CC BY
11
УДК 534.13
DOI 10.21685/2072-3040-2018-3-3
Е. А. Микишанина
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВОБОДНОПЛАВАЮЩЕЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ЛЕДЯНОЙ ПЛАСТИНЫ
Аннотация.
Актуальность и цели. В условиях холодного климата всегда остается актуальной проблема эксплуатации ледяного покрытия. В работе предлагается аналитический метод решения задачи о колебаниях свободноплавающей бесконечной ледяной плиты, контактирующей с водой, как тонкой плиты на упругом основании, для исследования которой применимы методы теории тонких оболочек и пластин.
Материалы и методы. Метод основан на обобщенном дискретном преобразовании Фурье. Решение получено в классе почти периодических функций (рядов Бора - Фурье).
Результаты. Построена амплитудная функция колебаний произвольной тонкой плиты на упругом основании и бесконечной ледяной плиты, контактирующей с водой, в виде рядов Бора - Фурье. Показана принадлежность искомых функций классу почти периодических функций. Рассмотрен числовой пример, описывающий колебания ледяной плиты. Построены графики прогиба средней плоскости плиты в указанные моменты времени.
Выводы. Аналитическое решение подобных задач в виде рядов Бора -Фурье с функциональными коэффициентами значительно упрощает процесс решения и делает дальнейший процесс решения и графического представления довольно простым.
Ключевые слова: колебания, тонкая плита, ледяная плита, обобщенное дискретное преобразование Фурье, ряды Бора - Фурье.
E. A. Mikishanina
SIMULATION OF OSCILLATIONS IN AN INFINITE FLOATING ICE PLATE
Abstract.
Background. In a cold climate is always an urgent problem of operation of the ice cover. The paper proposes an analytical method for solving the problem of oscillations of a free-floating infinite ice plate in contact with water as a thin plate on an elastic base, for the study of which the methods of the theory of thin shells and plates are applicable.
Material and methods. The method is based on generalized discrete Fourier transform. The solution is obtained in the class of almost-periodic functions (BohrFourier series).
Results. The amplitude function of oscillations of an arbitrary thin plate on an elastic base and an infinite ice plate in contact with water in the form of Bohr - Fou-
© 2018 Микишанина Е. А. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
rier series is constructed. The belonging of the required functions to the class of almost-periodic functions is shown. A numerical example describing the oscillations of an ice plate is considered. Graphs of the deflection of the median plane of the plate at the specified moments of time are constructed.
Conclusions. The analytical solution of such problems in the form of Bohr -Fourier series with functional coefficients greatly simplifies the solution process and makes the further process of solving and graphical representation quite simple.
Key words: fluctuations, thin plate, ice plate, the generalized discrete transform of Fourier, ranks of the Bohr - Fourier.
Введение
C помощью дифференциальных уравнений в частных производных описываются различные процессы в механике сплошной среды, в том числе к подобным уравнениям приводят задачи теории оболочек и тонких пластин. Для России в условиях холодного климата всегда актуальной остается проблема исследования поведения ледяного покрова, который можно рассматривать как модель изотропного сплошного упругого тела, исследование которого возможно методами теории тонких оболочек и пластин. Отождествляя большую ледяную плиту с бесконечной тонкой плитой на упругом основании, математически исследование изгиба этой плиты под действие нагрузки q сведется к решению краевой задачи для дифференциального уравнения
DA2 w + Kw = q, (1)
где А2 =-^-4 + 2—д—2 + ""4; w - функция прогиба; K - коэффициент по-
дх4 Эх2Эу2 ду4
D Eh3
стели упругого основания; D =----цилиндрическая жесткость плиты
12(1 -V2)
толщиной h, c модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона V .
Если в уравнении (1) в качестве нагрузки взять величину q = — р д W (р -
dt2
плотность плиты), то оно будет описывать собственные колебания тонкой плиты.
Аналитические решения подобных уравнений выражаются через интегралы от осциллирующих функций или через контурные сингулярные интегралы, что приводит к некоторым вычислительным трудностям. Представление решений в виде абсолютно сходящихся рядов Фурье значительно упрощает задачу и делает дальнейший процесс решения довольно простым. Решению краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и их систем в классе почти периодических функций, представимых в виде рядов Бора - Фурье, были посвящены работы [1, 2]. Ниже будет решена задача о колебаниях бесконечной плиты на упругом основании, в том числе в контексте исследования колебаний ледяной пластины, контактирующей с водой.
Сформулируем кратко основные свойства почти периодических функций и обобщенного дискретного преобразования Фурье.
1. Почти периодические функции и обобщенное дискретное преобразование Фурье
Под почти периодическими функциями (множество I щ) будем понимать функции вида
оо оо
А(х) = ^ апе1Х"х, ^Ы <~, ап е С, Хп е Я . (2)
п=1 п=1
Каждой функции A(x) из I w поставим в соответствие функцию
X
X 2 X
1 x
a(A) = M{a(x)e-iAx }_ lim - J A(x)e-iAx, (3)
X ^^ - X
отличную от нуля не более чем для счетного множества значений
А_К Cr
Между функцией A(x) из Пw и последовательностью {а(А,n )}_i е h
установлено взаимнооднозначное соответствие. Равенство (2) называется обобщенным дискретным преобразованием Фурье (ОДФ): A(x) _ W^a(А). Равенство (3) называется обратным преобразованием Фурье: a(A) _ W0-1A(x). В работе [3] показано, что если A(x) дифференцируема и вместе со своими производными до p-го порядка принадлежит I w , то
Wo-1 _(i а) а (А), j _ 0ГР. (4)
dxJ
Коэффициенты последовательности а(А) могут зависеть от параметра
У: an(yX У е[a, Ь].
Если существует последовательность положительных чисел
сю
{an е li такая, что |an (y)| <an , ^ an < ^ , то будем говорить, что функ-
n=1
ция A(x, y) _ ^ an (y)eiAnx е I W на горизонтальной прямой полосе
n=1
хе (-га, у е[а,Ь]. Если функция А(х, у) дифференцируема по у
Э]А(^, у) пу .
р раз и вместе со своими частными производными-:— е ПЩ, ] = 0,...,р,
ду]
то
W^-1 d JA( x, y) = dJa(A, y) dyJ dyJ
Если существует последовательность положительных чисел
{ап }и1 е ¡^ такая, что |ап (V)| <ап и ^ ап < ^ , то будем говорить, что
п=1
А(х, у, V) = ^ ап (V)вЛ пх в^пу е / ^ в слое И < V < Н.
п=1
Справедливы следующие свойства:
1 Э УА( х, у, V) [ d1 ап (01
3tJ I I
^ ^ n
1 ={)q(t)} _
dxq L Jn
^ = {^(t)} ,
dy^ L J n
^ э ^Afc*t) = { n )q (iц n )4 (t)
(6)
дхч дур
2. Постановка задачи о колебаниях тонкой плиты на упругом основании
Рассматривается бесконечная плита х,у е + шириной И с заданными модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V на упругом основании с коэффициентом постели К. Необходимо определить амплитудную функцию плиты. Форма плиты в начальный момент времени V = 0 и распределение скоростей задаются функциями / (х, у) и g (х, у).
Будем считать, что функции /(х,у), g(х,у) е , т.е. представимы в виде рядов
f(^ У) = fo + 2 f
n=1
X n+ЦП
. JXnx . J
n
g(x,y) = go + 2 gn • JXnx • JЦпУ , (7)
n=1
X2 +ЦП ^o
2lfnl <~, 2Ы <-. (8)
n n
Математически решение поставленной задачи сводится к решению уравнения
2 д 2 ж
Б А2 ж + Км> + р—- = 0 (9)
дг2
с начальными условиями:
w(t, X, y)| t=0 = f (X, y), dw i
dt
t=o = g(X, У)-
3. Аналитическое решение в классе почти периодических функций
Решение уравнения (9) будем искать в виде функции
w(t, X, y) = ao(t) + 2 an (t) ■
e' Кхе'^пУ
(10)
n=1
причем сама функция и все ее частные производные до четвертого порядка включительно принадлежат множеству I Щ (^ > 0).
Действуя на уравнение (9) преобразованием Щ-1 и учитывая свойства (6), получим обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядка:
2 2 - при An +Мп = 0 :
- при А2 +^2 ф 0 :
2
d a0(t) ' dt2
+ Ka0(t) = 0;
p d 2 an (t) +
dt2
K + D(A2 +^2)2'
■ an (t) = 0;
c решениями
a0(t) = Ci cos ((К/p) + C2 sin ((К/p)
и
К + D (A n +ЦП
an (t) = d1n cos (Ant) + d2n sin (Ant), An =\
Таким образом, решение уравнения (9) примет вид
w(t, X, y) = Ci cos ((К/p ) + C2 sin ((К/p) +
' Anxoi 1пУ
+ 2 (d1n cos(Ant) + d2n sin(Ant))■e nXe n=1
An+inФ0
(11)
Константы C1, C2, d1n d2n определятся из начальных условий:
С1 + 2 d1n • J'Xnx • e'^ny = fo + 2 fn
iXnx . JV-пУ
n=1
X2n +l4 ^0
n=1
X n+Vn ^0
^л/^Р + 2 And2n • e
n=1
xn+in ^o
. eiXnx . e'lny =
+ 2 gn • e'Xnx • e'^ny,
n=1
xn+in ^o
то есть
c1 = f0, d1n = fn, c2 = go4рK, d2n = gnlAn .
(12)
С учетом (12) оценим коэффициенты ряда (11). Так как 21 /п\21 gn\то
2 |d1n cos(Ant) + d2n sin(Ant2 \d1n\ + 2 ld2n| = n=1 n=1 n=1
x2+i2*0 x2+in*0 xn+in
= 2
+
2
gn
* 2 Ifnl+K 2 |gnl<".
n=1 n=1
X2+in^0 X2+|2xn+inX2+in^0
п=1 п=1
Таким образом, можно утверждать, что искомая функция
w(x,y, t) e nW [0,T].
4. Колебание свободноплавающего ледяного покрова
Дифференциальное уравнение изгиба свободноплавающей ледяной пластины согласно [4] имеет вид
^л2 ,Э2 w ЭФ
DA w + рвgw + Рлh~~T~ +Рв-7-
dt2
dt
= —q( x, y, t),
(13)
z=0
d 4 Э 4
. 2 д .
где А =—- + 2—-—— +---, рв, рл - плотности воды и льда соответ-
дх4 дх ду ду4
ственно; g - ускорение свободного падения; q(х, у, V) - поверхностная
нагрузка; И - толщина ледяного покрова; Ф(х, у, г, V) - потенциал скорости
движения жидкости, причем
Э2Ф Э2Ф Э2Ф
- +——+ ■ _
dx dy2 dz2
= 0.
В случае отсутствия поверхностной нагрузки и с учетом того, что потенциал скорости движения жидкости не зависит от времени, уравнение (13) примет вид
гчл2 , д ^ _
^А ^ + рв ^ + рлЛ—— = 0.
дt 2
Тогда амплитудная функция бесконечно ледяной плиты в классе почти-периодических функций (в виде ряда Бора - Фурье) примет вид, аналогичный (11), а именно
w(t, X, y) = qcos (Agt) + C2 sin (Agt) +
+ 2 ( cos(Ant) + d2n sin(Ant))•nXe
' Xnxei In У
n=1
X n +|4 ^0
Рв g
\2
Р в g + D ( 2 +l2
А =№ • Ап =■
Постоянные С1, С2, а!п ^2п будут определяться особенностями моделируемого сценария.
5. Числовой пример
Рассмотрим ледяную плиту толщиной 0,5 м, контактирующую с водой и совершающую свободные колебания. Плотность воды р = 1000кг/м , плот-
3 8
ность льда р = 900 кг/м , цилиндрическая жесткость льда V = 1,1 10 . Будем
считать, что потенциал скорости движения жидкости не зависит от времени. Пусть начальные условия имеют вид
4=0 = 0,01 + 0,01ео8 (0,002х ) (0,01у), = 0,01 + 0,02ео8 (0,002х ) (0,01у).
dw
э7
t=0
Колебания плиты изображены на рис. 1.
г)
Рис. 1. Окончание
Изложенный алгоритм расчета может быть применен к широкому классу задач механики сплошной среды, например [3, 5].
Библиографический список
1. Кулагина, М. Ф. Построение почти-периодических решений некоторых систем дифференциальных уравнений / М. Ф. Кулагина, Е. А. Микишанина // Математические заметки СВФУ. - 2015. - Т. 22, № 3. - С. 11-19.
2. Микишанина, Е. А. Построение почти периодических решений некоторых систем дифференциальных уравнений в задачах теории фильтрации / Е. А. Ми-кишанина // Information Technologies for Intelligent Decision Making Support (ITIDS'2016). Proceedings of the 4th International Conference. - Уфа, 2016. - Т. 2. -С. 138-141.
3. Кулагина, М. Ф. О некоторых бесконечных системах с разностными индексами / М. Ф. Кулагина // Известия высших учебных заведений. Математика. -1992. - № 3. - С. 18-23.
4. Тимохов, Л. А. Динамика морских льдов. Математические модели / Л. А. Ти-мохов, Д. Е. Хейсин. - Л. : Гидрометеоиздат, 1987. - 272 с.
5. Микишанина, Е. А. Компьютерное моделирование решений плоской краевой задачи теории фильтрации / Е. А. Микишанина // Вестник Чувашского университета. - 2016. - № 1. - С. 145-153.
References
1. Kulagina M. F., Mikishanina E. A. Matematicheskie zametki SVFU [Mathematical notes of NEFU]. 2015, vol. 22, no. 3, pp. 11-19.
2. Mikishanina E. A. Information Technologies for Intelligent Decision Making Support (ITIDS'2016). Proceedings of the 4th International Conference. Ufa, 2016, vol. 2, pp. 138-141.
3. Kulagina M. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1992, no. 3, pp. 18-23.
4. Timokhov L. A., Kheysin D. E. Dinamika morskikh l'dov. Matematicheskie modeli [Sea ice dynamics. Mathematical models]. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1987, 272 p.
5. Mikishanina E. A. Vestnik Chuvashskogo universiteta [Bulletin of Chuvash University]. 2016, no. 1, pp. 145-153.
Микишанина Евгения Арифжановна
старший преподаватель, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова (Россия, г. Чебоксары, Московский проспект, 45)
E-mail: evaeva_84@mail.ru
Mikishanina Evgeniya Arifzhanovna Senior lecturer, Chuvash State University named after I. N. Ulyanov (45 Moskovskiy avenue, Cheboksary, Russia)
УДК 534.13 Микишанина, Е. А.
Моделирование колебаний свободноплавающей бесконечной ледяной пластины / Е. А. Микишанина // Известия высших учебных заведений Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). -С. 27-35. - DOI 10.21685/2072-3040-2018-3-3.
