Построение почти-периодических решений некоторых систем дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2015. Том 22, № 3

УДК 517.95

ПОСТРОЕНИЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. Ф. Кулагина, Е. А. Микишанина

Аннотация. Указан метод построения почти-периодических в смысле Бора решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые возникают при решении некоторых задач для гетерогенных сред. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, краевая задача, обобщенное дискретное преобразование Фурье, ряды Фурье.

M. F. Kulagina, E. A. Mikishanina Constructing almost periodic solutions for some systems of differential equations.

Abstract: A method for constructing almost periodic Bohr solutions of boundary value problems for systems of differential equations in partial derivatives that arise in the solution of certain problems for heterogeneous environments .

Keywords: differential equations, boundary value problem, generalized discrete Fourier transform, Fourier series .

Рассматриваются краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, которые получаются при решении плоских задач теории гетерогенных сред в теории упругости, теории фильтрации, теории диффузии, теплопроводности, электро- и магнитодинамике в случае, когда область представляет собой двухслойную (или 1-слойную) полосу. Граничные условия задаются как на границе полосы, так и на линии склейки.

В общем случае задача выглядит следующим образом: найти функции Икт(х, у) такие, что в каждой из т полос, —то < х < +то, ат < у < Ьт, они удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

а(т)д2икт(х,у) | и(т) д2икт(х,у) | д(т) дикт(х,у)

= 1

Е/ (m) д ukm (X У) j (m) д ukm (X У)

1 akj + % о,, 2 + C

дх2 кэ ду2 kj дх

(m) dukm(x,y) (m)

+ ^{гп)дикт{х,у) =р^т(х,у), 3 = 1,71, 771=1, г. (1)

Граничные условия задаются на границе полосы, а на линиях раздела задаются условия склейки. Например, для двухслойной полосы —то < х < +то, — 1<у<0, 0<у<1 эти условия могут выглядеть так (к = 1, п, т = 1,2):

икт(х, 1) = Фкт (х), икт(х, —1) = Фкт(х), ик1(х, 0) = ик2(х, 0),

© 2015 Кулагина М. Ф., Микишанина Е. А.

dukl(x, 0) _ duk2(ж, 0) dy dy '

Количество условий зависит от порядка системы (максимальный порядок системы 2n).

Будем искать почти-периодические в смысле Бора решения на каждой прямой y = const. Эти решения будем строить с помощью обобщенного дискретного преобразования Фурье, введенного и изученного в работах [1—3].

Напомним основные понятия, относящиеся к почти-периодическим функциям. Почти-периодическим (п.-п.) полиномом называется функция p(t), —то < t < то, являющаяся линейной комбинацией функций вида eiAt, где Л G R. Обозначим через Пс замыкание по норме LTO(—■то, множества всех п.-п. полиномов. Множество Пс является подалгеброй lto(—to, +то), состоящей из всех п.-п. функций по Бору. Через П^ обозначим множество Пс, состоящее из функций A(t) вида

A(t) = £ aneiAn(1.1)

n= 1

удовлетворяющих условию |ап| < то. Множество П^ является банаховой

n= 1

алгеброй.

Каждой функции A(t) из П^ поставим в соответствие функцию

T

а(А) = М {A(t)e-M} = ^lim ± J A(t)e-M. (1.2)

-T

Такая функция существует и может быть отличной от нуля не более чем для счетного множества ограничений Л: Л1; Л2, K: а(Лп) = ап = 0. Таким образом, каждой функции из П^ поставим в соответствие функцию а(Л) или последовательность пар а(Л) = |(а1; Л1), (а2, Л2), K}, где an G C, Лп G R.

Если A(t) G П^, то соответствующая этой функции последовательность {ап} принадлежит l1 (будем говорить, что а(Л) принадлежит l1). Обратно, для каждой функции а(Л) G l1 существует функция A(t), для которой выполнено (1.2), и A(t) имеет вид (1.1). Ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно при —то < t < то. Следовательно, установлено взаимно однозначное соответствие между функциями из П^ и двумерными последовательностями а(Л) G l1.

Равенство (1.1), согласно которому последовательности а(Л) G l1 поставлена в соответствие функция A(t) G П^, назовем обобщенным дискретным преобразованием Фурье (ОДФ). Равенство (1.2) определяет обратное преобразование. Последовательность а(Л) — оригинал, функция A(t) — изображение. ОДФ будем обозначать символами A(t) = ^Оа(Л), а(Л) = W0-1A(t). Показано, что если A(t) дифференцируема и Aj)(t) G П^, j = 0, K, p, то

Коэффициенты последовательности а(Л) могут зависеть от параметра y:

а(Л, у) = {(а1, Л1), (а2, Л2), K}, y G [а, 6].

Если существует последовательность положительных чисел {ап} € ¿1 такая, что |ап(у)| < ап, то функции А(4, у) = ЭДоа(А, у) принадлежат П^ на каждой горизонтальной прямой полосе а < 1тг < Ь (г = 4 + ¿у). Будем говорить, что функция А(4, у) принадлежит П^ в полосе [а, Ь]. Если функция у) дифференцируема р раз по у и 9 д^*-'^ € П^, з = 0,... ,р, то

^ЭМ^у) = &>а(\,у) 0 дуР дуР

Будем считать, что функции в граничных условиях принадлежат П^, т. е. представимы в виде абсолютно сходящихся рядов

$>кт{х) = ^2<ркт{Х)егХх, Фьтг(ж) = ^2фкт{Х)е*Хх, к=1~п,т=~1,

А А

все функции ^}т(ж,у) принадлежат , т. е. представимы в виде рядов

А

Решение системы икт(х,у) будем искать в классе П^, т. е. в виде икгп{х, у) = ^Акт(Х, у)егХх, к = 1,п, т = 1,1,

А

где Акт (А, у) — неизвестные функции, которые находятся из граничных условий и условий склейки следующим образом.

Подействуем оператором ^о-1 на уравнения системы (1) и получим систему

Е( л 2 (т) . ч ,(т) Л2Акгп(А, у) (т) ... . /\ \

I -А ак]>Акт{\у) + Ъ[к]>-—-+ ск]> ■ гХ ■ Акт(Х, у)

к=1 ^ у

+ А,у) +еуЛт(Л,у)) =/д-т(Л,у), ш = ТЛ, (2)

обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при каждом фиксированном т порядка не выше 2п (А — параметр). Решая эту систему, получим

2п

Акт (а, у) = У^ Рдкт (Х)£дкт (а, у) + 1кт (А, у), А; =1,п, т=1,1,

д=1

где Рдкт(а) при фиксированных д, к, т, А — постоянные. Именно они и находятся из граничных условий и условий склейки. Для определения этих постоянных получается конечная система линейных алгебраических уравнений.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу теории фильтрации.

Постановка задачи. В однородно-изотропной пористой области, представляющей собой две полосы, —то < х < +то: первая (т = 1), —1 < у < 0; вторая (т = 2), 0 < у < 1 — происходит стационарная фильтрация некоторой жидкости.

На внешних границах области у = 1, у = —1 известны значения нормального и касательного напряжений, а также значение потенциала скорости фильтрации:

41' (х, —1) = л(х), (х, 1) = С1(х),

тХ1) (х, —1) = ^2(х), (х, 1) = С2(х), (3)

<^(1) (х, —1) = Ез(х), <^(2)(х, 1) = Оз(х), где функции Е, (х), О, (х), ] = 1, 2, 3, почти-периодические с абсолютно сходящимися рядами Фурье (принадлежат классу П^), т. е. имеют структуру

Е (х) = Е Л (ХУХХ, О, (х) = Е д, (Л)егАх,

А=0 А=0

{Л} — счетное множество действительных чисел, которое отделено от нуля. На общей границе раздела сред у = 0 имеют место условия жесткого сцепления: а«(х, 0) = 42)(х, 0), тХУ (х, 0) = т^ (х, 0), (4)

и(1)(х, 0)= и(2)(х, 0), ^(1)(х, 0)= ^(2) (х, 0), (5)

Ь ~ к2 ' ду [ 'ду [ ' >' [ '

где к1, к2 — коэффициенты фильтрации сред. Функции и(т)(х, у), ^(т)(х, у), т = 1, 2, известным образом выражаются через (х, у), (х, у), т^) (х, у).

Найти функции потенциала скорости фильтрации (х, у) жидкости, действующей в каждой полосе пористой области 0 < у < 1, —1 < у < 0, —то < х < +то, а также напряжения ст(т)(х,у), стУ)т)(х,у), тХ^'(х,у), т = 1, 2.

Подобные задачи возникают при расчете напряжения и деформации дорожных одежд [4].

Эта задача сводится к решению системы уравнений относительно (х, у), ^Ут)(х, у), т]^) (х, у), ^(т)(х, у), т = 1, 2 [5]:

д2а{хт) э24т) э24т) а24т) _ п

дх2 дх2 дх2 ду2 '

дх ду дх

дт(т) да(т) дш(т' Г ^ °~ху УУу _ <-><£___к — о

(7)

дх ду ду

д2^(т) д2^(т) —---1----= 0.

дх2 ду2

Решение будем искать в классе П^ (0 < у < 1), т. е. в классе функций, пред-ставимых в виде рядов

(1) (х,у) = V А(1)(у)егАх, а!2)(х,у) ^^ А (2) (у)е*Ах

^ (х, у) = £ аА1) (уКАх , ^2) (х, у)=£ аА2) (у)е

АА

^ (х, у) = Е вА1)(у)егАх, (х, у) = Е вА2)(у)е

АА

-<1)(х,у) = V^(у)^, т<2)(х,у) = £СА2)(у)е®Ах,

АА

<^(1) (х, у) = Е ^А1) (у)егАх, ^(2) (х, у) = Е ^ (у)егАх.

Подействуем оператором ЭД^ 1 на уравнения системы (7). Учитывая его свойства, приходим к следующим уравнениям:

-а24Г>ы + - х>в<г\у) + = о,

Л + =о,

(9)

л2 (т)^ ^(т)(у)

~А2д1т)Ы+

= 0, т = 1, 2.

¿у2

Решая систему дифференциальных уравнений (9), имеем 4%) = ("^т)(А) - |4т)(А) - 4т)(А)у + 24т)(А)^ еХу

+ (-4т)(А) + |4т)(А) - 4т)(А)у + 24т)(А)^) е~Ху,

в(т) (у) = (ь1т)(А) + ь3т)(А)у) еАу + (ь2т)(А) + Ь^т) (А)у) е-Ау, 'к(т) / 1 \

С(т) (у) = _ + г ^ш) (А) + I Ь(т) (А) + Ь(т) (А)у _ ¿ш) (А)^ еЛ„

+ * (-4т)(А) + ^1т)(А) - б1т)(А)у + 4т)(А)) е^,

Д(т) (у) =4т) (А)еАу + ¿2т) (А)е-ау , т = 1, 2.

(10)

Используем граничные условия и условия сцепления для определения ь1т)(А), Ь2т) (А), Ь3т) (А), Ь4т) (А), ¿1т)(А), ^ (А), т = 1, 2. Из граничных условий (3) следует, что

Ь11) (А)е-А + Ь21)(А)е А — Ь^1)(А)е-А — Ь«(А)еА = /1(Л),

+ г (-Ь^(А) + -^(А) + Ъ{1\А) +4Х)(А)) еА = /2(А),

¿11)(А)е- А + ¿21)(А)еА = /з(А), Ь12)(А)е А + Ь22)(А)е-А + Ь<2)(А)е А + Ь42)(А)е-А = д1(А),

^+г(&12)(Л) + ^з2)(А)+42)(А)-42)(А)) вА

+ г (~ЬЧ\А) + -^2)(А) - 42)(А) + 42)(А)] е-А = д2(А),

42)(А)еА + 42) (А)е-А = дэ(А). Из условий (4) следует, что

б11)(А)+ &2Х)(А) = Ь12)(А) + б22)(А), - ^ + (Л) + ^ (А) - ^ (А)) + (-41' (А) + (А) + 41» (А)

= + (ь?\х) + 142)(а) - 42)(а)) + (-42)(а) + ^12)(а) + 42)(а)

Функции и(т)(ж,у), ^(т)(ж,у), т = 1, 2, определяются следующим образом:

А=0 т

+ (Аб2т) - 2б4т) + Ау4т) - 2А^2т) + Аб2т) - ^тАб4т)у)е-АУ)егАх,

г» (х, у) = ]Г ((4т) А - 4т) + \уЪ[т) - 2»т\с1[т) + итХЪ[т)

А=0 т

+ + ^тА&3т)у)еАУ + (-А4т) - Ь<т) - Ауб1т) + 2^тА^2т) - „тАЬ<т) + - 1/тАЬ1т)г/)е-л«)е^ + Е

А=0 т

где Ет, — некоторые заданные постоянные. Из условий (5) следует:

Е^((41)А + 241)-2А41) + ,1А41))

А=0 1

+ (А&21) - 2б41) - 2А^21) + ^А^))егАх

А=0 Е А

+ (Аб22) - 2Ь£2) - 2А^22) + ^2А&22^)егА*,

А=0 1

+ (-А&21) - ь41) - 2^1А^21) - ^ А&21) + - 2к01)(1 + ^))егАх

= ((&12)л - 2&з2) - 2-2А42) + ,2А42' + ,242>) А=0 Е2А

+ (-а&22) - 42) + 2^А42) - ^А42) + ^42)) - 2к02)(1 + ^2))б

Из условий (6) следует, что

(А)+ 4^ (А) = ^>(А) - 4Х)(А) = 42)(Л) - 42)(Л).

Согласно вышеизложенному для определения коэффициентов Ь1т)(А), Ь2т)(А), Ь^т)(А), Ь^т) (А), ¿1т)(А), ¿2т) (А), т = 1, 2, необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений

е-А Ь11)(А) + е АЬ21)(А) — е-А Ь(1)(А) — е АЬ^1)(А) = /1(А), в-АЬ«(А) - еА41)(А) + " 1) + ехЬ?\\)

к(1)

- е-^1' (А) + еА41) (А) = -г/2(Л) +

А

е-А ¿11) (А) + е а^21)(А) = /з(А), е АЬ12)(А) + е-А Ь22) (А) + е А Ь32)(А) + е-А Ь^2) (А) = д1(А),

вМ2> (А) - е-А42) (А) + (I + 1) вА42' (А) + (I - 1) е-%

'(А)

(2)

- еА42)(А) + е-х42)(Х) = -гд2{А) + -2-,

А

е А^12)(А)+ е- А 42)(А)= дз(А),

Ь11)(А)+ Ь21)(А) — Ь12)(А) — Ь22)(А) = 0, (11)

Ь[1] (А) - 41' (А) + (А) + \ь[г> (А) - 41' (А) + 41' (А) - ъ[2) (А)

(1) (2)

+ 42)(А) - ±42)(А) - ^12)(А) + 42)(А) - 42)(А) = V - V'

(А) + (А) — м!2) (А) — м22 (А) = 0, ¿11) (А) — ¿21) (А) — ¿12) (А) + 42) (А) = 0,

Е1 Е1 Е1 Е1 Е1 Е1

_ Л(1+^) (2) _ А(1+,2) (2) _ (2)

771 1 771 2 771 3 V /

Е2 Е2 Е2

Е2 Е2 Е2

А(1 + ^(1) А(1 + г/х) ^(х) | у\ - , VI - 1,(1)^,

" + ^(А) + —(А) - —^

2А^

„ _ (2) АО-Н*) (2) _ (^Ц&(2)(а)

Т71 2 г1 1' 771 2 771 3 V /

Е1 Е2 Е2 Е2

Е2 Е2 Е2

2к01)(1+ V!) 2к02)(1+ ^2)

Е £2

Эта система распадается на две подсистемы:

е-А^11)(А) + еА^21) (А) = /э(А), еА^2)(А) + е-А^22) (А) = дз(А), (А) + к2^21) (А) - Ы12)(А) - М22) (А) = 0, ¿11) (А) - ¿21) (А) - 42) (А) + ¿22) (А) = 0,

и

е-Аб11) (А) + еАь21)(А) - е-Аб31)(А) - еА^ (А) = /1(А),

(12)

е-^(А) - еА41)(Л) + ( I - А е-ЧЧН\) + (I + 1 ) е^^А)

к(1)

А 1 2

еА&12)(А) + е-А42) (А) + еАь32)(А) + е^Ь^А) = д1(А),

еАЬ^2)(Л) - в-А42)(А) + ( I + 1) еА42)(Л) + (I - 1 ) е"^(А)

к(2)

= + +еА42)(А) -е-А42)(А),

А

Ь11)(А)+ Ь21) (А) - Ь12)(А) - 42)(А) = 0, (13)

(А) - (А) + ^(А) + ^(А) - А) + (А)

(1) (2)

- т42)(А) - т^2)(А) = V - V + 4Х)(А) -4Х)(А) -42)(А) + 42)(А),

Е1 Е1 Е1 Е1 Е2

Е2 Е2 Е2 Е1 Е1 Е2 Е2

Е1 Е1 Е1 Е1

л(1 + г/2)42) + л(1 + г/2)42) - (г/2-1}42)(А) - (г/2~1}42)(А)

е Е2 Е2 Е2

2^1)(1+г/1) 242)(1+^2) , 2Агл (1) 2Агл (1) 2Аг/2 (2) 2Аг/2 (2)

ТР 2 771 1 7Г1 2

Е1 Е2 Е1 Е1 Е2 Е2

Определитель каждой из них не обращается в 0 ни при каком А = 0. Итак, справедлива

0

Теорема. Пусть функции ^, С.,-, ] = 1, 2, 3, принадлежат классу П^, т. е. имеют вид

^ = £ / (А)егАх, С =Е (А)егАх,

А=0 А=0

причем множество {А} отделено от нуля. Тогда краевая задача (3)—(7) в области, представляющей собой две полосы 0 < у < 1, -1 < у < 0, -то < х < имеет единственное решение, представленное рядами (8), где ААт)(у), вАт) (у), С(т) (у), (у) находятся по формулам (10), а коэффициенты ь1т)(А), ь2т)(А), ь3т)(А), ь4т)(А), ¿1т)(А), ¿2т)(А), т = 1, 2, по формулам (12), (13). Все полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно относительно х при условии, что 1

|А|

сходится ряд ш •

ЛИТЕРАТУРА

1. Кулагина М. Ф. Построение почти-периодических решений линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами // Изв. вузов. Математика. 2001. № 9. С. 38-42.

2. Кулагина М. Ф. О некоторых бесконечных системах с разностными индексами // Изв. вузов. Математика. 1992. № 3. С. 18-23.

3. Кулагина М. Ф. Об интегральных уравнениях в средних значениях в пространствах почти-периодических функций // Изв. вузов. Математика. 1993. № 8. С. 19-29.

4. Иванов Н. Н. Конструирование и расчет нежестких дорожных одежд. М.: Транспорт, 1973.

5. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.

Статья поступила 21 августа 2015 г.

Кулагина Марина Фокеевна, Микишанина Евгения Арифжановна Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, пр. Московский 15, Чебоксары 428000 kulagina_mf @таз.1. ги, е¥ае¥а_84@таз.1. ги