CC BY
52
УДК 681.332
МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Ю.Н. Шалаев
Институт «Кибернетический центр» ТПУ E-mail: shal@ad.cctpu.edu.ru
Дифференциальное уравнение динамической системы на основе метода пространства состояний записывается в нормальной форме в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Методом изображающих векторов полученная система уравнений записывается в векторно-матричной форме. Дальнейшие преобразования, необходимые для нахождения выходного сигнала системы по заданным краевым условиям, ведутся численными методами. Это позволяет успешно использовать вычислительную технику, а окончательный результат на основании формулы обращения записывать в аналоговой форме.
Для решения задачи перевода системы управления из начального состояния в конечное при заданном управляющем воздействии необходимо найти траекторию движения, т. е. решить краевую задачу. Подобные задачи возникают при синтезе оптимального управления. В известных методах моделирования подобных задач, в частности для метода случайного поиска, резко возрастают вычислительные затраты при увеличении числа начальных условий. Для решения поставленной задачи использован метод изображающих векторов, который изложен в работах [1-4] и сочетает в себе как цифровые, так и аналитические приемы решения краевой задачи, т. е. позволяет свести краевую задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений.
Метод изображающих векторов - это операторный метод, который всякой временной функции на конечном промежутке времени ставит в соответствие «-мерный вектор, а линейному оператору -матрицу (ихи). Суть метода изображающих векторов состоит в том, что каждой функции/(¡) ставится в однозначное соответствие вектор ^={/1/2,.../ элементы которого, коэффициенты ряда Фурье, Для функции ДО, определенной на промежутке времени [0, ¡0], имеет место разложение
/ (т) = £ № (т),
к =0
где /к - коэффициенты Фурье; Тк(т) - ортонорми-рованные смещенные полиномы Чебышева 1-го рода; т=Д - безразмерная независимая переменная.
Приведем некоторые свойства метода изображающих векторов. Операции интегрирования функции /(т) соответствует в области изображающих векторов умножению ее изображающего вектора на матрицу интегрирования:
т = II+у (0^/ ад, (1)
где у(0) - начальные условия, е1 - единичный вектор размерности Р, Т0(т) - полином Чебышева, У -вектор выходного сигнала, элементы которого определяются по соотношению (3), I - матрица интегрирования. Для размерности (6x6) матрица имеет следующий вид
I = t0
1 V2 V2 л/2 л/2 л/2
2 8 6 16 30 72
А 4 0 1 4 0 0 0
0 1 8 0 1 8 0 0
0 0 1 12 0 1 12 0
0 0 0 1 16 0 1 16
0 0 0 0 1 20 0
Для многократного интегрирования при нулевых начальных условиях матрица интегрирования возводится в соответствующую степень У=РУ.
Произведению двух функций к(т)=г.(т)/(т) в области изображающих векторов соответствует соотношение вида
Н = IV) F, (2)
где / - матрица Якоби [1] (приведена в примере).
Таким образом, изображение произведения двух функций равно произведению изображений матрицы известной функции ¿(т) на изображающий вектор другой. Изображающей матрицей условно названа матричная функция 2(1), которая получается из заданной функции г(т) заменой скалярного аргумента т на матрицу /. Ввиду равнозначности двух функций их произведение коммутативно, то есть также равно произведению матрицы второй функции на изображающий вектор первой. Тогда выражение (2) запишется как
Н = QTdiag[z (т), г (т2),..., г(т , (3)
где ¿(тк) - значения функции ¿(т) в нулях Р-го полинома Чебышева. Для учета интервала разложения матрица Якоби / умножается скалярно на величину /0. Восстанавливается исходная функция времени /(т) по изображающему вектору в соответствии с формулой обращения
/ (т) = (^ ,Т (т)), (4)
где правая часть имеет смысл скалярного произведения изображающего вектора на переменный вектор полиномов Чебышева Т(т), который имеет следующий вид
72
1 - 2т
Т (т) = 1 - 8т + 8т2
1 - 18т + 48т2 -32т3
1 -32т + 160т2 -256т3 + 128т4 Ч1 -50т + 400т2 - 1120т3 + 1280т4 -512т3,
Рассмотрим динамическую систему, которая описывается дифференциальным уравнением вида
X а„ (t ) d-y(t ) = u(t ), a0(t) = 1,
, = 0 dt
(5)
с краевыми условиями
dt dy2(t ) dt
= У2 (t X
= y,(tX
Y = Y 0 + (t01 )
~a„ (t0J )Y1----------
~ai(t0JK-1 - a0(t0J )Yn + U
(8)
rh лл
V t0 J J
= Pv
(9)
Для решения краевой задачи (5, 6) необходимо найти в системе уравнений (8) неизвестные векторы начальных условий Ук0 по краевым условиям (9). В результате преобразований с учетом соотношения (1) получим изображающие векторы начальных условий:
Y = J_
j 0
а..
jj
Pj-X j, T (т, )) -
k=1
k * j
-а^ ((t01 )Y,
j+i
T (T )) + U
ад
,j=1,n. (10)
Таким образом, решая совместно уравнения (9) и (10) найдем изображающие векторы искомой функции выходного сигнала и п—1 его производных. Восстанавливаются сигналы в виде функции времени по формуле обращения (4). Для решения краевой задачи динамической системы, описанной дифференциальным уравнением вида
d
X агкУ(”-1) (Ь ) = в , (у= 1 п Ь 6 [0, Ш (6)
к=1
где ¡1 — заданная система точек; у(1) - выходной сигнал системы; «(¡) - входной сигнал системы управления.
Исходное дифференциальное уравнение (5) на основании метода пространства состояний [5] запишем в нормальной форме в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка
у (Ь) = Ух(/),
dy.it)
X an-‘dü[y(t ) =X bm
j=0
dtj
u(t ), a0=1,
(11)
необходимы дополнительные преобразования. По методу пространства состояний [5] запишем соотношение (11) в нормальной форме в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка
У (Ь) = У^) + Кп (Ь),
УМ) = У2(Ь)+кп(ь),
У2(Ь) = Уз(Ь) + к2п (Ь),
УП(О = -а„У1(Ь) + ••• + а2 У -1(Ь) + а1 Уп + кпп (Ь). (12)
Коэффициенты к;(/=1,и) определяются по рекуррентному соотношению [5] по коэффициентам исходного дифференциального уравнения:
<dyL = -an (t)У (t)-----a (t)Уп -1 (t) - a0 (t)Уп (t) + u (t). (7)
dt
В соответствии с правилами перехода к изображающим векторам с учетом соотношений (1-3) от системы дифференциальных уравнений (7) переходим к соответствующей векторно-матричной системе уравнений
Y = Y10 + (t01 )Y2,
Y2 = Y20 + {t01 )Y3,
k0 b0,
k, = b, +X a,-vk, (, = 1,n).
(13)
где изображающие векторы Ук(к=1,п) - искомой функции и ее производных; ^ - сигнала управления; Ук0 — начальных условий.
Краевые условия (6), согласно (4, 8) запишутся в следующем виде:
Если порядок числителя меньше знаменателя (ш<п), то к0 равняется нулю.
По методу изображающих векторов от системы дифференциальных уравнений (12) с учетом соотношения (13) переходим к системе векторно-матричных уравнений
I = Т0 + (^ I )1 + кр,
т2 = т20 + 001 )Тз + к2и,
Тп = Тп0 + (у)[-апТ, -•••-а,Тп- -а0Тп + к,и]. (14)
По векторно-матричному соотношению (14) и краевым условиям (9) для решения краевой задачи находим неизвестные векторы начальных условий (10). Решая полученные соотношения, находим векторы искомой функции и п-1 ее производных и по формуле обращения (4) получаем аналоговую форму записи выходного сигнала и п-1 его производных.
v=0
k =1
Для наглядности изложенного материала рассмотрим пример решения дифференциального уравнения [6]
Л2у(0 .. dy(t)
„е- -2'1т-^=-4'
(15)
с краевыми условиями
У(0) - у'(0) = 0,
2 у (1) - у'(1) = 1. (16)
Уравнение (15) разрешаем относительно старшей производной и в результате получим
„Ж = 2 у«) + 21Щ - 4,.
(17)
Л2 л
По методу пространства состояний вводим промежуточные координаты состояния системы и с учетом соотношения (17) запишем
У(Ь) = Ух(Ь),
УМ) = у2(Ь),
У2(Ь) = 2^0) + 2ty2(t) - 4Ь. (18)
Уравнение (18) в векторно-матричной форме, согласно (8), запишется в виде Т = Т + II
11 М0 ~ 112^
Т2 = Т20 + 211 + 2Ш2 - 43. (19)
Таблица. Результаты решения краевой задачи, ур. (15), (16)
г 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1
у(г) 1 1,11 1,39 1,78 2,33 3,15 3,71
у(0 0,98 1,09 1,37 1,76 2,35 3,17 3,72
Краевые условия (16) запишутся в следующем виде
(11, Т (0)) - (Т2,Т (0)) = 0,
(211, Т (1)) - (Т2, Т (1)) = 1, (20)
где Т(0), Т(1) - векторы полиномов Чебышева соответственно при т=0, т=1. Матрица Якоби для размерности (6x6) имеет следующий вид
3 = Ь0
0 0
— 0 0
1 •Л 0
2 2
42 1 1
4 2 4
0 1 4 1 2
0 0 1 4
0 0 0
0 0 0
-- - - 0
0 — -
1
4
1
2 .
Подставив соответствующие уравнения из (19) в (20), получим
Т,0 = [(Т, Т (0)) - (Л2) ТТ (0)]-\/2е;
Т20 = {(2Т, Т (1))-1 --[I (2 3Т2 + 2Т1 - 4 3 )]ТТ (1)Ь/2ег (21)
Решая совместно систему уравнений (19) и (21), получим изображающие векторы искомой функции и изображающий вектор ее производной. В результате решения системы уравнений получили изображающий вектор выходного сигнала У={2.91, -1.31, 0.287, -0.056, 0.01, 0.002}.
По соотношению (4) восстанавливаем искомую функцию в аналоговой форме
у(Ь) = 0,98 +1,02Ь + 0,75Ь2 + 0,98Ь3 -1,14 Ь4 +1,1 Ь5,
при этом ¡0=1. Результаты решения у(/) краевой задачи (15), (16) сведены в таблицу. С целью иллюстрации эффективности предлагаемого метода решения краевой задачи в таблице приведено и точное решение у(1).
Предложенный метод решения краевой задачи для динамических систем позволяет успешно переходить от временной зависимости в область векторноматричных отношений, т. е. вести все промежуточные расчеты численно, что позволяет широко использовать современные средства вычислительной техники.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Осипов В.М. Основы метода изображающих векторов. -Томск: Изд-во Томского ун-та, 1983. - 426 с.
2. Осипов В.М., Шалаев Ю.Н. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на АВМ методом изображающих векторов // Известия вузов СССР. Приборостроение. - 1977. - № 12. - С. 43-47.
3. Шалаев Ю.Н. Применение метода изображающих векторов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // В сб.: Автоматизация управления и АСУ ТП. - Томск: Изд-во ТПУ, 1977. - С. 101-105.
4. Шалаев Ю.Н. Моделирование нестационарных динамических систем методом изображающих векторов // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. - № 7. - С. 44-47.
5. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. - М.: Наука, 1972. - 620 с.
6. Демидович Б.П., Маро И.А., Шувалов Э.З. Численные методы анализа. - М.: Высшая школа. 1962. - 664 с.
Поступила 27.03.2008 г.
Ключевые слова:
Дифференциальное уравнение, динамическая система, метод пространства состояний, метод изображающих векторов, формула обращения.
