Расширение (сжатие) конечного объема вязкого газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1120-1121

УДК 533.2

РАСШИРЕНИЕ (СЖАТИЕ) КОНЕЧНОГО ОБЪЕМА ВЯЗКОГО ГАЗА © 2011 г. А.И. Снопов

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

asnop@math.rsu.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

В переменных Эйлера и Лагранжа представлены частные точные аналитические решения уравнений движения вязкого газа, описывающие одномерные процессы диабатического расширения или сжатия ко -нечных объемов газа сферической и цилиндрической форм. Решения содержат произвольную функцию времени, а также ряд постоянных величин, определяющих начальное состояние газа.

Ключевые слова: вязкий газ, точные аналитические решения, одномерные процессы, расширение, сжатие.

Решение в переменных Эйлера

С использованием компьютерных технологий аналитических вычислений установлено [1, 2], что уравнение неразрывности газа удовлетворяется при условии, что скорость и частицы газа, удаленной от центра облака на расстояние г, и плотность газа р изменяются со временем У по закону

гЬ Ро

и = -

произвольная постоянная, к = ср /су .

Аддитивная зависимость давления от положения частиц газа в облаке может быть реализована только за счет внешнего индивидуального притока тепла к этим частицам, кото -рый устанавливается формулой

& =

(«(к-1) -2)рог2Ь3

(4)

(1)

1 + 2Ы 1 (1 + 2Ы)п/2'

При Ь > 0 имеет место расширение облака, при Ь < 0 — сжатие; п = 1 — осевая деформация цилиндра, п = 2 — радиальная деформация круглого цилиндра, п = 3 — радиальная деформация сферы.

Давление газа в облаке определяется из уравнения движения газа, при этом оно распределено неравномерно

р о г 2Ь 2

Р 2(1 + 2Ы )2+п/2 + /(?)' (2)

Входящая в выражение для давления функция времени/(У) находится из уравнения баланса энергии и в общем случае имеет такую структуру:

/(У) = С(1 + ТЫ) пк/2 + м/ (У) +

+ А,Ь/^ (У) + /б1(7 X (3)

где функции /(У) и /Х(У) отражают соответственно эффекты сдвиговой (индекс ц) и объемной (индекс X) вязкости газа, функция /д (У) — влияние внешнего подвода тепла 21(У), не зависящего от расположения частиц газа в облаке, С —

2(к -1)(1 + 2ЬУ)3+п/2 '

Выделение тепла за счет трения может идти на нагрев газа или может быть компенсировано внешним равномерным радиационным теплоотводом полностью или частично. Может также предполагаться независимый подвод или отвод тепла (ЗДО, равномерный для всех частиц газа.

Во всех этих случаях вид функции /д (У) определяется по формуле

/а(0 =

= (к -1)(1 + 2ЬУ)-пк/2131(т)(1 + 2Ьт)пк/2 (5)

Если 21(У) = 0 и выполняется равенство (5), то функции /(У) и/х(У) определяются из уравнения баланса энергии и имеют вид

к/Рг + 2( к- 1) (пк - 2)(1 + 2ЬУ), п2( к- 1) (пк- 2)(1 + 2ЬУ)

(6)

В представленное решение уравнений движения газа входят произвольные постоянные Ь, р0 , С и произвольная функция времени <2^0, к кото -рым необходимо добавить еще начальный радиус облака г0 , также играющий роль произвольного параметра.

Решение в переменных Лагранжа

Для исследования процессов расширения и сжатия облака удобно перейти от переменных Эйлера в переменным Лагранжа, используя уравнение г = u, решение которого имеет вид

г = У1 + 2ЬУ. (7)

При У = 0 В = г(0). Следовательно, В является радиальной координатой частицы газа в начальный момент времени. Для частиц газа, находившихся в начальный момент времени на границе облака, В = г0. Следовательно, граница облака в текущий момент времени имеет радиус г = г04!Ш. В переменных Лагранжа формулы (2) и (3) принимают вид

Р =

Ро 2

2(1 + 2bt)

1+n/2

+ f (t),

= (n( к-1) - 2)ро ^2b3 1 2(к-1)(1 + 2bt)2+n/2 '

(8)

Поле температур в облаке определяется из уравнения Клапейрона р = ЯТр по формуле

В2Ь2 , /(У)

T = ■

+

-(1 + 2bt)

n/2

(9)

2Я(1 + 2ЬУ) Яр 0

Анализ формул (8) показывает, что 22 = 0 при п = 3 и к = 5/3. Чтобы при этом процесс расширения (сжатия) газового облака был адиабатичес-

ким, достаточно принять 21(У) = 0. Так как п = 3 соответствует облаку сферической формы, а к = = 5/3 присуще только одноатомным газам, то из представленного аналитического решения следует, что оно приемлемо для описания адиабатических процессов расширения (сжатия) одноатомных газов, образующих в начальный момент времени сферическое облако.

Если же равенства п = 3 и к = 5/3 одновременно не выполняются, то изложенное решение может быть использовано для приближенного анализа диабатических процессов расширения (сжатия) газовых объемов рассмотренных форм в жидких и газовых средах с учетом того, что процессы взрыва, горения нагрева и охлаждения носят временной характер, а не мгновенный.

Список литературы

1. Снопов А.И. Диабатическая модель расширения газового облака под воздействием радиационного притока тепла // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX Междунар. конф., посвященной 85-летию со дня рождения акад. РАН И.И. Воровича. 2005. Т. 1. С. 186—188.

2. Снопов А.И. Диабатическое сжатие газового облака // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Междунар. конф. 2006. Т. 1. С. 264—265.

EXPANSION (COMPRESSION) OF A FINITE VOLUME OF VISCOUS GAS

A.I. Snopov

Particular exact analytical solutions of equations of motion of a viscous are presented gas in the Euler and Lagrange variables, which describe one-dimensional processes of diabatic expansion or compression of finite volumes of gas of spherical and cylindrical forms. These solutions contain an arbitrary function of time, as well as a number of constants defining the initial state of the gas.

Keywords: viscous gas, exact analytical solutions, one-dimensional processes, expansion, compression.