Математическое моделирование нестационарных температурных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517 Д. П. Голоскоков,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ

MATHEMATICAL MODELLING OF THE NON-STATIONARY TEMPERATURE FIELDS

В статье получены формальные аналитические решения трех основных краевых задач для параболического уравнения диффузии-теплопроводности в полупространстве — первой краевой задачи, или задачи Дирихле, второй краевой задачи, или задачи Неймана, и третьей краевой задачи. Решения строятся с помощью последовательного применения интегральных преобразований Фурье — Бесселя и преобразований Фурье.

In article analytical decisions of three basic boundary problems for the parabolic equation of diffusion-heat conductivity in half-space — the first boundary problem or Dirichlet’s problem, the second boundary problem or Neumann’s problem and the third boundary problem are received. Decisions are under construction by means of consecutive application of integrated Fourier — Bessel transformations and Fourier transformations.

Ключевые слова: краевые задачи, уравнение диффузии-теплопроводности, параболическое уравнение, интегральное преобразование Фурье — Бесселя, интегральное преобразование Фурье.

Key words: the boundary problems, the heat conductivity equation, the diffusion equation, integral Fourier — Bessel’s transformation, integral Fourier’s transformation.

Введение. Во время плавания судна при определенных условиях в машинных помещениях возможно возникновение взрывоопасной среды — присутствие горючих и самовоспламеняющихся материалов (бумага, древесина, промасленная ветошь и т. п.) в области нарушения теплоизоляции, т. е. теплового источника воспламенения. Это может привести к возникновению пожара или взрыва.

Пожарная опасность веществ, склонных к самовозгоранию, очень велика, поскольку они могут загораться без всякого подвода тепла при температуре окружающей среды ниже температуры самовоспламенения веществ, а период индукции самовозгорающихся веществ может составлять несколько часов, дней и даже месяцев. Область высоких температур может инициировать начало процесса окисления, необходимого для воспламенения самовозгорающихся веществ и предметов, например промасленной ветоши.

Наиболее высокая температура на наружной поверхности элементов дизеля отмечается на поверхности трубопровода отработанных газов под слоем теплоизоляции и на

современных форсированных двигателях может достигать 500 °С и выше.

В процессе эксплуатации судового энергетического оборудования в его элементах сочетаются все основные формы теплопередачи: лучистый и конвективный теплообмен, теплопроводность. При нормальном техническом состоянии теплоизоляции, температура на поверхности которой не превышает нормативных значений (45-60 °С), теплообмен ее поверхности и окружающей среды в основном происходит за счет теплопередачи и конвекции, теплообмен излучением незначителен. В случае нарушения теплоизоляции, приводящего к увеличению температуры на ее поверхности, теплообмен излучением может возрасти.

В связи с частыми случаями нарушения теплоизоляции высокотемпературных трубопроводов и с возникновением высокотемпературных локальных зон в машинных помещениях во время эксплуатации судна актуальной задачей является исследование теплообмена именно в этих ситуациях.

В статье автора [1] предложены математические модели стационарных температур-

Выпуск 1.

|Выпуск 1

ных полей при частичном нарушении теплоизоляции. В настоящей работе дано развитие этих математических моделей на нестационарный случай.

1. Постановка задачи для параболического уравнения в полупространстве.

Рассматриваются основные начально-краевые задачи для параболического уравнения диффузии-теплопроводности в полупространстве: найти функцию и(г, г, г), удовлетворяющую уравнению 1 8 ( бгЛ д2и 1 ди

---г— +—г-—г-— = 0, 0<г<оо, г>0, г>0 (1)

г8г{ дг) &2 а2 а

в полупространстве 0 < г < да, г > 0; начальному условию

ми0=*(г’г) (2)

и, соответственно, граничным условиям первого, второго или третьего рода.

Выпишем явно эти условия:

a) условия первого рода (задача Дирихле):

и| — ограничена, — ограничена;

uL+o=f(rA; (3)

b) условия второго рода (задача Неймана):

и| о — ограничена, — ограничена;

ди

дг

=/(м);

г=+0

с) условия третьего рода:

:|г_>о — ограничена, и\^

(4)

ограничена;

ди .

---------пи

дг

= /(г^),к>0.

(5)

г=+0

Здесь граничная функция /(г, г) обозначена одинаково для всех трех случаев, однако это не может привести к недоразумению, т. к. при решении конкретной корректно поставленной задачи может быть задано только одно из перечисленных условий: либо условие (3), либо условие (4), либо условие (5).

2. Преобразование Фурье — Бесселя.

Преобразованием Фурье — Бесселя функции ф (г) называется интеграл [2], [3]

Ф(у)=|ф(г)г10 (уг)^г, 0<У<+ОО.

(6)

Имеет место формула обращения — обратное преобразование Фурье — Бесселя

ф(г)=|ф(у)у10(уг)^у, 0<г<+оо.

(7)

Здесь ^ (х) — функция Бесселя первого рода с нулевым индексом, которая задается следующим равномерно сходящимся рядом [2]:

1о(^)=£

(-1/

с

Ьс <оо.

*=0 {Щ

Заметим, что если функция ф (г) такая, что ф(г)=0(г“ 1 при г—>0, а>-2 и

3

ф(г)=0^гр^ при г—>оо, р<-—, то интеграл

(6) сходится [3].

Применим к уравнению (1) преобразование Фурье — Бесселя:

оо

С/(у,г,^)=|м(г,2,^)г10(уг)й?г, 0<у<+оо, (8) о

причем

оо

м(г,2,^)=|?/(у,2,^)у10(уг)й?г, 0<г<+оо. (9) о

Получим

(,0)

а2 а дг2 К }

Граничные условия (3)-(5) при этом трансформируются в следующие граничные условия для трансформанты Фурье — Бесселя и (V, г, г):

условия первого рода (задача Дирихле):

и\„„=р(*А о')

условия второго рода (задача Неймана):

ди

дг

г-+0

условия третьего рода:

дг

(12)

(13)

г=+0

Начальное условие для функции и (V, г, г) примет вид

и\^=в(У>2У (14)

Здесь приняты обозначения для трансформант граничных и начальных функций:

00

Пу.'ИД'-.О'Л (уг)й?г, 0<У<+оо; (15)

о

00

0(у,г^- ^(г,г)г]0(уг}с1г, 0<у<+оо. (16)

Таким образом, после применения преобразования Фурье — Бесселя по переменной r приходим к начально-краевым задачам для параболического уравнения (10) — задаче Дирихле (10), (11), (14); задаче Неймана (10), (12), (14) и третьей краевой задаче (10), (13), (14).

3. Преобразование Фурье. Станем рассматривать сформулированные выше в п. 2 начально-краевые задачи — задачу Дирихле (10), (11), (14); задачу Неймана (10), (12), (14) и третью краевую задачу (10), (13), (14). Будем искать решения этих задач с помощью преобразования Фурье, которое запишем в следующей форме:

со

Ü(y,s,t)=^U (y,z,t}K(s,z)dz, 0<s<+oo, (17) о

причем формула обращения

00

U(y,z,t^= jÜ(y,s,t^K(s,z^ds, 0<z<+oo. (18) 0

В зависимости от характера задачи применяем к уравнению (10) либо синус-преобразование Фурье (в случае задачи Дирихле) с ядром интегрального преобразования ¡2

K(s,z)=-j=sin(sz), (19)

Vît

либо косинус-преобразование Фурье (в случае задачи Неймана) с ядром интегрального преобразования

JÏ

K(s,z^= —j= cos (sz ), (20)

Vît

либо обобщенное преобразование Фурье (в случае третьей краевой задачи) с ядром интегрального преобразования

, ч \¡2 scos(sz)+hsm(sz)

K(s,z)=-r--------v '

vrc V.

(21)

/я2 + И2

Применяем преобразование (17) к уравнению (10). Умножаем (10) на К (5, г) и интегрируем по г от 0 до да;

Í

1 dU(v,z,t)

a2 dt

K(s,z')dz =

00 д2

-J

d2U (y,z,t)

dz

K(s,z)dz

-jv2U(v,z,t)K(s,z)dz. (22)

о

Первый интеграл справа в формуле (22)

берем два раза по частям:

dU(v,z,t)

dz

K(s,z)~

-U(y,z,t)

öK(s,z)

dz

r d2K(s,z) ,

J—ij^U(y,z,t)dz.

Z=00 „ «

СО Д2 i

+

z=0 0

Отметим, что из ядра (21) как частные случаи получаются ядра (19) и (20). Действительно, как легко видеть, в случае задачи Дирихле будем иметь:

^2 scos(sz)+hsin(sz) V2 , ч

lim —¡=------ , ——- = —¡= sin (sz),

Л_>°° VJt yls2 +h2 vrc

а для задачи Неймана —

-v/2 ícos(íz)+/isin(5,z) y[l , ч

lim—¡=------- , ——- = —¡=cos(5z)

h-*°>lñ yjs2+h2 уЫ

Поэтому выполним все преобразования для ядра (21). Имеем:

л/2 s cos (5z)+ hsin (sz^

d_

dz

V" Js2+h2

J2-S2 sin (sz J+hs cos (sz )

л/л Js2+h2

d2 ГТ2 s cos (5z) + h sin (sz)'

dz2 4 s2+h2 /

V2-S3 cos (sz)-hs2 sin(,sz)

л/л Js2+h2

= —s

4l 5 eos (sz ) + /2 sin (sz ) л/я

JT^h2

Из последней формулы следует: ^tK(s,z) = -s2K(s,z).

d2 dz2

Тогда, учитывая обозначение (17):

í----¿2----~K(s,z)dz =

o

dzz

Vrc *Js2+h2

'™-HU

dz

-s2Ü(v,s,t\

z=0

Таким образом, для трансформанты Фурье из (22) получаем О

+ (23)

а аг 4 '

где для удобства дальнейших рассуждений введено обозначение для функции, стоящей в правой части (23);

Выпуск 1,

¡Выпуск 1

^(v,0=-

(24)

1=0

(27)

№

^ '¡я2 + И2 V &

Из формулы (24) для третьей краевой задачи с учетом (13) получаем

^(''.')=-^Г7=т^(''.'). (25)

'¡К л/5 +А

для задачи Дирихле будем иметь (И ^ да) с учетом (11);

^(у,0 = -/=^(у,0, (26)

л/я

а для задачи Неймана (И ^ 0) с учетом (12) — \/я

Аналогично преобразуем начальное условие (14);

^(у’‘уД=+0=^(У’5> (28)

причем

СО

С(у,^)= 0 <5 <+00.

о

Общее решение уравнения (23) легко находится;

£/(у,5,*)=С(у,,у)е ^ + * ^ ‘ +й* (у,5,^),

где; и *(у,5,0 — какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (23), С (V, 5) — произвольная постоянная интегрирования, которая может зависеть от параметров V, 5.

Такое решение можно получить, например, методом вариации произвольных постоянных;

, Ч 2 -(^Ч-ЛА Г -/■ Ч (у2+®Ла2г ,

С/ (у,.5,г)=а е ^ ' (к. (29)

Используя начальное условие (28), находим произвольную постоянную С (V, 5);

с^)=в^)-й\^,о).

Таким образом, решение уравнения (23), удовлетворяющее начальному условию (28), имеет вид

¿7(у,5,^)=^С(у,5)-{7*(у,>у,0)^е (у2+^а *+ +г/*(у,,м). (30)

Остается только последовательно обратить формулы с помощью обратных преобразований — обратного преобразования Фурье (18);

Л

и(\,z,t)= ]|[G(v,i)-i7* (v,5,0)]e ^+i ^ (v,5,i)Jis:(i,z)i/5

+

+u'

и обратного преобразования Фурье — Бесселя (9):

00

u(r,z,t)=\u(v,z,t)v J0 (vr)fifr. о

Последние две формулы можно объединить в одну:

00 СО г

u(r,z,t)= jvJ0(vr)i/vN[G(v,5)-

0 о ^

-й* (v,5,0)^|e ^ + i *+С7*(у,5,^)|.ЙГ(5,2)Л, (31)

Таким образом, получено формальное решение задачи в виде разложения в интеграл (31).

Примечание. Все аналитические выкладки выполнялись с использованием системы аналитических вычислений Maple 13. Следует отметить, что в системе Maple предусмотрено несколько иное преобразование Ханкеля, чем то, которое использовалось в

данной работе, а именно:

00

Ф(у)= J(p(r)\/vr J0(w)c?r, O<v<+00, о

причем формула обращения —

00

<р(г)= |ф(У)л/уГ J0(w)i/V, О<г<+00. о

В настоящей работе использовано преобразование (6), (7). Это преобразование приводит к более простым формулам при вычислении конкретных интегралов.

Относительно терминологии мы придерживались определений, приведенных в книгах [4], [5]. Преобразование (6), (7) — преобразование Фурье — Бесселя — частный случай общего преобразования Ханкеля с функцией Бесселя первого рода с нулевым индексом J (vr).

Список литературы

1. Голоскоков Д. П. Моделирование температурных полей при частичном нарушении теплоизоляции // Журнал университета водных коммуникаций. — 2010. — Вып. 4 (8). — С. 53-56.

2. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. — СПб.: Питер, 2004. — 539 с.

3. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. — 524 с.

4. Снеддон И. Преобразования Фурье. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. — 668 с.

5. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — М.; Л.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. — 360 с.

УДК 629.12.10 В. В. Сахаров,

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ КРЫЛОВА ДЛЯ АПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ KRYLOV MATRIX APPLICATION TO DYNAMIC PLANTS APERIODIC CONTROL

В статье рассматривается алгоритм синтеза апериодических управлений динамическими объектами, основанный на применении матрицы Крылова, что обеспечивает повышение эффективности решения двухточечных граничных задач в классе дискретных систем и адаптацию вычислительной процедуры к изменениям граничных условий и времени действия системы.

The article is devoted to the application ofe Krylov matrix for aperiodic control synthesis employment to dynamic plants. Krylov matrix ensures the efficiency of solving two-point boundary problems for discrete systems and adaptive algorithmic properties to boundary and time condition changes.

Ключевые слова: пространство состояния, матрица Крылова, алгоритм, динамический объект, псевдоинверсия, матричный экспоненциал, дискретная модель.

Key words: state space, Krylov matrix, algorithm, dynamic plant, pseudoinverse, matrix exponential, discrete model.

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;

В. И. Королев,

канд. техн. наук, профессор, ФГОУ ВПО «Морская государственная академия имени адмирала Ф. Ф. Ушакова»

ИСКРЕТНЫЕ динамические системы с конечным временем установления переходных процессов называ-

системы повышенного порядка особенно часто используются в цифровых управляющих комплексах различного назначения [3].

ют апериодическими системами управления. Хорошо приспособленные к техническим приемам модификации и применению численных методов оптимизации производственных и технологических процессов, апериодические

Применение современных вычислительных сред для управления технологическими процессами на объектах водного транспорта позволяет кардинально изменить процедуру синтеза апериодических систем. Вы-

Выпуск 1,