Решение волнового уравнения квазицилиндрической волны, излучаемой источником бесконечной длины Текст научной статьи по специальности «Математика»

акустика

Решение волнового уравнения квазицилиндрической волны, излучаемой источником бесконечной длины

Н.Д. Николов

Институт строительной физики, технологии и логистики. София

В строительной акустике основные источники шума в городской среде (автомобильные потоки, железнодорожные и поезда метро и др.) принято моделировать как точечные или линейные источники, которые излучают сферические или цилиндрические волны. Однако реальные источники имеют более сложный характер.

Если рассматривать комплексный источник шума, то его можно представить как ряд точечных источников бесконечной или конечной длины. Решение дифференциального уравнения распространения звука, излучаемого такими источниками, дает солидную теоретическую основу для совершенствования инженерных методов расчета уровней шума в свободном пространстве и на территории застройки.

Звуковое поле определено однозначно, если в каждой точке пространства (с координатами х, у, z) и в определенный момент времени (1 ) известна одна из величин: вектор скорости колебания V = у(х,у,г, /); звуковое давление р = р(х, у, z, 1); плотность газа р = р(х, у, z, 1).

Связь между величинами V, р и р может быть выражена тремя частными дифференциальными уравнениями — движения, состояния и непрерывности, именуемыми основными уравнениями звукового п оля. Из этих трех уравнений с последовательным исключением переменных получается частное дифференциальное уравнение, известное как уравнение распространения звуковой волны. Интегралом этого уравнения является функция х, у, z и которая однозначно определяет звуковое поле в точке с заданными координатами в определенный момент времени.

Обычно задача решается в полярной системе координат, при которой положительное направление радиус-вектора г совпадает с направлением распространения звуковой волны [1].

Расширим известные выводы о моделировании распространения шума, который излучает ряд сферических источников (транспортные потоки), в зависимости от расстояния до них.

Если сделать следующие допущения, что высота источников шума над земной поверхностью равна нулю, расстояние между источниками шума постоянно и суммарный фронт звуковой волны имеет цилиндрическую форму, то можно получить ряд интересных выводов.

Условимся называть квазицилиндрическими звуковыми волнами такие волны, уровень звукового давления которых снижается на каждое удвоение расстояния в пределах от более трех до менее шести децибел в зависимости от расстояния между источниками шума.

Дифференциальное уравнение распространения этих волн имеет следующий вид

д Р(г, /) _ 2 дІ С

1

_д_ гп др(г, і) дг дг

(1)

где р(г, 1) — звуковое давление;

1 < п < 2;

гё [0, + го) — расстояние до транспортного потока;

/ё [0, + го) — время излучения звука; с — скорость распространения звука.

После несложного преобразования в правой стороне получаем

д рг,/) _ ,

д/2

дгг

дг

(2)

Дифференциальное уравнение (2) решаем при следующих начальных и граничных условиях:

рМ_о _ 0 ріг-Іг^= 0 ( рМ^о _

(3)

где /(1) — заданная функция, которая характеризует источник звука в любой момент.

Решим уравнение (2), не принимая во внимание третье условие (3), приложением метода разделения переменных, т.е. будем иметь уравнение (2) в виде

р(г, 1) = Г(№г), Отсюда получаем

др(г'Н = аг\СГН_.

С ‘

(4)

дf д 2р(г, 2)

д/2

(Ж Т(2)) Ж2

(5)

дР(г, і) _

дг д2р(г, і

дг2

_ т

сГг

с2т).

с2

(6)

Чтобы выразить условия, что функция (4) удовлетворяет уравнение (2), выражения (5) и (6) замещаются в (2)

Сг

г

и

или

г

5 2009 253

акустика

d2T(f)

dt2

Tit

d2R(r)

dr2

dR(r)

__________ n dr

R(r) ^ r R(r)

T(t) = cO cos(rn/) + cO sin(rn/),

(1O)

Левая и правая стороны этого равенства равны -Ю2, где Ю произвольное реальное число, которое для определенности считаем неотрицательным. Таким образом, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

+ Ю2Т(/) = 0

dt

(7)

d2 R(r) n dR(r) W2

—рг+—dr+—R) =0. (В)

dr2 r dr c2

ю _

Полагаем —2 = k , гДе принимаем, что k > 0,

c

тогда получаем

d R(r) n dR(r) _

4 ■ +--------— + kR(r) = 0 .

dr2

dr

(9)

d2T(f)

dt

=о

254 5 2009

О О

где с и С2 — произвольные константы по отношению к переменной 1

Рассмотрим уравнение (8). Оно представляет частный случай уравнения Бесселя и его общее решение [3] приводится формулой

R(r) = SZv (kr).

(11)

Остановимся более подробно на уравнениях (7), (8) и (9).

Уравнение (7) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением. Если Ю = 0, то это уравнение принимает вид

и его общее решение следующее Т(1) = q1t + д2,

где q1 и ^2 — константы.

Из условия \р{г, Н\=о = 0 следует, что q2 = 0 , а при фиксированном г функция р(г, 1) приводит к ^ = 0. Но в таком случае функция Т(1) тождественно равна нулю, из чего следует, что и р(г, 1) становится тождественно равным нулю. Поскольку это невозможно, остается Ю > 0, которое мы будем полагать везде в дальнейшем.

Поскольку при Ю = 0 характеристическое уравнение уравнения (7) —

а2 + ю2 = 0

и содержит корни а1 = /Ю и а1 = —/Ю, то его общее решение следующее

1 — п

Здесь V =—2— , а (х) — линейная комбина-

ция [2,3] любых двух функций Бесселя:

■ первого рода — Уу (х) ;

■ второго рода — N (х) , именуемые функциями Неймана, или функциями Вебера;

■ третьего рода — первая Ну1)(х) и вторая

Ну2)(Х) функции Ханкеля.

Следовательно (х) это линейная комбинация

любых двух функций Уу (х) , Ыу (х) , ^(Х) , Ну2)(Х) .

1 — п

Особенно при п = 1, т.е. V = —2— = 0 любая

линейная комбинация двух из этих функций будет функцией, которая при г = 0 будет неограниченной. Следовательно, следует использовать только У0(Х) . Так, при п = 1 общее решение (8) будет

К(г) = ^0(кг) . (12)

Рассмотрим случай, когда 1 < п < 2, в котором

1 1 — п

---< V =------< 0 .

2 2

Когда V нецелое число, то Уу (х) и У_у (х) также представляют фундаментальную систему решений рассматриваемого уравнения. Мы используем именно этот результат.

Общее решение уравнения (8) дается с

\-П

R(r) = r~

aJ\-nikr) + bJ \-n(kr)

. 2 2 .

где a и b — произвольные константы по отношению к r, подлежащие определению.

Тогда общим решением уравнения (2) будет

\-n

p(r,f) = r 2 (cO cos ю/+ cO sin©fX

x a/i_„(kr) + bJ\-Akr)

2 2 .

2

= c

и

r

акустика

1 1 - n -

Когда - — < V = —2— < 0 выполнено

1-П

1-n

limr 2 J-n(kr) = +- и limr 2 J\-n(kr) =

r^0 --- r^-G

r>0 2 2

n-1

Г Ir) ,

n-1

ГIГ гГ

Тогда все функции

1_П

Ахг 2 У,_п(-ТПг)(^п^ /),Х =

— с1 I

являются решениями уравнения (2) и удовлетворяют первое и второе условие (3). Их сумма

- ITJ

= lim r 2 > 2 J

r^° —( n - 1

гі

2

+1

n +1

+— 1-n

p{r,f) = ^ A-r 2 J-n(-^7r)sin^'

Поскольку из характера исследуемого процесса следует, что звуковое давление имеет крайнюю величину при r = 0, то вышеприведенные результаты дают основание принять a = 0. В таком случае,

после допущения с = с? b и с = b, общее

решение уравнения (2) принимает вид

1-n

p(r,f) = г 2 J]-n(kr)(c cosю/+ c2 sinю/ . (!3)

~Y

Видно, что выведенная формула (13) включает и случай n = 1.

т=1 2

также является решением уравнения. Отсюда найдем константы Ат при условии \p{r, t\r=0 = f(t)

+- ( Z А

-=1

n -1

2c1

г-

Г n + 1

-п

Это равенство показывает, что выражения

n-1

-п

2c

2 -ГГ П + Г

г

2

1-n

., lim r 2 J. n (kr)

Из r^0 — следует, что второе условие

2

должны быть коэффициентами в разложении функции /(1) в ряде Фурье.

(3) выполняется автоматически, а из первого условия — что для каждой точки (г, 0), включительно и для (0, 0), должно быть выполнено И(г)Т(0) = 0.

П_1

Г к~

n-1

-п l~ г-1|

n +1) 2

Но R(Q)

2

г

-і

Г n+11

ф Q.

\ 2d, Откуда

Следовательно, q cosю0 + Cj sinю0 = 0 , т.е.

с

с1 = 0. Если к заменить равным ему и формаль-

Л 2 Г і2 гі^+і )| ft sin н tdt.

2

Ю

но с_ заменить на A, получаем

Тогда общее решение, которое удовлетворяет все три начальные и граничные условия (3), принимает вид

1-n

”2”

Ю

р(г, / = Аг 2 J^_n (— г)(ап ю/

т с

При фиксированных г и г и Ю функция является нечетной и периодической. Следовательно, для удовлетворения третьего условия (3) необходимо, чтобы и /(1) была нечетной и периодической. Если эта функция определена в интервале [0, I ], но не является периодической, необходимо предварительно получить ее нечетное периодическое продолжение. Пусть заданная функция (1) будет абсолютно интегрируемой в интервале [-1 , I ] и с периодом

тп

2 I . Зададим Ю величины ~ , где т — натуральное

1 -n

, л х-' 2 -п 2 . n +1

pr,t) = > - (-----------) г(----------) х

- 2cl 2

-=1

tdt

1 -n

r J1-n(^-r)sn—t

-f 2d

, , 2rtn +1

p(r,f) = - г(——)r 2 х

1-n ”2”

(-------) J1 n (— r)

2d ^ cl

-=l 2

1

I«« n -Гр

tdt

. -n . (14) sin— t

5 2009 255

2

0

n-1

о

х

о

или

£

о

акустика

В частном случае, когда функция /(1), которая характеризует источник звука, имеет вид /(1) = Б$\пю1, для удовлетворения третьего условия (3) необходимо

1-

Ііт

г^-0

г>0

Ііт

л^-0

/>0

,ю

Аг 2 J1_n(—г)зіпю/

"Т с

_ Язіп ю/

1-Л

”2”

ю

И/-2 Уі-„^л) Т с

_ в

Отсюда при г ^ 0 получаем

п-1

^) - г-1( п+і) _ ^

п-1

- - г[п2і

Тогда звуковое давление будет

1-Л 1-л

х А ,Л + 1 -7- , ,Ю . . ,

р(г,і) _ В(—) 2 Ц—-У 2 Уі-„(—г)зіп о>/. (15)

2с 2 с

В отношении уровня звукового давления получаем

і_ 20 Ід

Ртах(г,^1

256 5 2009

0,30"

0,20-

0,10-

0,00-

-0,10-

-0,20-

-0,30

р, Па

г, м

0

0

0

,0

0,

3

0

,0

0,

''О

0

,0

0,

о

0

,0

0,

2

0

0

0

0

00

00

Рисунок 1. Распространение звукового давления на расстоянии от источника от 7,5 до 240 м при частоте 500 Гц и п =1.

I, дБа

Ро

где Ртах(г,1) — локальные экстремумы функции (15).

На основании формулы (15) составлена программа БоипНРге. На рис. 1 и рис. 2 представлены графики, полученные в результате выполнения программы, при различных входных данных.

Выполнение программы и анализ формулы (15) дают возможность сделать следующие выводы.

1. На изменение давления во времени и пространстве влияют вид волны (коэффициент п), частота волны (ю), скорость распространения (с) и расстояние (г).

2. Во всех случаях наблюдается уменьшение абсолютной величины амплитуды звукового давления в зависимости от расстояния г, причем сохраняется частота, выраженная чередованием локальных экстремумов.

3. Градиент уменьшения величины этих экстремумов при удвоении расстояния зависит от величины показателя п, т.е. от вида волны — цилиндрической (от бесконечно длинного источника), квази-цилиндрической, сферической.

4. При переходе от максимальной величины амплитуды звукового давления к уровню звукового давления — ^, получаем, что при удвоении расстояния уровень уменьшается:

Рисунок 2. Семейство кривых снижения уровня звукового давления при различных величинах коэффициента п.

— с 3 дБА при цилиндрической волне (п = 1);

— от 3 до 6 дБА при квазицилиндрической волне (1 < п < 2);

— с 6 дБА при сферической волне (п = 2).

Список литературы:

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.. Теоретическая фи-

зика. Том VI. Гидродинамика. Москва, Наука, 1986, стр. 734.

2. Кузнецов, Д.С. Специальные функции. Москва,

Высшая школа, 1965.

3. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функ-

ции. Москва, Наука, 1977.

П

г, м