Моделирование формирования приэлектродных слоев в ограниченной плазме под действием внешнего постоянного электрического поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.525

Сухов Андрей Константинович

кандидат физико-математических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

suhov_an drei@mail. ru

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ПРИЭЛЕКТРОДНЫХ СЛОЕВ В ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕГО ПОСТОЯННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Проведено компьютерное моделирование формирования приэлектродных слоев в ограниченной плазме под действием внешнего постоянного электрического поля с использованием системы уравнений непрерывности для электронной и ионной компонент плазмы и уравнения электростатики с учетом начальных и граничных условий. Получена динамика формирования параметров плазмы в катодном и анодном слоях, проведено сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными.

Ключевые слова: ограниченная плазма, приэлектродные слои, численное моделирование, уравнение непрерывности заряженных частиц, постоянное электрическое поле.

Компьютерное моделирование [1] является одним из эффективных методов изуче-. ния физических систем. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать, они позволяют проводить вычислительные эксперименты, реальная постановка которых затруднена или может дать непредсказуемый результат. Логичность и фор-мализованность компьютерных моделей позволяет выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемых объектов, исследовать отклик физической системы на изменения ее параметров и начальных условий.

Компьютерные модели обеспечивают большую гибкость при проведении эксперимента во время решения экспериментальных задач, позволяют замедлить или ускорить ход времени, сжать или растянуть пространство, дополнить модель графиком, таблицей, мультипликацией, повторить или изменить ситуацию. Компьютер позволяет в пределах, предусмотренных программой, управлять процессом, вводить в него случайные события, величины и факторы, имитировать функции управления событиями и видеть (в соответствии с программой) последствия принимаемых решений, повторять ход решения, то есть вновь проводить имитацию до получения верного результата.

Большинство применяемых аналитических средств, таких как дифференциальное исчисление, больше всего подходит для исследования линейных задач. Однако многие природные процессы являются нелинейными. Поскольку нелинейные задачи удается решить аналитическими методами только в отдельных случаях, численное моделирование позволяет исследовать нелинейные явления. Другая причина важности численного моделирования связана с тем, что с практической точки зрения наиболее интересными являются системы со многими степенями свободы или многими переменными, которые можно решить только численными методами.

Численное моделирование составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и при-

кладной науки, причем по важности оно приближается к традиционным экспериментальным и теоретическим методам. Численное моделирование, как и лабораторные эксперименты, не заменяет размышление, а является инструментом, который можно использовать для постижения сложных явлений.

Компьютерное моделирование получило широкое применение при исследовании плазменных систем как постоянного, так и переменного тока. Оно широко используется для расчетов конкретных плазменных устройств, начиная с газоразрядных осветительных ламп, мощных разрядных лазеров, плазмохимических реакторов до установок управляемого термоядерного синтеза. Поэтому актуальным является развитие методов компьютерного моделирования плазменных процессов для различных режимов работы и типов разрядных устройств.

Газоразрядная плазма применяется в газовых лазерах и источниках света, в плазмохимических процессах и процессах очистки газов, для обработки поверхностей, в различных технологических и металлургических процессах. Низкотемпературная плазма как рабочее тело используется для преобразования тепловой энергии в электрическую в магнитогидродинамических генераторах и термоэмиссионных преобразователях. В плазмотроне низкотемпературная плазма играет роль теплоносителя. Вводимая в плазму электрическая энергия передаётся электронам, а от них - атомам или (и) молекулам газа и нагревает его.

Применение плазмы как теплоносителя связано с процессами сварки и резки металлов. Дуговой разряд позволяет создать плазму, которая при соприкосновении с металлом расплавляет его. Плазменные методы сварки и резки металлов обеспечивают более высокую производительность, качество продукта, дают меньше отходов, но требуют больших затрат энергии и более дорогого оборудования.

Плазма как теплоноситель используется в топливной энергетике. Введение плазмы в зону сжигания низкосортных углей существенно улучшает

энергетические параметры процесса. Как хороший теплоноситель, плазма позволяет производить термическую обработку поверхности и её закалку. При этом не изменяется химический состав поверхности, но улучшаются её физические параметры.

Низкотемпературная плазма применяется для получения химических соединений, полимеров и полимерных мембран, а также при производстве порошков керамических соединений ^С, Si3N4), металлов и окислов металлов. В настоящее время такая плазма широко используется в нанотехнологиях для получения нанопорошков на основе нанотрубок, обладающих уникальными физическими свойствами.

Поэтому актуальным является исследование плазмы газового разряда. Одним из способов исследования служит его моделирование [2] при заданных конкретных условиях.

Компьютерная модель.

Используем одномерную дрейфовую модель разрядной плазмы между двумя бесконечными плоскими электродами, задаваемую системой дифференциальных уравнений, описывающих поведение параметров плазмы с учётом граничных условий в приэлектродных слоях [3]:

дп дА і г і г,

—- +--------- = аА - Вп п.

дt дх 1 е| е +

дп+ дА+

—— л---------+ = а\А - Вп п+

дt дх \ е н е +

дЕ

— = 4ж(п+ - пе) ;

дх

дТ _ Q

дґ Р- ср

дф

где Е =-------связь напряженности электрическо-

дх

го поля Е и потенциала ф, Ле = -пе ■ ¡ле ■ Е - поток электронов концентрации п , подвижностью ¡1 под действием приложенного электрического поля Е,

Л+= п+- /л+- Е - поток ионов концентрации п+, подвижностью ¡ле и под действием приложенного электрическое поля Е, Q = ц- J ■ Е - объемная плотность энергии в единицу времени, определяемая через часть энергии, идущей на нагрев г), плотность тока 3

и электрическое поле Е, 3 = q0 ■ (Л+ - Ле) - плотность тока, определяемая через разность потоков ионов и электронов, q0 - элементарный заряд.

Начальные условия: концентрации электронов и ионов, электрическое поле и температура постоянны по координате в начальный момент времени:

пе (х,0) = п+ (х,0) = п0,

Е( х,0) = Е0,

Т (х,0) = То.

Граничные условия:

^(0) = 0, ф(1) = У0 - на катоде потенциал считаем равным нулю, а на аноде - приложенному на-

пряжению.

дЕ дЕ

— (0) = 0, —(I) = 0 - поле у катода и анода дх дх

считаем непрерывным.

А, (0) =-у А+ - электроны испускаются катодом под действием потока ионов.

А+ (I) = 0 - анод ионы не испускает.

дАдА^ ^

—(I) = —+ (0) = 0 - потоки электронов у ано-

до до

да и ионов у катода считаем непрерывными.

Для решения системы воспользуемся численными методами. Введём в расчетной пространственновременной области 0 < х < I, 0 < ґ < т -пк конечноразностную сетку ю :

а>кт = \х. = ]к, ] = 0..п]; ґк = кт, к = 0..пк\

с пространственным шагом к = ^/І [см] и шагом

по времени т [с]. Рассмотрим два временных слоя:

нижний ґк = кт, на котором распределение искомых функций известно, и верхний временной слой

ґк+1 = (к + 1)г, на котором распределение искомых функций подлежит определению. Непрерывные

функции заменим сеточными: д>(х.,ґк) = фк,

пе(х],ґк) = пек, п+ (х.,ґк) = п+к., Ь (х.,ґк) = і], а производные заменим конечно-разностными соотношениями. Для пространственных производных используем центральные разности, для временных -правые:

дх ]

А

дх

Іі -Фкі-1 дТ к Тк+1 - Тк

2 - к дґ А к - А к дп е ]+1 Ле]-1 е І * 7 к+1 к к = пеі - пеі

2 - к дґ А+ к+1 - А+ )-1 дп+ ] * 7 к+1 к к п+ і - п+ і

2 - к дґ

дх у

У = 0..п - индекс по координате,

к = 0. пк - индекс по времени.

Исходная система уравнений в конечных разностях запишется в виде:

+

к +1 к X к X к

п . - п . А. , - А., ,і~,і

е] е] +_ч+1---= ак\Ак\-рпкп к

І е І ^ е I +

т

2 - к

еІ + І

к+1 к X к X к

п -п А - А +. + . ----++н_ = ак\Ак\-рп кп+к

- - І еЛ ґ' е і +

т 2 - к

_к ^ „.к . „к

I- 2 ’Ф] +Ф.-1 4 ( к к л

—-------------------— = 4ке(п+. - п .)

к2 + 3 е]

грк+1 грк ґ\к

І 3 _ ^3

Р-ср

/к І -^-1

где Ь. =—-------— - связь поля с потенциалом;

2 - к

Аек3 = -пек3 - ¡ле - Е] - поток электронов;

к к к А+. = п+. - ц+- Е. - поток ионов;

Jk = qо - (А+к - А.) - плотность электрического

тока; Qk. = г/ - Jkj - Ек - объемная плотность энергии разряда.

Полученная система уравнений решается с использованием явной схемы Эйлера, потенциал рассчитывается методом прогонки [4]. При моделировании использовались параметры для азота, так как этот газ составляет основную часть атмосферного воздуха и разряды в азоте широко используются на практике.

Результаты численного моделирования и их анализ

При обсуждении результатов численного моделирования основное внимание будет уделяться соответствию результатов расчетов наблюдаемым экспериментальным данным. Наиболее важной частью разряда является катодная область, так как там происходит рождение заряженных частиц, обеспечивающих существование разряда. Положительный столб разряда играет транспортную роль переноса зарядов, в первую очередь электронов от катода к аноду. Анодная область большой роли в существовании разряда не играет, так как является местом стока электронов на анод. Рассмотрим изменение параметров плазмы с течением времени.

В начале расчета (рис. 1) внешнее электрическое поле в разряде постоянно. Распределение концентраций электронов и ионов равномерно по всему разрядному промежутку. Потенциал линейно возрастает от 0 до заданного У0.

С течением времени (рис. 2) плазма начинает экранировать внешнее поле. Вблизи электродов формируются приэлектродные слои заряженных частиц. Распределение потенциала перестает быть линейным, и основное падение потенциала наблюдается вблизи катода. Причем величина катодного падения растет с течением времени. Это обуславливает то, что вблизи катода формируется сильное электрическое поле, величина которого также растет со временем (до 237,7 В/см при пк = 10000). Это поле сильно ускоряет электроны, выбитые ионами

Формирование приэлектродных слоев в плазме .'ХІ |

Входные данные

р [Т ор]: \]

.3 __________________

п0 [см ]: [тЁ9

[В]: [^5

Длина [см]: р|

Разбиение длины: 1500

Шаг по времени [с]: |1Е-П

Количество шагов: [о

і Построить і

_________пе _____________п+

0 __________Е

_________ ионизация

--------- рекомбинация

Значение поля Е [В/см]: у катода: 20 в центре: 19,9 у анода: 19,9

Рис. 1. Начальное распределение параметров плазмы в разрядном промежутке (катод - слева, анод - справа)

Рис. 2. Распределение параметров плазмы в разрядном промежутке через время г = т - пк = 10 8 с

(катод - слева, анод - справа)

Рис. 3. Распределение параметров плазмы в разрядном промежутке через время t = т ■ пк = 10 -7 с

из катода в результате электрон-ионной эмиссии, и приводит к значительной ионизации газа этими быстрыми электронами. В результате концентрация электронов у катода быстро растет. Так как концентрация ионов у катода больше, чем концентрация электронов, там образуется положительный объемный заряд, у анода же ситуация обратная - и образуется отрицательный объемный заряд. Ионизация

в основном происходит в катодном слое, где поле достаточно велико.

Кроме того, у анода формируется небольшое электрическое поле за счет разности концентраций электронов и ионов. Внутри разрядного промежутка в положительном столбе электрическое поле намного меньше, чем в приэлектродных слоях, и с течением времени оно стремится к нулю. Это обус-

ловлено экранированием плазмой внешнего электрического поля за счет перераспределения концентраций заряженных частиц. Полученные расчетные зависимости наблюдаются в экспериментальных измерениях разрядов постоянного тока [3], что подтверждает адекватность модели и правильность расчетной схемы. Преимуществом численного моделирования является возможность показать динамику формирования приэлектродных слоев, которую экспериментально нельзя зарегистрировать, так как приэлектродные слои формируются за очень короткое время, определяемое плазменной (Ленгмюров-ской) частотой:

4к ■í2 ■ п.

= 5,65-104 ■у/П с“1.

Для пе = 109 пё 3 сор = 1,8 -108 с

2ж

отсюда

т = — = 5,6■10~8 с.

В расчетах шаг по времени составляет 10_11 с, что позволяет детально рассмотреть формирование приэлектродных слоев и сопровождающие их плазменные процессы.

С уменьшением давления газа величина электрического поля вблизи катода мало меняется, а вблизи анода несколько уменьшается, при этом размер катодной области возрастает. Это обусловлено уменьшением влияния нейтральных молекул на движение заряженных частиц. При уменьшении давления плотность нейтральных молекул падает, что приводит к уменьшению частоты столкновений электронов с молекулами и увеличению их длины свободного пробега. В результате электрон, набирающий энергию в электрическом поле для ионизации, пройдет большее расстояние до столкновения с нейтральной молекулой с ее последующей ионизацией. Поэтому размер катодной области, определяемый расстоянием, необходимым для ионизации достаточного количества молекул, при уменьшении давления растет.

С увеличением разности потенциалов между электродами V0 экранировка внешнего электрического поля в плазме уменьшается, так как необходимо больше времени для перераспределения зарядов плазмы. Размер катодной области увеличивается, так как более сильное внешнее поле глубже проникает в плазму.

С увеличением концентрации электронов и ионов формирование приэлектродных слоев и экранировка внешнего электрического поля происходит быстрее, величина электрического поля вблизи катода при остальных неизменных параметрах выше, так же как и величина катодного падения потенциа-

ла. При увеличении концентрации зарядов их коллективное взаимодействие проявляется сильнее, что ускоряет формирование приэлектродных слоев, увеличивает градиенты параметров плазмы и, как следствие, приэлектродные электрические поля. Область катодного падения при увеличении концентрации зарядов уменьшается, так как их большее количество приводит к более сильной ионизации в катодном слое и размер слоя уменьшается.

Таким образом, нами создана программа численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение параметров плазмы с учётом граничных условий в приэлектродных слоях. С помощью этой программы проведено моделирование влияния внешнего постоянного электрического поля и параметров плазмы на формирование приэлек-тродных слоев в ограниченной плазме, которое показало, что размер катодной области увеличивается с уменьшением давления, с увеличением разности потенциалов между электродами и с уменьшением начальной концентрации электронов и ионов.

Результаты численного моделирования позволили показать динамику формирования приэлектрод-ных слоев, которую экспериментально нельзя зарегистрировать, так как приэлектродные слои формируются за очень короткое время, определяемое плазменной (Ленгмюровской) частотой.

Использование численного моделирования позволяет вычислить для заданных условий и параметров разряда значения параметров плазмы, что дает возможность подобрать условия для получения требуемых на практике параметров разрядной плазмы. Это обстоятельство имеет большое практическое значение, так как плазма широко применяется в технологических процессах напыления и травления плёнок в производстве микросхем и других высоких технологиях. Расчет требуемых параметров позволяет подобрать оптимальные режимы для конкретных технологических процессов, снижая издержки производства и давая положительный экономический эффект.

Библиографический список

1. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2 ч. - М.: Мир, 1990. - 400 с.

2. СуховА.К. Моделирование радиального профиля свечения по длине разряда униполярного пробоя газа // Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова. - 2010. -№ 2. - С. 12-17.

3. Райзер Ю.П. Физика газового разряда: Учеб. руководство для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. -М., 1992. - 536 с.

4. ТурчакЛ.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учеб. пособие. - 2-е изд., перер. и доп.-М., 2003. - 304 с.

т