Здесь u=ds/dx - четырёхскорость, ds - интервал, и^=1.

Теория Иордана-Бранса-Дикке переходит в ОТО в предельном случае ст-^<», ц=1. Радиоастрономические измерения устанавливают ограничение ст>15 [10].

В первом порядке разложения метрических коэффициентов по степеням а квадрат интервала можно записать в виде [3, 9]:

ds2 = B(r)dt2 -A(r)dr2 -

-r2[dd2 + sin2 d(dy -D.(r,d)dt)2], (5)

где B(r), A(r) - метрические коэффициенты, в -долгота, ф - широта; функция Q описывает «увлечение» инерциальной системы отсчета телом и возникает вследствие вращения конфигурации. В работе [9] показано, что в рассматриваемом приближении функция Q не зависит от долготы в. Уравнения (2-4) являются тогда уравнениями гидростатического равновесия [11], которые определяют в требуемом приближении функции A, B, р, P, \у и другие четные по а параметры системы. После нахождения этих параметров для определения линейной по а функции Q достаточно решить единственное неисчезающее недиагональное (ф)-уравнение в системе (2), записанное в первом порядке по а [9]:

d Í цг4

dr {4ab

• ^ I = 16n(P + р)(П-ю) Ar4. dr I V B

(6)