Моделирование квазицилиндрическими звуковыми волнами распространения звука, излучаемого источником конечной длины Текст научной статьи по специальности «Физика»

акустика

Моделирование квазицилиндрическими звуковыми волнами распространения звука, излучаемого источником конечной длины

Н.Д. Николов

Институт строительной физики, технологии и логистики, София

Такие основные источники шума в городах, как железнодорожные поезда и метро-поезда в открытых участках, являются излучателями квазицилиндрических волн. При этам излучатели имеют конечною длину.

Рассмотрим такой источник шума как ряд конечного числа точечных источников звука, которые колеблются синфазно и расположены на одной прямой линии, на определенном расстоянии друг от друга. Принимаем, что расстояние между любыми двумя источниками звука одно и то же и обозначаем его I. Если число точечных источников обозначить п, то длина группового источника будет (п — 1) X I.

Принимаем прямую, на которой расположены точечные источники, за ось абсцисс Ох. Каждый источник обозначаем последовательно слева направо числами от 1 до п. Для определенности начало системы координат принимаем в первом точечном источнике.

Рассмотрим плоскость, которая проходит через точку (0,5 X (п — 1) X I; 0; 0) и является перпендикулярной оси Ох. Групповой источник симметричен по отношению к этой плоскости и, следовательно, в ней излучение во все направления одно и то же, т.е. излучение не направленно.

В других плоскостях, которые проходят через ось Ох, излучение является направленным. Чтобы вывести характеристику направленности, рассмотрим произвольную плоскость, проходящую через ось Ох и текущую точку А вне этой оси.

Звуковое давление в точке А (рис. 1) равняется сумме звуковых давлений, которые создаются точечными источниками:

рл = ¿"е-........... (1)

/—1 '

г0рт ei[юt+(/-1)k/хп 0/] Г,

Г0Рт

где г — амплитуда звукового давления

в точке А, которое создает Гй точечный источник, характеризующийся собственным радиусом г и амплитудой звукового давления на своей поверхности рт;

— I — расстояние между любыми двумя точечными источниками звука;

— 0/ — угол между нормалью и направлени-

-го

ем от I точечного звукового источника до рассматриваемой точки А (рис. 1);

к к = 2п К = с0

— к — волновое число — к — —— , где К = — , м

К г

— длина волны;

Со = 332 м/с — скорость распространения звуковой волны;

1 — частота колебаний, Гц.

Каждый точечный источник колеблется согласно гармоническому закону с угловой скоростью

Ю [с"1].

Фазы отдельных звуковых давлений определяются различиями в расстояниях, которые звуковые волны проходят от каждого точечного источника до точки А. Этими фазовыми разностями невозможно пренебречь, поскольку различия в расстояниях могут оказаться соизмеримыми с длиной излучаемой звуковой волны.

Здесь рассмотрим пространственную характеристику направленности звукового поля в точках, которые находятся на расстоянии г, намного большем, чем длина линейного источника:

г >> ( п — 1)1.

В этом случае расстояния от точки А до каждого точечного источника почти равны, т.е. можно с достаточной точностью допустить, что

Это означает, что амплитуды звуковых давлений в точке А от точечных источников приблизительно равны:

Г0Рт _ Г0Рт ГоРп

ГоРп

(2)

Кроме того, можно допустить с достаточной точностью, что векторы 1А, 2А, ..., пА образуют почти равные углы с осью Ох, т.е.

0 — 01 ~ 02

0п

Примем звуковое давление, которое создается первым точечным источником за базовое. Любое из остальных звуковых давлений опережает это звуковое давление на

Рисунок 1.

Дф, — кДг, — к(, - 1)/з1п 0 .

(3)

г = г

г_ .

г

0

акустика

Если принять во внимание (2) и (3), выражение (1) принимает вид

PA = p(0) = ^ X

Г

^ i jki sin 0 . jk2lsin 0 . . jk(n—\)isin 0

X e \ + e + e +... + e

■ (4)

к/sin е

Допускаем что Т ——^—, при котором, если е — 0°, то и Т —> 0. Тогда можем найти предельную величину £>(0°) :

Для осуществления суммирования в средних скобках следует рассмотреть два случая: 1) При kl sin 0 = 2кп получаем

eklsin 0 = cos(k/sin 0) + /sin(k/sin 0) = = cos(2kn) + /sin(2kn) = 1.

Тогда

л . jkf sin 0 . jkllsm 0 . . jk(n-1)l sin 0

i + e + e +... + e =

= 1 + 1 + ... + 1 = n

p = - r0pm Jat

и, следовательно, = n-J ;

r

2) При A/sin 0 Ф 2kn , e'klsm0 Ф 1 и сумме в средних скобках (4) является суммой первых n членов геометрической прогрессии с первым членом = 1 и частным d = ekls'n0. Применением известной формулы расчета суммы членов геометрической прогрессии получаем

p(0°) = lim

roPm

. nkl sin 0 sin-

j at+

(n-1)kl sin 0 2

0^0° r ■ kl sin 0 sin-

2

sin nT

en j at+-

= rJ0EmLXxm^r^ lime L 2

r t^0° sin T 0^0°

(n-1)kl sin 0

n lim

T

sinnT

r0pm nT

lim e

j at+

(n-\)kisin 0

2

lim

t^0° T

0Pm n

Г \

sin t 0^0°

= r0pm n Jat = n r0pm Jat

Итак, р(0°) — .

г

Тогда выражение характеристики направленности получает вид

_ „ 1 Jnkl sin 0

М0) = rrPmj)-!-

D(0) =

p(0)

г

nklsin 0

r0pm Jat e

=-e —

2

kl sin 0

i-

2

i—eki sin 0

nklsin 0 nkl sin 0

kl sin 0 kl sin 0

-1—í— 1—í—

p(0°)

2n

. nkl sin 0 sin-

. kl sin 0 nsin-

Замещением k = —— окончательно получаем

%

Г l <\ll - al ■ nkl sin 0 r _ Iat+(n-1)klsin 01 sin---

r0pm J\ 2 I 2

. kl sin 0 sin-

D(0) =

. пл/ . sin| sin 0

■ П/ i 0 nsin| — sin 0

(6)

Тогда

p(0) =

r0Pm

. nkl sin 0 sin-

r . kl sin 0 sin-

• e

j af+-

(n-1)kl sin 0 2

(5)

2

Амплитуда звукового давления в точке A составляет

Форма (6) представления пространственной характеристики направленности дает возможность анализа характера направленности при различных частотах.

п

Поскольку 0 < 0 < — , то 0 < sin 0 < 1 ■ Вот почему выполнено

Р0т =

. nkl sin 0 sin-

r0Pm 2

r . klsin 0 ■

sin-

2

n < «t/ . 0 < mil

0 <-sin 0 <-

% % ,

и, следовательно, поведение выражения

(7)

n.n.l

Характеристика направленности D(0) дефиниру-p(0)

n.n.l .

ется отношением

p(0o)

%

ределяет поведение выражения —-—sin 0 при вели-

, где p(0°) = lim p(0).

0^0°

чинах 0, близких

2

е

n

Г

n пъти

Г

2

2

e 2 - e 2

r

е

r

2

2

л

2

акустика

1. Допустим, что

т/

~Х~

— это число, близкое на количество точек, для которого аргумент

п/

sin 9

к нулю. Это происходит при больших длинах волн,

гт1

т.е. при низких частотах. Например, при —— < 0,01

и при n = 10 получаем nl .

sini

D(9) =

sin| sin 9

nsinl —— sin 9

X

0,99999984 « 1.

знаменателя вида /п, / = 1, 2,..,^ , т.е. в точках

а ■ ,

Н, = агсз^п — .

1 I

Числитель становится нулем (а, таким образом,

' пГ

и Д9)) в

X

= k

1 на количество точек, которые

" пГ " i'

в этом случае оказалось, что D(9) ~ 1 Но = _ "X _ =п _ X _

с точностью 0,0000001, т.е. пространственная характеристика направленности представляет почти сферическую поверхность.

... пк!

2. Рассмотрим случай, когда °1и1 < п_ < п , т.е.

А

0,01А 0,01 п/ п -< п <1 . Тогда -< т- < — < п и, следова-

п л А п

тельно, в соответствии с (7), характеристика направленности ^(Н) дефинирована для каждого

п п

0 < Н < — , причем с приближением Н к — излучение становится постепенно более направленным, но не может достичь нуля.

3. Если принять, что величины п и I относительно постоянны, то можно заметить, что при дальнейшем увеличении частоты излучателя, т.е. при уменьшении длины звуковой волны, будет выполнено не/т/ п/

равенство

X

>п (т.е. nl >X ),

X

< п

(т. е. l < X ). Тогда характеристика направленности

п

D(9) дефинирована для каждого 0 < 9 < —, но уже

n

достигает ноля

X

= k

раз, где посредством

X

обозначена целая часть величины выражения в скобках. Первый ноль получается при угле для кото-

пп/ . Н = „ . 2А

рого -г—Б|п =п , т.е. при Н2 = агсзт—- , второй А п/

Н ■ 2А Н ■ кА

— при Н2 = агсз^ п— и т.д. до = агс51 п —.

п1 п1

п/ ^

4. Когда выполнено неравенство Т- - п (т. е.

А

I -А ). Из I -А следует и п! -А , т.е. в силе

пп! .

и неравенство

X

■ > п

Это самый сложный случай, когда характеристи-

ка направленности D(9) не дефинирована в

= k

/X

9/ = arcsin —, / = 1, 2,.., k . nl

= пк

~ 2 и, следовательно,

каждому целому положительному числу /* < к2 соответствует целое число /* = п/ < пк2 < к , при ко: * • *

торых две величины } и / получают значение ноль, как знаменатель, так и числитель. Разумно в

о о а* ■'* А ■/* А

такой точке Нп = = Н = агсзт—— = агсзт—-—

п! !

характеристику направленности СН) дефинировать как предел, если такой существует.

Не трудно доказать, что: . (rrnl .

D(9*) = lim

9^9*

sir| sir 9

nsin| — sir 9

X

= lim

e^e*

nrnl . „ cos| sir 9

rrcl

cos 9

n cos| -X sir 9

п1 9 --cos 9

X

= lim

9^9*

fflll . cos| sir 9

cos| rl sir 9

X

( rrcl i* XЛ

cos|- -1

1 X rl J

( п1 i* X ^

cos| —. --1

1X l J

rrcl . cos|-sir 9

X

cos| — sir 9 *

X

cos(i * п) (-1)i*+1

cos(/'* п) (-iy*+1

= 1

(8)

Итак, при этих углах характеристика направленности D(9) достигает не только локального максимума, но и, возможно, свою самою высокую стоимость, равную 1.

X

но

акустика

Локальные минимумы 0(8) достигаются в точках, в которых числитель равен нулю, но знаменатель отличается от нуля. В таких случаях, ввиду абсолютной величины, функция не имеет производной. Локальный максимум равен 1, функция имеет при 8 = 0 и при всех величинах угла, при которых числитель и знаменатель одновременно становятся нолями (8). Остальные локальные экстремумы достигаются в точках, для которых С?(8) = 0 , т.е.

пп/ . Л пп/ п .Г п/ . „ cosí sin Н I. cos Н. siní — sin Н

. 2 Г п/ . Н

n. sin | — sin Н

I X

. Г т/ . Н| Г п/ . Н | п/ Н sin| —— sin Н I. cosí — sin Н I. — cos Н

n. sin21 —— sin Н

= 0

Г ПК/ . Н | ПК/ Н . Г п/ . Н | cos|-s.n Н I-cos Н s.n| — s.n Н I —

| X ) X | X )

. Г пп/ . _Л Г п/ . „| п/ „ _ . — s.n| —— s.n Н I cosí — s.n Н I — cos Н = 0

После сокращения и несложного преобразования получаем уравнение

ntg -—l sin Н | — gí n-Xlsin Н I = 0

из которого можно найти те точки, в которых 0(8) имеет локальный экстремум, но числитель в (6) не приравнивается к нолю.

На рис. 2 дано поведение излучателя, состоящего из п точечных источников, которые находятся на расстоянии I = 2 м друг от друга при п = 5, п = 10, п = 20, п = 50, п = 100.

II II | II II | II II | II II | II II II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II | II II -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00

Рисунок 2. Характеристика направленности в интервале [-п; +п].

или

акустика

Выводы

1. При движении источника квазицилиндрических звуковых волн с конечной длиной получается сложная акустическая картина.

Для создания математической модели источник таких волн представлен как п единичных источников на расстоянии I друг от друга, расположенных вдоль оси х. Распространение звукового давления в плоскости, проходящей через эту ось, не равномерно и характеризуется показателем направленности (О).

Поведение характеристики О дефинируется величинами показателей п, I, г и 8. Интерес представляют ноли числителя и знаменателя в формуле (6). Проведенное исследование доказывает, что:

— при приравнивании числителя и знаменателя к нолю, функция (6) имеет максимум (=1);

— при приравнивании числителя к нолю функция (6) имеет минимум (=0);

— в промежуточных точках функция имеет локальные экстремумы.

2. Величина характеристики О является функцией трех независимых факторов:

— угол между биссектрисами источника и прямой, которая проходит через среднюю точку источника и расчетную точку;

— структура источника представлена из п единичных источников с интервалом I;

— длина, соответственно, частота генерированных звуковых волн.

Характеристика направленности определяется по приблизительной формуле (6). Для получения достаточно точных результатов расстояние до точки расчета А должно быть в 2 и более раз больше общей длины источника, которое не ограничивает их практического значения.

п/

В зависимости от величины отношения

X

блюдаются два типа поведения модели:

—непрерывное и плавное изменение, когда угол 0 изменяется от 0 до 90°, при к < 1;

— изменение функций в интервале от 0 до 1, когда к > 1.

3. Квазицилиндрические звуковые волны, излучаемые источником конечной длины, который движется с постоянной скоростью, имеет тот же характер, что и волна, излучаемая источником бесконечной длины.

Список литературы

1. Вълчев. И. Електроакустика. София, Техника, 1975, стр. 356.