Моделирование и вычислительный эксперимент в задаче прогнозирования среднедушевых денежных доходов населения на основе методов корреляционно-регрессионного анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

НАУКА- ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ, №1, 2017

УДК 519.25 Васькина А.В. [Vaskina A.V.],

Наац В.И. [Naats V.I.]

МОДЕЛИРОВАНИЕ

И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СРЕДНЕДУШЕВЫХ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Modeling and computing experiment in the problem of predicting the per capita monetary income of the population based on the methods of correlation and regression analysis

Рассматривается задача о среднедушевых денежных доходах населения Ставропольского края за период с 2000 по 2015 годы и на основе построенных в работе многофакторных моделей, и соответствующего программного обеспечения осуществляется прогноз на 2016 - 2018 годы. Численные расчеты сопровождаются получением статистических оценок прогнозных показателей рассматриваемой экономико-математической модели, выполняется обсуждение и анализ полученных результатов. Созданное программно-алгоритмическое обеспечение на основе регрессионных моделей, а также методика проведения соответствующего вычислительного эксперимента могут быть использованы в других прикладных задачах экономико-математического моделирования.

The paper Considers the problem of average per capita monetary incomes of the population of the Stavropol territory over the period 2000 to 2015 and on the basis constructed in the work of multi-factor models, and software is forecast for 2016 - 2018. The numerical calculations are accompanied by statistical evaluations of predictive performance of the considered mathematical model, performed the analysis and discussion of the results. Created algorithmic software based on the regression models and methodology for conducting the corresponding computational experiment can be used in other applications of economic-mathematical modeling.

Ключевые слова: Методы корреляционно-регрессионного анализа экономико-математическое моделирование, прогнозирование, статистический анализ, вычислительный эксперимент, программно-алгоритмическое обеспечение.

Key words: Methods of correlation and regression analysis, economic-mathematical modeling, forecasting, statistical analysis, computational experiments, algorithmic software.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе рассматривается задача о среднедушевых денежных доходах населения Ставропольского края за период с 2000 по 2015 годы и при этом требуется осуществить прогноз на 2016-2018 годы. Для решения данной задачи в работе выполняется построение многофакторной регрессионной модели. При этом используется аппарат теории корреляцион-

но-регрессионнош анализа. В первой части статьи излагаются краткие теоретические сведения, рассматриваются методы, применяемые в соответствующей данной задаче экономико-математической модели. В следующей части на основе статистических данных выполняется моделирование, разрабатывается соответствующее программно-алгоритмическое обеспечение, проводится вычислительный эксперимент по оценке соответствующих статистических параметров модели, выполняется анализ и обсуждение полученных результатов.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Приведем краткие теоретические сведения и рассмотрим методы, применяемые в соответствующей данной задаче экономико-математической модели [1]. На основе методов корреляционно - регрессионного анализа можно не только рассчитать статистические данные многих показателей экономико-математических моделей, но и выполнить наиболее достоверный прогноз определенных экономических процессов. Большинство экономических процессов зависят от действия многих факторов, поэтому при их исследовании может использоваться математический аппарат множественной регрессии. Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ позволяет оценить степень влияния на исследуемый результативный показатель каждого из включенных в модель факторов. Это позволяет дать вероятностное описание объектов исследования и построить наиболее адекватные вероятностно-статистические модели, по которым делается прогноз на будущее или проверяется достоверность экономических данных. Всё это свидетельствует о необходимости овладения методами множественного регрессионного анализа как инструментом проведения статистического анализа при моделировании экономических процессов [2].

Основная задача'регрессионного анализа

заключается в исследовании зависимости рассматриваемой переменной от различных факторов и отображении их взаимосвязи в форме регрессионной модели. В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная 7 может быть представленная в виде функции/(ХиХ2,.... Хк). где Х\,Х2,..., Хк - независимые (объясняющие) переменные, или факторы 7 =/ (Х\,Х2,...,Хь).

Важнейшим этапом построения многофакторной регрессионной модели является выбор формы связи, т.е. функции регрессии. Для этих целей используются наиболее известные функции, среди которых широкое распространение получила линейная функция. Это связано не только с ее простотой,

но и с тем свойством, что путем логарифмирования или замены переменных многие используемые для этих целей функции можно свести к линейным.

Основные предпосылки регрессионного анализа:

1. Зависимая переменная (или возмущение е.) есть случайная величина, а объясняющая переменная х, - неслучайная величина.

2. Математическое ожидание возмущения е1 есть ноль: М (е,.) = 0.

3. Дисперсия зависимой переменной у} (или возмущение г,) постоянно для любого /: = и2.

4. Переменные у, и е^ (или возмущения е1 и ) не коррелированны: = 0 (г Ф_/).

5. Зависимая переменная у1 (или возмущение е1) есть нормально распределенная случайная величина [3].

Для получения уравнения регрессии достаточно четырех первых предпосылок. Выполнение пятой предпосылки необходимо для оценки точности уравнения регрессии.

Таблица 1. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕГРЕССИОННОЙ

СТАТИСТИКИ [3]

Наименование показателя в отчете Excel Принятые наименования Формула

Множественный R Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции к = л[¥

R - квадрат Коэффициент детерминации Я2 п / ш- П 2 _ ,=1 -у)2 - \ п 1=1

П / ЕЫ- и -у)2 ±<У,-У? 1=1

Нормированный R-квадрат Скорректированный Я2 jp=I-(I- R2) 'п-к 1 -1

Стандартная ошибка Среднеквадратическое отклонение от модели п — 1 /=1

Наблюдения Количество наблюдений п п

Данная таблица 1 нам необходима для расчетов, выполняемых ниже.

Оценка параметров модели множественнойрегрессии.

Для построения множественной модели регрессии при отображении зависимости между переменной 7 и независимыми переменными Х].Х2..... Хк так же могут использоваться параболическая, показательная и другие функции. Наибольшее распределение получили модели линейной взаимосвязи, в том случае если факторы входят в модель линейно.

Линейная модель множественной регрессии представляется в виде:

уг =а0 + а1хп + а2х12 + ... + акхк + £г, / = 1 ,п, (1)

где к - количество факторов включенных в модель.

Коэффициент регрессии а, показывает, в среднем на какую величину изменится результативный признак 7, если переменную Х;. увеличить на единицу измерения, а, есть нормативный коэффициент [4].

Анализ (1) уравнения и определение параметров стали более подходящими, а расчетные процедуры упрощаются. Рассмотрим матричную форму записи модели (1): 7=Х • а + е, где 7- вектор зависимой переменной, которая имеет размерность п х 1, имеющая п наблюдений значений у,: X - есть матрица наблюдений п с независимыми переменными Х].Х2..... Хк. размерность этой матрицы равна п х {к + 1); а - это вектор неизвестных параметров с размерностью (к + \ ) / 1; е — это вектор случайных отклонений, с такой же размерностью как вектор 7. Исходя из этого, получаем,

(V (\ Х1 • X > (а > "о (е Л

7 = У 2 ? х = 1 хг ■■ Х2 к , а = аг , е =

V1 Х„1 • ■■ хк у ,akJ \еп)

В линейной модели (1) содержатся значения неизвестных величин а0,а\,а2,..., ак. Данные параметры оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные показатели являются ложными и представляют собой их статистические оценки.

Запишем модель линейной регрессии, у которой вместо истинных значений представлены их оценки (именно эти регрессии применяются на практике):

У = ХА + е = У + е,

где 'А - это вектор оценок параметров;

а е это вектор «оцененных» регрессионных отклонений,

е = У — ХА - остатки регрессии, 7 - оценка значений 7, равная ХА [5].

При помощи метода наименьших квадратов проводится оценка параметров модели множественной регрессии. Формулу вычисления параметров регрессионного уравнения приведем без вывода [5]:

А = {ХХ)1Х7. (2)

Отбор наиболее существенных факторов, влияющих на результат при построении множественной модели регрессии, проводится на основе качественного теоретического анализа совместно со статистическими приемами. Чтобы получить надежные оценки в модель не стоит включать много факторов. Затем проводится сравнительная оценка и отсев части факторов. На основе данных полученных путем анализа парных коэффициентов корреляции и оценки их значимости, составляется матрица парных коэффициентов корреляции, измеряющих тесноту связи с результативным признаком и между собой. Затем переходят к математическому описанию определенного вида зависимостей с применением регрессионного анализа.

Между объясняющими переменными точной линейной зависимости не существует, но между ними существует тесная корреляционная зависимость - этот случай носит название реальной или частичной мультиколлинеарности (просто мультиколлинеарность) - существование тесных статистических связей между переменными. Итак, мультиколлинеарность - это проблема, когда тесная корреляционная зависимость между регрессорами ведет к получению ненадежных оценок регрессии [5].

Рассмотрим некоторые способы для определения отсутствия или наличия мультиколлинеарности:

— Если определитель XX матрицы близок к нулю, то можно говорить о наличии мультиколлинеарности;

— Если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,8, то мультиколлинеарность в исходных данных является установленной:

В таких случаях оставляют ту переменную, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной.

Следующая схема пошаговой регрессии исходит из последовательного исключения факторов с помощью ? - критерия Стьюдента [5].

Анализ статистической значимости коэффициентов регрессии / - статистики проводится путем проверки гипотезы о равенстве 7-го параметра уравнения исключая свободный член:

ta] = V*.

(3)

где — среднеквадратическое отклонение коэффициента уравне-

ния регрессии а,.

Смысл заключается в том, что после построения уравнения регрессии и оценки значимости коэффициентов регрессии из модели исключают один из факторов, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение / — критерия Стьюдента. Процесс исключения останавливается на том шаге, когда все регрессионные коэффициенты значимы [5].

Оценка качества модели множественной'.регрессии.

Качество модели регрессии проверяется на основе анализа остатков регрессии Е. Этот анализ дает право получить информацию о том, насколько правильно выбрана модель и насколько хорошо выбран метод оценки коэффициентов. Для оценки качества регрессионных моделей также можно использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции):

R2 =

1-

п 2Х /=1 _ п m i=1 -у)2

п Л m-у)2 п ш -У)2

(4)

Приведенный коэффициент универсален, так как в нем отражается теснота связи и точность модели, может быть использован при любой форме связи переменных [6].

Для проверки значимости уравнения регрессии используют F — критерий Фишера, вычисляемый по формуле:

F= R2,k • (5)

{[-R2)/{n-k-l)

Если расчетное значение со степенями свободы Vi = к и v2 = п — к — 1, где к—количество включенных в модель факторов, больше табличного при заданном уровне значимости а, тогда модель считается значимой [6].

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Моделирование и прогнозирование среднедушевых денежных доходов населения. Рассмотрим задачу прогнозирования среднедушевых денежных доходов населения и для ее решения применим теоретический аппарат корреляционно-регрессионного анализа, рассмотренный выше. Кроме того, для проведения расчетов в качестве основного программного пакета будем использовать интерфейс Microsoft Excel, в который входит набор

средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения сложных статистических и инженерных задач.

Постановка задачи.

Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц) применяются в анализе уровня жизни, исчисляются делением общей суммы годового денежного дохода на 12 и среднегодовую численность наличного населения. Моделирование и прогнозирование среднедушевых денежных доходов населения всегда было и остается актуальной задачей.

Для составления прогноза на основе статистических данных по Ставропольскому краю за 2000-2015 годы [7] построим многофакторную регрессионную модель, с помощью которой предскажем величину среднедушевых денежных доходов населения в крае на 2016-2018 годы.

Таблица 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ О СРЕДНЕДУШЕВЫХ

ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДАХ НАСЕЛЕНИЯ ПО СТАВРОПОЛЬСКОМУ КРАЮ ЗА 2000-2015 гг. [7].

Среднедушевые денежные доходы населения в месяц, руб. (фактор Y) Годы Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата одного работающего в экономике, руб. (фактор Х1) Средний размер назначенных месячных пенсий в среднем за месяц, руб. (фактор Х2) Величина прожиточного минимума населения (в среднем надушу населения в месяц), руб. (фактор ХЗ)

1405 2000 1438 780,8 1038

1767 2001 2099 1096,9 1296

2335 2002 2837 1378,4 1619

3065 2003 3654 1649,6 1947

3861 2004 4497 1890,8 2193

5117 2005 5416 2365,5 2810

6488 2006 6733 2627,3 3274

8122 2007 8648 3407,5 3532

9746 2008 11110 4171,5 4375

11244 2009 12966 5653,8 4978

13016 2010 13949 6814,3 5471

14440 2011 15589 7444,9 6479

17088 2012 18446 8147,4 6033

19768 2013 20667 8902,3 6443

21386 2014 22597 9645,7 6956

22759 2015 22759 10802,0 8231

Для выявления взаимосвязей между величиной (Y), (XI), (Х2) и (ХЗ) проводим корреляционный анализ, используя инструмент «Корреляция» в пакете Excel (таблица 2). Таблица 3 показывает, что (Y) имеет тесную взаимосвязь со всеми рассматриваемыми показателями, так как коэффициент корреляции близок к 1. Для построения двухфакторной регрессионной модели в качестве факторных признаков выберем: (XI) и (Х2), ссылаясь на теоретический материал, представленный ранее.

Таблица 3. МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Y Х1 Х2 ХЗ

Y 1

Х1 0,99802026 1

Х2 0,994054993 0,993206872 1

ХЗ 0,98099502 0,982020439 0,985602 1

Для проведения регрессионного анализа используем инструмент «Регрессия» в пакете Excel.

Таблица 4. ПРОТОКОЛ ВЫПОЛНЕНИЯ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

В ПАКЕТЕ EXCEL

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки

1 1086,367034 318,6329661

2 1735,220409 31,77959128

3 2427,781706 -92,78170627

4 3176,432813 -111,4328132

5 3931,667298 -70,66729794

6 4849,499181 267,5008186

7 5978,049067 509,9509332

8 7797,34645 324,6535503

9 10029,6125 -283,6125047

10 12116,94614 -872,9461429

11 13390,02647 -374,0264735

12 14931,303 -491,3030019

13 17439,55493 -351,554931

14 19482,62611 285,3738869

15 21297,02184 88,97815531

16 21937,54503 821,4549696

_Регрессионная статистика_

Мн оже сгве н н ы й R 0,9983133 R-квадрат 0,99662944 Нормированный R-квадрат 0,99611089 Стандартная ошибка 453,791127 Наблюдения__16

Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость F

Регрессия 2 791564908,9 395782454 1921,9609 8,51268Е-17

Остаток 13 2677043,031 205926,39

Итого 15 794241951,9

Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика Р-Значение

Y-пересечение -366,7723098 204,7908982 -1,790960014 0,096599694

XI 0,768188322 0,134290171 5,720361492 7,04928Е-05

Х2 0,446317286 0,297130066 1,502093988 0,156968915

На основаниирасчетных данных таблицы 4, уравнение (1) регрессионной зависимости (Y) от (X.) и (Х2) можно записать в следующем виде:

у = -366,772 + 0,768х, + 0,446х2 (6)

Рассмотрим содержание протокола регрессиоиного анализа, где показаны важные для наблюдений итоги расчетов. Пояснения расчетов, представленных в таблице «Регрессионная статистика» приведены в таблице 1, а «Дисперсионный анализ» пакета Excel - в таблице 5.

Таблица 5. ПОЯСНЕНИЕ РАСЧЕТОВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ

ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

off- число степеней свободы SS - сумма квадратов MS - среднее значение

Регрессия к = 2 Z(v,-y)2 1=1 ¿(у,-у)2 А /=1

Остаток п-к-1=13 Я /=1 ±е;/(л-к-1) /=1

Итого п-1 =15 ¿(у,-У)2 /=1

В таблице 4, во втором столбце содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, аиаг.

Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в поле «Регрессионная статистика», а так же рассчитать это значение самостоятельно (табл. 4).

Коэффициент детерминации:

п

к

К2 = 1----м-= 1 - 2677043,03/794241951 $ = 0,9966

I&-уУ

г=1

Коэффициент детерминации показывает, что около 99% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Коэффициент множественной корреляции

R = 4B* = 0,998

показывает очень высокую тесноту связи зависимой переменной Y с двумя включенными в модель объясняющими факторами.

Теперь оценим значимость уравнения регрессии. Проверку значимости уравнения выполним на основе вычисления /• - критерия Фишера (5):

F= R2/k = 0,9966/2 = 0,4983 =1921<?

(1-Д2)/(и-£-1) (1 - 0,9966)/(l6 - 2-1) 0,0002593

Значение F - критерия Фишера можно найти в «Дисперсионном анализе» протокола Excel (табл. 4).

Табличное значение F - критерия Фишера можно найти при помощи функции /РАСПОБР При доверительной вероятности 0,05 Vj = к = 2 и v2 = «-¿-1 = 16- 2-1 = 13 оно составляет 3,81.

F = 1921,96;

расч ' '

F „ =3,81.

табл '

Поскольку Fpac4 > FTa6n, уравнение регрессии следует считать

адекватным.

Оценим с помощью t - критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии а0, аь а2, используя формулу (3):

t -a. IS

taQ = - 366,77/204,79 = -1,79

f4 =0,768/0,134=5,731

ta2 =0,446/0,297=1,502

Расчетные значения t - критерия Стьюдента приведены в четвертом столбце (табл. 4), сравнивая их с полученны ми, видим что они практически равны, из чего следует: коэффициенты аи а2 значимы (существенны).

Для дальнейшего прогнозирования (У), представим графически зависимость (XI) и (Х2) от времени. На рисунке 1 видим, что величина достоверности аппроксимации равна 0,992, что близко к 1, значит, прогноз будет достаточно точным, с небольшими ошибками.

30000

у = 51,558хг + 677,95х + 254,56

25000 R2 = 0,9921

20000 ^

15000 jf

10000

5000 ^^

0

1 2

9 10 11 12 13 14 15 16

Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата одного работающего в экономике, руб.

Полиномиальная (Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата одного работающего в экономике, руб.)

Рисунок 1.

Трендовая модель показателя (Х1).

Для временного ряда (Х2) в качестве аппроксимирующей функции был выбран также полином второй степени, величина достоверности аппроксимации равна 0,989, что также близко к 1.

Для сравнения в качестве коэффициента детерминации возьмем логарифмическую функцию (рисунок 3), видим, что коэффициент детерминации приблизительно равен 0,7329, что не позволяет результатам быть максимально точными.

Используя полученные в Excel трендовые модели, рассчитаем прогноз (XI) и (Х2) на 2016-2018 годы. Подставив полученные значения в составленное нами уравнение регрессии (6), получим прогнозные значения (Y) в Ставропольском крае на 2016-2018 годы, представленные в таблице 6.

12000

10000

8000

6000

4000

2000

у = 30,725х2 + 174,23х +444, ¡1% 0,9889

-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0

— Средний размер назначенных месячных пенсий в среднем за месяц, руб.

_ Полиномиальная (Средний размер назначенных месячных пенсий

в среднем за месяц, руб.)

Рисунок 2. Трендовая модель показателя (Х2).

16000

12000

8000

4000

Рисунок 3.

у = 3676,31п(х)- 2248,9 = 0,7329

1 2

7

10 11 12 13 14 15 16

—Средний размер назначенных месячных пенсий в среднем за месяц, руб.

_ Полиномиальная (Средний размер назначенных месячных пенсий

в среднем за месяц, руб.)

Трендовая модель показателя (Х2) для не оптимального решения.

о

Таблица 6. ПРОГНОЗНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНЕДУШЕВЫХ ДЕНЕЖНЫХ

ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ НА 2016-2018 гг.

(У) в месяц, руб. Годы (Х1) за месяц, руб. (Х2) за месяц, руб.

25599,76 2016 26676,75 12284,28

28063,28 2017 29158,90 13533,68

30633,39 2018 31744,15 14844,52

Таким образом, с помощью, построенной двухфакторной регрессионной модели, составлен прогноз среднедушевых денежных доходов населения в Ставропольском крае на 2016-2018 годы. Эти результаты могут быть использованы на практике при исследовании экономических процессов и планировании на их основе различных видов деятельности.

ВЫВОДЫ

В работе на основе статистических данных о среднедушевых денежных доходов населения по Ставропольскому краю построена многофакторная регрессионная модель, с помощью встроенных в математический пакет Microsoft Excel статистических программных модулей проведены расчеты показателей модели, получены статистические оценки параметров модели, выполнен анализ и обсуждение полученных результатов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов в 2-х т. Т. 2. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. 432 с.

2. Васькина A.B. Множественная регрессия и некоторые её приложения // Естественные науки - основа настоящего и фундамент для будущего: Материалы ежегодной научно-практической конференции Северо-Кавказского федерального университета «Университетская наука - региону». Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2016. 190-192 с.

3. Андронов A.M., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика. СПб.: Питер, 2014. 461 с.

4. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование. Учебное пособие; изд., испр., и доп. М.: Вузовский учебник, 2008. 365 с.

5. Бережная Е.В., Бережной В.И., Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Финансы и статистка, 2006, 432 с.

6. Буре В.М., Евсеев Е.А. Основы эконометрики: Учебн. Пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 72 с.

7. Официальный сайт Управления Федеральной службы Государственной статистики по Ставропольскому краю, http:// stavstat.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_ts/stavstat/ru/statistics/ stavStat/(дата обращения 20.01.2016 г.)

REFERENCES

1. Ajvazyan S.A. Prikladnaya statistika. Osnovy ehkonometriki: Uchebnik dlya VUZov v 2-h t. T. 2. M.: YUNITI-DANA, 2013. 432 s.

2. Vas'kina A.V. Mnozhestvennaya regressiya i nekotorye eyo pri-lozheniya // Estestvennye nauki - osnova nastoyashchego i fundament dlya budushchego: Materialy ezhegodnoj nauchno- prak-ticheskoj konferencii Severo-Kavkazskogo federal'nogo universiteta «Universitetskaya nauka - regionu». Stavropol': Izd-vo SKFU, 2016. 190-192 s.

3. Andronov A.M., Kopytov E.A., Gringlaz L.YA. Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika. SPb.: Piter, 2014. 461 s.

4. Orlova I.V., Polovnikov V.A. EHkonomiko - matematicheskie metody i modeli: komp'yuternoe modelirovanie. Uchebnoe poso-bie - izd., ispr., i dop. M.: Vuzovskij uchebnik, 2008. 365 s.

5. Berezhnaya E.V., Berezhnoj V.I., Matematicheskie metody mod-elirovaniya ehkonomicheskih sistem: Ucheb. posobie. 2e izd., M.: Finansy i statistka, 42006, 432 s.

6. Bure V.M., Evseev E.A. Osnovy ehkonometriki: Uchebn. Posobie. SPb.: Izd-vo S. Peterb. Un-ta, 2009. 72 s.

7. Oficial'nyj sajt Upravleniya Federal'noj sluzhby Gosudarstven-noj statistiki po Stavropol'skomu krayu. http://stavstat.gks.ru/wps/ wcm/connect/rosstat_ts/stavstat/ru/statistics/stavStat/ (data obra-shcheniya 20.01.2016g.)