Моделирование напряженно-деформированного состояния и остаточных напряжений в двухслойном цилиндре Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ДВУХСЛОЙНОМ ЦИЛИНДРЕ

Чл.-кор. НАНБеларуси, докт. техн. наук, проф. ПЛЕСКАЧЕВСКИЙЮ. М.,

асп. ЧИГАРЕВА Ю. А.

Белорусский национальный технический университет E-mail: [email protected]

MODELING OF STRESSED-DEFORMED STATE AND RESIDUAL STRESSES IN TWO-LAYER CYLINDER PLESKACHEVSKY Yu. M., CHIGAREVА Yu. A.

Belarusian National Technical University

Разработан метод расчета термоупругопластического напряженно-деформированного состояния в двухслойных цилиндрических телах под воздействием резких изменений температуры на внешней границе, свободной от силовых нагрузок. Определены границы пластических зон при различных соотношениях между физико-механическими характеристиками внутреннего и внешнего цилиндров, распределение остаточных напряжений после температурной разгрузки.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, двухслойный цилиндр, пластическая зона.

Ил. 5. Библиогр.: 8 назв.

The paper presents a calculation method for thermo-elasto-plastic stressed-deformed state in two-layer cylindrical bodies due to abrupt temperature changes on outer load-free boundary. The boundaries of plastic zones at various relations correlations between stress-strain properties of the internal and external cylinders and distribution of residual stresses after temperature unloading have determined in the paper.

Keywords: stressed-deformed state, two-layer cylinder, plastic zone.

Fig. 5. Ref.: 8 titles.

Введение. Двухслойные цилиндрические элементы конструкций, составленные из стержня-сердечника и облегающей его оболочки-матрицы, широко распространены в различных технических системах, подвергающихся резким температурным воздействиям [1]. Определение в них напряженно-деформированного состояния в рамках термоупругости и термопластичности представляет интерес с теоретической и практической сторон. В случае стержней конечной длины с граничными условиями на концах важное значение имеют решения задач термоустойчивости с помощью соответствующих методов. В данной работе основное внимание уделяется получению решения граничных задач для случая длинных стержней в областях, где влиянием граничных условий на концах можно пренебречь, боковая поверхность свободна от силовых нагрузок, внешнее температурное поле неизменно вдоль стержня так, что решение задачи можно рассматривать

Наука итехника, № 2, 2014

в произвольном сечении в рамках плоской модели.

1. Двумерная постановка задачи термоупругости для двухслойного стержня. Рассмотрим длинный цилиндрический стержень, имеющий радиус Я ^, модули упругости Х^ке, коэффициенты теплопроводности . Стержень заключен во внешний цилиндр, соосный с ним, радиусом , с модулями упругости ,

коэффициентами теплопроводности а^. Боковая поверхность внешнего стержня свободная от напряжений и находится в осесимметрич-ном температурном поле, неизменном вдоль стержня. Тогда перемещения, деформации, напряжения в произвольном сечении композитного стержня зависят только от текущего радиуса Я.

Перейдем к безразмерным величинам во внутреннем и внешнем кругах:

Г = RС)' ' = Л('>

_ — —

'■> л(

(

.(а)

Я(а) + 2ц(1

(а= i, e ),

(1)

где индекс а = г для внутреннего, а а = е для внешнего цилиндров.

Связь между напряжениями и деформациями имеет вид [2-4]:

.(. )= ^ + р(а) (-)0. Иг г

Р(а)=.

я(а)

Я(а)+ 2ц(а)

; du>°

„(а) х dU U _ФФ =Р

-(х ()9 (2)

фф р , ■ ат (2)

drr

где 0 - скачок температуры; ау , а;а) - коэффициенты теплопроводности в радиальном и окружном направлениях.

Уравнение равновесия в цилиндрической системе координат имеет вид [5]

d_(a) _(а) -_

dJrr . + _г-Ф^ = 0 (а = i, e). (3)

(а)

dr

r

Подставляя (2) в (3), получим уравнение равновесия в перемещениях

И2и(а) 1 с1й(а) ( < ^ 5(а)

аи +1 аи---1 й(а)_^г^0 = 0, (4)

Иг г Иг г г

где 0 - скачок температуры.

Решение (4) представляется в виде

й(а) = с{а)г + с(а)г-1 + 8(^0. (5)

Произвольные константы с} ), с2 определяются из граничных условий, которые запишем в виде:

1) на боковой поверхности внешнего ци-

*

линдра при г = г

_ (re )= 0, г* = Re) /rR-' );

(6)

2) на границе внешнего и внутреннего цилиндров при г = 1:

и(> = и _ rj =y_rr;

у = (^(i )+2ц(' ))(я(е)+2ц(е))-1;

(7)

3) при г = 0 перемещение и() должно быть конечным, откуда следует, что

С2 )= 0.

(8)

Подставляя (5) в первое условие (7), закон Гука (2) и затем полученное выражение в (6), (7), получим три уравнения для нахождения

(О (е) (е)

констант с , с , с2 •

с(')= с{е)+ с2е) +а(гр)0;

А2С\ ) + В2с2 ) = ; Л =|3(;)_р(г); В = 2 + Р(г)_Р' А2 = 1 + р(;); В2 = г2(р(;)+1);

(e).

(9)

D =

Р (e)8lJ- 28 Гф + ( Г!)-(Х re)-8

гф

гф

(1+Р('))

0;

А=а(/)-р (е)_81;).

Решение системы (9) записывается в виде:

»-V c(e)=^^. ,(' )-A1 + A2 , *(ie)

С ' = -

С' = -

A 2 A 1 A

A = AB2 - A2B2, Ai = ДВ2 -D2B; A2 = AiD2 - A2Di.

2 +8r;e)e,

(10)

Подставляя (10) в (5) и затем в (2), получим выражения для напряжений в композитном цилиндре, боковая поверхность которого подвергается скачку температуры и свободна от силовых нагрузок.

2. Упругопластическое установившееся состояние во внешнем цилиндре после резкого изменения температуры. При резком изменении температуры среды, в которой находится цилиндр, пластическое состояние может возникнуть, если выполняется условие пластичности

_e >-_ Ф5=2sig«_rr)i(o(e),

(11)

где ) - функция знака ); 70(;) - предел пластичности материала внешнего цилиндра.

Наука итехника, № 2, 2014

Так как изменяется температура внешней среды, в которой находится цилиндр, то пластическое состояние при выполнении условия (11) реализуется на внешней поверхности при г = г„. Однако вследствие того, что эта поверхность свободна от силовых нагрузок, должна происходить разгрузка, и таким образом пластичность будет развиваться на внутренней границе внешнего цилиндра, где концентрация напряжений максимальная. Если жесткость и предел пластичности внутреннего цилиндра не превосходят жесткости и предела пластичности внешнего, то во внутреннем цилиндре может возникнуть пластическое состояние. На практике часто внутренний цилиндр играет роль упрочняющего элемента, поэтому рассмотрим сначала случай, когда жесткость и предел пластичности внутреннего цилиндра значительно больше жесткости и предела пластичности внешнего. Тогда пластическое состояние, которое возникает в стационарном случае, можно рассматривать как результат

действия давления ст^ (1), приложенного на внутренней границе г = 1. Известно [6], что предел пластичности не остается постоянным, а может изменяться: уменьшаться вследствие термического разупрочнения (размягчения) или повышаться вследствие деформационного упрочнения [6]. Однако в первом приближении будем считать, что предел пластичности остается неизменным.

Пластическое состояние в рассматриваемом случае является статически определимым [5-7], т. е. для его нахождения достаточно воспользоваться уравнением равновесия (3) и условием пластичности (11), в котором для определенно-

"(е) г\

сти положим сгг/ < 0.

Подставляя (11) в (3), получим

da(e) Y(e)

d Urr Y_ _Q

dr

r

Интегрируя (12), находим

= У(е) 1п г + с(е).

(12)

(13)

Так как в рассматриваемой модели на

"(е) Л

внешней границе при г = г имеем сгг/ = 0, то

пластическое состояние реализуется в зоне, прилегающей к внутренней границе г = 1 , на

которой задано давление (1), полученное при решении термоупругой задачи. Исходя из

~(е)

того, что напряжения стг/ в пластической зоне определяются формулой (13) с точностью до константы, определим ее из условия

а Г;} (1) = 6 rr (1).

(14)

Тогда Се) = 6^ (1), а выражения для напряжений в пластической зоне имеют вид:

ае )=2Y0е) in r-а; (i);

02 = 2Y0e) in r-Ä« (1) + 2Y0(e).

(15)

Известно, что перемещения и деформации для статически определимых задач можно найти различными способами, используя предположение о несжимаемости [4, 5] или ассоциированные законы течения [5, 7].

Рассмотрим соотношения Генки [5]:

4е) dÜ^ „fe) "(е\ "(е) (е)

err' =-= -у( )Y0 ) + K )а( );

dr

4е)

е(е)= й_ = -У e)Y-e)+ £(e)Q(е).

еФФ dr У Y +K а ;

(16)

K-e)= 1 - 2V

E

(е)

; Ke)= Kе)(^(е)+ 2ц,(е))-1,

где \е) - функция, удовлетворяющая уравне-

нию

е) 2 / ^ 2К[ е) ^^ + £ е)+ = о.

йг г г

Интегрируя (17), получим

(е)

у( е )=-K( е)+ .

(17)

(18)

Константа интегрирования с(е) может быть найдена из следующих условий. Так как пластическая зона прилегает к внутренней границе

1 (е)

г = 1 , а ее внешняя граница г располагается

1 (е) ^

в интервале 1 < г^ ' < г„, то произвольная константа интегрирования может быть опре-

Наука итехника, № 2, 2014

е)

делена из условий, заданных на границе пластической и упругой зон во внешнем цилиндре, а именно непрерывности смещений

(е) и) ' ( р

(r^) = uf^r«), (19)

где нижний индекс «р» означает пластичность, «е» - упругость.

Условием непрерывного перехода пластического состояния в упругое является также [5]

( ^

1

2G

(20)

Условия (18), (19) будут выполнены, если

Y 1 .,Л

(e)

/ - :

K (

2G(

(21)

Во внешнем цилиндре вследствие пластических деформаций после снятия нагрузки возникнут остаточные напряжения, распределение которых описывается формулами, представляющими собой разность между выражениями (2)

и (14) в зоне 1 < г < г/;), а для г/;) < г напряжения определяются формулами (2). На рис. 1 изображено распределение напряжений 6(;), (сплошные линии) и остаточных напряже-

ний (пунктир).

*( r)

ФФ

_(«) _(e) L w f-f- ^ mm

_(p) фф

_(r) фф

Рис. 1. Распределение напряжений _

.(г )

(e) de)

ФФ

и остаточных напряжений _фф во внешнем цилиндре [5]

3. Упругопластическое деформирование в соосных цилиндрических телах. Рассмотрим длинный цилиндр, состоящий из двух жестко скрепленных соосных цилиндров с разными физико-механическими свойствами, так, что

жесткость и предел пластичности внутреннего цилиндра не превосходят жесткость и предел пластичности внешнего.

Композитный цилиндр находится в среде, температура которой резко падает так, что в установившемся состоянии выполняется условие пластичности во внутреннем и внешнем цилиндрах

_Фф)-_Га)= Y(a) (а = i, e).

(22)

В пластических зонах внешнего и внутреннего цилиндров, прилегающих к внутренней границе контакта г = 1, выполняется уравнение равновесия

а 6гг ! гг ";;

Иг г

Интегрируя (23), получим:

6(га > = 270(а) 1п г + с((а);

_(а) =_(а) + 2Y

_ФФ _rr + 2Y0.

(23)

(24)

Константы с{а) (а = г, ;) могут быть определены из граничных условий. На границе контакта цилиндров при г = 1 выполняются условия равенства напряжений (24) и перемещений:

"(г) "(;) (г) (;)

о\;=уо\;); и()= иУ); у = (^(г) + 2ц(г))(Я(;) + 2ц(;)при г = 1. (25)

Из (25) следует

ciw = УС{ '.

(26)

Для нахождения деформаций в пластических зонах используем соотношения Генки [5], которые имеют вид:

лЧа)

Ча) dU ' „(а)((а) , ((aU(a)

еГ() =-= -V( Y0( ) + Kу );

dr

"(а)

Ча) U „(а) ((а) , ((aU(a)

eфф)=-= -V( )Yo( )+ K )(( ).

(27)

Используя условие сплошности [5], запишем

g(a) e(a)- e(a)

ФФ ФФ rr

dr

= 0.

(28)

Наука итехника, № 2, 2014

rr

r

Подставляя (27) в (28), получим d у'

dr

2 Л 2Ky - + -у +-

rr

= 0.

(29)

Интегрируя (29), находим

У

»

= -K

r

(30)

»

где произвольные константы с^ ' определяются на границах упругих и пластических зон во

(е) (') внешнем г = г и внутреннем г = г цилин-

Т (е) О')

драх. Так как границы и г ' неизвестны,

необходимо задать условия, которые бы позволили определить их.

Перемещения при переходе через г = г^г)

и r = r;

должны быть непрерывны и щ

= 1/2G , что позволяет получить

2 С 1 л

Л «) = r(0 c2 = r2

K

2G(

(31)

Используя (26), получим выражение для

(а)

границ г между упругой и пластическом зонами во внутреннем и внешнем цилиндрах

2c( a)G

1 + 2 IK(a)G('

(32)

4. Численные примеры решения задач о распределении напряжений в композитных цилиндрах. Рассмотрим две модели композитных цилиндров. В первом случае модель представляет собой два цилиндра. Внутренний цилиндр имеет сердечник, в четыре раза более жесткий, чем внешний, коэффициенты теплопроводности внутреннего цилиндра меньше коэффициентов теплопроводности внешнего в четыре раза, предел пластичности внешнего цилиндра в пять раз меньше предела пластичности внутреннего, скачок температуры 600 °С, радиусы внутреннего и внешнего цилиндров относятся как 1:2 при различных зна-

чениях параметра ^ =

Наука итехника, № 2, 2014

r* r2

r -1

Зависимость радиального напряжения стг от радиуса г показана на рис. 2.

О „-10"

о

-0,1-0,2-0,3 -0,4-

0,5 1,0 1,5 2,0

Рис. 2. Зависимость радиального напряжения стг

от радиуса г для первой модели при: 1 - п = 1,0; 2 - 0,5; 3 - 0,8 (пунктир) [6]

Зависимость окружных напряжений ст^ от радиуса г представлена на рис. 3.

<W10-3

0,4-

0,3- 1 П5^

0,20,1-

0,5 1,25 1,5 1,75 2,0 r

-0,1- 1

-0,2- 2

-0 3,

-0,4 3

Рис. 3. Зависимость окружных напряжений стфф от радиуса г при: 1 - п = 0; 2 - 0,5; 3 - 0,9 (пунктир) [6]

Рассмотрим второй случай, когда внутренний цилиндр имеет коэффициенты жесткости в три раза и предел пластичности в семь раз меньше, чем внешний цилиндр, коэффициенты теплопроводности обоих цилиндров равны. Скачок температуры 600 °С. Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров относятся как 1:2, значения параметра ^ брали те же, что и в первой модели. Распределение радиального напряжения в зависимости от радиуса г при различных значениях параметра п показано на рис. 4.

Зависимость окружных напряжений для второй модели при тех же значениях параметров п, что и для радиальных напряжений, изображена на рис. 5.

Рис. 4. Зависимость радиального напряжения 6гг от радиуса г при: 1 - п = 0; 2 - 0,5; 3 - 0,9 (пунктир) [6]

_ф, „-10

Рис. 5. Зависимость окружных напряжений от радиуса г при: 1 - п = 0; 2 - 0,5; 3 - 0,9 (пунктир) [6]

Из рассмотренного следует, что для модели двухслойного цилиндра, у которого модули упругости и предел пластичности внутреннего цилиндра больше, чем у внешнего, что соответствует композитам, упрочненным волокнами, упругопластическое состояние при резком изменении температуры наступает только во внешнем цилиндре, причем пластическая зона в случае, когда внешняя граница свободна от силовой нагрузки, примыкает к границе, по которой жестко связаны два цилиндра.

В случае, когда модули упругости и предел пластичности внешнего цилиндра не меньше, чем у внутреннего, пластическое состояние при резком изменении температуры возникает во внешнем и внутреннем цилиндрах в зонах, примыкающих к внутренней границе, по которой граничат цилиндры.

Решение задач получено в безразмерном виде при заданных соотношениях между жест-костями, пределами пластичности, коэффициентами теплопроводности внутреннего и внешнего цилиндров. Применительно к конкретным материалам эти результаты близки с композитами, у которых внешний цилиндр Al, а внутренний - в первом случае SiC, а во втором -графит [6].

В Ы В О Д Ы

1. Получено распределение термоупругих напряжений в композите типа цилиндр в цилиндре в случае, когда среда, в которой находится композит, резко меняет температуру, после чего устанавливается стационарное состояние. Теплопроводность материала обладает цилиндрической анизотропией.

2. В случае когда жесткость, предел пластичности внутреннего цилиндра значительно больше, чем внешнего, а коэффициенты теплопроводности равны и для внешнего цилиндра выполняется условие пластичности, поля напряжений для стационарного состояния статически определены. Получено распределение остаточных напряжений после температурной разгрузки во внешнем цилиндре.

3. Для модели композита, у которого жесткость и пластичность внутреннего цилиндра не превосходят соответствующих параметров внешнего, пластические зоны возникают в окрестности границы между цилиндрическими телами как во внутреннем, так и во внешнем цилиндрах. В узком приграничном слое во внутреннем и внешнем цилиндрах возникают пластические напряжения, знак которых изменяется в этой зоне.

4. Рассмотренная модель пластического деформирования композита типа цилиндр в цилиндрическом теле может быть использована при разработке топливных элементов для АЭС [8] с учетом того, что при аварийных ситуациях резкое охлаждение твэлов приводит к их растрескиванию и хрупкому разрушению. Создание элементов, пластически деформирующихся при резкой смене температуры, позволит избежать попадания фрагментов разрушенных твэлов в среду охлаждения и окружающую среду.

Наука итехника, № 2, 2014

r

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Christman, T. An Experimental and Numerical Study of Deformation in Metal-Ceramic Composite / T. Christman, A. Needlemani, S. Suresh // Acta Metall. - 1989. - No 37. -Р. 3029-3050.

2. Паркус, Г. Неустановившиеся температурные напряжения / Г. Паркус. - М.: Физматгиз, 1963. - 252 с.

3. Прусов, А. И. Термоупругие анизотропные пластинки / А. И. Прусов. - Минск: Изд-во БГУ, 1978. -200 с.

4. Подстригач, Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подстригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. - М.: Наука, 1984. - 368 с.

5. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

6. Agah-Tehrani, A. Thermal Residual Stresies in Parti-culate Metal-Matrix Composites: an Elastic - Analysis / A. Agah-Tehrani // Tapics in Plasticity, AMPress, preprinted in USA, 1994. - Р. 137-150.

7. Быковцев, Г. И. Теория пластичности / Г. И. Бы-ковцев, Д. Д. Ивлев. - Владивосток: Дальнаука, 1998. -483 с.

8. О возможности создания высоконапряженного ядерного реактора на низкообогащенном топливе / А. П. Ах-рамович [и др.] // Доклады НАН Беларуси. - 2012. - Т. 56, № 4. - С. 115-118.

R E F E R E N C E S

1. Christman, T., Needlemani, A., & Suresh, S. (1989) An Experimental and Numerical Study of Deformation in Metal-ceramic Composite. Acta Metall, 37, 3029-3050.

2. Parkus, G. (1963) Transient Thermal Stresses. Moscow: Fizmatgiz.

3. Prusov, A. I. (1978) Thermoelastic Anisotropic Plates. Minsk: BSU Publishing House.

4. Podstrigach, Ya. S., Lomakin, V. A., & Kolia-no, Yu. M. (1984) Thermoelasticity of Bodies Having NonUniform Structure. Moscow: Nauka [Science].

5. Kachanov, L. M. (1969) Fundamentals of Plasticity Theory. Moscow: Nauka [Science].

6. Agah-Tehrani, A. (1994) Thermal Residual Stresies in Particulate Metal-Matrix Composites: an Elastic - Analysis. Tapics in Plasticity (pp. 137-150). USA: AMPress. (Original work published 1994).

7. Bykovtsev, G. I., & Ivlev, D. D. (1998) Plasticity Theory. Vladivostok: Dalnauka [Far East Science].

8. Akhramovich, A. P. (2012) On Possibility to Create High-Stress Nuclear Reactor with Low-Enriched Fuel. Dokla-dy Natsionalnoy akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 56(4), 115-118.

nocTynuia 09.10.2013

УДК 621.891:621.793

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКИ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОКРЫТИЙ СИСТЕМЫ Fe-Cr-B-Si

Канд. техн. наук ДЬЯЧЕНКО О. В.

Белорусский национальный технический университет Е-mail: olg [email protected]

TECHNOLOG^AL MODES OF LASER PROCESSING AND THEIR INFLUENCE ON PHYSICAL AND MECHANICAL PROPERTIES OF Fe-Cr-B-Si COATINGS DIACHENKO O. V.

Belarusian National Technical University

Исследовано влияние режимов лазерной обработки газотермических покрытий из порошков на железной основе после оплавления с модифицирующими обмазками на их микротвердость и микроструктуру и пористость. Выявлены условия получения покрытий с наиболее равномерным распределением легирующих веществ. Изучены характеристики изменения пористости покрытия системы Fe-Cr-B-Si от скорости движения, диаметра и температуры пятна лазерного луча.

Ключевые слова: лазерная обработка, покрытие, легирование, пористость.

Ил. 4. Табл. 1. Библиогр.: 4 назв.

Наука итехника, № 2, 2014