CC BY
8
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 515.1: 621.9.09.02.001.2 Э. К. СМОРЩКОВ
Монреальский колледж МАРИАНАПОЛИС, Монреальский университет МАКГИЛЛ, Канада
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМПОЗИЦИЙ БИЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНИЙ И ИХ СЕМЕЙСТВ
В статье рассматриваются решения множества взаимосвязанных задач. Названы принципы выбора внутренних и внешних линий в геометрических преобразованиях при построении линий, адекватных сложным функциям. Показывается последовательность формирования графика первой производнбй. Разработан механизм определения точек, лежащих на искомых линиях, в которых касательные проходят под наперед заданным углом наклона к осям координат.
С появлением учебников [1,2] у начертательной геометрии возникли приемники. Ближе других к теме проведенного исследования примыкает [3]. Разбе-| рем примеры. Пусть будут заданы три выражения:
| &) Цх) = \7х-1\, Ь) ф(л:)=хсо5л, с)у = х2. |
1 1.Уравнение а).Это сложная функция и состоит 1 из двух: первая ^(х) = 2х-3 и вторая ¡2(х) = |х). Слу-^ чай Ь] представляет собой произведение функций | ф1(х) = ли ф2(х)= собх . Зададимся вопросом: можно ли представить первые две зависимости как реэуль-иЯ тат геометрических преобразований? В случае с) не-
льзя ли на квадратичной параболе построить точку N. в которой касательная г, либо нормаль л пройдет под заданным углом к оси координат? Рассмотрим решение каждого примера подробнее.
Функция ¡¡(х) представляет собой прямую линию, каждую точку М которой можно рассматривать как отображение одного множества (точки М оси х) на другое (точкилинии у = 2х - 3). Функция ¡г(х)-модулированная ломаная прямая, состоящая из двух лучей, направленных под углом 45° к осям координат (рис.1). Точка М — образ точки М, являющейся прообразом. Линию, соответствующюю /,, назовем правой, а соответствующую /, -левой. Посутиэтитерми-
.........У=|х|
-------у = 2х-3
Рис. 1.
ны аналогичны внутренней и внешней в теории функций. Возьмем точку М на внутренней линии. Переведем значение функции точки М в значение аргумента. Затем «отразим» новый аргумент от внешней
линии и построим точку М с помощью линий проекционной связи. При этом прообразом М будетточка М . Выполненные преобразования запишем в виде д,(М) = М, д2(М) = М-Объединив д, ид2,получаем
9,(М) = (д2°д^(М)=д.Ым))=дг{м)=М1 (1)
где символ о означает композицию геометрических преобразований. Сначала применяется преобразование д, (правое), а затем к его результату применяется преобразование дг (левое). Сущность этого понятия в геометрии та же, что понятие «функция числового аргумента» в алгебре. При этом понятия «образ» и «прообраз» в геометрическом преобразовании становятся аналогами соответственно терминам: «значение функции» и «значение аргумента» в теории функций. Поэтому запись (1) аналогична выражению
(/2 о/,)№/2 (/,(*)) (2)
Известно, что (2) символизирует сложную функцию. Получаем взаимно-однозначное отображение, называемое биективным, одного множества на другое. При этом преобразование происходит в одной плоскости, а потому является отображением множества на себя. Наиболее целесообразно вести построение сложной (искомой) линии на основе более простых как внутренней, так и внешней. Особый интерес рассматриваемые композиции приобретают в инженерных приложениях при построении графиков производных применительно к теории дифференциального исчисления и в решении некоторых прикладных
задач. Заметим, что преобразование д2(м)называют внешним, или левым потому, что является завершающим в процессе построений. Ряд примеров будет показан в предлагаемой статье. Отметим также, что применительно к рис. 1 правая ветвь искомой линии совпадает с исходной линией у = 2х - 3.
2. Уравнению ф2(.х) = хсоэх соответстауетлиния,
состоящая из точек М (рис.2). Эта линия - результат «произведения» двух линий; у = х и у = С0БХ. Алго-
у = х у = COS X у = X COS X
Рис.2.
X
Рис.3.
ритм «перемножения» исходных линий показан на рис. 3. Поясним построения.
Построим отрезок [ ММ У = , а (ММ j =-у-.
Найдем О, - середину отрезка ¡ММ] • Построим полуокружность с центром в точке О,. Составим соот-
ММ h _ =
ношение —j— = . Отсюда [ММ]-[ММ] = h ■
Следовательно, отрезок \МК\ будет равен квадрату высоты Л треугольника МКМ. Применительно
__Г 3 • 180° ^
к точке М (рис. 2) имеем у- = 3, у п = cos - =
м м ; 3.14 J
= cos(l71,9°)= -cos(8,l°)= -0,99 . Тогда h2 = 3(-0,99) =
= -2,97 .
Таким образом можно построить множество
точек М , составляющих искомую линию y = xcosjf. В случае необходимости деления отрезков вначале
строим «делимый» отрезок ММ (рис.4). После этого строим отрезок, равный (ММ)-. Затем строим «делитель» - отрезок ММ. Отмечаем точку К. Из этой точки проводим перпендикуляр к отрезку МК и на продолжении ММ отмечаем точку Му Отрезок ММ^ будет являться частным отделения взятых отрезков. При этом находить центр описанной полуокружности, строить ее, как делалось при умножении отрезков, нет необходимости. На рис. 5 показан еще один пример деления, а на рис. 6 приведены различные случаи
с
_ к
Рис. 4.
у " surtpn+4) у= 1.S /»nit + 4) у - 1 A>qrt (Эк*4)
Рис. 5.
tan у=х in point 1 tan у=х2 in point 2 Рис. 7.
• • y=x ~ y=sin X
Рис.8.
Рис. 6.
y=sin X ' " y=sin (sin X)
Рис. 9.
«перемножения» линии для получения искомых кривых.
3. На рис.7 показаны построения исходной квадратичной параболы, затем производной как графика линии у'= 2х. Угол а наклона касательной (к оси х определяется значением ординаты к линии у = 2х . Так, если задать значение ординаты равным 4, то угол наклона касательной к оси х составит а = ф4 = 76' • Построения оказались простыми, поскольку касательная прошла через точку пересечения параболы с ее производной.
Обобщая изложенное, приведем алгоритмы формирования композиций геометрических преобразований. На рис. 8 иллюстрируется преобразование при внешнем отражении. На рис. 9 показано преоб-
разование при самоотражении. На рис.10 дается алгоритм композиции при умножении и делении. На рис.11 более крупно построены касательная и нормаль к квадратичной параболе, когда наклон касательной составляет 45 градусов к осям координат.
4. О композициях геометрических преобразований применительно к функциям двух аргументов [12].
Пусть задана поверхность £ (рис.12). Выберем на ней точку N и проведем через нее плоскость Г, параллельную координатной хог. Тогда получим линию !, пересечения заданной поверхности с плоскостью , т.е. 1,=Ег\Г (у = сол5(). Аппликата г линии 1, -функция одного аргументах Частная производная { численно равна угловому коэффициенту касательной 5, т.е. (дог. Другая плоскость Л пересечет £ по линии
y=sqrt(4-(x-2)2) y=4-(x-2) y=sqrt(1,75-(x-1,324) ) 1,75-(x-1,324)2
Л= 1,324= MK = MM h2= MK2= 1,32 42=1,75
Рис. 10.
12 (x = const) ■ Частная производная fy определяется наклоном касательной t и равна tgfi. Аппликата z линии 12 - функция одного аргумента у. Частное приращение Arf(x,y) получается при смещении точки N вдоль сечения Другое частное приращение Ayf(x,y) - при смещении вдоль /2. Полное приращение функции изображается приращением аппликаты MN при любом смещении точки N по поверхности = f(x,y)). Линия ], может быть задана функцией /(и), т.е. z = /(и). При этом аргумент может зависеть от х.
Функция z = f(a), задающая линию !,, становится сложной. Для нее правомерна запись f2(f,(x)), или /2(хИ(х).
Поверхность £ может быть задана, например, функцией /2(х,у)= -Jr2 -х2 -у1 .Обозначим R2 - х2-
-у1 = и. Тогда f(x,y) = Vu = и2. В этом случае f(x,y) -сложная. Применима следующая запись:
/(х,у)=/2(/,(х)) = /2(х,у)о/,(х,у)
(3)
Модели геометрических преобразований будут аналогичны изложенным, когда рассматривались функции одного аргумента.
Выводы
1. Многолетние разработки приложений геометрических преобразований позволили автору систематизировать методы и использовать их не только для профилирования сопряженных поверхностей с линейным касанием.
2. Результаты проведенного исследования представляют, на наш взгляд, интерес с позиций включения темы в теоретическую часть учебной дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика».
3. Рассмотренные преобразования «увязывают» аналитические и графические методы расчетов.
4. Композиции геометрических преобразований, как известно, тесно связаны с понятием «движение», т.е. с кинематикой как разделом механики, где рассматриваются скорости, ускорения. Само понятие о производной заданной функции органически призвано решать и динамические задачи механики. В свою очередь, конструирование многих спортивных сооружений, в том числе трасс для горнолыжных соревнований, сопряжено с расчетом оптимальной ширины полос, обеспечивающих безопасность спусков.
! т
иИ
5. Выполненные исследования могут использоваться при производстве экспресс-расчетов, а также при оптимизации решений прикладных задач с точки зрения экономических затрат.
6. Изложенная методика моделирования композиций биективных геометрических преобразований может быть обобщена на случай использования функций двух аргументов.
Библиографический список
1. АтанасянЛ.С. и др. Геомегрия7,8,9 М:, Просвещение, 2002.
2. АтанасянЛС. и др. Геометрия 10,11 М:, Просвещение, 2002.
3. Потоскуев Е.В., ЗовичЛ.И. Геометрия 11 М:, Брофа, 2003.
4. Сморщков ЭК. Универсальные модели конструирования «винтовой» по сопряженной поверхности вращения при взаимном огибании. (Материалы межзональной научно-методической конференции вузов Сибири, Урала и Дальнего Востока по прикладной геометрии и инженерной графике. Выпуск 2, Омск, 1975.)
5. Гирш А.Г., Иванов Ю.Н.,Сморщков Э.К. Об одном исследовании эвольвентных линий и номограммный способ определения «базовой » окружности по двум конволютам. (В том же сборнике.)
6. Сморщков Э.К. Графоаналитические алгоритмы преобразований «винтовых» проекций окружности. (Межвузовский сборник «Автоматизация технологических процессов с многоканальной обратной связью», Новосибирск, 1976.)
7. Сморщков Э, К. Об одном графо-расчетном преобразовании на поле проекций. (Изд-во ВИНИТИ, Люберцы, №8152 - В85, 1985).
8. Сморщков Э.К., Куликов Л.К. Криволинейное проецирование при профилировании металлорежущего инструмента. (Изд-во ВИНИТИ, Люберцы, №5091 - 85, 1985.)
9. Сморщков Э.К., Ляшков A.A. Об одном виде преобразований на поле проекций. (Изд-во ВИНИТИ, Люберцы, №7634 - В85, 1985.)
10. Киселевич А.Д., Сухарева Л. А. Машинная графика в инженерном черчении. М: МАИ, 1992.
11. Левицкий B.C. Аналитические методы в инженерной графике. М„ 1978.
12. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1963.
13. Stewart J., Multivariable Calculus, fourth edition, 1999.
14. Howard Anton, Chris Rorres Elementary Linear Algebra. (applications Version), 2000.
СМОРЩКОВ Эдуард Константинович,кандидат технических наук, доцент до 1998 г.-кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского технического университета. В настоящее время живет в Канаде.
УДК 514.8:517.91/.93/958:519.6/71+53 fb СИЗИКОВ
Омский филиал Института математики СО РАН
РАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТРУМЕНТ ОТРАЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ПРИЧИННОСТИ
Дан критический анализ современных подходов к моделированию. Введено понятие генетически обусловленной структуры, отмечена серия закономерностей для многообразия всех таких структур и сформулированы основные положения ДИС-технологий моделирования. Данное понятие выступает рациональным инструментом по описанию и проработке сразу принципа причинности, логики синтеза и понятия системы.
1. Введение
Вне сомнений, одна из определяющих целей науки - распознавание и учет картины причинно-следственных связей в Мироздании. От того, насколько полно и тонко эта картина раскрыта и учтена в конкретном деянии, зависят возможность и адекватность подходов в рамках данного деяния.
Однако надо признать отсутствие на сегодня даже адекватного понимания сущности и роли причинно-следственных связей. Ситуация аналогична состоянию в общей теории систем [ 1 ], где упоминают о сингулярности понятий, приписывая это и понятию системы. На деле сингулярность есть явный признак недоучета серии важных качеств в принятой модели, такую модель в ряд ли можно считать адекватной, но ей нужна подходящая детализация и новое осмысление.
Распространено мнение, что траектория развертывания процесса есть линия с линейным на ней по-
рядком, навязываемым причинно-следственными связями. Этому способствует привычка работать с точечными объектами, игнорируя учет их формы [2-4], и с линейными дифференциальными уравнениями, обходя стороной нелинейности. Но такая ограниченность невольно предполагает сведение всего к одному качеству, как если бы, например, не было различий в частотах волн. Не сводимые друг к другу качества, конечно, встречаются, значит, должны допускаться разные траектории реализации линейного порядка. И опять, при восприятии траектории развертывания процесса в ранге линии напрашивается потребность в сингулярных точках как источниках целых вееров возможных траекторий и в проблеме выбора одной из этих траекторий. В итоге не получается ничего лучшего, как уход назад от детерминизма [5], от работы причинно-следственных связей.
Далее, особое внимание при разработке технологий должно уделяться феномену безопасности при
