CC BY
22
Моделирование характера распространения звука, излучаемого источником конечной длины в полярных координатах
Н. Д. Николов, Г. И. Трапов
Характер распространения звука, излучаемого источником конечной длины не соответствует модели как цилиндрического, так и сферического источника.
Чтобы приблизить математическую модель к реальному излучению рассмотрим такой источник как ряд конечного числа точечных источников звука, которые колеблются синфазно и расположены на одной прямой линии, на определенном расстоянии друг от друга [1, 2]. Принимаем, что расстояние между любыми двумя источниками звука одно и то же и обозначаем его I. Если число точечных источников обозначить п, то длина группового источника звука будет (п— 1) X I.
Принимаем прямую, на которой расположены точечные источники, за ось абсцисс Ох. Каждый источник обозначаем последовательно слева направо числами от 1 до п.
Рассмотрим плоскость , которая проходит через точку (0 ,5 X (п+ I) X I; 0; 0) и явля ется перпендикулярной оси Ох ( рис. 1).
Звуковое давления на поверхности единичного
гв = 2га
п + 1
сферического источника звука с радиусом Го обозначаем рт. Тогда звуковое давление в произвольной точке А которая находится на расстояний г от центра источника будет:
р _ г0Рт I(и/-кг)
Ра _ е , г
(1)
где ! — имагинерная единица; { — частота;
X _ с0// — длина волны;
— угловая частота; — волновое число. Звуковое давление в точке А (рис. 1) равняется сумме звуковых давлений, которые создаются всеми отдельными точечными источниками [1, 2]:
Ра (Ха - га ) _ x
Г0Рт ¿[И~кг, ]
1_1 г
(2)
В работе [3] дано решение задачи при котором входящие в формуле (2) параметры выраженны в Декартовых координатах.
Для уровня звукового давления и снижения уровня звукового давления получены следующие формулы [3]:
_ 20!дЫ _ 20 !дх
Ро
го Р^ X ■_ 7+2Х ;:;х т_+г- - |> х-— '1 гт
Ро
, (3)
_ 20!дрХ^ - 20!дР(М _ 201д,1 Ра ( ' Га ) : Ро Ро |Рв (ха'2га)
: 20 !д
^ + 2Х«Х - ~ [> X - т)] [
(4)
Рисунок 1. Схема источника излучения.
где с индексами А и В обозначено, что все расстояния в скобках вычислены соответственно до точки А и точки В.
С целью потверждения полученных формул и выводов в [3], интерес представляет решение задачи (2) в полярных координатах.
X
Выразим параметры входящие в формуле (2) через переменных величин r и 9.:
Г = ^[i - 0.5(n + 1)/]2 + rA = rA sec 9, - расстояние от точки А до /-го источника;
0,5|2/ - л - 11 9, = arctg-!-L
rA
Тогда
Pa Xa , ) = £ ^^] = ^^ r
i=1 '
_v ro p
m j[wt-krA sec 9i ] _ I
M rA sec 9i
n
= r0pm £ cos 9_е/И-krA sec 9i ] rA i=1
Применяя формулу Эйлера ej = cos a + j sin a , получаем:
Pa (xa • rA) =
n
= r°P™ £ cos 9¡ [cos (coi - krA sec 9i) + y sin (mí - krA sec 9i )] =
rA ,=1
r°P,
'A
£ cos 9i cos ф; (í ) + y £ cos 9i sin ф; (í )
i=1 i=1
где ф, (í) = mí - Атд sec 9, . Тогда:
\рл (xa ,'
Г0 Pm
£ cos 9, cos ф, (t)
i—1
£ cos 9, sin ф, (t)
i-1
.(5)
Для установления влияния времени t, запишем выражение под корнем как функция времени:
g(t) =
£ cos 9,. cos ф, (t)
i -1
£ cos 9, sin ф, (t)
i-i
После преобразований выражения (6), получаем:
g(t) = £ cos 9, cos ф,- (t) + 2£ [cos 9, cos ф,.(t)]£[cos 9/ cos ф/(t)] +
/-1 .-1 /=/+1 n n—1 n
cos 9. sin ф.(t) +2£[cos9/ sinф.(t)]£[cos9/ sinф.(t)] =
/-1 /-1 /=/+1
= £ cos2 9/ [cos2 ф/ (t) + sin2 ф/ (t)] +
/-1
n—1 n
+2£ £ [cos 9/ cos ф/(t) cos 9/ cos ф/(t) + cos 9/ sin ф/(t)cos 9/ sin ф/(t)] =
/=1 /=/+1
n n—1 n
= £ cos2 9/ + 2£ £ cos 9/ cos 9/ [cos ф/ (t)cos ф/(t) + sin ф/ (t)sin ф/ (t)] =
/=1 /=1 /=/+1 n n—1 n
= £ cos2 9/ + 2££ cos 9/ cos 9/ cos [ф/ (t) - ф/ (t)] =
/=1 /=1 /=/+1 n n—1 n
= £ cos2 9/ + 2£ £ cos 9/ cos 9/ cos [ct - krA sec 9/ - (ct - krA sec 9/)].
/=1 /=1 /=/+1
В итоге:
n n—1 n
g(t) = £ cos2 9,. + 2£ £ cos 9,. cos 9¡ cos [krA (sec 9,. - sec 9¡)] . (7)
i=i ,=1 i=i+i
Из правой стороны уровнения (7) видно, что функция (5) не зависит от времени t. Таким образом можем записать t = 0 и формула (5) принимает вид:
p X ■ A )| =
= ^^ £ cos2 ei + 2££ c°s ei c°s 9¡ cos [krA (sec 6,- - sec B¡)] ■ (8)
rA V ,=1 ,=1 i=i+1
Тогда для уровня звукового давления получаем:
L = 20lg
Pa (xa ■ ra)
Po
roPm rA
20 lg
cos2 0; + 2£ cos 0; cos 9j cos [k^(sec 0; — sec 0.)]
Po
(9)
= 20 lgr0Pm £ cos2 9. + 2V £ cos 9. cos 9. cos[krA(sec 9. - sec 9.)] rAPoM
(6)
Для исследования характера распространения звука, излучаемого источником конечной длины рассмотрим уровень звукового давления и в точке В с координатами ХА и 2гА (рис. 1). Снижение уровня звукового давления ДL будет:
AL = 20 lg
PA (XA , rA)
Po
- 20lg
Pb (xA . rA)
Po
20 lg
pA (XA' rA )
PB (XA . rA)
n n—1 n £ cos2 eA + 2£ £ cos eA cos eA cos V i=i i=i j=i+i krA (sec 9A - sec 9A)]
££ cos2 9B + 2£ ££ cos 9B cos 9B cos "krA (sec 9B - sec 9B)]
(10)
где с индексами А и в обозначено, что расстояния и углы вычислены соответственно относитель-
B = 0,25|2/ - n - 1| но точки А и точки в; 9/ = arctg , i=1
, 2 ,... ,n.
A
168 3 2010
Расстояние между источниками, м -■-Юм -—20м -»-25 м -»-50м
Число источников —п = 5 -х-п = 10 п = 15 —~п = 20
Рисунок 2. Суммарное снижение уровня звука источника конечной длины при различных расстояниях между единичными источниками и при константной числе этих источников n = 20, вычисленное по программе Space QC Lim PC.
Рисунок 3. Суммарное снижение уровня звука источника конечной длины при различных расстояниях между единичными источниками и при константной числе этих источников n = 20, вычисленное по программе Space QC Lim PC.
На основе формулы (10) составлена программа Space QC Lim PC для расчета снижения уровня звукового давления излучаемого источником конечной длины.
Величина снижения звукового давления AL при различных параметрах (/, n) групового источника звука конечной длины в зависимости от расстояния r по его оси симметрии показаны на рис. 2 и рис. 3.
Анализ теоретических исследований и программных реализаций дает возможность сделать следующие выводы:
1. Полученные расчетные результаты по формулам (4) и (10) совпадают, что доказывает правомочность применения в акустических расчетах обоих решения задачи — в Декартовых и в полярных координатах.
2. Уровень звукового давления при константных величинах р. и p , зависит от волнового числа k и расстояния r от источника звука до расчетной точки, но не зависит от времени t.
3. Уровень звукового давления на расстоянии r от комплексного источника звука состоящегося от конечного число точечных источников, расположенных на прямой линии зависит от числа этих источников n и расстояние между ними /.
4. При удвоении расстояния уровень звука снижается с 3 до 6 дБ. На расстояниях соизмеримых с длиной 2(n - 1)/, м снижения уровня звукового давления при удвоении расстояния составляет 3—5 дБ. После определенного расстояния величина этого снижения ассимптотично приближается к 6 дБА. Эта показывает квазицилиндрический характер излучения звука источником конечной длины.
Литература
1. Вълчев И. Електроакустика. // София, изд. Техника, 1975. - 356 с.
2. Скучик Е. Основы акустики. // Москва, изд-во Мир, 1976. - 544 с.
3. Николов Н., И. Шубин. Моделирование характера распространения звука, излучаемого источником конечной длины. / / Приволжский научный журнал. — Нижний Новгород, 2010. — № 2, 9 с.
Моделирование характера распространения звука, излучаемого источником конечной длины в полярных координатах
Выведены формулы для расчета уровня и снижения уровня звука излучаемого источником конечной длины, в полярных координатах. Расчетные результаты совпадают с полученными при решении задачи в Декартовых координатах.
Modeling the nature of sound, radiating source of finite length in polar coordinates
by N. Nikolov, G. Trapov
Obtained are formulas for calculation of the sound level and the reducing of the sound level emitted by a source of finite length, in polar coordinates. The calculated results coincide with those obtained by solving the problem in Cartesian coordinates.
Ключевые слова: уровень звука, источник конечной длины, полярные координаты
Key words: sound level, sound source with finite length, polar coordinates
