CC BY
30
УДК 622.691.4
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПОДЗЕМНОГО ГАЗОПРОВОДА В УСЛОВИЯХ НЕСТАБИЛЬНОСТИ
ЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
М.В. ЧУЧКАЛОВ, д.т.н., нач. технического отдела
ООО «Газпром трансгаз Уфа» (Россия, 450054, Республика Башкортостан, г. Уфа,
ул. Р. Зорге, д. 59). E-mail: [email protected]
Р.М. АСКАРОВ, д.т.н., доцент кафедры транспорта и хранения нефти и газа
С.В. КИТАЕВ, д.т.н., проф. кафедры транспорта и хранения нефти и газа
ФГБОУ ВО Уфимский государственный нефтяной технический университет (Россия,
450062, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Космонавтов, д. 1). E-mail: [email protected]
К.М. ГУМЕРОВ, д.т.н., проф., завотделом диагностики трубопроводов
ООО «Институт проблем транспорта энергоресурсов» (Россия, 450055, Республика
Башкортостан, г. Уфа, пр. Октября, д. 144/33). E-mail: [email protected]
В статье получает развитие вариант метода конечных элементов применительно к расчету напряженно-деформированного состояния трубопроводов, находящихся в эксплуатации в условиях различных грунтовых изменений, при которых действующие силы заранее неизвестны, а могут быть определены в процессе решения самой задачи. Получены основные уравнения равновесия системы, в которых все переменные величины связаны с искомыми смещениями узлов конечно-элементной сетки.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, уравнения равновесия системы, упругие деформации, газопровод.
Трубопровод обычно состоит из прямых и кривых участков. Но при укладке в траншею прямые участки могут получить некоторую кривизну в пределах упругих деформаций. Эти участки будем называть условно прямыми, исходя из того, что в ненапряженном состоянии они стали бы опять прямыми. Кривые участки также могут изменить свою кривизну под действием внешних факторов, в том числе при укладке в траншею. Но в ненапряженном состоянии они принимают свою исходную кривизну. Границы прямых и кривых участков обозначим точками Ц, Ц2, Ц, и т.д. (рис. 1). Местонахождение точек определим через криволинейные координаты /1, /2,/3,14 и т.д., где ось /совпадает с осью трубопровода. На практике положение точек можно указать в километрах или пикетах по трассе трубопровода. В отчетах по внутритрубной диагностике положение точек (стыков, дефектов, арматуры) указывается в «дистанциях», отсчитываемых от камеры пуска-приема снарядов.
Также введем подвижную систему координат (х, у, г), где (х-у) - горизонтальная плоскость. При прохождении кривых участков оси координат х и г постепенно меняют направления. Проекции смещения точек на оси х, у, г обозначим и, V, Кривизну участков в горизонтальной и вертикальной плоскости обозначим соответственно Кх = 1/рх и Ку = 1/ру, где рх и ру - радиусы кривизны участков в плоскостях (г-х) и (г-у). Кривизна может быть положительна или отрицательна. Значения Кх и Ку положительны, если вогнутость кривой направлена в сторону положительных осей х и у соответственно.
Итак, для задания конфигурации участка трубопровода необходимо: 1) разбить заданный участок на прямые
и кривые участки, определить их длину /12, /23, /34 и т.д.; 2) задать координаты точек граничных и разделяющих прямые и кривые участки Ц2, Ц, и т.д.; можно также задать любые промежуточные точки; 3) задать кривизну каждого участка К12, К23, К34 и т.д. с учетом знаков. Далее можем строить конечно-элементную сетку (рис. 2). Для этого следует задать узлы, начиная от точки Ц с равным шагом Л в пределах 1.. .10 диаметра. Все узлы и элементы должны быть пронумерованы. Координаты всех узлов конечно-элементной сетки определим интерполяцией по
|Рис. 1. Схема трубопровода, состоящего из прямых и кривых участков
L3___ L ------ l4
\ Y X ъ rz x > о X
I Рис. 2. Конечно-элементная сетка
Рис. 3. Изменение расстояния между узлами при смещении трубопровода в перпендикулярном направлении (учитывается коэффициентами ух и уу)
Исходное положение
2E Jx 2G Jo
%) =4-p2F-fD -1
2E
25
В этой формуле координаты узлов не участвуют. Поэтому при смещении узлов вариация этой энергии равна нулю: 8Эр(/) = 0.
2. Энергия элемента (/) за счет действия осевой силы N
О _ h N2 Эы(,) _ — ■ —
2E F
(4)
где N = ( +8/ •Е)-Г; ст0 =у-окц + Е• «•((-¡0); окц - кольцевое напряжение в стенке трубы; 8/ = (11 -Л)/Л - осевая деформация элемента ( );
I
■\lU +1) - u(i))2 + V +1) - v(i))2 + W +1) - w(i) + h)2
координатам заданных граничных и промежуточных точек L1, L2, L3, L4 и т.д.
Задача состоит в том, чтобы определить напряженно-деформированное состояние подземного трубопровода под действием всех действующих сил и произошедших грунтовых изменений за время эксплуатации трубопровода. Для этого необходимо найти равновесное состояние соответствующей конечно-элементной модели, которому соответствует минимум функции Лагранжа [1]:
L = Э - А = min или SL = ЪЭ - SA = 0. (1)
где Э - накопленная в конечно-элементной сетке потенциальная энергия деформаций; А - работа, совершаемая всеми действующими внешними силами; SL, ЪЭ, SA - вариации величин L, Э, А соответственно.
Таким образом, решение сводится к определению положений всех узлов конечно-элементной сетки, соответствующих условию (1). Для этого необходимо выразить все величины выражений (1) через смещения узлов u^, v^, w^, в системе (х, у, z), затем через них выразить условие равновесия. Для этого зададимся следующими исходными величинами: D, S- диаметр и толщина стенки трубы; Р- рабочее давление; t0 и t - температура трубопровода при укладке в траншею и эксплуатации; а - коэффициент температурного расширения; Е и v - модуль упругости и коэффициент Пуассона металла; h - длина конечного элемента. По этим данным определим расчетные величины: модуль сдвига металла (G), площадь поперечного сечения трубы (F), моменты инерции сечения полярный (J0) и осевой (Jx), а также определим исходную кривизну всех элементов в горизонтальной (K0xg)) и вертикальной (K0 ß) плоскостях. Энергия деформаций конечного элемента имеет вид [2]:
Э =A.P2F. +JL.& Л5+
h 2E 2E F 2GF
h М2 h MK2
Ух 'Ту 'V(u(i +1)"
длина элемента (i) в текущем состоянии (в процессе решения задачи).
Здесь введены поправочные множители ух и уу, которые учитывают изменение длины элементов при поперечных смещениях точек (рис. 3).
Аналогично записываются формулы для энергий всех других элементов. Но при варьировании одного узла (i) изменения претерпевают только энергии двух смежных элементов с номерами (i) и (i-1). Поэтому равновесное положение узла ( ) определяется суммой энергий только этих двух элементов:
Эы _ Эы
' Эы
(5)
(/-1) ^ (/)■
3. Энергия /-элемента за счет действия внешней поперечной силы О:
Э _ h Q 15
2G F
(6)
Сила Q связана со смещениями следующим образом:
Q2 _ Qx2
Qy
Q _ EJ ■dfv.
Qy _ E J x , 3 .
y dz
Qx _ EJy
d 3u dz3'
(7)
d 3u dz3
d 3v dz3
U(i+2)
-3u,
(i+1)
-3u,
'(i) - u(i-1).
(i)
(i)
v(,+2) - 3v(,+1) + 3v(,) - v(,-1)
h3
(8)
Из группы формул (6)-(8) можно видеть, что смещение узла (I) приводит к изменению энергии группы элементов (/-2), (/-1), (/), (/+1). Энергии других элементов не зависят от положения узла (/). Поэтому равновесное положение узла (/) определяется суммой энергий этих четырех элементов:
Э0 _ Э0(,-2) + Э0(,-1) + Э0(,) + Э0(,+1)
Э
Эпс) + Эг,
(9)
4. Энергия элемента (i) за счет действия изгибающего
момента Ми:
(2)
h М,/ h Мх2 + My2
ЭМи(,) _— ■_— _ — ■"
2E Jx 2E
(10)
где Р, N О, Ми, Мк - внутреннее давление, осевая сила, поперечная сила, изгибающий момент и крутящий момент соответственно.
Рассмотрим каждую из составляющих энергии.
1. Энергия элемента (/) за счет действия внутреннего давления Р:
Мх
■■EJy-
( d^u dz 2"
J_ Рх
_ EJy-
u(i+2) - u(i+1) - u(i) •
J(l-1)
2h2
K
x(,)
| Рис. 4. К определению равнодействующей AN
N-1 AN
i-1 N+1
i —•— — i+1
My = E • Jx
- E • Jx
f a
dz2
'(I +2) •
Py
(I+1)
Л
v(i) + v(i-1).
2h2
К
y (I)
3Мк(/) = ~
h_
2G
Mк Jo
(13)
Итак, если собрать все слагаемые энергии деформаций, в которых явным образом участвуют координаты одного и того же узла (/), то получим:
Э
M )
: 3N(i-1) + 3N(i) + Э0(1 -2) + 3Q(i-1) + Э0(1) +
+Э0(1+1) + ЭМи^-2) + ЭМи^-1) + ЭМи^) + ЭМиО+1).
(14)
В каждом из слагаемых участвует хотя бы одна из координат узла (/'): и^, у^, Wg). Также можно вполне уверенно утверждать, что во всех других слагаемых энергии деформаций конечно-элементной сетки не участвует ни одна из координат узла (/'). Поэтому если взять частную производную от суммарной энергии деформаций всей конечно-элементной сетки, то отличными от нуля будут только производные от суммы (14). Отсюда можем записать выражение для вариации энергии деформаций при любых изменениях положения узла (/'):
53 = -
33
M )
du,,-
5u(
33
(i )"
(i)
и(1) ду(1) ип(/) Работа внешних сил А определяется как сумма произведений всех сил, приведенных к узлам конечно-элементной сетки, на смещения этих узлов. На узлы действуют поперечные силы О/ (с проекциями Охду О ^) и продольная сила
5v,
33
(I)"
M)
dwl:
5w,
(i )■
(15)
Ы(г). Причем продольная сила действует в положительном и отрицательном направлениях, поэтому надо найти равнодействующую КЫ, которая зависит от кривизны участка. Она направлена перпендикулярно к оси трубы и имеет проекции (рис. 4):
ANX{I) = Ni • S/n(ax(|) +px(|)) + N{l-1) • Sin(ax(l-1) + Px(,-1));
Ni) = N/ •S/n(ay,/) +py(/)) + N(/-1) • S/n(ay(i-1) +Py(/-1));
AN
z(l )
-N/ - N/-1,
(16)
где аХ() и ау() углы поворота оси трубы на элементе (/) за счет неравномерного смещения узлов под действием попе-
(11)
Из группы формул (11) можно видеть, что смещение узла (/) приводит к изменению энергии группы элементов (/-2), (/-1), (/), (/+1). Поэтому для получения условий локального равновесия узла (/) достаточно рассматривать сумму энергий этих четырех элементов:
ЭМи = ЭМи(/-2) + ЭМи(/-1) + ЭМи(/) + ЭМи(/ +1). (12)
5. Энергия элемента (/) за счет действия крутящего момента Мк:
речных нагрузок; аХ(/_1) и о^-п то же на элементе (/-1); р
x(i)
и
Ру(,) углы поворота оси трубы на элементе (/) за счет исходной кривизны участка; РХ(,_1) и Ру(/_1) то же на элементе (/-1).
В случае малых деформаций можно приближенно записать:
ANx(I) = N, -[(a
x (i) + Px (l)) +(ax (I-1) +Px (I-1))] :
N •
u(i+1)- 2u(l ) + u(i-1)
-h • K.
x (I )
ANy (I) = Ni -[(ay (I) +Py (I)) +(ay (I-1) +Py (I-1))] :
N •
v(l+1)- 2v(l )+v(l-1) h
-h • К
y (I )
(17)
Вариация работы при смещениях узлов:
_(Qx(I) +ANx(i)) •5u(i) +
_+(Qy(I) + ANy(|)) •5V(|)
5А = £
Qz(i) •5w(i)
(18)
Учитывая, что силы О , действующие на узлы, связаны с распределенными нагрузками д(г) следующим образом:
Qx
Mi )= h • qx (zi); Qy(i)= "'4y (zi ); Qz (/ )
получаем условия локального равновесия узла (/) конечно-элементной сетки:
Qy
■-h • qv (z, ); Qz,,) = h • qz (zh
33(
(i)
3u(
■h • q.
33(
(i)
dv
■h •
(i)
x (i )
qy (i )
-AN
x (I)
: 0;
■ANy (I ) =0;
33(
(l)
dw(
(i)
-h • qz (i ) -ANz (i )
(19)
Если эти условия применить ко всем п узлам, то получаем общее условие равновесия всей конечно-элементной сетки в виде системы 3п уравнений. Все величины, участвующие в уравнениях (19), получены выше.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 544 с.
2. Шарипов Ш.Г., Чучкалов М.В., Аскаров Р.М., Гумеров К.М. Учет энергетической составляющей в расчетах напряженно-деформированного состояния магистрального газопровода // Трубопроводный транспорт (теория и практика). 2013. № 3. С. 20-23.
MODELING OF STRESS STATE OF UNDERGROUND GAS PIPELINE IN CONDITIONS OF THE INSTABILITY OF ITS POSITION
CHUCHKALOV M.V., Dr. Sci. (Tech.), Head of Technical Department
Gazprom Transgas Ufa (59, R. Zorghe St., 450054, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia). E-mail: [email protected]
ASKAROV R.M., Dr. Sci. (Tech.), Associate Prof., Department of Transport and Storage of Oil and Gas KITAEV S.V., Dr. Sci. (Tech.), Prof., Department of Transport and Storage of Oil and Gas
Ufa State Petroleum Technological University (USPTU). (1, Kosmonavtov St., 450062, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia). E-mail: [email protected]
GUMEROV K.M., Dr. Sci. (Tech.), Prof., Head of Department of diagnostics
Institute of Energy Resources Transportation (144/3, October Ave., 450055, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia). E-mail: [email protected]
ABSTRACT
In the article the version of the finite element method gets a development for calculation of stress-strain state of pipelines in use under different soil amendments, in which agents are not known in advance, and can be identified in the process of solving the task itself. The basic equations of equilibrium systems are obtained, in which all variables are linked to the desired offsets of a finite element mesh nodes.
Keywords: stress-strain state , the equilibrium equation of the system , the elastic deformation, of the gas pipeline. REFERENCES
1. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite Element Method in the technique]. Moscow, Mir Publ., 1975. 544 p.
2. Sharipov SH.G., Chuchkalov M.V., Askarov R.M., Gumerov K.M. Accounting for the energy component in the calculation of the stress-strain state of the main gas pipeline. Truboprovodnyy transport (teoriya ipraktika), 2013, no. 3, pp. 20-23 (In Russian).
