Аналитическое определение напряженного состояния цилиндрических деталей при поперечной обкатке плоскими плитами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Оригинальная статья / Original article УДК: 621.787.4

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-9-50-66

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ ПРИ ПОПЕРЕЧНОЙ ОБКАТКЕ ПЛОСКИМИ ПЛИТАМИ

© Лэ Хонг Куанг1, С.А. Зайдес2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Определить напряженное состояние и зону пластической деформации цилиндрических деталей при поперечной обкатке плоскими плитами. МЕТОДЫ. В работе использован математический аппарат, основанный на законах теории упругопластического твердого тела. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Получены аналитические зависимости для определения компонент напряжений и зоны пластической деформации при поперечной обкатке плоскими плитами. Результаты расчетов показали, что после поперечной обкатки в центре поперечного сечения заготовки имеет место напряженное состояние всестороннего растяжения, а в оболочке заготовки имеется напряженное состояние сжатия. Глубина зоны пластической деформации зависит от степени относительного обжатия и коэффициента трения между заготовкой и плитами. ВЫВОДЫ. Для упрочнения маложестких цилиндрических деталей типа валов и осей предложен метод поперечной обкатки плоскими плитами. Разработанная математическая модель дает вполне достоверные значения напряженного состояния и зоны пластической деформации. При поперечной обкатке плоскими плитами радиус зоны упругой деформации зависит от степени относительного обжатия и коэффициента трения между заготовкой и плитами. Способ упрочнения поперечной обкаткой плоскими плитами исключает образование трещин и разрушение материала в центральной области цилиндрических изделий.

Ключевые слова: поперечная обкатка, напряженное состояние, остаточное напряжение, упругопластиче-ская деформация, упрочнение, разрушение.

Информация о статье. Дата поступления 02 апреля 2018 г.; дата принятия к печати 24 августа 2018 г.; дата онлайн-размещения 28 сентября 2018 г.

Формат цитирования: Лэ Хонг Куанг, Зайдес С.А. Аналитическое определение напряженного состояния цилиндрических деталей при поперечной обкатке плоскими плитами // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 9. С. 50-66. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-9-50-66

ANALYTICAL DETERMINATION OF THE CYLINDRICAL PART STRESSED STATE UNDER TRANSVERSE BURNISHING BY FLAT PLATES

Le Hong Quang, S.A. Zaides

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation

ABSTRACT. The PURPOSE of the paper is to determine the stress state and the plastic deformation zone of cylindrical parts under transverse burnishing by flat plates. METHODS. The mathematical apparatus based on the laws of the theory of elastico-plastic solid is used in the work. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. We have obtained analytical dependences for the determination of the stress components and the zone of plastic deformation under transverse burnishing by flat plates. The calculation results have shown that there is a stressed state of dilatation in the center of the work-piece cross-section and there is a stressed state of compression in the workpiece shell after the transverse burnishing. The depth of the plastic deformation zone depends on the degree of percentage reduction and the coefficient of friction

1

Лэ Хонг Куанг, аспирант, e-mail: [email protected] Le Hong Quang, Postgraduate, e-mail: [email protected]

2Зайдес Семен Азикович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой машиностроительных технологий и материалов, e-mail: [email protected]

Semen A. Zaides, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Mechanical Engineering Technologies and Materials, e-mail: [email protected]

between the workpiece and the plates. CONCLUSIONS. It is proposed to use the method of transverse burnishing by flat plates to harden low rigid cylindrical parts of the shaft and axle type. The developed mathematical model provides quite reliable values of the stressed state of the plastic deformation zone. The radius of the elastic deformation zone depends on the degree of percentage reduction and the coefficient of friction between the workpiece and the plates when transverse burnishing by flat plates. The hardening method employing transverse burnishing by flat plates eliminates cracking and material breakage in the central region of cylindrical products.

Keywords: transverse burnishing; stressed state; residual stress; elastoplastic deformation, hardening, breakage

Information about the article. Received April 02, 2018; accepted for publication August 24, 2018; available online September 28, 2018 2018.

For citation. Le Hong Quang, Zaides S.A. Analytical determination of the cylindrical part stressed state under transverse burnishing by flat plates. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2018, vol. 22, no. 9, pp. 50-66. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-9-50-66 (In Russian)

Введение

Для отделочно-упрочняющей обработки деталей машин достаточно широко используются методы поверхностного пластического деформирования (ППД). В процессе ППД поверхностный слой претерпевает качественные изменения: сглаживаются микронеровности, повышается твердость и прочность, образуются остаточные напряжения сжатия, которые оказывают доминирующее влияние на циклическую прочность деталей [1]. Однако при обработке цилиндрических деталей типа валов и осей малой жесткости и небольших размеров возможности существующих способов ППД весьма ограничены. Упрочнять такие детали деформационной нагрузкой практически невозможно, так как они легко изгибаются при действии поперечной силы. Кроме того, возникают проблемы с закреплением детали при обработке (распространенная практика закрепления в центрах токарного станка в данном случае неприемлема).

С учетом вышеизложенного возникла необходимость поиска новой схемы обработки маложестких деталей ППД.

В технологии обработки металлов давлением успешно применяют метод поперечной прокатки, который используют для получения заготовок сложной формы, а также для профи-леобразования различных метизов [2-4]. Широкое применение поперечной прокатки объясняется как ее технологическими достоинствами, так и значительной эффективностью обработки [2]. Плоско-прокатные станы имеют ряд преимуществ: простота изготовления и низкая стоимость плоского инструмента; отсутствие необходимости в направляющем инструменте; стабильное положение детали на плоскости инструмента; высокая стойкость плоского инструмента (до 500000 деталей); полная автоматизация процесса; высокая точность размеров прокатываемых деталей (0,01-0,5 мм). По сравнению, например, со штамповкой, прокатка обеспечивает повышение производительности в 1,5-2 раза, уменьшение расхода металлопроката на 10-30%, повышение точности, сокращение трудоемкости последующих операций, повышение стойкости инструмента (60-300 тыс. шт.) и значительное сокращение затрат на его изготовление [3].

Поэтому в качестве перспективного направления можно использовать способ поперечной обкатки как один из видов ППД. При разработке технологии поперечной прокатки в центральной зоне заготовки были обнаружены большие растягивающие напряжения [4], благодаря которым формируется зона с наличием трещин и повреждений. Для оценки возможности появления трещин в центральной области цилиндра при упрочнении поперечной обкаткой, необходимо рассчитать эквивалентность остаточного напряжения в центральной области цилиндра. Результаты определения остаточных напряжений в деталях, упрочненным поверхностным пластическим деформированием изложены в работах [5-7], а напряжение в очаге деформации при ППД представлены в исследованиях [8, 9].

Целью данной работы является определение напряженного состояния и зоны пластической деформации цилиндрических деталей при поперечной обкатке плоскими плитами.

Расчетная схема процесса поперечной обкатки

На рис. 1 изображена схема процесса поперечной обкатки плоскими плитам. Как видно из рисунка, ось вращения обкатываемого цилиндрического тела перпендикулярна направлению движения верхней плиты. Расстояние между плитами меньше исходного диаметра цилиндра на величину 2у, за счет этого диаметр заготовки при обкатке уменьшается. Со стороны каждой из плит к заготовке прилагаются усилия, которые направлены нормально к контактной площадке. Равнодействующую этих усилий Р будем считать приложенной в середине отрезка, соответствующего зоне контакта заготовки с плитами. Нормальные усилия вызывают появление на площадки контакта заготовки с плитами сил трения, равнодействующую которых обозначим через Р. Силы трения Р приложены в тех же точках, что и нормальные усилия Р и направлены по касательным к площадке контакта.

Рис. 1. Схема усилий при поперечной обкатке плоскими плитами: 1 - подвижная плита; 2 - заготовка;

3 - неподвижная плита; гк - радиус упругого ядра Fig. 1. Diagram of forces under transverse burnishing by flat plates: 1 - movable plate; 2 - workpiece; 3 - fixed plate; гк - radius of the elastic core

Расчет напряжений при поперечной обкатке плоскими плитами

Как известно, напряженное состояние заготовки в общем случае характеризуется шестью составляющими напряжения [10, 11]. Отсутствие или наличие лишь малых удлинений по оси заготовки позволяет решать данную задачу как плоскую. Иными словами, положим, что деформации вдоль оси г запрещены во всех точках поперечного сечения заготовки и напряжения от координаты г не зависят [6, 12]. Кроме того, примем, что материал заготовки несжимаемый. Из этих допущений следует, что:

о + ов

= 0 ; О ->

где тгв, тгр - касательное напряжение; ог - осевое напряжение; ор - радиальное ние; ов - тангенциальное напряжение.

Определение напряженного состояния для пластического слоя цилиндрического тела. В этом случае необходимо решить систему трех уравнений: два уравнения статического равновесия и условие пластичности 3[13—15]:

д°п 1 дтпв о-ав л 1 даа дт в 2т

- + -

дп П дв

П I П " в = Q.

- + —п- + -

п

П дв дп п

= 0. &п-ав=уК-

(1)

где V = ±1, К = -рат для случая энергетической теории предельного состояния; от - предел

V з

текучести; трв - касательное напряжение.

Первое из уравнений системы (1) приведем к виду:

дт

п-

дв

= 0.

Или с учетом последнего из уравнений системы (1)

п

даа дтп

дп дв

= 0.

После дифференцирования по в получим:

п

д2ав _ д Тпв

дпдв

дв2

Второе из уравнений системы (1) после дифференцирования по р приводится к виду:

д2&в 2 дЧв о дт

дпдв

дп

дп

Приравняв правые части последних двух равенств, будем иметь

п

, д2т^ дтпв д2тпЙ

2 пв-+—~п- = 0.

дп

дп дв

2

Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от р, а другая - только от в:

т-= Ф (п)-ф(в) = ФФ-

(2)

С учетом этого можно записать:

3Мрочек Ж.А., Макаревич С.С., Кожуро Л.М. [и др.]. Остаточные напряжения: учеб. пособие. Минск: УП «Техно-принт», 2003. 352 с. / Mrochek Zh. A., Makarevich S.S., Kozhuro L.M. et al. Residual stresses: Learning aids. Minsk: UP "Technoprint" Publ., 2003, 352 p.

2 Ф „ Ф ф n

p2— + 3p--= 0.

Ф Ф ф

Пусть

Ф 2 2 Ф" „ Ф 2

~ = ~m2; p2 — + 3p—= m , ф Ф Ф

(3)

где т - некоторое постоянное число.

Первое из этих уравнений перепишем как фф - т2ф = 0. Его решение будет иметь вид:

ф = Ает L + Bem 0

Решение уравнения р2Ф + 3рФ -т2Ф = 0 будем искать в форме Ф = Срп. Отсюда Ф = Спрп-1; Ф" = Сп(п -1)рп-2.

Подставляя выражения Ф, Ф, Ф во второе уравнение системы (3), получим его характеристическое уравнение: п2+ 2п-т2 = 0. Отсюда

n

= -1 + V1 + m2 = a; n2 =-1 -л/1 + m2 = b.

(4)

Таким образом, Ф = Сра + С2рь.

Подставив выражения функций ф и Ф в выражение (2), находим:

*Ре={Сра + С2ръ)(AemL + Be-me).

(5)

Первое из уравнений системы (1) с учетом условия пластичности и равенства (5) приобретает вид:

-]°Р = -т-(С, ра-1 + Сг рь-1)(Бетв)- —. др у м Р

После интегрирования получаем

ар = -m

ср+Ср_

a

(Aeme - Be-me )-vK ln p + f (L).

(6)

Второе дифференциальное уравнение равновесия из системы (1) перепишем следующим образом:

дас дт 60 ' др

0=-Р4PL-2Тр0.

Принимая во внимание выражение (5), находим:

да0 60

с (a + 2) pa + С2 (ъ + 2) pb)] ( AemL + Be-mL ).

Из соотношений (4) имеем:

2 2

„ m 7 „ m

a + 2 = —; b + 2 = —. a b

Поэтому

д&в 2 ( —в- = -m2 ■

aa = -m

CipL + CpL Aeme + Be-me). ClpL + CP Aeme -Be-me) + f (p).

(7)

На основании уравнений (6) и (7) имеем ар -ав = -vKlnр+f (в)-f (р). Условие пластичности, как известно, было записано в виде ар-ав= vK. Приравняв правые части последних двух равенств, получаем:

-vK ln р+f (6)-f (р) = vK.

Отсюда следует, что f (6) = const, и поэтому f (p) = -vK (ln р+1) + C.

Таким образом, имеем следующую систему уравнений для определения компонентов тензора напряжений в пластическом слое цилиндрического тела (rK < р<r):

zpe =

Op=-m

ae=-m■

=-m-

(Cp pa + Cp pL)(Аепв+ Be-me)

^ C1p_ + cpj (Ае"»в - Be-m yvK ln p + с

CipL + CP j( Aeme - Be-me)-vK (ln p +1) + С

^ + C2pLVAeme -Be-m9)-vK(lnp +1 V С ab J у 2 J

(8)

V /.

Определение напряженного состояния для упругого ядра цилиндрического тела. В этом случае необходимо решить систему трех уравнений: два уравнения статического

равновесия и условие упругости 3,4[13, 15]:

dp р дв

= 0;

1 daa 2*п

Р

р дв др

Р

= 0; ор-ов = vKnп,

(9)

где величина п = —; — - радиус пластически деформируемой оболочки; г - радиус упругого

—

ядра.

Попова В.В. Поверхностное пластическое деформирование и физико-химическая обработка: учеб. пособие. Рубцовск: Изд-во Рубцовского индустриального института, 2013. 98 с. / Popova V.V. Surface plastic deformation and physico-chemical treatment. Rubtsovsk: Rubtsovsk Industrial Institute Publ., 2013, 98 p.

<

Аналогично вышеизложенному решим систему уравнений (9) и получим компоненты тензора напряжений в упругом ядре цилиндрического тела (0 <р< гк):

трв=(Сра + С2ръ)(Ае"9 + Be "9)

ар — -т ■

ав — -m ■

а — -m

С\ра , С2р

a

+ |(Ае"

b

С1ра , С2р

■ + || Ае" ab

(Ае

-Beme)-vKn P + vK | In n +lj + С -Be-"9)-2vKnP + vK| InП +1 ) + C

CiPa , C2P

a

-1т)(Ае"

-Be-"9)- —vKnP + vKI InП +1 1 + C

'2 r I r I

(10)

Определение напряженного состояния в зонах, подвергающихся непосредственному воздействию инструмента. Зона заготовки, подвергающаяся непосредственному воздействию рабочего инструмента, изображена на рис. 1 заштрихованными областями. Здесь же дана схема усилий, приложенных со стороны плит к заготовке при поперечной обкатке. В каждой точке поверхности контакта заготовки с плитами действуют нормальное усилие Р и сила трения Г. Угол в соответствует зоне контакта. Ввиду малой величины угла в можно принять

*р* Р ;трв* ¥ . (11)

Связь между удельным давлением и удельной силой трения примем в таком виде:

¥ = л-Р,

где л - коэффициент трения.

При этом на основании формулы (11) ¥ = ц-&р.

На основании опытов, результаты которых представлены в работах [13, 15], было установлено, что касательные напряжения уменьшаются по мере перехода от периферии заготовки к центру ее сечения так, что в центре заготовки, во всяком случае, они не могут быть бесконечно велики. На этом основании в первом равенстве (10) можно принять С2 = 0.

Пусть С = С• А и С = С • В, тогда система уравнений компонентов тензора напряжений (9) (гк < р < г) имеет вид:

Трв—ра (С3е"9 + C4e-"9)

а

р

р a

ав—-т

az —-т

р (Съе"9 - Ce т9 )-vK In р + С a у '

Da / , (12)

■р (Сет9 - C4e-т9 )-vK (In р +1) + C a v '

а

р (Сет9 - С^-т9 )-vK I In р +1J + C

<

а система уравнений (10) компонентов тензора напряжений (0 < р < гк) -

56

ВЕСТНИК ИрГТУ Том 22, № 9 2018 / РР0СЕЕР^08 оГ 18Ти Уо1. 22, N0. 9 2018

ISSN 1814-3520

трв-ра (С3етв + С4 e-me)

о - -т•Р-(С3етв -Се тв)-vKnP + vK| ln- +1J + С р a v ' r ^ r J

ов=-т •P- (Сетв- С4е-тв) - 2vKn P + vK | ln - +1J + С a v ' r ^ r J

О - -т P (Съетв - Се тв)- 3vKn Р + vK Г ln - +1J + С

(13)

Напряжения на поверхности контакта определим приближенно, положив в основу такой задачи гипотезу плоских сечений, но связь между касательными и нормальными напряжениями на поверхности контакта примем в виде

Проектируя на ось р все силы, действующие на элемент тела, приравниваем их нулю. Разрешаем полученное уравнение совместно с условием пластичности и получаем

Ор- Керв.

При р = г из второго равенств (12) и (14) получаем

га / ч

-т ■ — \Съетв - Сетв )-уК 1п г + С = -Ке^в . Отсюда следует, что:

(14)

С4 - 0

Q = -

K •a

pr

C - vK ln r т - p

(15)

Поставляя эти выражения в равенства (12) и (13), получаем следующие выражения напряжения:

- напряженные состояния в пластической оболочке ( <р<г):

Ъв к

Ор = к

О к

о

к

. —

РРР J ' еР

Р е

r

рв

р ef°+v r

Р1 еРв + v

r n —

Р

ln r 1 -1

Р J

ln r Р 11 2 J

(16)

<

<

а

а

а

а

- напряженные состояния в упругом ядре (0 < р< гк)

I—L = - a I 4

K r J

ZP = - j eßL

K V r J e

El = - I— jV

K V r

V IVе

K V Г

-vi n — -ln n -1

-v^2n — -lnn -1j

I3 — 1 Г

-v —n--lnn -1

V2 r ,

(17)

В равенства (16) и (17) входит величина а = -\/1 + ш2 -1 = ^ 1 + -1, величину в можно рассчитать по следующей формуле (см. рис. 1):

в = arccos I 1 -

2z

D

На рис. 2 по формулам (16) и (17) построены эпюры нормальных и касательных напряжений, которые показывают, что в центре поперечного сечения заготовки имеет место напряженное состояние всестороннего растяжения, а касательное напряжение равно нулю.

а/К, т_рв/К

2,5 2 1,5 1 0,5 0

-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5

o_ / fi/h r T _рв/ 'К

s/ /

/

с г_в/ К

z/h

р/г

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Рис. 2. Распределение напряжений в зонах, подвергающихся непосредственному воздействию инструмента при поперечной обкатке плоскими плитами (при D = 10 мм; y = 0,05 мм; у = 0,15; n = 3,8) Fig. 2. Stress distribution in the zones subjected to the direct tool impact under transverse burnishing by flat plates (at D = 10 mm; y = 0.05 mm; у = 0.15; n = 3.8)

Определение напряженного состояния в зонах, не подвергающихся непосредственному воздействию инструмента. Зоны, не подвергающиеся непосредственному воздействию инструмента, на рис. 1 изображены незаштрихованными областями. Для этих зон имеем следующие граничные условия:

Ор = 0

■рв

= 0 прир = г.

(18)

Принимая во внимание второе из равенств (18), на основании первого выражения (12) для напряжения трв запишем:

тов=Р

-1 (С3етв + С4е-тв) = 0.

Правая часть равенства при любых значениях в может быть равна нулю лишь при условии, если:

С3 = С4 = 0.

(19)

Принимая во внимание (18) и (19), на основании второго из равенств (12) получим:

С = уК 1пГ . (20)

Поставляя равенства (19) и (20) в формулы (12) и (13), получим: - напряженное состояние в пластическом слое ( <р<г):

-vln Р

K r

°JL_ -v( ln Р +1

K ( r J

ъ- -v( ln Р

K ( r + 2

(21)

- напряженное состояние в упругом ядре (0 < р< гк):

Zp -K H n Р-ln n - lj

- K H 2n Р-ln n - lj . (22)

K '3 Р i ij —n--ln n -1 .2 r J

На рис. 3 по формулам (21) и (22) построены эпюры напряжений по сечению цилиндра после поперечной обкатки плоскими плитами при диаметре заготовки D =10 мм; абсолютном обжатии 2у = 0,1 мм; ^=0,15; п = 3,8.

<

<

Рис. 3. Распределение напряжений в зонах, не подвергающихся непосредственному воздействию инструмента при поперечной обкатке плоскими плитами (при D = 10 мм; y = 0,05 мм; у = 0,15; n = 3,8) Fig. 3. Stress distribution in the zones not exposed to direct tool impact under transverse burnishing by flat plates (at D = 10 mm; y = 0.05 mm; у = 0.15; n = 3.8)

Определение зоны упругой и пластической деформации при поперечной обкатке. Выражения (16) и (17) описывают напряженное состояние в зонах заготовки, которые подвергаются непосредственному воздействию рабочего инструмента. Уравнения (21) и (22) выражают напряженное состояние в зонах заготовки, которые не подвергаются непосредственному воздействию инструмента. Отличаются эти две системы уравнений тем, что в уравнениях (16) и (17) имеются одинаковые члены:

представляющие собой величину напряжения от внешних сил.

Предположим, что нас интересует напряженное состояние в первый момент обработки. В этом случае напряжения от неравномерной деформации еще не получили развития. Поэтому, полагая в равенствах (16) и (17) соответствующие члены равными нулю, получим такие выражения для напряжений:

. (23)

K K K

Процесс воздействия плит в начале обкатки можно трактовать как процесс внедрения жесткого упруго напряженного клина в податливую пластическую массу остальной части тела, вследствие чего будет происходить ее пластическая деформация. Эта пластическая деформация будет осуществляться в периферийной части заготовки, где нормальные напряжения превосходят истинное сопротивление деформации тела. Границу распространения пластической деформации можно найти из условия [11, 13]:

K K K '

Принимая во внимание это условие, найдем из равенства (23):

_ /в

Р=

(24)

Из рис. 1 получим угол

в = arccos | 1 _ — |,

I D )

(25)

2 y

где — -100% - степень относительного обжатия.

D

Согласно

[16]

предел

степени

относительного

обжатия

2у 2ц2

-^-•100% = 2 -100% = 4,3% для материала заготовки Ст45 с коэффициентом трения

ц = 0,2.

По равенствам (24), (25) построены кривые, характеризующие границу зон распространения пластической деформации при степени обжатия, равной 1%, в процессе поперечной обкатки плоскими плитами (рис. 4).

Рис. 4. Зоны распределения пластической деформации при степени относительного обжатия 1%: А - зона упругой деформации; Б - зона пластической деформации Fig. 4. Distribution zones of plastic deformation under percentage reduction of 1%: A - zone of elastic deformation; B - zone of plastic deformation

На рис. 4 показано что, при степени относительного обжатия, равной 1%, зона пластической деформации находится в пределе 0,26 < ^ <1 по сечению вала и радиус упругого ядра равен гк= 0,26г.

r

Расчет остаточных напряжений после поперечной обкатки плоскими плитами

Основные уравнения теории упругости для плоской задачи в цилиндрической системе координат имеют вид 4[6, 7]:

дар+1дтв | ар-а" -0.

dp p дв

1 д°в+д1в +

2т

рв

Р

р дв др

Р

0; V2 {ър+ав)-0,

(26)

где Ч2= - + - оператор Лапласа.

др2 да2

С помощью функции напряжений ф(р,6) (функции Эри) получены следующие выражения для напряжения в цилиндрических координатах, при этом удовлетворяются все уравнения теории упругости (26) [5, 9]:

1 дф 1 д2ф д 2ф

р др р2 дв2

др

2

Трв--

др

1 дф р дв

(27)

Подставляя нормальные напряжения, выраженные через функцию Эри в третье уравнение равенств (26), получим бигармоническое уравнение: \74(ср) = 0.

В связи с этим бигармоническое уравнение \/4((р) = 0 в цилиндрической системе координат приобретает следующий вид:

^д2

1 д 1 д: - +--+ -

2

(др2 рдр р2 дв2

2

2

д2ф 1 дф 1 д 2ф

■ +--- +

др р др р2 дв2

-0.

(28)

После поперечной обкатки плоскими плитами получены валы, имеющие компоненты напряжений симметричного распределения, которые не зависят от угла 0 (т.е. являются только функцией радиуса р), а касательное напряжение трв = 0. Тогда уравнение равновесия в цилиндрической системе координат имеет вид:

йар йр

ар -ав --р---0.

р

(29)

Условие совместности (28) можно переписать в виде

id2

■ + —

1 d jf d2ф 1 йфл

йр р йр)\ йр р йр

■ + —

-0,

Или

d 4ф 2 йъф 1 d 2ф 1 йф йр* р йръ р2 йр2 р3 йр

(30)

j

j

Уравнение (30) - линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка типа Эйлера. Решая это дифференциальное уравнение, получим:

ф = А 1п р + Бр11п р + Ср2 + В. (31)

Компоненты напряжений на основании уравнения (29) можно найти по формулам:

^р= I£Ф= 4 + Б(1 + 21пр) + 2С; ав=^Ф = -А + Б(3 + 21пр) + 2С. (32)

рдр р

др1

Р

Для расчета величины остаточных напряжений, возникающих в цилиндре в результате поперечной обкатки, сформулируем на основании условий статики и приведенных данных граничные условия [6, 16, 17]:

Ор =0

при р = r ар_ав = уК при р = r . ар_ ав =0 при 0 < р < rK

(33)

Используя третье из граничных условий (33) в формуле (32), находим

В = А/гк2. (34)

Принимая во внимание (34) и используя первое и второе граничные условия, получим

у К (гк )2 „ уК

A = _-

B = _-

Г f \2~\ Г / \2l

, l r 1 , l r 1

1 _l - 1 2 1 _l "JL 1

_ 1 r ) _ _ 1 r ) _

2C = _yK + УК (ln r +1)

1 _l

(35)

Подставляя значения констант в формулы (32) и принимая с учетом граничных условий V = ±1, найдем выражение для остаточных напряжений в пластическом слое цилиндрического тела (гк <р<г):

r

2ln -

аР= р

К

fr У

р)

r

1 _

r

К

r

2ln r _ р

2 _

fr У

р)

r

1 _

rK_ r

К

= Л

ln

р

1 _

_ 1

, (36)

где п - коэффициент Пуассона.

Если принять 0<р<гк, то будем иметь остаточные напряжения в упругом ядре цилиндрического тела:

ln

К К

К

= л

ln

р

1

(37)

<

2

r

r

к

Из рис. 4 имеем величину гк/г = 0,26 при степени обжатия 1%. По равенствам (36), (37) построены эпюры остаточных напряжений после поперечной обкатки при степени относительного обжатия 1% и коэффициенте Пуассона п = 0,3 (рис. 5). Если коэффициент Пуассона П = 0,5, т.е. принимается условие постоянства объема, то эпюра осевого напряжения имеет вид, изображенный пунктиром.

Рис. 5. Распределение остаточных напряжений по сечению цилиндра после поперечной обкатки плоскими плитами при степени относительного обжатия 1% Fig. 5. Distribution of residual stresses along the cylinder section after transverse burnishing by flat plates with the percentage reduction of 1%

Из рис. 5 следует, что в центре поперечного сечения остаточные напряжения являются растягивающими. Наружные слои заготовки деформируются по толщине в большей мере, чем внутренние. За счет уменьшения толщины периметр наружных слоев стремится возрасти, и, следовательно, возникает состояние, при котором внешние слои стремятся к отрыву от сердцевины вала. Поэтому возникают растягивающие радиальные напряжения, максимальные в центре и равные нулю на периферии. Тангенциальные напряжения уравновешиваются радиальными, а осевые напряжения уравновешиваются между собой.

Для оценки опасности появления трещин в центральной области цилиндра при упрочнении поперечной обкаткой рассчитана эквивалентность остаточного напряжения в центральной области цилиндра по формуле Губера - Мизеса [17, 18]:

= ^+ )2 )2- (38)

Из рис. 5 и по формуле (38) эквивалентность остаточного напряжения в центральной области цилиндра равна нулю (при коэффициенте Пуассона п = 0,5) или весьма мала, т.е. меньше, чем предел текучести материала =0,4^ при коэффициенте Пуассона п = 0,3).

Поэтому способ упрочнения поперечной обкаткой плоскими плитами исключает образование трещин и разрушение материала в центральной области цилиндрических изделий.

Выводы

1. Предложен математический подход для расчета напряженного состояния при поперечной обкатке маложестких цилиндрических деталей плоскими плитами. Получены аналитические зависимости для определения компонент напряжений и зоны пластической деформации при поперечной обкатке.

2. Результаты расчетов показали, что после поперечной обкатки в центре поперечного сечения заготовки имеет место напряженное состояние всестороннего растяжения, а в оболочке заготовки - напряженное состояние сжатия. Глубина зоны пластической деформации зависит от степени относительного обжатия и коэффициента трения между заготовкой и плитами.

3. В результате упрочнения поперечной обкаткой плоскими плитами эквивалентность остаточного напряжения в центральной области цилиндра весьма мала (меньше, чем предел текучести материала), что исключает образование трещин и разрушение материала в центральной области цилиндрических изделий.

Библиографический список

1. Зайдес O.A., Емельянов В.К Влияние поверхностного пластического деформирования на качество валов: монография. Иркутск: Изд-во ИPHИТУ, 2017. 380 с.

2. Щукин В.Я. Основы поперечно-клиновой прокатки I под ред. AE. Степаненко. Минск: Hаука и техника, 1986. 223 с.

3. Клушин ВА.^удович A^. Технология и оборудование поперечно-клиновой прокатки: монография. Минск: Изд-во ФТИ HAH Беларуси, 2010. 300 с.

4. Томленов A^. Механика процессов обработки металлов давлением. М.: Машгиз, 1963. 234 с.

б. Зайдес O.A., Климова Л.Г., Управление технологическими остаточными напряжениями в маложестких валах охватывающим деформированием II Вестник ИрГТУ. 2006. № 4 (28). O. 46-51.

6. Зайдес O.A., Фам Дак Фыонг. Aналитический расчет остаточных напряжений при упрочнении цилиндрических деталей поперечной обкаткой II Вестник ИрГТУ. 2015. № 12 (107). O. 40-46.

7. Саушкин М.К, Pадченко В.П., Павлов В.Ф. Метод расчета полей остаточных напряжений и пластических деформаций в цилиндрических образцах с учетом анизотропии процесса поверхностного упрочнения II Прикладная механика и техническая физика. 2011. Т 52. № 2. O. 173-182.

8. Зайдес O.A., Pудых КВ. Определение напряженного состояния поверхностно-упрочненного слоя II Вестник ИрГТУ. 2011. № 12(59). O. 35-38.

9. Смеленский В.М., Блюменштейн В.Ю. Механика технологического исследования на стадиях обработки и эксплуатации деталей машин: монография. М.: Машиностроение, 2007. 400 с.

10. Биргер ИА Остаточные напряжения. М.: Машиностроение, 1963. 235 с.

11. Громов КП. Теория обработки металлов давлением. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Металлургия, 1978. 360 с.

12. Кузнецова Е.В., Горбач ОК, Кузнецов PE., Мелехин A^., Горбач К.В. Влияние технологических параметров изготовления на уровень остаточных напряжений в оболочках тепловыделяющих элементов II Прикладная математика и вопросы управления. 2017. № 4. С. 118-131.

13. Грудев A.K Теория прокатки. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Интермет Инжиниринг, 2001. 280 с.

14. Емельянов В.К, Васильев П.Г., Олисов В.К Правка прямых валов поверхностным пластическим деформированием II Aвтоматизированное проектирование в машиностроении. 2014. № 2. С. 92-97.

15. Королев A^., Балаев A^., Савран O.A. Математическая модель вибромеханической стабилизации геометрических параметров длинномерных деталей II Успехи современной науки. 2016. Т. 2. № 7. С. 73-76.

16. Фам Дак Фыонг, Зайдес O.A., Hгуен Ван Хуан. Определение условий поперечной обкатки при поверхностном пластическом деформировании II Вестник ИрГТУ. 2015. № 4 (99). С. 48-52.

17. Басов КА ANSYS в примерах и задачах I под общ.ред. Д.Г. Красковского. М: Компьютер Пресс, 2002. 224 с.

18. Haghpanah В., Nayed-Hashemi H., Aziri A.V. Elasto-plastic stresses in a functionally graded rotating disk // ASME J. Eng. Mater. Technol. 2012. Vol. 134. Issue 2.

References

1. Zaides S.A., Emel'yanov V.N. Vliyanie poverkhnostnogo plasticheskogo deformirovaniya na kachestvo valov [Influence of surface plastic deformation on shaft quality]. Irkutsk: IRNITU Publ., 2017, 380 p. (In Russian)

2. Shchukin V.Ya. Osnovy poperechno-klinovoi prokatki [Fundamentals of cross-wedge rolling]. Minsk: Science and Technology Publ., 1986, 223 p.

3. Klushin V.A., Rudovich A.O. Tekhnologiya i oborudovanie poperechno-klinovoi prokatki [Technology and equipment of cross-wedge rolling]. Minsk: Publishing House of Physical Technical Institute of the National Academy of Sciences of Belarus State Scientific Institution, 2010, 300 p.

4. Tomlenov A.D. Mekhanika protsessov obrabotki metallov davleniem [Mechanics of metal pressure working processes]. Moscow: Mashgiz Publ., l963, 234 p. (In Russian)

5. Zaides S.A., Klimova L.G. Control of technological residual stresses in low-rigid shafts by embracing deformation. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2006, no. 4 (28), pp. 46-51. (In Russian)

6. Zaides S.A., Fam Dak Fyong. Analytical calculation of residual stresses under cylindrical part hardening by cross rolling. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2015, no. 12 (107), pp. 40-46. (In Russian)

7. Saushkin M.N., Radchenko V.P., Pavlov V.F. Method of calculating residual stress fields and plastic deformations in cylindrical samples with allowance for the anisotropy of surface hardening. Prikladnaya mekhanika I tekhnicheskaya fizi-ka [Applied Mechanics and Technical Physics]. 2011, vol. 52, no. 2, pp. 173-182. (In Russian)

8. Zaides S.A., Rudykh N.V. Determination of the stressed state of the surface-hardened layer. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2011, no. 12 (59), pp. 35-38. (In Russian)

9. Smelenskii V.M., Blyumenshtein V.Yu. Mekhanika tekhnologicheskogo issledovaniya na stadiyakh obrabotki i eksplu-atatsii detalei mashin [Mechanics of the technological research at the stages of machine part processing and operation]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 2007, 400 p. (In Russian)

10. Birger I.A. Ostatochnye napryazheniya [Residual stresses]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1963, 235 p. (In Russian)

11. Gromov N.P. Teoriya obrabotki metallov davleniem [Theory of metal pressure working]. Moscow: Metallurgiya Publ., 1978, 360 p. (In Russian).

12. Kuznetsova E.V., Gorbach O.N., Kuznetsov R.V., Melekhin A.Yu., Gorbach K.V. Influence of technological parameters of production on the level of residual stresses in covers of fuel elements. Prikladnaya matematika i voprosy uprav-leniya [Applied Mathematics and Control Sciences]. 2017, no. 4, pp. 118-131. (In Russian)

13. Grudev A.P. Teoriya prokatki [The theory of rolling]. Moscow: Intermet Engineering Publ., 2001, 280 p. (In Russian)

14. Emel'yanov V.N., Vasil'ev P.G., Olisov V.N. Flattening of direct shafts by surface plastic deformation. Avtomatiziro-vannoe proektirovanie v mashinostroenii [Automated Design in Mechanical Engineering]. 2014, no. 2, pp. 92-97. (In Russian)

15. Korolev A.V., Balaev A.F., Savran S.A. Mathematical model of vibromechanical stabilization of geometric parameters of lengthy parts. Uspekhi sovremennoinauki [Modern Science Success]. 2016, vol. 2, no. 7, pp. 73-76. (In Russian)

16. Fam Dak Fyong, Zaides S.A., Nguen Van Khuan. Determination of transverse burnishing conditions under surface plastic deformation. Vestnik IrGTU. [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2015, no. 4 (99), pp. 48-52. (In Russian)

17. Basov K.A. ANSYS v primerakh I zadachakh [ANSYS in examples and problems]. Moscow: Comuter Press Publ., 2002, 224 p. (In Russian)

18. Haghpanah B., Nayed-Hashemi H., Aziri A.V. Elasto-plastic stresses in a functionally graded rotating disk. ASMEJ. Eng. Mater. Technol. 2012, vol. 134, issue 2.

Критерии авторства

Лэ Хонг Куанг и Зайдес С.А. заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Le Hong Quang, Zaides S.A. declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.