Графо-геометрические модели (интерпретации) некоторых задач математического анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 515.1 -.621.9.09.02.001.2 Э-К. СМОРЩКОВ

Монреаль, Канада

ГРАФО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (ИНТЕРПРЕТАЦИИ) НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Известно, что сочетание аналитических и графических расчетов всегда эффективно. Усвоение учебного материала оказывается глубже и устойчевее, а проведение исследований — более успешным. Важнейшими звеньями должны стать, во-первых, определение круга задач и, во-вторых, отыскание эквивалентных моделей. «...Важно, чтобы геометрические построения и вычисления были внутренне связаны с рассматриваемыми объектами. Тогда геометрические фигуры все время будут находиться в поле зрения исследователя...» [1). В развитие [2) покажем несколько примеров из теории пределов. Пусть требуется определить значение пределов еле дую щи х соотноше! • и й:

. ,, , .. хг-2х-1

hmf(x)= hm-^--

к-х 3x^+2

. х4 - х3 - Зх

lim f|x| = lim----

t-x wx 7\г + 9

Пш

v'X -6

lim fix) 1 .....

x'»3G x — 36

(1)

(2)

(3)

Inn

c'-l y'Ut -1 3 t " t 'l + t

(4)

В двух первых примерах при подстановке значений аргумента возникает неопределенность

х О

вида —. а в третьем - неопределенность вида -.

ОС О

Известно, что раскрывать такие неопределенности можно несколькими способами, в т.ч. применяя правило Г. Лопиталя (фр. математика - 1661 -1704 г.г.). Отметим, что в дванном случае нас прежде всего интересуетграфо-геометрическая сторона как исходных данных, так и процесса решения. Рассмотрим подробнее соотношение |1) Обозначим числитель как функцию

к>М- хг -г2х-1

(5)

Последнее выражение задает параболу, у которой координаты вершины могут быть определены по

известным зависимостям: х = -—, где Ъ = 2. а = 1.

2а

Тогда х = —1 и у|х) = 1 -2-1 = -2 . Положив х = 0,

найдем координату пересечения параболы с осыо ч>|х). Имеем у|х) = -1 Прну|х| = 0 получаем

X | 2 — — I ± -УГ+Т = — 1 ± 1,4 1.

Значит, х, = 0.41 и х2 = -2.41 Обозначим знаменатель как функцию

0>{Х) = Зх2 (б)

задающую также параболу, у которой координаты х. <о(х) вершины будут соответственно равны 0 и 2. Мри этом ось у|х| совместим с (¡>{х|. В общепринятом смысле такую ось координат принято считать осыо ординат и обозначать как игрек. Отношение функции ч/(х) к функции <1>|х| можно реализовать в соответствии с методикой, изложенной в |2] путем двух преобразований. Вначале получить соотношение —а затем преобразовать его в

Не задаваясь целью проанализировать характер искомой линии, отметим, что она пройдет через точки -2,41 и 0,41 горизонтальной оси координат и

- 0.5 = вертикальной оси (рис. 1). При всем этом мы

пока не достигли результата в определении предела, хотя и приблизились в направлении цели. Дальнейшие шаги должны бы ть направлены в сторону графо-геометрической версии правила Лониталя в раскры-

аз

тии неопределенности —. С аналитической точки

зрения необходимо вначале вычислить первые производные функций v|xj и о>|х|

v/(x) = 2хч- 2, (о'(х) = Gx 17)

Г(х)=(хг+2х-1)/(Эхг+2) ф(х)=х*-*-2х-1 ш(х)=Зх*+2 ф(х}= 2x1-2 со(х) - 6х

Рис. I.

Графики этих функций представляют собой прямые линии с угловыми коэффициентами соответственно 2 и 6. Частное от деления значений названных коэффициен тов будет являться пределом соотношения (I). По правилу Лолиталя требуется еще одно действие, а именно вычисление второй производной от функций у(х| и о(х). Следовательно, имеем:

чЛх)«2.

е/(х) = б.

С геометрических позиций этим значениям соо тветствуют две прямые, параллельные оси х и имеющие ординаты соответственно 2 и 6.

Итак,

НпИ(х)ЛЛ

»-»* 6 3

В случае перестановки местами числителя и знаменателя в соотношении {I) значение предела будет равно 3.

Как видно, установлена полная аналогия аналитических, графо-геометрических расчетов и построений.

Проанализируем соотношение (2). В этой части, полагая, что задача решена, т.е. требуемый предел найден, следует разыскать такие зависимости, которые позволят свести данную задачу к другим, известным ранее |3]. Сравнивая (2) с (11. видим, что в том и другом случае задано отношение двух многочленов. Следовательно, можно применить одну и ту же методику решения, а именно:

а) обозначим числитель х4-х3-Зх через и знаменатель 7Хг+9 через <в(х). Выражение у{х) задает кривую четвертого порядка, а ю(х) - параболу второго порядка;

б) применяя последовательно правило Лониталя, находим

Иш 1(х) = <»

х-кс

Графики функций, участвующих в решении, показаны на рис. 2. Расширим поставленную задачу. Предварительно условимся функции у(х) = х4 - х:| Зх. |/(х) = 4х:' -Зх2-3. ч/"(х)= 12х2 -6х, у"|х| = 24х-0, у"(х) = 24 называть семейством функций числителя, в то время как функции ш(х) = 7х2 + 9, и'(х) = 14х. са"|х) = 14 — семейством, функций знаменателя. Поставим дополнительную задачу: на линиях семейств найти точки, у которых касательные проходят под наперед-заданным углом наклона а. Пусть угол а = агс(дб = 80*33' • Точками семейства знаменателя являются А и В. Точками семейства числителя будут: I и К, С и Н. Е и Р. С и О. Поясним сказанное на примере первых двух точек;

в) вначале отметим точку А пересечения линии и'|х| с прямой, у которой у = 6. Используя соответ-

6 3

ствующую формулу, получаем хл = — = -;

г} после этого через точку А проведем вертикальную прямую до пересечения с линией <о(х). Полу-

3

ченную точку обозначим буквой В, укоторой хв=-.

а ув = <о(х) = 7(5)2 + + 9 = у = 10.285714. Таким обра-зо.м, маршрут построений начинается от последую-

о(х).7хт + 9

щей линии (в данном случае первой производной) и заканчивается на предыдущей (в данном случае исходной) того же семейства линий. Аналогично строятся другие пары точек. На рис.2 графики функций \|/'"(х| и о>Чх} не показаны.

Соотношение (3). Покажем аналитическое решение, основанное на использовании правила Лониталя.

, Л 6 х2-6 1пп —--= 11Ш

• — 1|Ш —-

X X - 36 ' "»36 X - 36 " -»36

= Нт —г= х-.Э6 2л/Х

1

2x6

12

(8)

Графо-геометрическая интерпретация показана на рис.3.

Последний пример, соотношение (4), относится к случаю задания пространственной линии в параметрической форме. В квадратных скобках приведены уравнения, по которым рассчитывают соответственно значения пределов координат х, у, г, когда параметр I стремится к нулю. Рассмотрим поочередно выражения

,. е'-1 ,. -Л+Т-1 . 3

11ГП-. 1|ГП-, 1нп =-

1 1-й) I <-»!> I * I

Два первых соотношения приобретают неопре-0

делен ностьтипа Введем обозначения:

. е -I

11 т-- т.

. N'1+1-1

Ит---- п

Пусть в (9| и (10)

е -1

е1 -1 = ©(ц.

= т(1).

(91

(101

(11) (12)

(13)

[) 5 10 15 20 25J5Q^

1/(2 sqrt *) x-35

(sqrt x-6)/(x-38) (• sqrt x • 6) sqrt x ■ 6

(•sqrt < -6) / (x-36) 1/(-2 sqrt x)

-0,5 0 0,5 1 1.5

Рис. 3.

J применив правило Лопиталя, получаем: Следовательно,

lint f(t)= lime1 -1 u lirn—= i-*i> «-»o i-»o2vl + i

2'

Графо-геометрическая модель, адекватная рассмотренной аналитической, представлена на рис.4. При этом оси х и у совмещены для компактности чертежа. Рассмотренная линия является пространственной спиралью, одна из точек которой имеет координаты: х0 = 1, уо=0,5, ^ = 3. При I -><» значение х _>». у -> о и ■/. -> о Причем I не может быть меньше, чем — 1.

В заключение остается сослаться на чрезвычайно емкую, на наш взгляд, цитату:«... Общеизвестно, что геометрическая интерпретация алгебраических задач, или иначе - перевод алгебраической задачи на геометрический язык, является эффективным средством решения задач. Это помогает и найти решение, и убедиться в его правильности или обнаружить ошибку...» [5).

Выводы:

1. В случае, когда аргумент стремится к какому-либо числу из рационального ряда, графо-геометрическая модель чаще всего сводится лишь к построению графиков функций, а значение предела отноше-

ния - к вычислению отношения

У(х)

со(хГ

2. Графо-геометрические модели определения пределов отношения Г(х) многочленов разделяются на три группы в зависимости от конфигурации функций у(х) и 0>|х).

ф(0 T(t) T'(t) еЧ

Рис. 4.

3. В этой связи при возникновении неопределен-

0 »

ноетей вида -, либо — указанные модели строятся

на основании выполнения преобразований заданных функций с целью приведения их к виду уп(х) = а и со„|х) = Ь. где п задает число производных, равное показателю степени многочленов. В свою очередь, а и b приобретают значения из рационального ряда чисел.

4. В случае, когда v(x), ю(х) - сложные функции, графо-геометрическая модель определения пределов отношения функций строится на основе выполнения композиций биективных геометрических преобразований.

Библиографический список

1 Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрии. М..Л. 1949.

2. СморщкоиЭ К. Моделирование композиции биективных преобразований дискретных линий и их семейств. Сборник статей «Омский научный вестник» N»4. Омск,2006

3 Лурье М.В. Геометрия.Техника решения задач. «Феникс». Ростов-на-Дону. М.. 2002

4. Maple 9 5 Getting Started Guide Maplcsoít, a division oí Waterloo Maple Inc. 2004.

5. Дорофеев Г.В.. Муравин Г.К.. Седова П.А. Математика 11 класс. »Дрофа«, М.. 2001

СМОРЩКОВ Эдуард Константинович.

Статья поступила в редакцию 30.00.06 © Сморщков Э.К.