Применение решетчатых периодических функций в спектральном анализе узкополосных периодических сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391;519.72

ПРИМЕНЕНИЕ РЕШЕТЧАТЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ УЗКОПОЛОСНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

В.С. Аврамчук, Е.М. Яковлева

Томский политехнический университет E-mail: AvramchukVS@mail.ru

Показана возможность использования решетчатых периодических функций при обработке узкополосных сигналов методами дискретного преобразования Фурье, мгновенной спектральной плотности и синхронного детектирования, обеспечивающая сокращение количества обрабатываемых отсчетов.

Задача определения спектрального состава: амплитуд, частот и фаз составляющих периодического сигнала - встречается при анализе многочастотных колебаний в системах управления [1], в задачах распознавания многочастотных сигналов в цифровых каналах связи [2], при разработке и эксплуатации систем диагностирования электротехнических и электромеханических устройств [3].

В настоящее время в качестве математического аппарата цифрового спектрального анализа широко используют методы дискретного преобразования Фурье, часто в виде быстрого преобразования Фурье, мгновенной спектральной плотности и синхронного детектирования. Однако реализация классических алгоритмов данных методов требует больших вычислительных затрат, что существенно усложняет техническую реализацию устройств и ограничивает их быстродействие. Стремление уменьшить объем вычислений стимулировало развитие новых алгоритмов и методов спектрального оценивания, направленных на устранение указанных недостатков.

В настоящей работе рассматривается возможность использования в качестве опорных, взамен дискретизируемых гармонических функций вида 8т(1) и ео8(а/), решетчатых функций

^(к)=Ы2/к)=$,Ы®к) и ?.Л,)=соь(2ж[$=соь(а$, принимающих на своем периоде строго фиксированное количество (М) значений в определенные моменты времени 4, когда:

2 п 2 п 2 п 2 п

®Л = 0-----, 1----, 2------,...,(М-1)-----, (1)

1 к М М М М у ’

при различных значениях круговых частот опорного сигнала а]=2п/, где/- частота опорного сигнала (Гц), ] — порядковый номер спектральной составляющей.

Рассмотрим особенности использования решетчатых функций в спектральном анализе периодических сигналов методами:

• мгновенной спектральной плотности (МСП) [1];

• синхронного детектирования (СД) [5];

• дискретного преобразования Фурье (ДПФ) [4].

Мгновенная спектральная плотность

Мгновенные спектральные плотности из [1] позволяют найти частоту той или иной составляющей сигнала по экстремуму S(а):

1

S1(a) = J f (t) sin(a t) dt;

0

T

S2(a) = J f (t) cos(a t) dt;

0

S (a) = sj Sf(o) + S22(o) ,

(2)

где Т — период сигнала, /(¡) - анализируемый сигнал, а - круговая частота.

Анализ ведется в определенном диапазоне частот [тНАч,...,аПрЕд].

При анализе дискретизированного сигнала, представленного мгновенными цифровыми отсчетами, формулы (2) примут вид:

Ми-1

^(а,) = Е /((, ^т(а. ^);

/=0

^и-1

^2 (а 1) = Е /(Ь )ео8(т. ^);

S (a.) = J S>.) + S2(a)

(3)

где ®ш<а<®ПРБД, МИ - количество отсчетов на интервале дискретизации ЫИ=ТИ/Д1, ТИ и Д/ - интервал и шаг дискретизации, /(¡¡) - мгновенное значение анализируемого периодического сигнала, ] - порядковый номер спектральной составляющей, ¡1 - дискретный момент времени.

Зафиксировав частоты, на которых наблюдается экстремум S(а), можно провести оценку спектрального портрета анализируемого периодического сигнала. По значению S(аJ) для каждой круговой частоты а=2 п/ можно определить амплитуду соответствующей спектральной составляющей [1]:

А, = 2[Я(1)]/Ми . (4)

Фазовый угол выявленной спектральной составляющей рассчитывается по формуле [1]:

(5)

По рассчитанным значениям Ат, а и V судят о спектральном портрете анализируемого сигнала /(¡). Приведенные выше формулы (4) и (5) использованы в [1] для анализа спектрального состава сигнала в нелинейных системах автоматического регулирования.

При переходе к решетчатым периодическим функциям формулы (3) принимают следующий вид:

2 мм -1 Я1(а)=тт- е /(4)5ш(а 4);

N к =0 '

2 мм-1

Я21) = — е /(4) со5(а 4);

N к =0

Я (а) = ^(1) + 82(1)

№ гармонической составляющей Частота /=а/2п, Гц Амплитудное значение Ат, В Фазовый угол V, градус

1 50,0 200,0 45,0

2 50,1 200,5 83,0

3 50,2 200,3 0,0

Результаты вычислений тестового примера при различных значениях М представлены в табл. 2.

По результатам экспериментов можно утверждать, что рассматриваемый способ обеспечивает сокращение количества обрабатываемых отсчетов, и соответственно сокращает временные затраты на расчет спектрального портрета.

Синхронный детектор

Известный принцип синхронного детектирования сводится к умножению анализируемого сигнала а(/) на опорный сигнал ¿оп(/) той или иной фор-

мы, частоты и фазы (рис. 1). Среднее значение выходного сигнала С(/) синхронного детектора четко зависит от амплитуды частотной составляющей сигнала а(/), причем при фазовой подстройке опорного сигнала удается выделить соответствующую составляющую сигнала практически без ослабления [5].

Таблица 2. Результаты расчета тестового примера

где 5(а;) - мгновенная спектральная плотность на определенной частоте опорного сигнала, Ыи - количество точек на периоде анализируемого сигнала, попавших в моменты времени ¡к при определенном и. При отсутствии в дискретизированом сигнале требуемых отсчетов из сигнала выбирают отсчеты, максимально приближенные к искомым моментам времени.

Амплитудное значение -ой гармонической составляющей рассчитывается по формуле:

Ащ =Я (а).

Фазовый угол у-ой гармонической составляющей рассчитывается по формуле (5). Для иллюстрации работоспособности рассматриваемого способа спектрального анализа приведем расчет тестового примера с достаточно близкими друг к другу частотами, табл. 1, при шаге дискретизации Д/=10-4 с и аНАЧ=2п50 рад/с, аПРБД=2п51 рад/с, Да=2п0,1 рад/с. Массив цифровых отсчетов сформирован на периоде сигнала 7=10 с.

Таблица 1. Исходные данные тестового примера

Способ Кол-во отсчетов, N Частота /=а/2п, Гц Амплитудное значение Ат, В Фазовый угол V, град.

Класси- ческий МСП 100000 50,0 200,0000 45,0000

50,1 200,5000 83,0000

50,2 200,3000 0,0000

при М=4 2000 50,0 200,0000 45,0000

2004 50,1 200,5000 83,0000

2008 50,2 200,3000 0,0000

при М=5 2500 50,0 200,0000 45,0000

2505 50,1 200,5000 83,0000

2510 50,2 200,3000 0,0000

при М=6 3000 50,0 200,000 45,0000

3006 50,1 200,5000 83,0000

3012 50,2 200,3000 0,0000

при М=7 3500 50,0 200,0021 44,7366

3507 50,1 200,498 82,9999

3514 50,2 200,2954 0,0000

при М=8 4000 50,0 200,0000 45,0000

4008 50,1 200,5000 83,0000

4016 50,2 200,3000 0,0000

Рис. 1. Синхронный детектор

В качестве опорного (зондирующего) сигнала рассмотрим решетчатый периодический сигнал вида Ь0„(4^т(2п/0А+^=8т(аж4+^ж), принимающий на своем периоде фиксированное количество отличных от нуля значений:

Ь0„ (¡к) =

Агт если (аЛ +Уо„) = п12;

- Аоп если (аоп{к + Уоп ) = 3пА

0 еслИ (аоп{к + Уоп) *п/2,

(аоп{к + Уоп ) = 3п12-

Опорный сигнал многократно сдвигают по фазе относительно анализируемого сигнала а(/) с шагом Ду от 0 до 180°, причем частота опорного (зондирующего) сигнала аоп изменяется в пределах ®нач<®оп<®прбд. Находят точки (а„п4+%,), в которых ¿оп(4)=Аоп или -Аоп при различных частотах опорного сигнала ®оп=2п/оп и фазах опорного сигнала уоп, перемножают значения анализируемого сигнала и опорного в точках ¿„„(4), суммируют полученные значения на периоде анализируемого сигнала, рассчитывают постоянную составляющую, причем из найденных значений постоянной составляющей на

каждой частоте опорного сигнала выбирают максимальное значение С0; и соответствующее ему значение фазового угла опорного сигнала. Амплитудное значение выявленной гармонической составляющей рассчитывают по формуле:

Лт1= 2(С0,./4И).

Среднее значение выходного сигнала С(0 будет максимально только при совпадении частоты и фазового угла опорного сигнала с частотой и фазовым углом реально присутствующей в анализируемом сигнале гармонической составляющей. Тогда, зафиксировав положение опорного сигнала относительно анализируемого сигнала при Ссршкс, можно определить фазу анализируемого сигнала. При отсутствии в дискретизированом сигнале требуемых отсчетов, из сигнала выбирают отсчеты, максимально приближенные к искомым моментам времени.

В табл. 3 представлены результаты расчета приведенного выше тестового примера, табл. 1. Шаг перебора по частоте Д/^=0,1 Гц, по фазовому углу Дщ=1°.

Таблица 3. Результаты расчета тестового примера

Способ Кол-во отсчетов, N Частота /=®/2п, Гц Амплитудное значение Л„, В Фазовый угол ф, град.

Класси- ческий 106 50,0 200,0000 45,0

50,1 200,5000 83,0

50,2 200,3000 0,0

Предла- гаемый 1000 50,0 200,0000 45,0

1002 50,1 200,4790 83,0

1004 50,2 200,2920 0,0

На рис. 2 представлен случай, когда анализируемый сигнал близок к синусоидальному, а опорный сигнал имеет единичную амплитуду при частоте, близкой к частоте основной гармоники анализируемого сигнала (ТЖ=ТС). Тогда среднее значение выходного сигнала при опорном сигнале ¿ж1(0 будет заметно больше, чем при опорном сигнале ¿ж2

что объясняется несовпадением фазы опорного сигнала щ2 с фазой анализируемого сигнала (в конкретном случае она равна нулю), тогда как для опорного сигнала Ьоп() щ=0.

На рис. 3 рассмотрен случай, когда опорные сигналы отличаются друг от друга по частоте, причем Топ1= ТС, Топ2> ТС. Легко видеть, что средние значения выходного сигнала будут заметно отличаться друг от друга. Этот факт может быть использован при контроле частоты сигнала а(7) [8].

Отметим, что постоянная составляющая выходного сигнала Сср будет максимальна при выполнении двух условий, приведенных на рис. 2 и 3, если совпали:

• частоты опорного сигнала и основной составляющей анализируемого сигнала;

• фазовые углы гармонической составляющей и опорного сигнала.

По результатам вычислительных экспериментов видим, что применение решетчатых периодических функций дает значительное уменьшение числа обрабатываемых отсчетов, то есть обеспечивается существенное уменьшение временных затрат.

Дискретное преобразование Фурье

Формулы дискретного преобразования Фурье хорошо известны [4]. При переходе к решетчатым функциям будем иметь:

2 -1

Лк =^~ X f(1^ )С05(2^к/1 г );

Км и '

2 Км-1

Вк = ^ f(1^)^п(2лк/1 tj); >,

Км j=0

Лтк -4^,

¥к = ЖСЧ(Лк1Вк X ,

где /1=1/Т - основная частота сигнала, Т - период анализируемого сигнала, к - порядковый номер спектральной (гармонической) составляющей анализируемого сигнала.

Рис. 2. Выходные сигналы синхронных детекторов при Тш= Тс

отсчеты, максимально приближенные к искомым моментам времени.

Работоспособность расчетных формул и достоверность получаемых результатов рассмотрим на тестовом примере, табл. 1. Результаты расчетов сведены в табл. 4.

По приведенным в табл. 4 результатам расчетов видно, что предложенный способ расчета дискретного преобразования Фурье с использованием решетчатых периодических функций дает верные результаты расчета при различном М.

Таблица 4. Результаты расчета тестового примера

Способ Кол-во отсчетов, N Частота f=œ/2n, Гц Амплитудное значение Am, В Фазовый угол q>, град.

Класси- ческий МСП 100000 50,0 200,0000 45,0000

50,1 200,5000 83,0000

50,2 200,3000 0,0000

при М-4 2000 50,0 200,0000 45,0000

2004 50,1 200,5000 83,0000

2008 50,2 200,3000 0,0000

при М-5 2500 50,0 200,0000 45,0000

2505 50,1 200,5000 83,0000

2510 50,2 200,3000 0,0000

при М-6 3000 50,0 200,0000 45,0000

3006 50,1 200,5000 83,0000

3012 50,2 200,3000 0,0000

при М-7 3500 50,0 200,0021 44 ,7366

3507 50,1 200,4980 82,9999

3514 50,2 200,2954 0,0000

при М-8 4000 50,0 200,0000 45,0000

4008 50,1 200,5000 83,0000

4016 50,2 200,3000 0 ,0000

Рис. 3. Выходные сигналы синхронных детекторов при

ТШ1=ТС и ТШ2>ТС

Решетчатые периодические функции ^Л^) и ЪМ) принимают на своем периоде строго фиксированное количество значений в определенные моменты времени ^ (1) при различных частотах гармонического сигнала а>к=ка]=к2ц/'1, кратных основной частоте анализируемого сигнала /1=1/Т.

Из анализируемого сигнала выбирают только те отсчеты, которые попадают в моменты времени при различных частотах юк=кю1=к2п/[. Перемножение значений анализируемого сигнала и опорного осуществляется только в моменты времени ¡¡. Полученные значения суммируют на периоде Т анализируемого сигнала и рассчитывают значения Атк, а>к и щ. При отсутствии в дискретизированом сигнале требуемых отсчетов, из сигнала выбирают

В заключение обзора возможных путей применения решетчатых периодических функций при расчете спектральных портретов узкополосных периодических сигналов еще раз отметим существенное сокращение количества обрабатываемых отсчетов. Выбор оптимального значения М осуществляется экспериментальным путем при решении конкретных задач и зависит от доступного набора частот дискретизации анализируемого сигнала. Разработанные способы могут быть использованы при построении адаптивных систем управления с использованием принципа частотно-зависимой обратной связи с многочастотным узкополосным идентифицирующим воздействием.

По результатам исследований были получены патенты [6-8], отдельные вопросы использования решетчатых периодических функций частично описаны в [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сидоров И.М., Тимофеев В.В. Многочастотные колебания в нелинейных системах управления. - М.: Наука, 1984. - 248 с.

2. Евсиков М.Ю. Распознавание многочастотных сигналов, передаваемых по цифровым каналам связи // Электросвязь. -1998. - № 11. - С. 34-38.

3. Аврамчук В.С., Бацева Н.Л., Гольдштейн Е.И. и др. Функциональный контроль и диагностика электротехнических и элек-

тромеханических систем и устройств по цифровым отсчетам мгновенных значений тока и напряжения / Под ред. Е.И. Гольдштейна. - Томск: Печатная мануфактура, 2003. - 240 с.

4. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. - 536 с.

5. Быков С.В., Пасынков Ю.А. Использование синхронного детектора для анализа спектра периодического сигнала // Сборник научных трудов НГТУ. - 2000. - № 5(22). - С . 127-130.

6. Пат. 2229139 РФ. МКИ G01R 23/16. Способ спектрального анализа сложных несинусоидальных периодических сигналов представленных цифровыми отсчетами / В.С. Аврамчук, Е.И. Гольдштейн. Заявлено 10.12.02; Опубл. 20.05.2004, Бюл. № 14. - 10 с.: ил.

7. Пат. 2229140 РФ. МКИ G01R 23/16. Способ спектрального анализа многочастотных периодических сигналов, представлен-

ных цифровыми отсчетами / В.С. Аврамчук, Е.И. Гольдштейн. Заявлено 28.03.03; Опубл. 20.05.2004, Бюл. № 14. - 7 с.: ил.

8. Пат. 2231076 РФ. МКИ G01R 23/16. Способ определения частоты сетевого напряжения / В.С. Аврамчук, Е.И. Гольдштейн. Заявлено 02.07.03; Опубл. 20.06.2004, Бюл. № 15. - 7 с.: ил.

УДК 681.5.01

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ИЗОБРАЖАЮЩИХ ВЕКТОРОВ

Ю.Н. Шалаев

Институт «Кибернетический центр» ТПУ E-mail: shal@ad.cctpu.edu.ru

Проводится в векторно-матричной форме синтез управляющего сигнала нестационарных динамических систем по желаемой характеристике выходного сигнала и предложен алгоритм оценки их параметров методом изображающих векторов. Это операторный метод, который всякой временной функции на конечном промежутке времени ставит в соответствие n-мерный вектор, а линейному оператору - матрицу (nxn). Дальнейшие преобразования, необходимые для оценки параметров и управления системы, ведутся численными методами. Все это позволяет успешно использовать вычислительную технику, а окончательный результат на основании формулы обращения записывать в аналоговой форме.

Современные технологические процессы и производства характеризуются многофакторностью и сложными зависимостями между параметрами. И поэтому широкое распространение систем с переменными параметрами в области автоматического управления, в информационно-измерительных системах, а также необходимость более глубокого количественного и качественного изучения процессов, протекающих в таких системах, приводит к интенсивной разработке цифровых методов синтеза и анализа подобных систем и объектов.

Качество управления объектами в динамике определяется многими факторами. Это наличие возмущений и их характер, тип объекта - стационарный, нестационарный, линейный, нелинейный. Тем не менее, доминирующим фактором, во многом определяющим эффективность решения задачи управления, является положенная в основу исследования математическая модель исследуемого объекта или процесса. Для решения задачи управления и идентификации нестационарными объектами использован метод изображающих векторов [1-3], который сочетает в себе как цифровые, так и аналитические приемы решения поставленной задачи.

Суть метода изображающих векторов состоит в том, что каждой функции /(¡) ставится в однозначное соответствие вектор Г={//2,.../Р}. Для функции /(¡), определенной на промежутке времени [0, ¡0], имеет место разложение

/ (т) = 1Г/Л (т), (1)

к=0

где /к - коэффициенты Фурье; Тк(т) - ортонорми-рованные смещенные полиномы Чебышева 1-го рода; т=г//0 - безразмерная независимая переменная.

Приведем некоторые свойства метода изображающих векторов. Операции интегрирования функции /(т) соответствует в области изображающих векторов умножению ее изображающего вектора на матрицу интегрирования:

¥ = № + у(0 V Г0(т), (2)

где I - матрица интегрирования, у(0) - начальные условия, е1 - единичный вектор, Т0(т) - полином Чебышева.

Для многократного интегрирования при нулевых начальных условиях матрица интегрирования возводится в соответствующую степень:

У = 1кГ.

Аналогичное положение имеет место и для матрицы дифференцирования Б [1].

Произведению двух функций к(т) = г(т)Дт)

в области изображающих векторов соответствует соотношение вида

Н = 2(1 )Г, (3)

где / - матрица Якоби [1].

Таким образом, изображение произведения двух функций равно произведению изображений матрицы известной функции ¿(т) на изображающий вектор другой. Изображающей матрицей условно названа матричная функция 2(1), которая получается из заданной функции ¿(т) заменой скалярного аргумента т на матрицу /. Ввиду равнозначности двух функций их произведение коммутативно, т. е. равно произведению матрицы второй функции на изображающий вектор первой. Тогда выражение (3) запишется как