Моделирование температурных полей при частичном нарушении теплоизоляции Текст научной статьи по специальности «Математика»

университета ^ИИИ водных дДДДтдр коммуникации

2. Ворожейкина Т. М., Игнатова В. Д. Логистика в АПК. — М.: КолосС, 2005.

3. Вихров Н. М., Нырков А. П. Модели технологических процессов на транспорте. — СПб.: Судостроение, 2002.

4. Нырков А. П. и др. Генетические алгоритмы в математическом моделировании перегрузочных процессов / Сб. тр. VIII международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» // Высокие технологии, фундаментальные исследования, образование: Т. 2. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009.

5. Ермаченко А. И. Модели и методы решения задач прямоугольного раскроя и упаковки на базе метаэвристики «Поиск с запретами»: дисс. ... канд. техн. наук. — Уфа, 2004.

УДК 517 Д. П. Голоскоков,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ЧАСТИЧНОМ НАРУШЕНИИ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИИ

MODELLING TEMPERATURE FIELDS AT PARTIAL IMBALANCE THERMAL

COVERING

В статье получены аналитические решения трех основных краевых задач для уравнения Лапласа в полупространстве — задачи Дирихле, Неймана и третьей краевой задачи. Решения строятся на основе разложений в интеграл Фурье - Бесселя. В качестве приложения предложены математические модели распределения температурных полей при частичном нарушении теплоизоляции нагретых поверхностей судового энергетического оборудования и металлических конструкций судовых машинных помещений.

In article the analytical decisions of three basic boundary problems for Laplace's equation in half-space — problems Dirichlet, Neumann and the third boundary problem are received. Decisions are under construction on the basis of decomposition in Fourier - Bessel's integral. As the appendix mathematical models of distribution of temperature fields are offered at partial infringement of a thermal protection heated surfaces of the ship power equipment and metal designs of ship machine premises.

Ключевые слова: краевая задача, задача Дирихле, задача Неймана, третья краевая задача, уравнение Лапласа, интеграл Фурье - Бесселя, разложение Фурье - Бесселя, задача Штурма - Лиувилля.

Key words: boundary problem, Dirichlet's problem, Neumann's problem, the third boundary problem, Laplace 's equation, Fourier - Bessel's integral, Fourier - Bessel's decomposition, Sturm - Liouville's problem.

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Лапласа в полупространстве: найти функцию и(г, г), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полупространстве 0 < г < да, г > 0 и граничным условиям:

л 1 Ли = -—

г аг

Э и

W1

; (1)

OZ

1г—»0

lz=+0

— ограничена,

=т

— ограничена; (2)

(3)

Будем искать решение в виде и (г, г) = Я ( г ) 2 ( г ).

Разделяя переменные, получим: (гЯ ) + ХгЯ = 0, причем

Я | — ограничена, Я ^^ — ограничена; (5)

(4)

Ъ - ^Ъ = 0. (6)

В уравнениях (4) и (6) штрихами обозначена обыкновенная производная по соответствующему аргументу — по переменной г для функции Я(г) и по переменной г для функции

Задача Штурма - Лиувилля для уравнения (4) с граничными условиями (5) имеет непрерывный спектр собственных значений [1]: к е [0,+оо), \ = у2, (0<у , (7)

которым отвечают собственные функции:

К (г) = Л V), (8)

где ^ (х) — цилиндрическая функция Бесселя первого рода с нулевым индексом [1].

Из уравнения (6) и условия ограниченности функции на бесконечности находим: 2 (г) = С в-™ + В вуг, причем В = 0 Уу

V47 V V ' ^ V

Таким образом, совокупность частных решений задачи имеет вид: Ыу (г, г) = Сув-уг ^ у), 0 < V < (9)

Чтобы удовлетворить граничному условию задачи при г = 0, воспользуемся обобщенным принципом суперпозиции и запишем разложение в интеграл:

.

(10)

Предполагая возможным предельный переход под знаком несобственного интеграла, получим

1г=+0

.

0

Откуда находим [1]

со

.

(11)

Таким образом, получено формальное решение задачи, которое дается формулами (10) и (11).

В качестве примера рассмотрим следующую задачу (рис. 1): массивное тело нагревается так, что на некотором круге радиуса а поддерживается постоянная температура Т0, а за пределами этого круга температура ы равна нулю. Требуется найти стационарное распределение температуры ы (г, г) в теле.

1

-а и = 0

+ а и = 0

и = Т0

Рис. 1. Нагрев полубесконечного тела

Воспользуемся полученным решением (10), (11). Будем иметь:

И следовательно,

и

.

Последний интеграл легко вычисляется [1]. Имеем из уравнения (1)

.

Следовательно.

V

,

где ^(х) — цилиндрическая функция Бесселя первого рода с единичным индексом, причем

./(,'(д-) = -./, (.г) [1]. А тогда распределение температуры определится формулой:

пп

.

о

Вычислим, например, температуру ы(0, г) вдоль оси г:

% .0 = Т0

а | е уJ1 (у а V = -Т01 е уй30 (у а ) =

= -Т

е~у J0 (уа )У=0 + J0 (уа У V [ =

= Т

[1]:

1 -

2 . 2 а + г

Здесь мы воспользовались формулой из

00 2 о \а -

+ г

Таким образом, стационарное распределение температуры вдоль оси г

4=0 =Го

1-

7777

2. Задача Неймана для уравнения Лапласа в полупространстве. Рассмотрим вторую краевую задачу для уравнения Лапласа

в полупространстве: найти функцию и(г, 2), удовлетворяющую уравнению Лапласа (1) в полупространстве 0 < г < да, 2 > 0 и условию второго рода: ди

&

=т

(12)

2=+0

Кроме того, должны выполняться условия (2) ограниченности функции на бесконечности и при г ^ 0.

Поступим аналогичным образом. Разделение переменных приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

(4) и (6). Таким образом, мы снова приходим к сингулярной задаче Штурма - Лиувилля (4),

(5), решение которой дается формулами (7) и (8). В результате получаем несчетное множество частных решений (9), суммируя которые на основе обобщенного принципа суперпозиции, приходим к формуле (10). Предполагая возможным дифференцирование и предельный переход под знаком несобственного интеграла, получим

ди &

г=+0

= /(Г)=-[СуУ./0(уг>/У.

Откуда находим

00

Су=-[/(г)л/0(уг>/г.

(13)

Таким образом, формальное решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в полупространстве дается формулами (10) и (13).

В качестве примера рассмотрим следующую задачу (рис. 2): к массивному телу на некотором круге радиуса а подводится тепло с постоянной плотностью теплового потока д0, а за пределами этого круга тело теплоизолировано (тепловой поток равен нулю). Требуется найти стационарное распределение температуры и (г, 2).

Воспользуемся полученным решением (10), (13). В данном случае граничное условие Неймана (12) удобно записать в форме

где к — коэффициент теплопроводности, причем функция / (г) имеет вид:

\q0, г<а,

[О, г>а.

И следовательно, вместо (13) будем

иметь

.

Вычисляя интеграл, получим

%

7. ,2 0 V Аг=о ь,, 1V )

Чоа

кV* "ч ку

Тогда распределение температуры определится формулой

.

к 0 у Вычислим, например, температуру и (0, 2) вдоль оси 2:

Чоа

2 2

)

И в этом случае интеграл вычисляется аналогично с помощью уравнения Бесселя, которому удовлетворяют цилиндрические функции. Таким образом, стационарное распределение температуры вдоль оси 2: %а2

и

г=0

Часто на практике тепловой поток неизвестен (теплоизоляция нарушена на некоторой части поверхности). Измерив температуру и* = и (0, 2*) в какой-нибудь точке 2 = 2* на оси 2, найдем тепловой поток д0:

Чо =

^]а2 + г2

Таким образом, окончательно решение задачи представим в виде ^¡а2 +г2

Рис. 2. Подвод тепла к полубесконечному телу

Для практического использования формул удобно выразить температуру в зависимости от площади разрушения теплоизоля-

.

V

ции S: ;

к

u(r,z)=

^Ja2 + zl

{к

00 W г

0 1 v я J

3. Третья краевая задача для уравнения Лапласа в полупространстве. Третья краевая задача для уравнения Лапласа в полупространстве формулируется так: найти функцию и (г, 2), удовлетворяющую уравнению Лапласа (1) в полупространстве 0 < г < да, 2 > 0 и граничным условиям: и| — ограничена, — ограничена;

ди , ---I- пи

dz

= ¥(т), (h > 0).

(14)

z=+0

В задачах стационарной теплопроводности коэффициент Н — коэффициент теплоизлучения поверхности по закону Ньютона. И в этом случае, разделяя переменные, мы приходим к уже рассмотренной выше сингулярной задаче Штурма - Лиувилля (4), (5) и решению в форме интеграла Фурье — Бесселя (10). Предполагая возможным дифференцирование и предельный переход под знаком несобственного интеграла в (10), получим из формулы (14)

00

.

г=+0 О

Откуда находим

00

V

ди , --+ пи

dz

Cv~v+h

\hf(r)rJ,(yr)dr.

Таким образом, формальное решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в полупространстве дается формулами (10) и (15).

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: массивное тело излучает тепло по закону Ньютона в окружающую среду, температура которой считается постоянной и равной T0. Требуется найти стационарное распределение температуры u (r, z) в теле.

Воспользуемся полученным решением (10), (15). Будем иметь: f (r) = T0 = const. Следовательно (считаем h = const):

Cv = ^J rJ0iyr)dr = O)]' dr =

v + я- v(v + A)£L J

hT0 , , 4ir=a hT0a , ч

.

Тогда распределение температуры определится формулой:

00 g_VZ

(8)

(15)

.

Заключение. Полученные аналитические решения краевых задач для уравнения Лапласа в полупространстве могут использоваться, в частности, для математического моделирования задач стационарной теплопроводности. Например, определение температурных полей и их распределение в замкнутом пространстве судовых машинных помещений является актуальной задачей противопожарной безопасности и охраны труда рабочего персонала.

Список литературы

1. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. СПб.: Питер, 2004. — 539 с.