Моделирование и исследование течения газа в микроканалах, образованных тремя цилиндрами одинакового радиуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 3

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

УДК 533.6.011 DOI 10.23683/0321-3005-2018-3-51-54

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В МИКРОКАНАЛАХ, ОБРАЗОВАННЫХ ТРЕМЯ ЦИЛИНДРАМИ ОДИНАКОВОГО РАДИУСА

© 2018 г. Р.И. Хакимов1, А.И. Снопов

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

MODELING AND INVESTIGATION OF GAS FLOW IN MICROCHANNELS FORMED BY THREE CYLINDERS OF THE SAME RADIUS

R.I. Khakimov1, A.I. Snopov1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Хакимов Ринат Ильшатович - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южныш федеральный университет, ул. Миль-чакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: r-nt@bk.ru

Rinat I. Khakimov - Postgraduate, Department of Theoretical and Computer Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: r-nt@bk.ru

Снопов Александр Иванович - доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, е-таИ: asnop@math.sfedu.ru

Alexander I. Snopov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Leading Researcher, Department of Theoretical and Computer Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8 a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: asnop@math.sfedu.ru

Рассматривается изотермическое течение вязкого газа в микрокананале, образованном тремя цилиндрами одинакового радиуса, касающимися друг друга. Вязкий газ вытекает из области повышенного давления в атмосферу. Для постановки задачи использовались полные уравнения Навье - Стокса, уравнения неразрывности и состояния. С учетом допущений о размере канала, изотермичности процесса и заданной зависимости коэффициентов вязкости система уравнений сводится к решению одного дифференциального уравнения. Выполнен переход к краевой задаче и получено соответствующее уравнение с граничными условиями (без случая истечения газа в вакуум). Полученное с помощью алгебраических методов дифференциальное уравнение обезразмерено и решено численным методом с помощью пакета прикладных программ FlexPDE. На основе полученного решения в безразмерном виде получена формула вычисления расхода газа через микроканал. Приведено отношение радиуса цилиндра, образующего рассматриваемый канал, к радиусу канала круглого сечения, имеющего равный с ним расход; для наглядности представлены поперечные сечения двух видов каналов при равном расходе.

Ключевые слова: течение газа в микроканалах, течение вязкого газа в микроканалах, микроканал, вязкий газ, вычисление расхода газа, поле скоростей, уравнения Навье - Стокса, давление газа, квазиодномерное течение вязкого газа, массовый расход газа.

In this paper, we consider the isothermal flow of a viscous gas in a microchannel formed by three cylinders of the same radius touching each other. The viscous gas flows out of the region of high pressure into the atmosphere. The complete Navier-Stokes equations, the continuity equation and the equation of state were used for the formulation of the problem. Taking into account the assumptions about the size of the channel, the isothermicity of the process and the given dependence of the viscosity coefficients, the given system of equations is reduced to the solution of one differential equation. Except for the case of gas flow into vacuum, the transition to the boundary value problem was performed and the corresponding equation with boundary conditions was obtained. The differential equation obtained by algebraic methods was dimensioned and solved by numerical methods using the FlexPDE application package. Taking into account the obtained

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

solution of the boundary value problem, a formula for calculating the gas flow through the considered microchannel is given in a dimensionless form. At the end of the article the relation of the radius of the cylinder forming the considered channel to the radius of the circular section channel having an equal flow rate is given, and for clarity the cross sections of two types of channels are presented at equal flow rate.

Keywords: flow of gas in microchannels, viscous gas flow in microchannels, microchannel, viscous gas, calculation of gas flow, velocity field, Navier-Stokes equations, gas pressure, quasi-one-dimensional viscous gas flow, mass flow of gas.

Теория течения газа в микроканалах начала развиваться в 50-е гг. ХХ в. при изучении диффузии газов в пористых средах [1] и газовой смазки [2].

В настоящее время интерес к этой теме сохраняется в связи с развитием исследований по течению разреженных газов [3] и расчетам утечек газа из резервуаров и транспортных систем через микрощели [4].

При моделировании потоков вязкого газа в прямых микроканалах обычно используются допущения, лежащие в основе исследований одномерных потоков вязкой несжимаемой жидкости. Это приводит к выводу о независимости скорости потока от продольной координаты [1, 3], что противоречит известному факту возрастания скорости газового потока в направлении выхода из канала. Фактически используются формулы для пуазей-левского течения в круглых трубах и плоских каналах [1]. Формулы для газового потока получаются из предположения, что плотность газа меняется по длине канала линейно.

Эти недостатки можно устранить, если для анализа течения газа в микроканалах использовать полные уравнения Навье - Стокса для вязкого газа, дополненные уравнениями неразрывности и состояния [5].

Процесс принимаем изотермичным из-за относительно малых размеров каналов (T = const).

PI

dt

-+ vv

dvx

dx

- + v,.

dvx

dy

+v

dv

_x_

dz

и- dp d

= pFx- — + — dx dx

( f

X

V v

dvv

dv.

- + —- + -dx dy dz

„ d ( dvx . + 2—1 1 + dx V dx

d

' dy

( dv

( (dvx dvy .. d( (dvT dv7..

V v — yy

P

_y_

dt

dy dx dv

dz

—x + —-

v V dz dx yy

+v.

y dx

dv

+v

dv . v v — + vz--

dy dz

ЁР+1

dy dy

= pFy+ ^

f f

X

V v

dvr dvv Qv

x

dx

y dy

dx

d_

"dz

f f Ц

V v

f / Ц ■

V V

dvy

dy dx

dz

dz dy

d

+ 2—

yy Qv

S\

ц

dz

dy

yy

yy

dvv dv- dv- dv. P| —- + vx—- + vy—z + vz—z dt dx dy dz

T7 dp d

= pFz —— + —

dz dz

r r

dvr dvv Qv

S\

dx

Г f

ц

V V

V V

v —x + )

z dx y

dz

v x

dx

dy

y

dy

f / ц ■

VV

dz

yy

dv-

+

dz dy

v y dv

yy

ф + ф^) + ЭФу1 + = 0; р = Щ.

& дх ду дх

Здесь vx, Vy, у2 - компоненты скоростей частиц газа в декартовой системе координат; р - плотность; Т - абсолютная температура; Я - газовая постоянная, определяемая по формуле Я = Ср - Су

(Ср и Су - удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме, принимаемые постоянными); Ях, Яу, Яг - компоненты массовых сил; X и ц - коэффициенты объемной и сдвиговой вязкостей газа соответственно.

Вязкий газ движется в канале, образованном внешностями трех касающихся круглых цилиндров равного радиуса (рис. 1).

Для прямых микроканалов естественно допустить, что поток газа в них одномерный. Если ось направлена вдоль канала в сторону течения, то можно принять, что

^ = ^ =0, ^ = ^(х; у;2) ^ 0 •

+

д

+

X

+

д

д

+

+

ISSN0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

Рис. 1. Поперечное сечение канала / Fig. 1. The cross section of the channel

Тогда рассматриваемая система уравнений примет вид

JJL+ + = о,

dx dzdx

d 2v.

ду dzdy

= о,

(1)

^+ + 2ц)-

RT z dz dz ' к" ' rv dz2

= 0.

+ Ц

fd 2v

z + dV

dx2

dy2

= 0,

dz

Такой вид системы позволяет ввести функцию, зависящую только от продольной координаты г:

Р(г) = р - (Х + ц) ^ ■

Воздействие газа на стенку микроканала определяется компонентами тензора напряжений. Если стенка гладкая, то для любой ее точки можно выбрать такую местную систему координат, чтобы ось Ог проходила по стенке вдоль направления канала, а оси Ох и Оу лежали в перпендикулярной плоскости, причём Ох ортогональна стенке и направлена наружу микроканала. Нормальное напряжение тхх, действующее на частицу жидкости, прилегающую к стенке канала в точке О, определяется по формуле

Тхх = -Р V + 2ц£хх ■

В силу принятых допущений получаем ду.

V-v =

dz

= 0

Из условия прилипания следует, что на стенках

микроканала —— = 0 и хпп = -р, т.е. р является

дь

давлением газа на стенку микроканала.

Таким образом, р = Р(г) , из чего делаем вывод, что давление газа на поверхности микроканала зависит только от продольной координаты г и одинаково во всех точках поперечных сечений микроканала плоскостями г = еот1 ■

Чтобы давление газа р внутри потока не зависело от поперечных координат, положим Х = -ц ■

Таким образом, равенство р = Р(г) выполняется во всех точках потока. Из системы (1) можно получить продольную компоненту скорости vz и вид её производной по

f(x, у), dvz _ f( x, у) dp 2(z) 2 p3( z)

(2)

где функция у(х, у) подлежит определению.

С учётом введённой зависимости коэффициентов вязкостей и формулы (2), из третьего уравнения системы (1) получаем

д_ ~z

Р +

f2

+ Ц-

f dp

2\

RTp 2 p

dz

= Ц

dx dy

. (3)

Заметим, что равенство (3) не может быть выполнено точно, так как его левая часть зависит от всех трех пространственных координат, а правая -только от двух поперечных. Следовательно, строго одномерные установившиеся изотермические течения вязких газов не существуют, а квазиодномерные течения могут быть изучены на основе линеаризации этого уравнения.

др2 дг

Допустим, что

const. Тогда последнее

уравнение принимает вид

1 dp

С

2ц dz

f2 ц f dp

2\

RTp

1 4

2 p

z

d2f

dx dy

Чтобы избежать варианта истечения газа в вакуум, необходимо предположить, что 2

f 2 Jmax

ц fmax Ф'

RTjp^in

2 p4 . dz -Pmin

<< 1

Тогда уравнение существенно упростится и примет вид

д2/ , д2/ _ др2 дх2 ду2 2ц дг '

В полученном уравнении левая часть зависит только от поперечных координат, а правая - только от продольных. Поэтому

С = ± др!, 2ц дг

дХ+дХ=с,

dx2 ду'

v

3

2

z

d( pvz )

2

1

2

+

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

где О - постоянная величина, которую следует определить.

Зададим краевые условия: 2 = 2у, р = р^ и 2 = 22, р = Р2 • Тогда

G =

л 2 2 _L Pi - Р2

2ц z1 - z2

Р =

Pi

2 2 lPlz+ Pi zi

■P2 z2

Функция f (x, y), введённая ранее, находится в

результате решения краевой задачи:

*f. + U - G, А, - 0,

дх2 ду 2

где I - контур поперечного сечения микроканала.

Для решения данной краевой задачи удобно перейти к безразмерным величинам:

2

1= x, л = y, u = -fг

а а Ga2

где а - радиус образующего цилиндра.

Тогда поставленная задача преобразуется к виду

d2U

d2U

= -1,

Ul/ = 0 •

2 2 ■ - (4) дц2

Определив функцию и из решения данной задачи, можно найти массовый расход газа

Q = -

Ga

RT s

ц uds

(5)

где £ - безразмерная область.

В связи с переходом к безразмерным величинам условие приемлемости решения изменится и примет вид

С^2 4тт2 G а u max

RTpmm

i -

ц

RT

«1 •

Для наглядности продемонстрируем два канала, имеющих одинаковый расход. Первый образован тремя цилиндрами, а второй имеет круглую форму (рис. 2).

2 И 2 2 GUmaxa pmin

Для рассматриваемого канала с введенными граничными условиями (истечение воздуха в атмосферу), учитывая решение (4) и подставляя его в (5), несложно вычислить массовый расход газа. С помощью программного пакета Maple получаем

Q — -0,0005188527Ga4.

Проведя анализ микроканала, образованного зазорами между цилиндрами, устанавливаем, что данный канал имеет тот же расход газа, что и труба меньших размеров, причем соотношение их характерных размеров

a

- - 4,4105876,

r

где a - радиус образующих треугольник цилиндров; r -радиус канала круглого сечения, равного по расходу.

Рис. 2. Соотношение размеров каналов круглой и рассмотренной формы при равном расходе газа / Fig. 1. The ratio of the ducts of cicular and above form of in equal gas consuption

Литература

1. Тимофеев Д.П. Кинетика адсорбции. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 252 с.

2. Снопов А.И. Теоретические основы работы газостатических опор. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2009. 176 с.

3. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2000. 350 с.

4. Снопов А.И., Дубовицкий В.С. Течение газа в микрощели // Междунар. журн. эксперим. образования. 2011. № 6. С. 81-82.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 7-е изд., исправл. М.: Дрофа, 2003. 846 с.

References

1. Timofeev D.P. Kinetika adsorbtsii [The kinetics of adsorption]. Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1962, 252 p.

2. Snopov A.I. Teoreticheskie osnovy raboty gazostaticheskikh opor [Theoretical foundations of the work of the gas-static bearings]. Rostov-on-Don: Izd-voYuFU, 2009, 176 p.

3. Elizarova T.G. Kvazigazodinamicheskie uravneni-ya i metody rascheta vyazkikh techenii [Quasi-gasdynamic equations and methods for calculating viscous flows]. Moscow: Nauchnyi mir, 2000, 350 p.

4. Snopov A.I., Dubovitskii V.S. Techenie gaza v mikroshcheli [The gas flow in the micro-gap]. Mezhdu-nar. zhurn. eksperim. obrazovaniya. 2011, No. 6, pp. 8182.

5. Loitsyanskii L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of liquid and gas]. 7th ed. Moscow: Drofa, 2003, 846 p.

Поступила в редакцию /Received

2 июля 2018 г. / July 2, 2018

z - z

z - z

i

2

2