Компьютерное моделирование решений плоской краевой задачи теории фильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.7:004 ББК В 161.6-3

Е.А. МИКИШАНИНА

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ПЛОСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

Ключевые слова: обобщенное дискретное преобразование Фурье, ряды Фурье, краевая задача, блок-схема.

В настоящей работе для построенных с помощью обобщенного дискретного преобразования Фурье почти-периодических в смысле Бора решений плоской краевой задачи теории фильтрации предлагается алгоритм их компьютерного моделирования в системе программирования Maple. Все решения задачи получены в виде абсолютно сходящихся рядов Фурье, коэффициенты которых выражаются через заданные функции. Определены структуры искомых механических параметров, построены графики, а также их приближения к граничным функциям.

В различных областях техники и механики часто используются многослойные конструкции. Актуальным в настоящее время является исследование устойчивости этих конструкций к разрушению под влиянием действующих на них нагрузок, например, исследование работы дорожных «одежд» [1]. Этот вопрос тесно связан с задачей определения напряжений и деформаций упругих слоистых систем, которые подвержены, например, силовому воздействию воды.

В настоящей работе рассматривается плоская краевая задача теории фильтрации для области, представляющей собой две полосы (рис. 1), когда на границах заданы напряжения в виде почти-периодических1 по Бору функций, т.е. в виде абсолютно сходящихся рядов Фурье с функциональными коэффициентами, [2, 3], а на границе раздела сред заданы условия жесткого сцепления.

Решения подобных задач, но в других классах функций, например, с помощью интегральных преобразований Фурье, представлены во многих учебных пособиях.

Построение с помощью ОДФ почти-периодических в смысле Бора решений краевой задачи для системы дифференциальных уравнений имеет ряд преимуществ: позволяет перейти от системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем к системе линейных алгебраических уравнений; процесс решения и дальнейшего компьютерного моделирования решений достаточно прост.

У > У = 1

0 x

У = -1

Рис.1. Двухслойная полоса

1 Почти-периодическим (п.-п.) полиномом называется функция р(?), -те < t < те, являющаяся линейной комбинацией функций вида вм, где X е Я. Через П^ обозначим множество, состоящее из функций Л(0

вида Л(Ь) = £ а„е'^, где X„ е Я, а„ е С, £ |а„| <те .

1=1 П=1

В работе предлагается алгоритм построения решений в системе программирования Maple, который проиллюстрирован на тестовом примере. Построены графики найденных напряжений и функций потенциалов скорости фильтрации внутри областей и на их границах.

Постановка задачи. Найти функции потенциала скорости фильтрации жидкости ф(т)(х, у), действующей в каждой полосе пористой области 0 < у < 1, -да < x < +да, (m = 1), -1 < у < 0, -да < x < +да, (m = 2), а также нормальные и касательные напряжения cXm)(x,у), a(ym)(x,у), T(m)(x,у), удовлетворяющие системе восьми дифференциальных уравнений

a2cxm) a2c(xm) d2a(„m) d^m x +——+—+- у

dx2

ду2

dx2

dcxm) +Y(m) дф(m)

dx

ду

k m dx

di™ da(m)

ду km ду

dx

ду2

-y0m)

д 2ф(п,) д 2ф(п,)

+ -

= 0,

= 0,

= 0,

= 0,

(1)

^ дх2 ду2 ( )

где кт - коэффициенты фильтрации сред; у(т), у0 - объемные веса жидкости и пористых тел с заключенной в них водой; т = 1, 2 [4].

На внешних границах сплошной среды у =1, у = -1 известны значения нормального и касательного напряжений, а также значения потенциала скорости фильтрации:

а(1) у (x, -1)= F]( x), i(1) ^у (x, -1)= F2( x), ф(1)( x, -1) = F3( x),

a(2) у (x,1)= G,( x),

i(2)

(x, 1) = G2 (x), ф(2)( x, 1) = Ga( x),

ху

(2)

где функции Fj, Gj e П^, j =1, 2, 3, т.е. имеют структуру Fj(x) = £ fj(X)e'

i >x

jj j)x

О] (х) = ^ gj (А)егАх, {А,}- счетное множество действительных чисел, которое отделено от нуля.

На общей границе раздела сред у = 0 имеют место условия жесткого сцепления:

а(1)у(х,0) = а(2)у(х,0) х(1)ху(х,0) = х(2V(х,0),

и (1)(х, 0) = и (2)(х, 0), V (1)(х, 0) = V (2)(х, 0), (3)

ф(1)(х, 0) = ф(2)(х, 0) дф(1) = дф(2)

■(x, 0) =■

■(x, 0),

к1 к2 ду ду

где к1, к2 - коэффициенты фильтрации сред. Функции и(т)(х, у), v(m)(x, у) -функции смещений, связанные с напряжениями формулами

ди(т) 1

dx dv(m)

= (CT x -V m О у ),

J_

E

^m

(0(m) V 0(m)) (Gу -V m Оx Л

ду

ди(m) dv(m) 2(1 + V m)

. ду

- + -

dx

E

m

ml _(m)

^x^ ?

где Ет, V. - коэффициенты упругости и Пуассона, заданные для каждого слоя т = 1, 2.

Решение. Пусть решения представимы в виде рядов

а

(т) (

(х, 7) = £ Л[т) (, а(т) (х, у) = £ Б^) (у) е

л Хх

г(т)( иху

(х, у) = £ СХт)(у) , Ф(т)(х, у) = £ Цт)(у) ,

(4)

(5)

т.е. ахт) (х, у), аут) (х, у), т<т) (х, у), Ф(т) (х, у) е ПЩ (-1 < у < 1).

Подействуем оператором Щ-11 на уравнения системы (1) и, учитывая его свойства, приходим к следующим уравнениям:

- X2 ЛХт) (у) + - X2 ВХт) (у) + ^г^ = О,

ау2 ау

ЛС(т)( у) V(т)

1ХЛХт)( у) + + 1Х1—П'^)(у) = О,

ау кт

хс>< у)+айтм -у О.)=о,

ау кт ау

-X2 £>Хт)( у) + Л 2 ^ у> = О, т = 1,2.

Х ^ Лу2 ' '

Решая систему дифференциальных уравнений (5), получим:

( 2 V (.> I

ЛX.) (у) = [-Ь^) -X(X) -(X)у - (X)^у +

( 2 V (.) А

+ 1 - й2т) (X) + -b4.)<X) - Ь^Му - 21— Л^О) |e-Xу, IX к. )

(6)

ВГ (у) = (¿Т (X) + ¿з > (X)y)eXу + (¿2.> (X) + Ь4т) (X)у) е-*у,

С. (у) = +/(ь1(.) (X)+- ¿з.> (X)+¿з.> (X) у— а1(т) ^хе у + XX к.

1 v(.)

+1 (-Ь2.> (X) + -¿4т) (X) - ¿4т) (X)у -1— а2т) ^»е^у, X к.

£(.> (у) = а1(.) ^^ у + а2.> ^е -X у .

Коэффициенты Ь1(т)(X), Ь^ф), Ь3(т)(X), Ь(т)(X), m)(X), ^(XX. = 1, 2) находятся из системы линейных алгебраических уравнений, которая является следствием граничных условий и условий сцепления, т.е. из системы

X

X

X

X

1 8^ Л(л у)

Показано, что если функция Л(^ у) дифференцируема по у р раз и --— е ПЩ , ] = О,..., р , то

8у '

н . 8рЛ^, у) 8ра(1, у) > Пу ( ф

Щ0 -=-, где Л(t, у) е ПЩ (множество п.-п. функции).

8ур 8ур

е-—Ъ1(1) (X) + е — Ъ® (—) - е Ъ3(1) (—) - е% Ь® (—) = / (—),

( 1 ) ( 1 ) у (1) V (2) У(1)

е-— Ъ®(—) - е— Ъ®(—)+(—-1|е-— Ъ((1)(—)+(-+1^Ъ®(—)+е-— -к- <*®(—) - е — -к- й ) = -/2(—) +-—-,

е-— й1(1) (—) + е—й ® (—) = /3 (—),

е—Ъ1(2) (—) + еЪ«2) (—)+е—Ъ3(2) (—) + еЪ^2) (—) = (—),

е—Ъ1(2) (—) - еЪ22) (—)+(1 + Ъ3(2) (—)+(1 - 1^|еЪ® (—) + е — ^ й(2) (—) - ей 22) (—) =

) V— ) к2 к2

V(2)

= -/8 2 (—) +-—-,

е—й(2) (—) + ей 22) (—) = (—), Ъ1(1) (—) + Ъ®(—) - Ъ(2) (—) - Ъ22) (—) = 0,

Ъ®(—) - Ъ®(—)+—Ъ((1) (—)+— Ъ®(—)<>(—)й ®(—) - Ъ<2)(—) + Ъ22)(—)-—Ъ((2) (—) -— — к1 к1 —

-— ъ<2)(—)-т^ й12)(—)й 22)(—) — к2 к2 — — к 2 й1(1) (—)+к 2 й ® (—) - к1 й® (—) - к1 й 22) (—) = 0, й(1) (—) - й ® (—) - й® (—) + й 22) (—) = 0, Ъ(1) + • -и Ъ(1) Ъ(О

Ъ4(1) 2— +— у (1) 2— +— й 21) -

Е1 Е1 к1 2

2 ъ42) - 2— у (2) ч(2)- 2— у(2)

Е2 4 "Е2 Е2 к 2

Е1 Е1 £1 Е1

—(1 + У2) Ъ(2) — (1 + У2) Ъ22) -_2_Ъ(2) + _2_Ъ(2) - 2—У^й(2) - 2— у® й(2) = 0, (7)

Е2 Е2 Е2 —(1 + У1) Ъ(1) —(1 + У1) Ъ(1) + (У1 -1) Ъ(1) + (У1 -1) Ъ(1) + 2—у1 у®^(ц - 2—у1 7®йад —(1 + У 2) Ъ(2) +

Е1 Е1 Е1 Е1 Е1 к1 Е1 к1 Е2

—(1 + У 2) Ъ(2) - (У 2-1) Ъ(2) - (У2-1) Ъ(2) - 2—У2 У^й(2) + 2—^ у^й(2) = 2у0(1)(1 + У1) - 2у0(2)(1 + У 2) Е2 Е2 Е2 Е2 к2 Е2 к2 Е1 Е2

Система (7) имеет решение, причем единственное, при любом — из заданного множества.

Вычислительный алгоритм модельной задачи. Рассмотрим случай бетонных листов с заданными различными характеристиками: коэффициентами упругости Е = 0,15105 МПа, Е = 0,18-105 МПа, коэффициентами Пуассона VI = 0,16, у2 = 0,2, коэффициентами фильтрации к! = 0,6 Д, к2 = 0,08 Д, объемными весами воды и пористых тел с заключенной в них водой

у(1) = у(2) = 9,8кг/(м2с2), у(01) = у(02) = 10кг/(м2с2). Краевые условия на внешних границах гетерогенных сред имеют вид:

ст® (х, -1) = х) = -3со8(х) + 8т(х) = 2 - -2/|е/х + (-+ -2/)е-/х,

гО)/

ф(1) (х, -1) = (х) = -3 С08(х) + 4 8ш(х) = ^ - 2 - 21 )е/х + ^ - + 2/ ст(г2) (х, 1) = G1( х) = С08( х) + 8т( х) = (1 - 2 / ))е/х + ^ 2 + ^^' ))е -/х, х(2} (х, 1) = 02 (х), = 2С08( х) - 8Ш( х) = + -2 / + ((1 - 2 / У-гх, ф(2)( х, 1) = 03( х) = С08(х) + 281п( х) = (I - / ууе"1 + + / ))е-/х.

Алгоритм компьютерного моделирования решения краевой задачи можно изобразить в виде блок-схемы (рис. 2), где т = 1,2 - номер слоя.

^ Начало ^

Ввод

Em , V m , У (m \ У km , m = 1,2, fj (1), fj (- 1), gj (1), gj (- 1), j = 1,3.

L

при X Нахождение коэффициентов = -1 при X = 1

bm 1 j 6(m)(-1), j = 1,4 bm 2 j = j )(1), j = 1,4

dm1i = d/m)(-1), i = 1,2 dmu = d(m)(1), i- 1,2

Нахождение по формулам (6) функций

при X = -1 при X = 1

AAm := Am)(y) Am := A{m)(y)

BBm := B-m)(y) Bm := B1(m)(y)

CCm := C-f(y) Cm := C1(m)(y)

DDm := DfC) Dm := D(m)(y)

= Ame* + AAme-ix

= B„eix + BBme-ix

:= V + CCme-ix

'll' = Dme* + DD„e -ix

^ Конец ^

Рис. 2. Блок-схема алгоритма

Расчеты выполнялись в программной среде Maple. Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений использовалась функция dsolve, для решения систем линейных алгебраических уравнений - функция solve. После выполнения расчетов система представляет возможность вывода результатов в виде графиков.

Для данного тестового примера функции напряжений и потенциалов скоростей фильтрации внутри полос и на границах изображены на рис. 3, а, б, 4, а, б и 5, а, б.

/л 100 А ч А / ■■ Д / // "

/ . \ / / --- к , к

V 4 Г 4Тс/ V1.!Г/

\ .7 \ ] У" -100 - V' / \7

51дтау1(х,0)

-51дтау1(х,-1)

--51дтау1(х,-0,2)

,..... 51дтау1(х,-0,4)

---51дтау1(х,-0,6)

--51дтау1(х,-0.8)

-51дтау2(х

--51дтау2(х

..... 51дтау2(х

---51дтау2(х

~ 51дтау2(х

1) 0,2) 0.4) 0,6) 0.8)

Рис. 3. Функции напряжения: а - х,у); б - х,у)

-гаи (X 0)

-гаи IX -1!

--гаи (к -0.2)

.....гаи -0.4)

---гаи -О.К)

/ --гаи <* -0.В)

л

Л .Í»V Л) А11 ; V ' \ \ ■ ■■ ■> И ¡1 Г Г / ч и*- А /' ¥ 1 / 1 1 Г А\ I / |

# / ■

№ | 1\ / * 1\ (

\ ы

У

у к -юо- 1 р \ 1

V. А \У/ V- /; V я

\У/

V/ V./'

-1аи2(х,0)

-1аи2(х, 1)

--1аи2(х,0.2)

.....гаи2(х,0.4)

---1аи2(х,0.6)

--tau(x,0■ 8)

Рис. 4. Функции напряжения: а - х, у); б - х, у)

а

б

а

б

Рис. 5. Функции потенциала скорости фильтрации:

а - ф(1)(х, у); б - ф(2)(х, у)

Выводы. Получена структура искомых напряжений и потенциалов скорости фильтрации, а также решения для конкретной задачи, построены с использованием программы Maple графики искомых механических параметров и их приближения к граничным функциям.

Рассмотренный метод может быть реализован для решения задач теории гетерогенных сред, теории упругости, теории фильтрации, теории диффузии, теплопроводности, электро- и магнитодинамики.

Литература

1. Иванов Н.Н. Конструирование и расчет нежестких дорожных одежд. М.: Транспорт, 1973. 328 с.

2. Кулагина М.Ф. Построение почти-периодических решений некоторых краевых задач математической физики // Сборник трудов Российской ассоциации «Женщины- математики». Воронеж, 1995. Вып. 3. С. 68-73.

3. Кулагина М.Ф. Обобщенное дискретное преобразование Фурье и его приложения // Сборник научных статей Российской ассоциации «Женщины-математики». Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. Вып. 1. С. 79-83.

4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с.

МИКИШАНИНА ЕВГЕНИЯ АРИФЖАНОВНА - старший преподаватель кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (evaeva_84@mail.ru).

E. MIKISHANINA COMPUTER SIMULATION OF PLANAR SOLUTIONS OF THE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF FILTRATION THEORY

Key words: generalized discrete Fourier transform, Fourier series, boundary value problem, block diagram.

In this work we built with the help of generalized discrete Fourier transforms almost-periodic in the Bohr sense of the flat solutions of the boundary value problem of the theory of filtration offers the algorithm of computer simulation in the programming system Maple. All solutions of the problem obtained in the form of absolutely converging Fourier series whose coefficients are expressed through the given functions. Structures of required mechanical parameters are defined, schedules, and also their approximations to boundary functions are constructed.

References

1. Ivanov N.N. Konstruirovanie i raschet nezhestkikh dorozhnykh odezhd [Design and calculation of non-rigid pavements]. Moscow, Transport Publ., 1973, 328 p.

2. Kulagina M.F. Construction of almost periodic solutions to some boundary value problems of mathematical physics [Postroenie pochti-periodicheskikh reshenii nekotorykh kraevykh zadach ma-tematicheskoi fiziki]. Sbornik trudov Rossiiskoi assotsiatsii «Zhenshchiny-matematiki». Vypusk 3 [Proc. of the Rus. Association «Women-mathematicians». Issue 3]. Voronezh, 1995, pp. 68-73.

3. Kulagina M.F. Obobshchennoe diskretnoe preobrazovanie Fur'e i ego prilozheniya [Generalized discrete Fourier transform and its applications]. Sbornik nauchnykh statei Rossiiskoi assotsiatsii «Zhenshchiny-matematiki». Vypusk 1 [Proc. of the Rus. Association «Women-mathematicians». Issue 1]. Nizhny Novgorod, Nizhny Novgorod University publ., 1993, pp. 79-83.

4. Polubarinova-Kochina P.Ya. Teoriya dvizheniya gruntovykh vod [The theory of motion of ground water]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 664 p.

MIKISHANINA EVGENIA - Senior Lecturer, Department of Actuarial and Financial Mathematics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

Ссылка на статью: Микишанина Е.А. Компьютерное моделирование решений плоской краевой задачи теории фильтрации // Вестник Чувашского университета. - 2016. - № 1. - С. 145-152.