CC BY
47
УДК 681.513.675
Л.В. Чепак, А.В. Мезенцева МОДЕЛИРОВАНИЕ АДАПТИВНО-РОБАСТНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ
Рассматривается разработка адаптивно-робастной системы с неявной эталонной моделью для динамического объекта, обладающего запаздыванием по управлению, на основе концепции расширения ошибки. Для компенсации в системе запаздывания по управлению применяется дополнительное устройство в виде упредитель-компенсатора. Задача синтеза системы для априорно-неопределенного объекта в работе решена в рамках критерия гиперустойчивости.
Неявная эталонная модель, запаздывание по управлению, расширенная ошибка, критерий гиперустойчивости, упредитель-компенсатор
L.V. Chepak, A.V. Mezentseva MODELING OF THE ADAPTIVE-ROBUST SYSTEMS FOR SCALAR OBJECT WITH DELAY OF CONTROL
The article considers the constructing of adaptive-robust system with implicit reference model for the dynamic object possessing the control delay using the augmented error concept. To compensate the control delay in system the additional device such as the predictor-compensator is employed. The problem of system synthesis for aprioristic-indefinite object is solved applying the hyperstability criterion.
Implicit reference model, control delay, augmented error, criterion of gyperstability, preceding-compensator
Введение
Проблема построения устойчивых систем управления априорно неопределенными объектами по выходной переменной, т.е. когда не доступны прямым измерениям переменные состояния объекта, притягивала внимание многих исследователей, и по-прежнему остается актуальной. Подобные системы имеют большое прикладное значение, однако на практике, помимо априорной параметрической неопределенности, объекты управления могут обладать различными запаздываниями. Наиболее распространенным является класс объектов с задержкой в управлении, но задача компенсации такого типа запаздывания нетривиальна.
1. Математическая модель системы управления
Динамический объект управления описывается уравнением
= A ■ x(t) + B ■ u(t - h), y(t) = LTx(t), x(0) = x0, u(0) = ф(0), 0 £ [-h,0], (1)
dt
где x(t) £ Rn - вектор состояния; u(t), y(t) е R - вход и выход объекта; h - известное постоянное запаздывание.
Объект (1) функционирует в условиях априорной параметрической неопределенности A = A(g), B = B(g), L = L(g), деЕ, (2)
где g- набор неизвестных параметров, принадлежащих известному множеству Е. Передаточная функция объекта управления имеет вид
W(s) = к ^ b(s) ■ e"sh, a(s)
где b(s) - гурвицев полином степени m; a(s) - полином степени n с произвольным расположением корней; к - неизвестный коэффициент; р = n - m > 1.
Отрицательное влияние запаздывания по управлению компенсируем введением упре-дитель-компенсатора [1]. Упредитель-компенсатор, с целью уменьшения порядка системы и упрощения технической реализации, может быть задан в явно-неявном виде [2]
dXk (t) = Ak ■ Xk (t) + Bk ■ (u(t) - u(t - h)), yk (t) = Xk,1 (t), dt
где Xk(t) е Rp , Ak - гурвицева матрица порядка р, Bk = [0,...,0,k0]T , k0 = const, yk(t) е R - выход, а его передаточную функцию можно записать
Wk (s) =Jk0--(1 - e--h )^=k0_MsL •(, - e- -h )= •(, - e-sh )= L (sE. - Ak У B .(! - e- .h), (3)
ak (s) ak (s) ■bk (s) a(s) det(sE„ - Ak)
где s - переменная Лапласа, ak (s); ak(s), bk(s) - гурвицевы полиномы степени р, n и m соответственно; (sEn - Ak)+ - присоединенная матрица; En - единичная матрица порядка n.
Тогда в пространстве состояний уравнение упредитель-компенсатора запишется следующим образом:
dx (t)
—k(-) = Ak-xk (t) + Bk • (u(t) - u(t - h)), yk (t) = LTxk (t), (4)
dt
где xk(t) е Rn; Ak - гурвицева матрица.
Предположим, что в установившемся режиме динамика объекта (1) имеет следующее математическое описание:
dx (t)
—= A* ■ x*(t) + B* ■qit), y*(t) = Lx*(t), (5)
dt
где x*(t) е Rn - желаемое состояние объекта; q(t) е R - кусочно-непрерывная, ограниченная
функция, A* - гурвицева матрица, имеющая согласованную с объектом управления (1) и
упредитель-компенсатором (4) структуру: A* = Ak + %0B*L , X0 = const > 0; B = k B*, Bk = k0B*, BT* = [0, 0, ..., 1].
В реальных условиях полностью измерить вектор состояния, как правило, не представляется возможным, поскольку нельзя установить датчики в труднодоступных местах или измерить производные высших порядков, поэтому для оценок переменных состояния используется фильтрация - состояние системы определяется по текущим данным в тот же самый момент времени. Следуя [3], введем фильтры переменных состояния
dZl (t) = Л ■ £(t) + e„_1 • y(t), ^1 (t) = aTZ1 (t) + a2 ■ y(t), (6)
dt
dZl{t) = Л■ Z2(t) + e„_l -u(t), Vl(t) = Z2(t), (7)
іг
где £1(г), £2(г) ^ Яп-1; щ(г), щ(г) є Я; Л - сопровождающая матрица полинома уія);
- гурвицев полином степени п - 1; еп-1 = [0, 0, 1].
Структуру адаптивного регулятора зададим в виде
u(t) = TT(t )#(t), (8)
где £T(t) = [y(t), Zi(t), Z2(t - h), u(t) - u(t - h), z(t), q(t)], z(t) = y(t) + y*(t), T(t) - параметры регулятора, алгоритмы настройки которых подлежат определению в процессе синтеза системы.
Требуется для системы (1), (4)-(8) синтезировать алгоритмы настройки коэффициентов регулятора (8) таким образом, чтобы при любых начальных условиях и любом уровне априорной неопределенности (2) обеспечивалось достижение целей управления и адаптации
liml y(t) - y*(t)| < о, о = const > 0, limT; (t) = T0i, i = 1,2n + 2 , (9)
tt
где T)T = [02, aT, 0iT, (1 - ко / к), Xo / k, 1 / к].
2. Синтез системы управления
Разработку системы управления выполним с помощью критерия гиперустойчивости [1], поскольку он определяет условия устойчивости системы и позволяет синтезировать набор алгоритмов, являясь одним из продуктивных методов синтеза адаптивных систем управления.
Следуя [3], уравнение объекта управления (1) можно записать
У(-) = =
к
ak(s)
, ,. 8(s) Л(s)
u(t - h)---------— ■ y(t)---— ■ u(t - h)
Y( s)
Y(s)
(10)
где ^), Л-(^) - полиномы степеней р и р - 1 соответственно.
Учитывая (6), (7), (10), для контура: объект (1) + упредитель-компенсатор (4) получим
z(t) = =
к
a-(s)
, , \ 8(s) Л(s) , „к,
u(t - h)-------------y(t)-------------u(
Y(s)
Y(s)
(t - h) + —- ■ (u(t) - u(t - h))
a-(s)
к
(t)-alT ^1(-)-a2 У (t) _ P\ Z2(t _ h) _ 1 _ - J (u(t) _ u (t _ h))
На первом этапе синтеза рассмотрим сигнал ошибки е(г) = х(0 + хк(0 - х*(0 и относительно него запишем эквивалентное математическое описание системы (1), (4)-(8)
de(t)
dt
— А* ■ e(t) + B* ■ к ■
u(t) _aiCi(t) _ a2y(t) _ elT ^2(t _h) _ —-0 j ■(u(t) _u(t _ h))_Xk~z(t) _ ■ q(t)
(11)
КО = Ьт е(?).
Используя введенные выше обозначения, уравнение (11) примет вид
йе(г)
= А* ■ e(t) + B* ■ к ■ fl(t), v(t) = L e(t),
Л 4 ' ' 4 "............ (12)
) = Т) -т0 )т#(*),
где первая строка описывает линейную стационарную часть эквивалентной системы (11), а вторая - нелинейную нестационарную часть.
На втором этапе осуществляется решение проблемы положительности линейной стационарной части системы (12).
В операторной форме систему (12) можно записать
Й(я) = Ы7 ^Е - А* )-1 В* ^(я) = к Ь - А) В • р№. (13)
деЦ,Ев - А*)
Учитывая явно-неявную форму записи упредитель-компенсатора (3) и условия структурного согласования упредитель-компенсатора и неявной эталонной модели (5), для (13) справедливо следующее равенство:
к
u
— к
У(я) = г-------. •и(я). (14)
(ак (я) -Хо)
Поскольку полином йк (я) - гурвицев и известен, для параметра Хо может быть найдена верхняя оценка, позволяющая сохранить гурвицевость полинома йк (я) — Х0 •
Пусть А0 - сопровождающая матрица многочлена йк (я) — Х0, а В0 = [0 ... 0 1]г, В0 е Яр.
Согласно работе А. Л. Фрадкова [4], для обеспечения свойства строгой положительной определенности и вещественности системы, заданной (14), введем в рассмотрение постоянный вектор й е Яр такой, что многочлен йт(яЕр - А0)+В0 будет гурвицевым многочленом степени р- 1 с положительным старшим коэффициентом, причем В(я) = йрЯр- 1 + ... + й1.
Параметры полинома В(я) определяются из условия НВ0 = й, где И = Нт > 0, удовле-
т т
творяющая уравнению Ляпунова НА0 + А0 И = - Q, Q = Q >0 - заданная матрица.
Таким образом,
у(я) = ----X • (к • и(я)) = г Ш \ • (к • В-1 (я)и(я)), (15)
(йк (я) — Х0 ) (йк (я) — Х0 )
т.е. задача второго этапа проектирования системы решена
Яе ■=-—^—)— > 0, V—е (— ^,+то). (16)
^йк (]—) — Х0 )
Прежде чем приступать к третьему этапу проектирования, выполним расширение сигнала рассогласования (15) следуя методике, изложенной в [5].
Кя) = (- э(я) ) • (к • В-1 (я)тт (я)#(я) — к В-1 (я)тТ&)) = (- э(я) ) • (к • (т(я) — Т0 )т В-1 (я)#(я) +
(йк (я) — Х0) (йк (я) — Х0)
■ (ад — к )• (тт(я) В _1(я)^(я) — В _1(я)тт(я)^(я)))—у(я),
+ I ли/ « \ і i^T/«\ ГЧ-1/^Ч^т/
где v(s) = /_ D(s)—t ■ $(s) ■ (tt (s)D_1 (s)£(s) - D_ (s)TT (s)£(s)).
(a-(s) -Xo)
Введем дополнительный сигнал
—(t) = [tt (t)D-1 (p) - D-1 (p)TT (t)]£(t), где p = d I dt - оператор дифференцирования, тогда расширенная ошибка будет определяться:
v(t) = v(t) + v(t) = (_ D(p) ) ■ (k ■ (T(t) - To )TD~l (p)£(t) + (m - к)—(t)) = (_ D(p) ) ■ v(t) (17)
(a- (p) -Xo) (a-(p) -Xo)
Третий этап - выполнение интегрального неравенства В.М. Попова, которое для системы (17) примет вид
t__
П(0,t) = -Jjn(e)v(&)de>-n0, n0 = const > 0, Vt > 0. (18)
o
Определяя алгоритмы настройки параметров регулятора (8) для нелинейной нестационарной части /n(t) системы (17), обеспечим справедливость неравенства (18). Для повышения скорости настройки параметров регулятора (8), а, следовательно, с целью улучшения качества функционирования системы (1), (3)-(8) синтезируем адаптивно-робастные алгоритмы настройки
) = -hD"Чp)y(t)v(t) - h2 JD-Чp)у(в)у(в)йв + Тх(0),
0
t
T(t) = -v(t) HDp)£(t ) - Jv(0) H 2 Dp')^! (O')dO + T2 (0),
0
t
T3(t) = -v(t)H3D_1(p)£(t - h) - Jv(ff)H4D">(p)£(0 - h)de + Тз(0),
0
t
T^(t) = -h3D_1(p)(u(t) - u(t - h))v(t) - h4 JD_1(p){u(0) - u(0- h)}^(^)d^ + T4(0),
0
t
(t) = -h5sign(k) D _1( p) z (t )v(t) - h6sign(k )J D_1( p) z(d)v(d)de + T5(0),
(19)
T
(t) = -h7sign(k)D :(p)q(t)v(t) - h8sign(k)JD :(p)q(0)v(0)de + T6(0)
t
^(t) = -h D _1( p)a(t )v(t) - ^ J D _1( p)a(e)v(d)de + ^0),
где hi = const > 0, i = 1, 10; Hj = Hj > 0, j = 1, 4.
На заключительном этапе проверяется достижимость поставленных целей управления и адаптации (9). Поскольку для системы (1), (4)-(8), (19) справедливо частотное неравенство (16) и выполняется интегральное неравенство (18), то синтезированная система является ги-перустойчивой в заданном классе S и для нее выполняются целевые условия (9).
Отметим, что проведена только процедура аналитического синтеза системы управления, т.е. параметры контура адаптации требуют уточнения, в частности, это числовые значения коэффициентов hi и матриц Hj, а также коэффициенты полинома D(s), значения которых назначаются окончательно лишь в процессе имитационного моделирования синтезированной системы управления.
3. Имитационное моделирование
Проверка работоспособности и выбор значений параметров контура самонастройки системы управления (1), (4)-(8), (19), синтезированной в работе, осуществлялись в процессе имитационного моделирования, которое выполнялось в среде Simulink пакета Matlab. В ходе вычислительного эксперимента проводилась серия сеансов моделирования для разного набора параметров объекта управления (1) из следующего множества S:
' 0 1 0 > ( 0 1
А = 0 0 1 , в = 0
V-12 < $1 < 2,2 -10 < а2 <-4 - 8 < $3 < -3j V- 0,4 < к < 3У
Ьт =(0,3 < 11 < 2 0,5 < 12 < 3,5 0).
Запаздывание по управлению к = 0.3 сек. Относительный порядок объекта управления (1) равен р= 3 - 1 = 2, задающее воздействие q(t) = - 0,1+0.15ехр(1 - ео8(0,10).
Порядок упредитель-компенсатора (4), заданного в явно-неявной форме, равен р= 2, а его параметры следующие:
( 0 1 > (01
Ак = , Вк =
ш 1 6 1 V 6 У
0
0
2
Матрица состояния фильтров (6), (7) определена многочленом ^5) = •? + 25 + 1. Коэффициенты полинома О(^) выбраны с учетом методики, изложенной выше, т.е. О(^) = 5 + 2.
На рисунках 1 и 2 представлены динамические процессы в системе, полученные в ходе имитационного моделирования при следующих значениях исходных данных: а\ = 2, а2 = - 6,5, а3 = - 4.5, к = 1, 1\ = 1, 12 = 1.
О 50 100 150 40 30 120 1Є0
Рис. 1. Выход объекта Рис. 2. Сигнал рассогласования
управления у(§ у(!) - д(!}. задающее воздействие д(!)
Заключение
Результаты имитационного моделирования подтвердили эффективность разработанных робастно-адаптивных алгоритмов настройки коэффициентов регулятора (8), поскольку их применение, наряду со схемами компенсации запаздывания и расширения ошибки слежения, позволяет обеспечить системе управления со скалярными входом и выходом, как показывают результаты вычислительного эксперимента, хорошее качество функционирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Еремин Е.Л., Чепак Л.В., Теличенко Д. А. Синтез адаптивных систем для скалярных объектов с запаздыванием по управлению. Благовещенск: АмГУ, 2006. 240 с.
2. Еремин Е.Л. Робастные алгоритмы нестационарных систем управления с явнонеявной эталонной моделью // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2001. № 3. С.61-74.
3. Мирошник И.В., Никифоров О.В., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управления сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.
4. Фрадков А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и телемеханика. 1974. № 12. С.96-103.
5. Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой // Автоматика и телемеханика. 1994. № 9. С.3-20.
Чепак Лариса Владимировна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Информационные и управляющие системы» Амурского государственного университета
Мезенцева Анастасия Владимировна -
магистрант кафедры «Информационные и управляющие системы» Амурского государственного университета
Статья поступила в редакцию 31.01.12, принята к опубликованию 12.03.12
