CC BY
53
УДК 622.691:622.692.4
Моделирование напряжённого состояния
подземного трубопровода
с учётом грунтовых изменений
М.В. ЧУЧкАЛОВ, к.т.н., помощник генерального директора
ООО «Газпром трансгаз Уфа» (450054, Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Р.Зорге, д. 59)
к.М. ГУМЕРОВ, д.т.н., профессор, заведующий отделом диагностики трубопроводов
ГУП «институт проблем транспорта энергоресурсов» (450055, Республика Башкортостан,
г. Уфа, Проспект Октября, 144/3)
E-mail: [email protected]
В настоящей статье методами итераций и последовательных приближений установлена возможность оценки напряженно-деформированного состояния трубопровода, находящегося в эксплуатации в условиях различных грунтовых изменений, при которых действующие силы заранее неизвестны. Приводится алгоритм расчётной программы, учитывающий разные формы взаимодействия трубы с грунтом.
Ключевые слова: моделирование, напряженно-деформированное состояние, трубопровод, грунтовые изменения.
для оценки напряженно-деформированного состояния трубопровода, находящегося в эксплуатации в условиях различных грунтовых изменений, была рассмотрена конечно-элементная сетка, моделирующая состояние подземного трубопровода (рис. 1).
Рис. 1. Фрагмент конечно-элементной сетки трубопровода
Ранее авторами в работах [1, 2] была получена система уравнений (1), выражающих условия локального равновесия:
д Э
д u ( д Э,
д v ( д Э,
д w.
Л
- h • 4x (i)-А N а)=0;
-h-qy(i)-ANy(i) = 0; }
- h • qz (i)-A N (i) =
(i)
где Э1 — сумма энергий деформаций группы из четырёх элементов с центром в узле (0, которые явным образом зависят от положения этого узла (0; ui, wi — проекции смещения узла (0 при деформировании элементов; Ч-х(1)> Ч-у(1)> — плотность внешних сил, действующих на элемент (0; Д—^), Д-—^) — проекции резуль-
тирующей осевой силы, действующей на элемент (0.
Энергия конечного элемента длиной Н зависит от размеров (диаметра D, толщины стенки 8, внутреннего радиуса Rg, площади поперечного сечения F, осевого и полярного моментов инерции Jх и Jо), упругих свойств металла (модулей упругости и сдвига Е и G), действующих сил (внутреннего давления Р, поперечной и продольной сил Q и моментов изгиба и кручения Ми и Мк):
h
h N
2
h Q2
Э =-----+----n +
2E
h М. 2 E J
2E F 2
+
h MK 2G J
2G 2
F
(2)
где безразмерные параметры \ = 0 + ^/8); п = 1,5.
Действующие силы вместе с граничными условиями однозначно определяют взаимное положение всех узлов, следовательно, и распределение деформаций и напряжений в элементах. Если эта взаимосвязь является линейной, то уравнения (1) также являются линейными относительно смещений узлов. Тогда система 3п уравнений (п - число узлов), выражающая условие равновесия всей конечно-элементной сетки, решается известными методами. Однако для подземных трубопроводов, находящихся в условиях грунтовых изменений, этими методами воспользоваться нельзя по следующим причинам:
• Силы, действующие на трубопровод со стороны изменённого грунта, заранее неизвестны; они сами зависят от смещения трубопровода относительно измененного состояния грунта. То есть, эти силы становятся окончательно известными только после решения задачи. Следовательно, требуется решение
+
строить методом последовательных приближений, уточняя шаг за шагом смещения трубопровода и соответствующую реакцию грунта в разных точках.
• Продольные силы N зависят не только от продольных смещений узлов, но и от смещений в поперечных направлениях (элемент может удлиняться и при продольном, и при поперечном смещении узла), что вносит свойство нелинейности.
• На участках с исходной или приобретённой кривизной продольные силы определяются не только внутренним давлением и температурой, но и продольными и поперечными смещениями узлов.
• При больших смещениях (грунта, трубы, узлов) могут произойти пластические деформации, которые приведут к изменению свойств металла (уменьшаются эффективные значения Е и G).
Все эти особенности вносят в систему уравнений существенную неопределённость и нелинейность, что затрудняет решение задачи с помощью известных программ типа ANSYS. Данную проблему предлагается решать, используя метод итераций и метод последовательных приближений.
Физический смысл используемого варианта итераций заключается в том, что для данного конкретного узла (¿) рассматривается условие равновесия в виде минимума функции Лагранжа L(¡) при условии, что все другие узлы временно закреплены, кроме данного узла (¿). Процедуру определения равновесного положения узла (¿) при закрепленных положениях всех остальных узлов, назовём «штампом» (для удобства изложения). Последовательно применяя такой «штамп» ко всем узлам конечно-элементной сетки, находим некоторое положение, приближённое к искомому общему равновесному состоянию. Процесс прогонки «штампа» по всем узлам сетки в определенном порядке назовём «прогонкой». Прогонку можно называть прямой или обратной в зависимости от того, в порядке увеличения или уменьшения номеров узлов применяется «штамп».
После каждой прогонки смещения всех узлов постепенно изменяются; это приводит к соответствующим изменениям деформаций элементов и реакции грунта. Могут также измениться условия взаимодействия на опорах. Поэтому после каждой прогонки рекомендуется корректировать действующие силы и механические свойства металла в каждом элементе. Повторяя такие прогонки много раз, приходим к такому состоянию, которое больше не меняется, все узлы сохраняют свои достигнутые положения. Это означает, что получено искомое общее решение. После этого можно в каждом элементе определить деформации, напряжения, а также фактические параметры взаимодействия с грунтом.
Особенностью такого метода решения является большое количество однотипных вычислительных операций. Для современных компьютеров эта особенность не является недостатком, зато программная реализация отличается простотой и наглядностью.
Рассмотрим более подробно операции, реализующие «штамп». Как отмечено выше, эта операция представляет собой минимизацию функции Лагранжа при условии, что все узлы временно зафиксированы, кроме одного с номером (i). Поэтому нам достаточно рассматривать не полную функцию Лагранжа L, а только локальную её часть Lкоторая явным образом содержит координаты узла (i). Эта часть представляет собой разность накопленной энергии деформации четырёх элементов с центром в узле (i) и работы сил, приложенных только к этому узлу:
L(i) = Э(0 - A) . (3)
Условию L(j) = min , собственно, и соответствует система уравнений (1). Однако, ввиду отмеченных выше трудностей, предлагается вместо решения системы (1) непосредственно находить такие значения u, v, wi при которых L(j) принимает наименьшее значение. Для этого можно использовать метод аппроксимации. Суть метода состоит в том, что по полученным выше формулам при «временно зафиксированных» положениях всех узлов, кроме одного с индексом (i), рассчитываются значения L^, соответствующие трём различным положениям узла (i). Затем по трём полученным значениям L^ строится аппроксимирующая функция Lanp(u), находится её минимум и соответствующее значение umin, которое принимается за приближённое значение искомого параметра.
При аппроксимации используются параболические зависимости. Это обосновано тем, что в области равновесного положения узла энергия деформаций квадратично зависит от напряжений, деформаций и смещений.
Итак, алгоритм минимизации сводится к следующим пунктам:
1). Используем формулы для локальной функции Лагранжа (3), где:
А() = (Qxi) + AN*U)) U(i) +(Qum + N)) .
x(i)' (i) ^y(i)
w
v(i) + Qz(i) . 4)
(4)
Э(г) ^N(i-1) + ^N(i) + ^Q(i-2) + ^Q(i-1) +ЭОД +^Q(i+1)+ +^Mu(i-2) +^Mu(i-1)+^Mu(i-1)+^Mu(i) + ^Mu(i+1). (5)
2). При «зафиксированных» текущих значениях всех узлов, кроме (¿), найдём три «точки» в фазовой плоскости: (ир L1), (и2, L2), (и3, L3). При этом и2 можно принять равным текущему значению координаты узла (¿), значения и1 и и3 взять сдвинутыми от и2 на некоторое малое расстояние Аи в одну и другую сторону: и1 = и2 - Аи; и3 = и2 +Аи (рис. 2).
3). Аппроксимируем локальную функцию Лагранжа полиномом второй степени (параболой) L =а ■ и2+Ь ■ и + с.
транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья № 2 2014
Получаем систему уравнений:
Г 2 , Л
Lx = а ■ и j + b • г/j + с ; L7 = а ■ и % + b ■ и 9 + с; У
Z3 = а ■ и^ + Ь ■ г/3 + с .
4). Решаем систему уравнений (6) относительно коэффициентов а, b, c:
a
А А, А
a , ь b , c c
А А А
где определители системы уравнений имеют вид:
Одним из важных этапов решения задачи является уточнение реакции грунта в процессе последовательных приближений с учётом разных возможных ситуаций (рис. 3). Грунт может по-разному действо-
(6) вать на трубу) и сверху, и снизу. Рассмотрим различные случаи, используя простейшую модель, где приняты обозначения:
Нгр — высотный уровень поверхности грунта;
гр
V — высотное положение трубы по верхней образующей;
Gгл — глубина трубы в грунте по верхней образу-
(7) ющей = Нр — V);
"I2 " 1 1 L1 " 1 1
А = 2 " 2 "2 1 ; А а = L 2 " 2 1 Э
" 2 "3 1 L 3 " 3 1
2 " i L1 1 2 " 1 "1 L1
А 6 = 2 "2 L 2 1 ; А с = 2 " 2 " 2 L 2
2 " 3 L3 1 2 " 3 "3 L3
(8)
5). Минимизируем функцию Лагранжа и находим соответствующее значение umin:
д L д (a ■ u + b ■ u + c)
— = 0; —--= 0;
д u д u
b A b
2 ■ a ■ u min + b = 0; umin = - — =- —
2 a 2 A,
(9)
Полученное значение umin является уточнённой координатой узла (i).
Присваиваем текущей координате u(i) узла (i) значение u .
min
6). Повторяем операции 1) - 5) для координат по другим осям, также находим значения vmin и wmin и уточняем текущие координаты v(i) и w(i).
7). Далее переходим к следующему узлу конечно-элементной сетки и уточняем его положение.
Количество таких прогонок повторяем многократно, пока не убедимся, что дальнейших уточнений уже не происходит. Это означает, что положение конечно-элементной сетки в целом стабилизировалось и решение найдено.
Рис. 2. Определение минимума локальной функции Лагранжа методом параболической аппроксимации
v0 — значение V в начальный момент (до грунтовых изменений);
Ятр — вес трубы с продуктом на длине h конечного элемента.
Случай а). Трубопровод в подземном положении
Я1 — вес грунта сверху трубы; ~ХГР . D ^ . . (^л+ 0,1073 . D) ;
Я2 — реакция грунта снизу трубы; угр — удельный вес грунта.
В равновесном состоянии, когда отсутствует смещение трубы Av = V - v0 =0 , справедливо равенство
$2 = $тр + $1 .
Если труба получила некоторое смещение Av Ф 0, то величины QD и не меняются, ф2 меняется. Изменение Аф2 = - Ср . D h А . В итоге становится равным ф2 = - С . D h . (V - V 0) + Ятр - ф1. Здесь С1) - коэффициент пропорциональности, характеризующий жесткость грунта (сопрот ивление вдавливанию на единице площади).
При смещении трубы вверх (т.е. при увеличении V) сила ф2 уменьшается и при некотором значении vпр становится равной нулю. При дальнейшем увеличении V сила ф2 отсутствует, под трубой образуется полость, получается случай г).
Предельное значение vпр, при котором исчезает
сила Q2, определяется так:
v пр = v 0 +
Q + Q,
тр 451
тр
Cv ■ Dh
При v > v под трубой образуется зазор величи-
пр пр '
ной А = V < V
Силы и ф2 имеют следующие ограничения: 0 < ф1< Япр(1у 0 < ф2< фпр(1у Здесь в правой части неравенств — предельные сопротивления грунта при смещении трубы вниз и вверх соответственно. Эти величины являются характеристиками грунта.
Рис. 3. Возможные случаи взаимодействия трубы с грунтом
Случай б). Участок трубопровода вскрыт
Этот случай реализуется, если глубина трубы Gл = Нр — V принимает отрицательное значение, но по абсолютной величине не превышает диаметр трубы: —D < 0 . При этом сила Q1 отсутствует. В остальном закономерности те же, что и в случае а).
Случай в). Участок трубопровода вскрыт и оторвался от ложа
Этот случай реализуется, если глубина трубы Gл = Нр — V отрицательна и по абсолютной величине превышает D: Gгл < — D. При этом силы Q1 и Q2
отсутствуют, на трубу по вертикали действует только вес ^
Как видим, невозможно заранее предсказать, какой из этих случаев реализуется на каждом конечном элементе. Поэтому при решении задачи методом последовательных приближений, вместо величины V используем текущее значение для элемента V(¡), для него определяем действующие силы, и продолжаем решение, пока не стабилизируется картина в целом.
В научной и нормативной литературе существуют и более сложные формулы взаимодействия трубы с грунтом. Также можно учитывать эффект неоднородности грунта по глубине, вызванной разработкой и засыпкой траншеи в периоды строительства и ремонта трубопроводов. Эти особенности вполне можно вписать в предложенный алгоритм, без каких либо затруднений.
Данный алгоритм позволяет определить один из важных показателей трубопровода на сложном участке — наличие или отсутствие опоры под трубой. Если в результате вычислений сила Q2 окажется равной нулю, это и означает, что опоры нет; под трубой образовалась полость.
На основании описанных выше вычислений разработана расчётная программа. Исходными данными для решения по этой программе, являются:
• размеры трубопровода (диаметр, толщина стенки, протяженность исследуемого участка);
• свойства металла труб (упругие свойства, предел текучести, или диаграмма деформирования);
• вес трубы, изоляции, продукта;
• рабочее давление, начальная и эксплуатационная температуры;
• свойства грунта (удельный вес, плотность, коэффициент постели);
• кривизна участков (разбивка по участкам с указанием радиусов).
Кроме того, задаются параметры грунтовых изменений, например:
• просадка грунта по участкам, с указанием параметров усадки;
• размыв грунта по участкам, с указанием глубины размыва.
По результатам предварительных обследований трубопровода могут быть известны координаты некоторых точек трубопровода (результаты геодезических измерений); в таком случае эти данные также задаются в процессе расчёта и играют роль граничных (промежуточных) условий. При этом необходимо также указать погрешность измерений этих точек.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Шарипов Ш.Г., Чучкалов М.В., Аскаров Р.М., Гумеров К.М. Условия локального и общего равновесия конечно-элементной модели подземного трубопровода // Газовая промышленность. — 2013. — № 11. (698). — С. 10-12.
Шарипов Ш.Г., Чучкалов М.В., Аскаров Р.М., Гумеров К.М. Учет энергетической составляющей в расчетах напряженно-деформированного состояния магистрального газопровода // Трубопроводный транспорт: теория и практика. — 2013. — № 3 (37). — С. 20-23.
modeling of the stress state of underground pipeline with underground
changes
Chuchkalov M.V., candidate of Tech. Sci., Gazprom transgas Ufa, (59, Zorghe st., Ufa, 450054, Russian federation),
Gumerov K.M., Doctor of Tech Sci.,Prof., institute of Energy Resou^es Transportation (144/3, prospekt Oktyabrya, Ufa,450055, Russian federation)
ABSTRACT
in this article, the methods of iterations and successive approximations possibility evaluation of stressed-strained state of the pipeline is in operation under different ground changes, in which the actors are unknown in advance. is the algorithm calculation program that takes account of the different forms of interaction of pipe with ground.
Keywords: modeling, stress-strain state, pipeline, ground changes.
REFERENCES
1. Sharipov Sh.G., Chuchkalov M.V., Askarov R.M., Gumerov K.M. Gazovaya promyshlennost' - Gas industry. 2013, no.11 (698), pp. 10-12.
2. Sharipov Sh.G., Chuchkalov M.V., Askarov R.M., Gumerov K.M. Truboprovodnyy transport: teoriya i praktika — Pipeline transport: theory and practice. 2013, no.3 (37), pp. 20-23.
