CC BY
75
экватора. Но это противоречит грубости X. Таким образом, для векторного поля X, грубого в окрестности экватора, экватор может быть только гиперболической замкнутой траекторией и X е Е0Рп.
Библиографический список
1. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1966. - 568 с.
2. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1967. - 488 с.
ченная кривой, трансверсальной полю X а все траектории, начинающиеся в V, либо (а) ю-предельны к E, либо (б) а-предельны к E. Рассмотрим поле XM= (P-mQ)d / & + (Q + mP)d / dy eP„. Так как экватор является негиперболической замкнутой траекторией поля X0 = X, то величина h(0) = 0. Поскольку при достаточно малых |m| h'(m) > 0, то в случае (а) при juß(j) > 0 (соответственно, в случае (б) при juß(j) < 0) экватор является неустойчивой (соответственно, устойчивой) гиперболической замкнутой траекторией. Но тогда при достаточно малых |m| в окрестности V векторное поле Xдолжно иметь хотя бы одну замкнутую траекторию, отличную от
УДК 537.5
Сухов Андрей Константинович
кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет имени Н.А. Некрасова
ДВУМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ТЛЕЮЩЕГО РАЗРЯДА В АРГОНЕ. ЧАСТЬ 2. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Проведено компьютерное моделирование двумерного распределения параметров плазмы тлеющего разряда в аргоне. Сравнение результатов расчета двумерной модели с результатами для одномерной модели показало адекватность двумерного моделирования. Оценка влияния разрешения пространственной сетки на результаты моделирования показала уменьшение погрешности вычислений при уменьшении шага разбиения.
Получена временная зависимость поведения плотности зарядов в ходе развития разряда. Обнаружено, что во время изменения ширины катодной области плотности положительных и отрицательных зарядов в центре разряда остаются постоянными. Учет потерь зарядов на стенках разрядной камеры в двумерной модели приводил в основном к снижению плотности зарядов. Его влияние на вольт-амперную характеристику разряда было незначительным.
Показано изменение во времени параметров разряда на различных стадиях его развития. Наблюдаемое поведение параметров хорошо согласуется с экспериментальными данными. Результаты расчётов показали, что во время развития разряда наблюдаются 3 стадии. На первой стадии происходила наработка заряженных частиц с преобладанием плотности ионов над плотностью электронов по всей длине разрядной области. Затем формировались катодная и анодная области. Электрическое поле у анода сильно уменьшалось, и область максимальной ионизации сдвигалась в сторону катода, размер катодного падения при этом значительно сокращался. На третьей стадии наблюдалась медленная релаксация параметров плазмы к стационарным значениям. Получены двумерные распределения плотности зарядов, электрического поля и потенциала плазмы в ходе развития разряда. Они качественно соответствуют распределениям, наблюдаемым в эксперименте и других аналогичных расчетах.
Проведено сравнение наблюдаемого в эксперименте распределения свечения разряда в аргоне с расчетом двумерного распределения плотности электронов, которое показало, что рассчитанное пространственное распределение плотности электронов соответствует экспериментально наблюдаемому распределению свечения в аргоне.
Ключевые слова: плазма, тлеющий разряд, численное моделирование, уравнение непрерывности заряженных частиц, двумерное распределение.
Сравнение Ш и 2D моделей
Расчеты проводились согласно модели и расчетной схеме, описанной в работе [1]. Чтобы убедиться в правильности построения двумерной модели и ее расчетной схемы, сравнивали результаты моделирования для одномерной (Ш) и двумерной (2D) моделей при одинаковых начальных параметрах расчета: давление аргона р = 1 Тор, максимально напряжение источника V = 400 В, расстояние между плоскими электродами ё = 5 см, их радиус г = 1,5 см, балластное сопротивление Я = 50 кОм, температура электронов Т = 2 эВ, шаг по времени т = 3 • 10-11 с. В двумерной модели пренебрегали потерями зарядов на стенках, так как это не могло быть учтено в одномерной модели.
Сравнение результатов показало их качественное и количественное соответствие для одномерной и двумерной моделей. Это видно по графикам осевого распределения параметров разряда (рис. 1).
Для проверки количественного соответствия сравнивали значения тока I, падения напряжения на разряде Vd и плотности зарядов электронов пе и ионов пр в центре расчетной области, а также значения электрического поля у катода Е, в положительном столбе Ерс и у анода Еа для обеих моделей (табл. 1) в конце расчета при ( = 20 мкс. Все параметры практически совпали, отклонение не превысило 0,6 %.
Соответствие результатов свидетельствует о практической эквивалентности одномерной
Вестник КГУ им. H.A. Некрасова .4> № 7, 2014
© Сухов А.К., 2014
18
а) б)
Рис. 1. Распределение параметров плазмы вдоль оси разряда для расчетов по Ш (а) и 2D-моделям (б).
Е - напряженность электрического поля, пе и пр - плотности электронов и ионов, ф - потенциал плазмы, I - скорость ионизации. Катод - слева, анод - справа. Плотности зарядов пе и пр и скорость ионизации I представлены в логарифмическом масштабе по оси ординат, а напряженность электрического поля Е и потенциал плазмы ф -
в линейном масштабе.
1СГ
107Н
1СГ
1СГ
пе, Пр, ст~
О
10
15 I, ткв
Рис. 2. Поведение плотностей электронов пе и ионов п в расчетах по Ш и 2D-моделям в ходе развития разряда
и двумерной расчетных схем. Это соответствие наблюдалось и в ходе расчета. Рассмотрим поведение плотностей ионов и электронов в ходе развития разряда (рис. 2). Временной ход зависимостей для Ш и 2D-моделей практически совпадал.
Анализ изменения во времени плотностей зарядов в ходе развития разряда показал, что в первые 0,6 мкс, пока потерями зарядов можно было пренебречь, плотности ионов и электронов росли одинаково. Затем рост плотности ионов значительно опережал рост плотности электронов вследствие меньших потерь за счет их диффузионного ухода из-за меньшей подвижности. К третьей микросекунде, когда значения плотностей зарядов на оси трубки
Таблица 1
Параметр т 2Э
I, мА 3,662 3,665
V,!, В 216,9 216,7
пе, см-5 1,019109 1,025-109
пр, см-3 1,019109 1,025-109
Ек, В/см 1000,94 1001,3
Ерс, В/см 9,12 9,07
Еа, В/см 25,04 25,03
достигало 108 см-3, плотности зарядов выравнивались, и появлялась квазинейтральная плазма. При этом в исследуемой зависимости наблюдалось плато, когда в течение более чем одной микросекунды плотность зарядов в центре разряда практически не менялась. В это время происходил процесс перемещения границы катодного слоя от анода к катоду и уменьшение размеров катодной области. Когда ширина катодного падения достигала нормальной величины, плато заканчивалось, плотность зарядов снова начинала расти и происходила достаточно медленная релаксация плотности квазинейтральной плазмы к ее стационарному значению.
Поведение напряжения и тока разряда
Важнейшими расчетными характеристиками разрядов являются их вольт-амперные характеристики (ВАХ). Для получения ВАХ необходимы ток I и падение напряжения V на разряде. Изменение этих параметров в ходе двумерного моделирования развития разряда в аргоне показано на рисунке 3.
Из графиков следует, что на первой микросекунде напряжение на разряде V росло, точно
Рис. 3. Поведение напряжения источника У, напряжения на разряде У* и тока разряда в ходе развития разряда для 2D-расчета
следуя поведению напряжения источника V. Затем в течение 3 мкс, пока сопротивление разряда было велико, напряжение на нем не менялось, при этом все напряжение источника оказывалось приложенным к разряду. На четвёртой микросекунде возникал пробой, и напряжение на разряде ¥а резко падало, а ток разряда возрастал. Скачек имел малую длительность - около 0,5 мкс. После скачка параметры разряда стабилизировались и вышли на стационарные значения.
Моделирование разряда в аргоне
Расчеты проводились при ранее описанных условиях. Для проверки устойчивости двумерного расчета количество узлов сетки по оси и по радиусу брали различными: 700x100, 700x120, 800x100, 800x120. Расчеты для аргона с учетом потерь зарядов на стенках и различном пространственном разрешении представлены в таблице 2.
Если принять, что расчет с максимальным пространственным разрешением 800x120 точек наиболее точен, отличие результатов для других расчетов не превышало 2 %.
Результаты расчета в двумерном случае также показали, что учет потерь зарядов на стенках разрядной камеры привел к уменьшению расчетной плотности зарядов на 34 %, увеличению напряжения на разряде на 4 % и уменьшению разрядного тока на 5 %. Таким образом, учет потерь зарядов на стенках приводил в основном к снижению плотности зарядов. Его влияние на вольт-амперную характеристику разряда было незначительным.
Осевое распределение параметров
Поведение распределения параметров разряда на его оси для двумерного расчета во многом соответствовало одномерному расчету. На первой микросекунде развития разряда (рис. 4, а - б) наблюдалась наработка заряженных частиц с преобладанием плотности ионов над плотностью электронов по всей длине разрядной области. При этом в направлении анода плотность зарядов значительно возрастала, почти на 3 порядка. Поле Е менялось мало, так как экранировка поля объемным зарядом ввиду его малой плотности практически отсутствовала. Ионизация преобладала в анодной части разряда.
Ко второй микросекунде (рис. 4, в) начинали формироваться катодная и анодная области. Поле Е у анода сильно уменьшалось, и область максимальной ионизации начинала сдвигаться в сторону катода. После двух микросекунд у анода образовывалась область квазинейтральной плазмы - положительный столб разряда, который к третьей микросекунде занимал более половины разрядного промежутка (рис. 4, г - д). В это время поле Е у катода росло за счет увеличения градиента потенциала, и поэтому здесь локализовалась область ионизации. В области квазинейтральной плазмы поле Е было очень мало, и отсутствовал градиент потенциала. К пятой микросекунде (рис. 4, е) разряд можно было считать полностью сформированным. Были выражены катодная и анодная области, положительный столб. Основная область ионизации была вблизи катода.
Таблица 2
Параметр 700x100 700x120 800x100 800x120
I, мА 3,473 3,473 3,489 3,476
V*, В 226,3 226,4 225,5 226,2
пе, см-3 7,318108 7,304-108 7,423-108 7,334-108
пр, см-3 7,308-108 7,294-108 7,413-108 7,324-108
Ек, В/см 1119,8 1119,57 1122,8 1120,32
Ерс, В/см 9,23 9,25 9,08 9,25
Еа, В/см 22,22 22,23 22,0 22,35
д) е)
Рис. 4. Распределение параметров плазмы на оси разряда:
а) Г = 0 мкс; б) Г = 1 мкс; в) Г = 2 мкс; г) Г = 2,4 мкс; д) Г =3 мкс; е) Г = 5 мкс
а)
б)
в)
г) д) е)
Рис. 5. Радиальное распределение параметров плазмы на середине разряда:
а) Г = 0 мкс; б) Г = 1 мкс; в) Г = 2 мкс; г) Г = 2,4 мкс; д) Г =3 мкс; е) Г = 5 мкс. Слева - центр, справа - стенка
Рис. 6. Цветовая шкала
Радиальное распределение параметров
Двумерное моделирование, в отличие от одномерного, позволило рассчитать поведение радиального распределения параметров разряда в ходе его развития. Отметим основные особенности. Плотности ионов и электронов, а также скорость ионизации спадали к стенкам разрядной камеры. Квазинейтральная плазма формировалась сначала на оси разряда (рис. 5, д - е), затем распространяясь к стенкам.
Потенциал плазмы ф и поле Е мало менялись по радиусу, за исключением границы катодной области и положительного столба (рис. 5, д). Здесь поле несколько росло у стенки за счет существенного разделения зарядов, и скорость ионизации имела максимум не на оси, а на некотором расстоянии от стенки.
Двумерное распределение
Для наглядного отображения двумерного распределения параметров плазмы разряда использовалась цветовая шкала, в которой оттенок цвета менялся от темно-синего, фиолетового, красного, желтого к белому в зависимости от величины параметра.
Двумерное распределение плотности электронов в ходе развития разряда показало, что вначале
плотность зарядов росла у анода на оси разряда, спадая к катоду и стенкам (рис. 7, а - б). Со второй микросекунды максимум плотности зарядов смещался в сторону катода (рис. 7, в - г). При этом возрастали градиенты плотности зарядов на границах расчетной области.
Двумерные распределения плотностей электронов (рис. 7) и ионов (рис. 8) несколько отличались в силу большей скорости роста плотности ионов при формировании разряда, а также из-за преобладания электронов в анодном и ионов в катодном слое. Но общий характер изменения этих параметров был схожим.
Электрическое поле Е (рис. 9) в разряде имело однородную структуру только в начале его развития. Со второй микросекунды у анода появлялась область неоднородного поля, где поле у стенок было выше, чем в центре. С течением времени эта область смещалась к катоду, у которого наблюдался максимальный рост электрического поля и наибольшее падение потенциала (рис. 10).
Проведенное двумерное моделирование развития разряда постоянного тока в аргоне показало изменение рассчитанных параметров плазмы с учетом влияния потерь зарядов на стенках в прямоугольной геометрии расчетной области. Данная модель позволит учитывать при расчете различных
а)
б)
в)
г)
Рис. 7. Двумерное распределение плотности электронов в ходе развития разряда:
а) Г = 1 мкс; б) Г = 2 мкс; в) Г = 3 мкс; г) Г = 5 мкс. Катод - слева, анод - справа
Рис. 8. Двумерное распределение плотности ионов в ходе развития разряда
Рис. 9. Двумерное распределение электрического поля в ходе развития разряда
а)
б)
в)
г)
Рис. 10. Двумерное распределение потенциала в ходе развития разряда
Рис. 11. Сравнение наблюдаемого распределения свечения в трубке с расчетом двумерного распределения плотности электронов для разряда в аргоне
разрядов конкретную конфигурацию электродов, в том числе асимметричную, их размеры, а также влияние стенок и пристеночных слоев.
Для проверки адекватности полученных результатов было проведено сравнение наблюдаемого в эксперименте распределения свечения разряда в аргоне с расчетом двумерного распределения плотности электронов.
Известно [2], что интенсивность свечения разряда отражает плотность его заряженной компоненты. Поэтому расчет плотности зарядов в разряде при моделировании можно было сравнивать с распределением интегрального свечения. Цветовая шкала для данного случая была несколько изменена, чтобы палитра цветов шкалы соответствовала экспериментальному спектру излучения разряда. Сравнение показало, что рассчитанное пространственное распределение плотности электронов соответствует экспериментально наблюдаемому распределению свечения в аргоне (рис. 11).
Заключение
Составлена программа двумерного моделирования изменения параметров плазмы во время развития разряда в аргоне. Использована система дифференциальных уравнений, включающая в себя уравнения непрерывности для электронов и ионов и уравнение Пуассона. Для её решения применен метод конечных разностей. Для расчёта распределения потенциала в расчетной области использован метод верхней релаксации.
Проведено сравнение результатов расчета двумерной модели с результатами для одномерной модели, которое показало адекватность двумерного моделирования. Расхождение результатов не превысило 0,6 %.
Получена временная зависимость поведения плотности зарядов в ходе развития разряда. Обнаружено, что во время изменения ширины катодной области плотности положительных и отрицательных зарядов в центре разряда остаются постоянными.
Оценка влияния разрешения пространственной сетки на результаты моделирования показала уменьшение погрешности вычислений при уменьшении шага разбиения.
Учет потерь зарядов на стенках разрядной камеры в двумерной модели приводил в основном к снижению плотности зарядов. Его влияние на вольт-амперную характеристику разряда было незначительным.
Показано изменение во времени параметров разряда на различных стадиях его развития. Наблюдаемое поведение параметров хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Результаты расчётов показали, что во время развития разряда наблюдаются 3 стадии. На первой стадии происходила наработка заряженных частиц с преобладанием плотности ионов над плотностью электронов по всей длине разрядной области. При этом в направлении анода плотность зарядов возрастала почти на 3 порядка. Затем формировались катодная и анодная области. Электрическое поле у анода сильно уменьшалось, и область максимальной ионизации сдвигалась в сторону катода, размер катодного падения при этом значительно сокращался. На третьей стадии наблюдалась медленная релаксация параметров плазмы к стационарным значениям.
Получены двумерные распределения плотности зарядов, электрического поля и потенциала плазмы в ходе развития разряда. Они качественно соответствуют распределениям, наблюдаемым в эксперименте [3-4] и других аналогичных расчетах [5-7].
Проведено сравнение наблюдаемого в эксперименте распределения свечения разряда в аргоне с расчетом двумерного распределения плотности электронов, которое показало, что рассчитанное пространственное распределение плотности элек-
тронов соответствует экспериментально наблюдаемому распределению свечения в аргоне.
Проведённое моделирование позволяет детально исследовать динамику и параметры всех стадий импульсного разряда.
Библиографический список
1. Сухов А.К. Двумерное моделирование формирования тлеющего разряда в аргоне. Часть 1. Модель и расчетная схема // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2014. - Т. 20. - № 6. - С. 15-24.
2. Королев Ю.Д. Физика импульсного пробоя газов / Королев Ю.Д., Месяц Г.А. - М.: Наука, 1991. - 224 с.
3. Герасимов И.В. Исследование распространения разряда униполярного пробоя газа / Герасимов И.В., Сухов А.К. // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювеноло-гия. Социокинетика. - 2005. - № 11. - С. 5-10.
4. Сухов А.К. Две формы существования разряда униполярного пробоя газа // Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия. - 2013. - № 2. - С. 56-60.
5. Сухов А.К. Моделирование радиального профиля свечения по длине разряда униполярного пробоя газа // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. - 2010. -№ 2. - С. 12-17.
6. Сухов А.К. Моделирование импульсного разряда в азоте // Вестник Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова. -2013. - Т. 19. - № 2. - С. 15-24.
7. Суржиков C.Т. Физическая механика газовых разрядов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 639 с.
