Моделирование импульсного разряда в азоте Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.525

Сухов Андрей Константинович

кандидат физико-математических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

suhov_andrei@mail. т

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОГО РАЗРЯДА В АЗОТЕ

Проведено компьютерное моделирование поведения параметров плазмы в импульсном разряде в азоте. Использована одномерная модель плазмы газового разряда, включающая уравнения непрерывности для электронной и ионной компонент плазмы и уравнение электростатики с учетом начальных и граничных условий. Получена динамика изменения параметров плазмы, влияние на нее амплитуды импульса, длины разрядного промежутка и давления газа. Проведено сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными.

Ключевые слова: плазма, импульсный разряд, численное моделирование, уравнение непрерывности заряженных частиц.

Импульсные газовые разряды широко применяются в современной технике для накачки мощных импульсных лазеров, собственно как источники света, например, в фотовспышках, в плазменных панелях и экранах, в плазмохимических реакторах с контролируемыми параметрами и т.п. Это обуславливает актуальность их экспериментального и теоретического исследования. В настоящее время для описания импульсных разрядов наиболее часто используется гидродинамическая двухжидкостная модель, учитывающая ионизацию электронным ударом, перемещение электронов и ионов под действием поля, ион-электронную эмиссию на катоде и влияние пространственного заряда на напряженность поля. В данной работе, продолжающей исследования [3;

4], рассмотрено моделирование импульсного разряда в азоте при низком давлении.

Рассматривается плазма, возникающая в разрядном промежутке (рис. 1) при подаче на электроды импульсного напряжения.

Фронт импульса (рис. 2, t < гтх) описывается функцией Максвелла им(г), спад (рис. 2, t > г ) -функцией Гаусса иа(г)\

им(г) = итаху]е—в ; ио(г) = итахе гтах

где итх - максимальная амплитуда напряжения,

- характерное время достижения максимальной амплитуды.

Под действием электрического поля остаточные ионы, которые в ничтожных концентрациях (103 см-3) всегда присутствуют в газе (например, вследствие ионизации космическим лучами), ускоряются и бомбардируют катод, выбивая из него вторичные электроны. Фоновые и вторичные электроны, ускоряясь в электрическом поле в направлении анода, набирают энергию, и на некотором расстоянии от катода начинают возбуждать атомы и молекулы газа, вызывая их свечение. При дальнейшем движении в поле электроны набирают энергию, достаточную для ионизации.

Движение частиц концентрации п со скоростью V характеризуется потоком Г = пг. Скорость заряженных частиц в электрическом поле Е определяется их подвижностью V = рЕ, тогда Г = п^Е.

Вследствие ионизационных и рекомбинационных процессов, а также из-за неоднородности потока распределение концентрации заряженных частиц меняется во времени. Ионизация - процесс образования новых заряженных частиц (ионов и электронов), определяется через произведение 1-го коэффициента Таунсенда а на модуль потока электронов а\Ге\. Рекомбинация - процесс, обратный ионизации, ее величина может быть получена из произведения коэффициента ион-электронной рекомбинации р на произведение концентраций электронов и ионов рпп.. Так как ионизация приводит к образованию новых заряженных частиц, следовательно, она приводит также к росту концентраций заряженных частиц с течением времени.

Рис. 1. Упрощённая схема моделируемой установки. Катод - отрицательный электрод, анод - положительный

Рис. 2. График зависимости импульсного напряжения от времени

С течением времени распределение концентраций ионов и электронов становится неоднородным. Это приводит к возникновению локальных электрических полей напряженности Е. Дивергенция напряженности локального электрического поля в некоторой точке пространства определяется разностью концентраций ионов и электронов в этой точке с помощью уравнения Пуассона div Е = 4пе(п. - п). В расчётах напряжение, приложенное к электродам, учитывается через связь градиента потенциала с напряженностью электрического поля Е = -gradф.

Для описания процессов, происходящих в плазме, рассматривается одномерная модель плазмы газового разряда, учитывающая изменение плотности зарядов за счёт неоднородности их потоков, процессов ионизации, рекомбинации и диффузии.

Разрядный процесс описывается одномерной системой дифференциальных уравнений двухжидкостной гидродинамики, включающей в себя уравнения непрерывности для электронов и ионов и уравнение Пуассона:

дпе дГе ||

~Г~ + ^7 = «| Ге\-РПеП , Ге =~ПеМеЕ

дt дt

дп. дГг | |

~Г~ + ^7 = «I Ге\ - Рпепг, Гг = ПгМгЕ

дt дt ■

дЕ л ( ч г д(р

— = 4ж(пг - пе X Е = —

дх дх

где п, п - концентрации электронов и ионов; Г, Г. - потоки электронов и ионов; а - коэффициент ударной ионизации молекул электронами (первый коэффициент Таунсенда), 5 - коэффициент ион-электронной рекомбинации, /ле, - подвижности

электронов и ионов, е - элементарный заряд (заряд электрона), Е - напряженность электрического поля, р - потенциал электрического поля.

Для решения данной системы дифференциальных уравнений воспользуемся методом конечных разностей. Введём в расчетной пространственновременной области 0 < х < d=jh, 0 < 1< т -Ык конечно-разностную сетку юИг:

^ = А 3 = 0...Ы}; ^ = кг, к = 0...N.}

с пространственным шагом h [см] и шагом по времени г [с]. Рассмотрим два временных слоя: нижний 1к = кт, на котором распределение искомых функций пе(х., /к), п.(х , ?), Е(х., 1к), ф(х , 1к) 7 = 0...Ы. известно и верхний временной слой 1к+1 = (к+1)т, на котором распределение искомых функций пе (х , 1к+1), п. (х , 1к+1), Е(х , Хк+1), р(х , Хк+1)у = 0...К подлежит определению. Непрерывные функции заменим сеточными: п (х., &) =

п к, п (х , 1к)

у X е у г \ 3 /

к т /у /к) = т к

к п к,

г ] ’

Е (х , ?к) = Е к, (р(х , ?к) = р к, а производные заменим конечно-разностными соотношениями, используя правые разности по времени и центральные по координате:

т—1 к т—1 к

_ 1 е]+1 - 1 е]-1

дпе к к 1 к п - п е3 е3 дГе

да 3 т дх

дпг к к 1 к п. - пг. г3 г3 дГг'

дt 3 т дх 3

дф к Фк:+1 -3 д 2ф

дх 3 2И дх2

2h

кк _ 1 ч+1 - 1 ч-1

2h

к к к к ] - 2Ф] +]

И2

В результате подстановки получим систему алгебраических уравнений:

Гк - г

е]+1 е.

2И

-1 к I т-1 к I гу к к к к -ш-рк

— = а. 1 -рп п.., 1 =-п ц Е

] е1\ Г I] е 3 е,Г'е ]

т 2И

] 1 - 2(рк+] 1 И2

г ] -1 к I 7""1 к I /-') к к у-1 к к г^к

~^— = а.\Г.\ - рп п.., Г = п. и.Е.

] е Л г е] гр г ] г,Г'г ]

= 4*е(п‘]- п,]). Е‘ =

Первый коэффициент Таунсенда, зависящий от напряженности электрического поля Е и давления азота р, аппроксимируем следующим выражением:

12 1Ек —е / Р

900 Iе.

к^е

|е^ В

\ ’УР > 100 —

|е^^ В

|ЕХ < 100 —

к 1 к п -п

г

к 1 к п -п

Алгоритм расчёта.

1. Задаём значения параметров расчета для азота:

Р = 210-7 - коэффициент объемной рекомбинации;

це = 4,4105/р - подвижность электронов (давление в Торах);

/л. = 1,45 103/р - подвижность ионов (давление в Торах);

у= 0,01 - коэффициент ион-электронной эмиссии;

4ле = 1,8110-6 [В см] - размерный коэффициент в уравнении Пуассона.

2. Задаём начальные ^ = 0) распределения концентраций электронов п , ионов п ., равные фоновой концентрации п0 = 103 см-3 и распределение потенциала ф на всём разрядном промежутке в соответствии с начальным напряжением ио.

0 0 0 }и 0 - плг

п . = п0,п.. = п0, р. =-0, 1 = 0...N.

е3 05 N. 3

3. Начинаем основной расчётный цикл:

1) Задаём напряжение между электродами ик в соответствии с функцией импульса:

і- От

xV e-----------e

(Nit

От < t

e 'm"‘ , От > t

max max

2) Находим распределение электрического поля E и потоков Г заряженных частиц между электродами:

Ek = - j ■ Гк = -nku Ek ■

Ej 2h ’ ek ^ek^e^j;

ГN = nNufik; j = 1...N, -1

jJ jJ j J J

3) Задаем граничные условия для поля и потоков. Поле Е вблизи границ считаем непрерывным. Потоки ионов Г. у катода и электронов Г у анода считаем непрерывными. Поток электронов Г у катода формируется в процессе ион-электронной эмиссии с коэффициентом у. Поток ионов Г. у анода формируется за счёт фоновой плотности ионов.

Ek = Ek Ek = Ek

0 ^19 N j N j-1

Т’ к к т?к т’ к т’ к

Гі0 — Пі0&E0 , Гв0 = ~УГі0

Т’ к .. т?к Т’ к к т?к

ГiNk = n0^iENj , !eNk neNk №eENj

4) Рассчитываем концентрации ионов n. и электронов n в следующем временном слое, используя явную схему:

2h

(г11. i - Г к i )+г{ак\г к\ - Pnknk)

\ eJ+1 eJ-U V J eJ\ И eJ jj'

k+1 к T (7-т к -л к \ i ( к\г< k\ О ’ k\

n.. = n..--------------Г.. , - Г.. , )+T\a . Г - Bn n..

jj jj 2h J+ J- I J J J

j = 1...N.-1

5) Задаем граничные условия для концентраций. Концентрации ионов п. у катода и электронов п у анода считаем непрерывными. Концентрация ионов п. у анода равна фоновой. Концентрация электронов п у катода определяется ион-электрон-ной эмиссией и фоном.

0+1 к+1 0+1

пю = nn ; niN, = n0;

Г

1 eO

к

'eE0

иА\

k+1 k+1

+n; n .T = n ,

0’ eN. eN.-1

6) Для сглаживания решения проводим усреднение концентраций заряженных частиц путём интегрирования по трем соседним узлам:

0+1 1 / 0+1 . 0+1 к+1 \

'■і ■ =— \Пі ■ , + 2Лі . + Пі. , t

lJ 4 V jJ-1 lJ lJ+IP

к+1 1 / 0+1 к+1 , к+l\

'ej =~Л \nej-l+ 2nej + J

7) Зная распределение концентраций пе и п. между электродами, вычисляем распределение потенциала ф, решая следующую систему линейных алгебраических уравнений Пуассона методом прогон-

ки:

3 -23 + 31 = И 4яе(п*7 -п.р, 3 = 1...^. -1

с граничными условиями:

-~к+1 г\ к+1 т тк

% = 0 ^ = и

8) Переходим к пункту 1) и повторяем цикл расчета.

Результаты моделирования

Влияние шага разбиения.

Выбор шага разбиения является очень важным этапом моделирования. От выбора правильного шага зависит точность и достоверность полученных данных. При выборе неправильного шага можно получить картину, недостаточно или совершенно неточно характеризующую реальные процессы, происходящие в исследуемой системе. Кроме того, для увеличения скорости моделирования шаг не должен быть слишком малым. Поэтому нужно выбрать максимально возможный шаг, при уменьшении которого полученные данные не будут сильно менять качественную и количественную картины.

Для оценки влияния шага разбиения на результаты моделирования и выбора оптимального шага, для проведения последующих исследований была проведена серия вычислительных экспериментов. В них производилось моделирование импульсного разряда с различными шагами разбиения по времени и по координате. Остальные параметры были постоянны: максимальное напряжение импульса и = 800 В, время достижения максимума напряжения t = 3,2 мкс,, давление азота р = 1 тор, длина разрядного промежутка й = 2 см.

В расчетах получали пространственное распределение концентраций ионов (красный) и электро-

n

e0

t

Uk =

-4 (kr-tmax )

т

k

б)

в)

Рис. 3. Влияние изменения шага разбиения по координате И и по времени т на распределение параметров плазмы в разрядном промежутке в максимуме импульса

(катод слева, анод справа):

а) И = 10-3 см, т = 810-13 с; б) И = 5-10-4 см, т = 2-10-13 с; в) И = 2,510-4 см, т = 510-14 с.

Таблица 1

Значения концентрации электронов и её погрешность при разных шагах разбиения по координате и по времени

нов (синий), потенциала (зеленый) и электрического поля (черный) в разрядном промежутке в течение импульса. Числовые данные расчётов сохранялись в выходные файлы в текстовом формате и в виде изображений в формате jpg.

Для оценки качественного согласия результатов при разном шаге сравнивали распределение параметров разряда в момент времени максимума импульса напряжения. Результаты показали качественное согласие для различных комбинаций шагов разбиения по времени и по координате (рис. 3 а-в).

Для количественной оценки согласия результатов сравнивали значения концентраций электронов во время максимума импульса напряжения в середине расчётного промежутка. Используя метод двойного просчёта и приняв решение системы урав-iа ее Тбе 0ааа П ел 6aeiаоа h = 2,5-lQ-4 см и шаге по времени т = 510-14 с за наиболее точное, были определены погрешности остальных результатов с другими комбинациями шагов разбиения. Сравнение показало, что погрешность уменьшается пропорционально уменьшению шага (табл. 1):

При анализе данных была использована закономерность, согласно которой для сохранения точности расчёта при уменьшении шага по координате в 2 раза необходимо уменьшение шага по времени в 4 раза.

Изменение параметров плазмы в течение импульса.

Рассмотрим изменение параметров плазмы с течением времени во время импульсного разряда. В начальный момент времени t = 0 (рис. 4а) концентрации зарядов равны фоновой концентрации n = n. = 103 см-3. Приложенное напряжение U и электрическое поле Е равны 0. Параметры моделирования:

- максимальное напряжение импульса

U = 800 В;

max 7

- время достижения максимума напряжения

t = 3,2 мкс,

max

- шаг разбиения по времени т = 210-13 с;

- шаг разбиения по координате h = 510-4 см;

- расстояние между электродами d = 2 см;

- давление азота p = 1 тор.

С повышением приложенного напряжения (рис. 4б) поле в разрядном промежутке также возрастает. Это вызывает рост концентраций зарядов. Концентрация ионов увеличивается быстрее, чем концентрация электронов. Это объясняется тем, что диффузионные потери электронов за счёт большой подвижности выше, чем для ионов. Возрастающая плотность зарядов приводит к экранировке внешнего поля, что обуславливает его уменьшение в разрядном промежутке.

При достижении максимума импульса (рис. 4в) концентрации зарядов принимают максимальные значения с запаздыванием на 0.5 мкс от момента максимума напряжения. В это время сформирова-

ны все пространственные составляющие разряда: катодный и анодный слои и положительный столб. В катодном слое концентрация ионов выше, чем концентрация электронов, здесь формируется объёмный положительный заряд. Там же наблюдается максимальное падение потенциала и максимальное поле. В катодном слое происходят основные процессы ионизации.

В положительном столбе плотности ионов и электронов практически равны. Здесь имеет место квазинейтральная плазма. Поле в положительном столбе принимает своё минимальное значение, достаточное для обеспечения протекания тока.

В анодном слое количество электронов больше, чем количество ионов, наблюдается отрицательный объёмный заряд, поле несколько выше, чем в положительном столбе.

После достижения пика импульса напряжение идёт на спад. При этом катодная область уменьшается (рис. 4г, 4д). При падении напряжения ниже порогового уровня наблюдается характерная картина распадающейся плазмы (рис. 4е). В распадающейся плазме приложенное напряжение и поле практически равны 0. Наблюдается распределение зарядов, определяемое их диффузионными потерями на электродах. С течением времени концентрации зарядов постепенно падают. По прошествии определённого времени (для данного моделирования около 25 мкс от начального значения), концентрации зарядов уменьшаются до фоновой - наблюдается полный распад плазмы (иллюстрация аналогична той, которая приведена на рис. 4а)

Рассмотренное поведение параметров плазмы во время импульса напряжения соответствует экспериментально наблюдаемым результатам. Использование моделирования позволяет более детально рассмотреть процесс развития импульсного разряда, а также провести исследования поведения разряда в различных заранее определённых условиях. Это необходимо при разработке различных импульсных газоразрядных устройств и обеспечивает снижение материальных и временных затрат при разработке новой техники.

Влияние амплитуды импульса напряжения.

Изменение амплитуды импульсного напряжения существенно меняет характер разряда. Известно, что существует определённое пороговое напряжение, ниже которого разряд не развивается. С увеличением амплитуды мощность разряда растет, и увеличиваются плотности образующихся зарядов.

Проведённое моделирование показало, что для давления азота р = 1 тор и разрядного промежутка й = 2 см пороговое напряжение импульсного разряда составляет ипор = 580 В.

При малой амплитуде импульсного напряжения (рис. 5а) наблюдается возрастание плотности зарядов, но плазма не является квазинейтральной (концентрации ионов и электронов различны). Фор-

а)

П! ф

\/< / \

в)

Е, кУ/ст

4.

п| Ф

пе 2.

_ Е

б)

д)

е)

Рис. 4. Моделирование развития импульсного разряда во времени:

а) t = 0 мкс; б) t = 2,3 мкс; в) t = 3,2 мкс; г) t = 5,5 мкс; д) t = 6,4 мкс; е) t = 7,3 мкс

а)

б)

ф

\ / ni

в) г)

Рис. 5. Влияние изменения амплитуды импульсного напряжения на распределение параметров плазмы в разряде в пике импульса (t = 3.2 мкс): а) U = 600 В, б) U = 800 В, в) U = 1000 В, г) U = 1200 В.

' max " ' max " ' max " ' max

мируется лишь катодная область, которая занимает весь разрядный промежуток. Дальнейшее увеличение амплитуды импульсного напряжения (рис. 5б-г) приводит к формированию положительного столба, в котором плазма квазинейтральна. При этом с ростом амплитуды импульса размер катодной области уменьшается, и поле в катодной области растёт.

Моделирование показало, что наблюдается снижение времени установления максимальных кон-

Таблица 2 Значения времени установления максимальной концентрации зарядов от амплитуды импульсного напряжения

Umax, В t, мкс

600 0,6

800 0,52

1000 0,46

1200 0,44

центраций заряженных частиц при увеличении амплитуды приложенного импульсного напряжения. В таблице 2 приведены полученные в ходе моделирования данные.

Качественная картина полученных результатов подтверждается в работе [1].

Влияние изменения длины разрядного промежутка.

Размер разрядного промежутка является важным параметром, влияющим на ход разряда. При изменении длины разрядного промежутка для постоянной амплитуды импульса меняется приложенное к разрядному промежутку электрическое поле. Это существенно влияет на развитие импульсного разряда.

Проведённое моделирование показало, что при постоянных параметрах: амплитуде импульсного напряжения и = 800 В и давлении р = 1 тор формирование катодного слоя происходит при длине разряда от 1 см до 4 см.

При изменении длины разряда происходит изменение произведения р^, которое определяет про-

Рис. 6. Зависимость параметров плазмы от длины разрядного промежутка (р = 1 тор, и = 800 В):

а) d = 0.5 см; б) d = 1 см; в) d = 2 см; г) d = 3 см; д) d = 4 см; е) d = 8 см

бивное напряжение, при котором формируется разряд. Это явление описывается законом Пашена. Увеличение пробивного напряжения влечёт за собой изменение длины катодной области, которая сначала уменьшается (рис. 6 а-г), а затем увеличивается (рис. 6 д, е). Известно, что параметр р^ является критерием подобия для напряжения пробоя. Повышение пробивного напряжения при больших значениях р^ объясняется уменьшением длины свободного пробега электронов и снижением вероятности набора электронами необходимой для ионизации энергии. Повышение пробивного напряжения при малых значениях р^ - уменьшением числа столкновений на длине разрядного промежутка.

Влияние изменения давления газа.

Давление газа в разрядном промежутке также влияет на размер катодной области разряда и минимальное пробивное напряжение. Размер катодной области обратно пропорционально зависит от величины давления. Минимальное пробивное на-

пряжение разряда прямо пропорционально зависит от давления.

Моделирование показало, что при фиксированных параметрах: длине разряда d = 2 см и амплитуде импульсного напряжения итх = 800 В разряд формируется, если значения давления газа находятся в интервале 0,75 - 1,1 тор.

На рис. 7 изображены распределения характеристик плазмы в пространстве в момент пика импульса. Из него видно, что при увеличении величины давления газа катодная область увеличивается в размерах, а максимальная величина поля уменьшается.

Значения произведения р^ во всех проведённых вычислительных экспериментах соответствовали правой ветви кривой Пашена [2], поэтому при увеличении давления газа значение произведения р^ также увеличивается, приводя к увеличению пробивного напряжения. Это подтверждается увеличением длины катодной области и уменьшением максимальной величины поля.

а)

в)

д)

б)

г)

е)

Рис. 7. Зависимость параметров плазмы от давления газа в разрядном промежутке

(d = 2 см, U = 800 В, t = 3,2 мкс):

v max '

а) p = 0.75 тор; б) p = 0.85 тор; в) p = 0.95 тор; г) p = 1 тор; д) p = 1.05 тор; е) p = 1.1 тор

Таким образом, составлена программа моделирования изменения параметров плазмы во время импульсного разряда в азоте. Использована система дифференциальных уравнений, включающая в себя уравнения непрерывности для электронов и ионов и уравнение Пуассона. Для её решения применен метод конечных разностей. Для расчёта распределения потенциала использован метод прогонки.

Оценка влияния шага разбиения на результаты моделирования показала уменьшение погрешности вычислений при уменьшении шага разбиения. Изменение шага по координате в 2 раза требует изменения шага по времени в 4 раза для сохранения точности моделирования.

Показано изменение во времени параметров разряда на различных стадиях импульса напряже-

ния. Наблюдаемое поведение параметров хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Результаты расчётов показали, что во время импульсного разряда наблюдаются 3 стадии: формирование разрядных областей во время возрастания импульсного напряжения; режим максимальной плотности зарядов во время максимума напряжения импульса; распад плазмы при падении напряжения импульса ниже порогового. Нами рассмотрено влияние изменения амплитуды импульсного напряжения, длины разрядного промежутка, давления газа на характер развития импульсного разряда.

При увеличении амплитуды импульсного напряжения происходило изменение длины катодной области, рост поля в катодной области, а также снижение времени установления максимальных концентраций заряженных частиц.

Было показано, что изменение длины разрядного промежутка влияет на величину пробивного напряжения, изменение которой влечёт за собой изменение длины катодной области.

При увеличении давления газа в разрядном промежутке размер катодной области увеличивается, а минимальное пробивное напряжение разряда уменьшается, что соответствует экспериментальным данным.

Проведённое моделирование позволяет детально исследовать динамику и параметры всех стадий импульсного разряда.

Библиографический список

1. Месяц Г.А. Законы подобия в импульсных газовых разрядах // Успехи физических наук. -

2006. - Т. 176. - № 10. - С. 1069-1090.

2. Райзер Ю.П. Физика газового разряда: Науч. изд. - 3е изд., перераб. и доп. - Долгопрудный: Изд. дом «Интеллект», 2009. - 736 с.

3. Сухов А.К. Моделирование радиального профиля свечения по длине разряда униполярного пробоя газа // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2010. -№ 2. - С. 12-17.

4. Сухов А.К. Моделирование формирования приэлектродных слоев в ограниченной плазме под действием внешнего постоянного электрического поля // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2012. -№ 1. - С. 23-27.