CC BY
16
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО УЧАСТКА РАБОТЫ РДТТ С УЧЕТОМ СТОХАСТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
А.В. АЛИЕВ, О.В. МИ1ЦЕНКОВА, В.И. САРАБЬЕВ*, В.И. БАБИН*
Ижевский государственный технический университет, Ижевск, Россия E-mail: aliev@istu.ru
*ФГУП Научно-исследовательский институт прикладной химии,
Сергиев Посад Московской области, Россия E-mail: niiph@tsinet.ru
АННОТАЦИЯ. Рассмотрены методы численного расчета среднеквадратических отклонений и дисперсий в РДТТ на начальном этапе его работы. Показано, что эффективным способом является применение метода статистических испытаний, при котором обрабатывается серия расчетов параметров внутренней баллистики. На каждом очередном этапе расчета все исходные данные пересчитываются с учетом их случайного характера. Предлагаемый подход иллюстрируется расчетами для крупного двигателя.
Современные методы внутрибаллистических расчетов РДТТ сводятся к решению системы уравнений (алгебраических и дифференциальных, в том числе, и в частных производных), позволяющих установить детерминированные характеристики двигателя [1,2]. В то же время при работе любого технического устройства (в том числе, РДТТ) всегда существуют возмущающие стохастические факторы (например, разбросы в скорости горения топлива, погрешности в изготовлении или сборке каких-либо деталей и узлов конструкции и т.п.). Воздействие этих факторов приведет к тому, что действительные параметры рабочего процесса изучаемого технического устройства будут отличаться от их детерминированных значений. В работах [1,3] выполнен анализ влияния возмущающих факторов на параметры внутренней баллистики, однако, только для ква-зистационарных режимов работы РДТТ. Ниже приводится способ оценки влияния стохастических факторов на работу РДТТ, который может быть применен при анализе как квазистационарных, так и нестационарных режимов работы двигателя.
Детерминированное решение задачи о развитии процессов в РДТТ в дальнейшем будем устанавливать решением задачи внутренней баллистики, в которой исходные данные формируются в соответствии со значениями математических ожиданий параметров, определяющих решение задачи. На начальном участке работы РДТТ - это пер-
воначальные значения термодинамических параметров в камере сгорания (давление и температура), параметры, определяющие работу системы воспламенения (теплофизические и термодинамические характеристики продуктов сгорания навески воспламенительного состава, масса навески и скорость горения и т.д.), параметры, определяющие свойства твердого топлива (теплофизические и термодинамические характеристики продуктов сгорания топлива, плотность топлива и скорость его горения, условия зажигания и т.д.), геометрия РДТТ и топливного заряда (внутренний объем камеры, площадь поверхности горения топлива, площадь минимального сечения сопла и др.).
Значения внутрибаллистических характеристик РДТТ с учетом дисперсий (или среднеквадратических отклонений) могут быть установлены несколькими способами. Наиболее простым способом является применение метода линеаризации [4], в котором стохастические значения внутрибаллистических параметров устанавливаются по вычисляемым значениям частных производных от внутрибаллистических параметров по каждому из аргументов, имеющему стохастический характер и входящему в группу исходных данных и начальных условий. Расчет отклонений внутрибаллистических параметров ПВУ и РДТТ с использованием метода линеаризации требует незначительных вычислительных ресурсов. Однако расчет по этой методике может вызывать возражения, суть которых состоит в том, что влияние различных факторов, оказывающих влияние на значения разбросов параметров внутренней баллистики, неравноценно. Этот факт является нарушением требований фундаментальной теоремы Чебышева [5], справедливой для Гауссовских случайных процессов.
Другим способом решения задачи является одновременное решение уравнений внутренней баллистики для математических ожиданий параметров и уравнений для расчета отклонений [6]. Недостатком такого подхода является необходимость применения различных вычислительных алгоритмов при решении уравнений внутренней баллистики и уравнений для отклонений.
Значения отклонений рабочих параметров РДТТ могут быть установлены с использованием методики, использующей метод статистических испытаний [5]. При таком подходе задача внутренней баллистики РДТТ решается многократно, и на каждом очередном этапе расчета значения исходных данных, определяющих решение задачи внутренней баллистики и имеющие стохастический характер, пересчитываются. Конкретные значения исходных данных (обозначим их , / = 1, ТУ ), имеющих случайный характер, вычисляются с использованием алгоритмов генерирования случайных чисел
по формуле Х1 = +а1 '<ух{ • В этой формуле > ах( - математическое ожидание и
среднеквадратическое отклонение используемых исходных данных, - случайное
число, расположенное в интервале -1 < а, ^ 1 и подчиняющееся нормальному закону распределения. На каждом этапе расчета вновь пересчитываются все исходные данные,
и это требует вычисления до 350 случайных чисел. В соответствии с методом статистических испытаний для всех рассчитываемых внутрибаллистических параметров (давление, температура, скорость продуктов сгорания и пр.) накапливается статистика, которая в последующем обрабатывается стандартным образом [5]. Количество расчетов, необходимое для корректного вычисления среднеквадратических отклонений и дисперсий внутрибаллистических параметров, устанавливается сравнением математических ожиданий внутрибаллистических параметров, получаемых обработкой выполненной серии расчетов, со значениями внутрибаллистических параметров, полученных при решении уравнений внутренней баллистики, в которых используются детерминированные значения исходных данных. Следует заметить, что в методе статистических испытаний массив случайных чисел, используемый при подготовке исходных данных, определяется из условия, что случайные числа находятся в интервале от -1 до +1 и подчиняются нормальному закону распределения. Однако известно [5], что при большом числе испытаний вместо нормально распределенной случайной величины можно использовать равномерно распределенную случайную величину. Выполненные расчеты показали, что N>100 такой подход является вполне оправданным.
Приведенные ниже результаты получены при расчете крупного РДТТ типа «БАРК» со следующими основными исходными данными:
- свободный объем камеры
- площадь поверхности горения топлива
- первоначальное давление в корпусе двигателя
- расчетное давление в камере двигателя
- масса воспламенительной смеси
- температура зажигания топлива
- отклонения (значения разбросов) начальных значений давления, температуры), %
- отклонения теплофизических характеристик, %
- отклонения плотности топлива и воспламенительного состава, %
- отклонения скорости горения топлива и воспламенительного
состава, % - 0,50... 1,00;.
- отклонения в значениях геометрических размеров, % - 0,05... 1,00.
Ниже на рис. 1, 2 приводятся результаты расчетов изменения давления в переднем объеме РДТТ. Приводятся значения максимального, номинального и минимального давлений. На рис. 1 представлены результаты, в которых статистические характеристики параметров внутренней баллистики вычислены с использованием метода линеаризации. Результаты, представленные на рис. 2, получены методом статистических испытаний, при 200 испытаниях. Анализ результатов показывает, что разбросы давлений в камере сгорания РДТТ при использовании метода линеаризации (рис. 1)иприис-
-2,1м3;
- 16,2 м2;
- 2,0 МПа;
- 6,65 МПа;
- 4 кг;
- 750 К;
- 5,00;
- 1,00...3,00;
- 0,10;
Рис. 1. Изменение максимального, номинального и минимального давления в камере сгорания РДТТ (метод линеаризации)
Рис. 2. Изменение максимального, номинального и минимального давления в камере сгорания РДТТ (метод статистических испытаний, N=200)
пользовании метода статистических испытаний (рис. 2) существенно отличаются. Этот результат подтверждает правильность предположения о том, что применение метода линеаризации при расчете разбросов параметров внутренней баллистики имеет ограничения, и результаты расчетов могут содержать значительные ошибки. Результаты расчета разбросов, выполненные с использованием метода статистических испытаний при числе испытаний N=50, N=100, N=200, отличаются незначительно. Это подтверждается рис. 3, на котором представлены результаты расчетов среднеквадратических отклонений давления, полученных методом линеаризации (кривая Ор1) и методом статистических испытаний (кривая Эр2 соответствует 50 испытаниям, ОрЗ - 100 испытаниям, Эр4 - 200 испытаниям). Результаты, полученные методом линеаризации, более чем в 3 раза отличаются от результатов, полученных методом статистических испытаний. Более того, локальные максимумы среднеквадратических отклонений (и дисперсий) в расчетах методом линеаризации и методом статистических испытаний соответствуют разным моментам времени (в методе линеаризации - -0,11 с, в методе статистических испытаний - -0,15 с).
На рис. 4 сравниваются вычисленные значения относительных разбросов основных внутрибаллистических параметров (давления, плотности, энергии и температуры), вычисленные в период выхода РДТТ на режим (анализ выполняется по значениям
Рис. 3. Изменение среднеквадратических отклонений давления в камере сгорания РДТТ (Бр1 - метод линеаризации, Эр2, БрЗ, Бр4 - метод статистических испытаний)
Рис. 4. Изменение относительных значений среднеквадратичных отклонений давления, плотности, энергии, температуры
среднеквадратических отклонений). Значения относительных отклонений скорости продуктов сгорания не приводятся, так как в отдельные моменты времени значения скорости могут быть близки к нулю. В этом случае при вычислении относительных отклонений скорости может возникать потеря точности вычислений [7]. Приведенные на рис. 4 результаты показывают, что наибольшие разбросы .в период выхода РДТТ на режим (при использованных значениях разбросов в исходных данных) претерпевает плотность продуктов сгорания. Максимальные значения разбросов плотности в отдельные моменты времени превосходят 16%. Меньшие значения разбросов наблюдаются при расчете давлений (до 8%). Наименьшие разбросы наблюдаются при расчете температуры продуктов сгорания (разбросы не более 2%). Изменение значений разбросов имеет немонотонный характер, что связано с последовательностью протекания рабочих процессов в РДТТ. На первом этапе на величину разбросов оказывают влияние параметры работы пиротехнического воспламенительного устройства. На втором этапе -параметры, определяющие разрушение сопловой мембраны и начало истечения продуктов сгорания из камеры сгорания. В последующие моменты времени - распространение пламени вначале по центральному каналу заряда, затем по переднему торцу топливного заряда, по поверхности топлива, размещенной в надсопловой выемке и далее -в сопловом торце. После выхода РДТТ на режим разбросы уменьшаются, что обуслов-
лено отсутствием возмущающих факторов, связанных с работой пиротехнического воспламенительного устройства.
Применение прогноза о разбросах внутрибаллистических параметрах с использованием математического моделирования представляется важным на всех этапах отработки ракетных двигателей. Приведенные выше результаты позволяют утверждать, что разработанный подход вычисления разбросов (среднеквадратических отклонений и дисперсий) может быть применен при расчете любых энергетических установок, в том числе и для РДТТ других конструктивных схем.
Работа выполнена при финансовой поддержке по гранту РФФИ 05-08-01354, 2005 г. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ерохин Б.Т., Липанов А.М. Нестационарные и квазистационарные режимы работы РДТТ. - М.: Машиностроение, 1977.
2. Численный эксперимент в теории РДТТ / А.М.Липанов, В.П.Бобрышев, А.В.Алиев, Ф.Ф.Спиридонов, В.Д.Лисица. - Екатеринбург: Уральская издательская фирма "Наука", 1994.
3. Соркин Р.Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твердом топливе: внутренняя баллистика. - М.: Наука, 1983.
4. Апполонов И. В., Северцев Н.А. Надежность восстанавливаемых систем однократного применения. - М.: Машиностроение, 1977.
5. Гренандер У., Фрайбергер В. Краткий курс вычислительной вероятности и статистики. М.: Наука, 1978.
6. Моделирование начального участка работы РДТТ с учетом разбросов внутрибаллистических параметров / А.В. Алиев, О.В. Мищенкова, В.И. Сарабьев, В.И. Бабин // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специальный выпуск «Теория и практика современного ракетного двигателестроения», 2004. С. 104 - 110.
7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987.
SUMMARY. Methods of numerical calculation of standard deviation of solid propellant engine parameters at initial time are examined. It is shown, that effective method is method of statistical testing, at which series of interior ballistics parameters calculation are processed. All input data re-count at each calculation taking into account its randomicity.
