Применение метода глобального случайного поиска для расчета потока вязкой несжимаемой жидкости в канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

УДК 532.5 DOI 10.23683/0321-3005-2018-1-43-48

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГЛОБАЛЬНОГО СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТОКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ

© 2018 г. М.А. Сумбатян1, А.С. Пискунов1'2

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Азовский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства, Ростов-на-Дону, Россия

APPLICATION OF THE GLOBAL RANDOM SEARCH METHOD FOR CALCULATING THE FLOW OF A VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID IN A CHANNEL

M.A. Sumbatyan1, A.S. Piskunov12

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Azov Sea Research Fisheries Institute, Rostov-on-Don, Russia

Сумбатян Межлум Альбертович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: sumbat@math.sfedu.ru

Пискунов Андрей Сергеевич - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; ведущий инженер, Азовский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства, ул. Береговая, 21в, г. Ростов н/Д, 344002, Россия, e-mail: andrey91y@yandex.ru

Mezhlum A. Sumbatyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Theoretical and Computational Fluid Dynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: sumbat@math.sfedu.ru

Andrey S. Piskunov - Postgraduate, Department of Theoretical and Computational Fluid Dynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Lead Engineer, Azov Sea Research Fisheries Institute, Beregovaya St., 21v, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: andrey91y@yandex.ru

Рассматривается плоская задача течения вязкой несжимаемой жидкости в канале на основе уравнений Навье -Стокса и уравнения неразрывности. Функция тока в данном случае может рассматриваться как для ламинарного, так и для турбулентного режимов. Главной целью является тестирование предлагаемого здесь алгоритма для проверки данного факта на примере ламинарного течения. Известно, что доминирующую роль в турбулентном потоке играют вихревые структуры с волновыми числами, определяемыми числом Рейнольдса. Изучается метод решения, основанный на достаточно общем подходе минимизации функционала невязки для операторных уравнений. Функционал невязки исследуется в квадратичной метрике. Описывается алгоритм глобального случайного поиска для минимизации функционала невязки. Данный алгоритм реализован на генерации последовательности случайных величин с последующим уменьшением интервалов поиска на следующих итерациях. Предполагается, что алгоритм глобального случайного поиска обеспечивает наивысшую эффективность и значительно превосходит другие численные методы. Приводятся примеры тестовых функций для апробирования алгоритма глобального случайного поиска. Доказано, что данный метод хорошо подходит к задаче минимизации функционала невязки для ламинарного режима.

Ключевые слова: уравнения Навье - Стокса, число Рейнольдса, течение Пуазейля, функция тока, ламинарное течение, случайный поиск, функция Растригина.

In this paper, the plane problem of viscous incompressible fluid in a channel based on the Navier-Stokes equations and the continuity equation is considered. The stream function in this case can be considered for both laminar and turbulent modes. The main purpose is to test the mentioned algorithm on the example of the laminar flow. It is known that vortex structures with wave numbers determined by the Reynolds number play a dominant role in the turbulent flow. It is investigated the method based on the sufficiently overall approach of the residual functional minimization for operator equations. The residual

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

functional is investigated in a quadratic metric. It is described by the global random search algorithm to minimize the residual functional. This algorithm is implemented by generating the sequence of random variables with consequent reduction of search ranges for the next iterations. It is assumed that the global random search algorithm provides high efficiency and significantly outperforms other numerical methods. Some examples of test functions for testing the global random search algorithm were demonstrated. It is proved that this method is well suited to the problem of residual functional minimization for the laminar flow.

Keywords: Navier-Stokes equations, Reynolds number, Hagen-Poiseuille flow, stream function, laminar flow, random search, Rastrigin function.

Постановка задачи

Пусть в канале |у| < к шириной 2к движется

поток вязкой несжимаемой жидкости. Её течение описывается уравнениями Навье - Стокса и неразрывности [1, 2]

dvx dt dvy "dt

- + v

-+ Vv

dvv dvv . 1 dp _ *—- + vy—- -vAvx +—— = 0, dx dy p dx

dvy л 1 dP n -_vAv, +---— = 0,

dVy

dx

+v

dy

p dy

(1)

dv-+ ^=0,

dx dy

(3)

д о

нить оператор — и вычесть из него 2-е уравнение,

ду

продифференцированное по х.

Введем функцию тока соотношениями

дш дш Ух = — , Уу =---.

ду у дх

Тогда уравнение для функции тока принимает вид [1]

—А|+ дш д А|- дш д Аш~уААш = 0. (4)

д1 дУ дх дх ду

Граничные условия (2) записываются следующим образом:

где Ух, Уу - скорости частиц жидкости; V - кинематическая вязкость; р - гидродинамическое давление; р - плотность жидкости. Граничными условиями задачи являются условия прилипания частиц к стенкам:

Ух = 0, Уу = 0, у = ±к (2)

Задача решается в плоской (двумерной) постановке.

Рассматриваемая задача исследовалась различными методами как в двумерном, так и в трехмерном случаях [3-7]. Несмотря на это, многие физические и математические аспекты еще не до конца изучены. Основную сложность представляет расчет потока в турбулентном режиме. Критическое число Рейнольдса Яе* = ик/ V в этой задаче равно 5772 [8], где и - максимальная скорость потока по сечению канала в его середине; к - полуширина канала. Значительные усилия были направлены на преодоление известных трудностей для турбулентного потока, когда Яе > Яе*, однако и для ламинарных нестационарных во времени потоков решение подобной задачи требует значительных усилий. В данной работе развивается метод решения, основанный на достаточно общем подходе минимизации функционала невязки для операторных уравнений.

Вместо системы трёх уравнений (1) будем исследовать одно уравнение для функции тока. В самом деле, давление р(х, у^) исключается из (1), если к первому из уравнений этой системы приме-

Q

^ ,=-Q

2 ' vb=h

q

2 ' dy

= 0,

(5)

y=±h

где | - расход жидкости в канале.

Для корректной постановки задачи как в ламинарном, так и в турбулентном режимах к нестационарному уравнению (4) с граничными условиями (5) следует добавить начальное условие, задающее значение функции |(х, у, ?) при t = 0. Ниже будет

отмечено, что решение рассматриваемой задачи разыскивается в классе периодических по времени функций. Очевидно, что в ламинарном случае такое решение может быть только стационарным и определяется параболой Пуазейля. В турбулентном течении известно [4, 6], что начальные условия могут быть заданы достаточно произвольно. Это связано с тем, что с течением времени в турбулентном потоке доминирующую роль играют вихревые структуры с волновыми числами, определяемыми числом Рейнольдса, при этом распределение скоростей в потоке имеет стохастический характер, не зависящий от начальных условий.

В связи с этим функцию тока будем разыскивать в виде

м к з (2%mt

ч [ M K J , (2%Mt п Л y,О = 1 S S S bmkjcos ——--ßm I

\m=1k=1 j=1 V T J

lm=1k=1 j

nky Л (2nfx „ Xcos| —f^-Ук Icos| —8j

1-1y

2

(6)

+3 Q 4

(

y

3h3

3 Л

X

X

2

X

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

Заметим, что выражение (6) автоматически удовлетворяет граничным условиям (5). При этом Яе = 0,750 / V. Параметры функции тока определим в интервалах

- в < Ътк] < в, 0 <Рт < 2л , 0 <1к <л и 0<5у <2л, (7)

где рт, ук и - некоторые неизвестные

коэффициенты. Разыскивая функцию тока у(х,у,?) в виде (6), можно моделировать практически произвольное поведение этой функции по времени, так как произвольную периодическую функцию с периодом Т можно сколь угодно точно приблизить отрезком ряда Фурье. Заметим также, что представление (6) справедливо как в турбулентном, так и в ламинарном режимах. В ламинарном случае выделенное в явном виде последнее слагаемое в (6) соответствует течению Пуазейля. В данной работе основной целью является тестирование предлагаемого здесь алгоритма для проверки указанного факта на примере ламинарного течения. В этом случае

все весовые коэффициенты в результате применения предложенного в данной работе алгоритма должны быть достаточно малыми величинами. В ближайших работах авторы планируют применить этот подход к турбулентному потоку в канале.

Подставим функцию тока (6) в уравнение (4) и обозначим выражение для левой части через функцию ^(х,у,?). Введем сетку по трём переменным (хг-, у, (у) с шагом (вх, в у, в(). При этом переменная х изменяется на некотором достаточно длинном горизонтальном интервале, у - вдоль толщины канала, ? - на некотором временном интервале. Поскольку функция ^(х, у, ?) должна быть тождественно равной нулю в выбранном параллелепипеде переменных (х,у,?), то ее значения на выбранной сетке также все должны быть равны нулю. Этого можно добиться, минимизируя функционал невязки в квадратичной метрике:

Ф = ЕЕ£|^(х;,у^)|2. (8)

г И у

Таким образом, задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов в разложении функции тока (6) и условия, что функционал (8) достигает своей нижней границы

Ф = пюфх, у е. , )}.

Чем меньшее положительное значение будет достигнуто, тем ближе построенная функция тока будет к истинной.

Поскольку задача минимизации для данного функционала требует больших вычислительных затрат, минимум будем находить методом глобального случайного поиска. Он обеспечивает наивысшую эффективность, значительно превосходя другие численные методы.

Реализация метода

Для большей ясности опишем предлагаемый алгоритм на простейшем случае т = 1, к = 1, у = 1. Тогда имеем 4 неизвестных коэффициента

[ЬиьРь 71,511 = [х'

„(2),„(3),„(4)]. На первом шаге

каждый коэффициент представим в виде последовательности случайных чисел размера N на интервалах (7):

bmkj -

21 ^

(3) 2 ,

I(1)

х1 ,х2 ,..., Рт = |х:( \ х2 7 к ^^ х2

5 ]=К(4), х24),..., },

Подставим коэффициенты в функционал (8). Получим последовательность значений Ф={Ф1,Ф2...ФЫ} (табл. 1).

(2) „(2) 1

•,„N У

„(3) 1

, „N ), (4) v(4)

Таблица 1

Случайные величины / Random values

ф bmkj ßm Ук Sj

Ф1 „((1) „i(2) „1(3) „1(4)

Ф2 „2) x2 ) „2 ) „2 )

x(i) xN „(2) xN „(3) „N „(4) „N

Алгоритм, применяемый в данной работе, настроен на отыскание глобального максимума положительной функции. Очевидно, что минимизация положительной функции, возникающая в рамках описанного выше метода, легко сводится к поиску максимума для функции Ф-1. Поэтому для простоты будем считать, что решается задача поиска глобального максимума.

Выбираем два параметра: I - число итераций; N - количество наилучших значений функционала Ф на каждой итерации. На первом шаге итерационного процесса бросания случайными точками в выбранной области изменения аргументов рассматриваемого функционала осуществляются простым генерированием случайных величин, равно-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

мерно распределенных на соответствующем интервале. Подсчитаем вероятность того, что данное значение является подходящим для достижения максимума, и отсортируем последовательность следующим образом:

Ф

P ' i =1JV, Ф <Ф2 <••• <Ф^-1 <Ф

N

SФi i=1

^N.

Далее по формуле гц = Р^Ы вычисляем величину, определяющую, сколько раз мы выберем точку х со значением функционала Фг- в качестве подходящей для запуска следующего шага итерации. Очевидно, что число точек предыдущего шага, имеющих большие значения функционала, будет больше, чем число подобных точек с меньшими значениями функционала. При этом числа ц = Р^Ы должны быть целыми, поэтому округляем их вверх до ближайшего целого. Тогда их сумма, т.е. полное количество подходящих для следующей итерации

точек х , может оказаться большей, чем Ы . В этом

случае оставляем из них Ы штук с наилучшими значениями Фг-. Например, если N = 3 и значения величин Р для них равны Р = 1/2, Р2 = 1/3, Р3 = 1/6, то ц = 2,П2 = 1, П3 = 1. Тогда из четырех точек х выбираем два раза х1 и один раз х , получая таким образом 3 необходимые точки для следующего шага итерации.

Следующий шаг итерации состоит в том, что происходят случайные бросания в окрестностях N точек, отобранных на предыдущем шаге итераций. При этом окрестность отобранных точек постепенно сжимается с каждым шагом, что позволяет уточнять значения наиболее удачных пробных точек. Конкретные расчеты показывают, что целе-

сообразным законом уменьшения радиуса области для поиска подходящих точек является закон линейного убывания радиуса с увеличением номера итерации. Построенные таким образом новые N точек участвуют в очередном шаге итераций, описанном выше.

Примененный алгоритм родствен одному из методов, предложенных в [9]. Его характерные особенности: на каждом шаге итераций всегда выбираются N точек с наилучшими значениями функционала и окрестности, в которых отыскиваются наиболее подходящие точки, постепенно стягиваются к наиболее удачным точкам, полученным на предыдущих шагах итерационного процесса.

Примеры тестовых функций и численные результаты

Перед реализацией глобального случайного поиска для гидродинамической задачи в канале апробируем примененный алгоритм на известных в литературе тестовых функциях. В 1974 г. Л. Растри-гиным была предложена двумерная невыпуклая функция [10], используемая для тестирования эффективности алгоритмов оптимизации. Она является типичным примером нелинейной мультимо-дальной функции [4] (рис. 1, 2). В 1991 г. функция Растригина была обобщена на высшие размерности. Нахождение минимума этой функции является достаточно сложной задачей из-за большого количества локальных минимумов. Эта функция описывается в явном виде

-Acos(2rox)],

/ (х) = An

i=1

где A = 10, а глобальный минимум /(х) = 0 и находится в точке х = 0 [11].

Рис. 1. Функция Растригина для n = 2 / Fig. 1. Rastrigin function for n = 2

Рис. 2. Изолинии функции Растригина для n = 2 / Fig. 2. Contour of Rastrigin function for n = 2

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

Другой подходящей функцией для тестирования алгоритма поиска глобального экстремума является выпуклая функция Бута [5] (рис. 3), которая обычно подходит для тестирования простейших алгоритмов случайного поиска

Дх) = (х+2у - 7)2 + (2х+у - 5)2.

ростом параметра Q / v глобальный минимум функционала Ф увеличивается (табл. 2).

Таблица 2

Функция Ф и Ъщ при росте Q/v / The values of Ф and Ъщ versus parameter Q/v

Q/v Ф b111

1 0,0118501 -1,08356 10-7

10 0,449648 5,97278• 10-6

100 1,3093 4,04933- 10-6

1000 5,88033 -2,25321-10-6

Рис. 3. Функция Бута / Fig. 3. Booth's function Глобальный минимум функции Бута f (1,3) = 0.

Результаты

На первом этапе проверим алгоритм глобального случайного поиска на тестовых функциях Бута и Растригина. Все расчеты будем проводить при 1=1000, N=50.

Функция Бута. За 1000 итераций достигнуто

_7

значение функционала, равное 6,9651-10 в точке x1 =1,0005, x2 = 2,99983.

Функция Растригина. Достигнуты значения: n = 2. 1,944 -10_8 в точке x1 = 1,956 -10_6, x2 = _9,704 -10_6 ;

n = 3. 5,518-10_6 в точке x1 =_1,228-10_4, x2 = 1,111-10 _4, x3 = _1,974 -10_5;

n = 4. 6,818-10_5 в точке x1 = 2,060-10_4, x2 = _5,462 -10_5, x3 = 4,889 -10_4, x4 = 2,434 -10_4.

4

Для ламинарного течения (Q/v = — Re) метод

глобального случайного поиска дает Фш;п = 1,185-10_2, b111 = _1,0836 -10_7 .

Таким образом, с высокой точностью достигается парабола Пуазейля. Дальнейший рост числа Рейнольдса ухудшает точность алгоритма, так как с

Заключение

Исходя из полученных результатов, для ламинарного режима при разных числах Рейнольдса Q/v =1, 10, 100, 1000, Ф - min^,y, i)} можно сделать вывод о том, что данный метод глобального случайного поиска хорошо подходит к задаче минимизации функционала невязки. В ближайших работах авторы планируют адаптировать разработанный алгоритм для случая турбулентного потока.

Литература

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904 с.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

4. Moin P., Kim J. Numerical investigation of turbulent channel flow // J. of Fluid Mechanics. 1982. Vol. 118. P. 341-377.

5. Rai M.M., Moin P. Direct simulations of turbulent flows using finite-difference schemes // J. of Computational Physics. 1991. Vol. 96. P. 15-53.

6. Никитин Н.В. Спектрально-конечно-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 1994. Т. 34, № 6. С. 909-925.

7. Сумбатян М.А., Мацуга В.В. О структуре звукового поля высокоскоростного турбулентного потока вязкой жидкости в узком канале // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2005. Т. 5, № 4 (26). С. 507-515.

8. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

9. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука, 1991. 248 с.

10. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. 632 с.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

11.Momin J., Xin-She Y. A literature survey of benchmark functions for global optimization problems // Int. J. of Mathematical Modelling and Numerical Optimization. 2013. Vol. 4, № 2. P. 150-194.

References

1. Loitsyanskii L. G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of fluids and gas]. Moscow: Nauka, 1970, 904 p.

2. Shlikhting G. Teoriya pogranichnogo sloya [The theory of boundary layer]. Moscow: Nauka, 1974, 712 p.

3. Rouch P. Vychislitel'naya gidrodinamika [Computational fluid dynamics]. Moscow: Mir, 1980, 616 p.

4. Moin P., Kim J. Numerical investigation of turbulent channel flow. J. of Fluid Mechanics. 1982, vol. 118, pp. 341-377.

5. Rai M.M., Moin P. Direct simulations of turbulent flows using finite-difference schemes. J. of Computational Physics. 1991, vol. 96, pp. 15-53.

6. Nikitin N.V. Spektral'no-konechno-raznostnyi metod rascheta turbulentnykh techenii neszhimaemoi zhidkosti v

trubakh i kanalakh [A spectral finite-difference method of calculating turbulent flows of an incompressible fluid in pipes and channels]. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. fiziki. 1994, vol. 34, No. 6, pp. 909-925.

7. Sumbatyan M.A., Matsuga V.V. O strukture zvu-kovogo polya vysokoskorostnogo turbulentnogo potoka vyazkoi zhidkosti v uzkom kanale [On the sound field structure of a high-speed turbulent flow of viscous fluid in the narrow channel]. Vestn. Donskogo gos. tekhn. un-ta. 2005, vol. 5, No. 4 (26), pp. 507-515.

8. Drazin F. Vvedenie v teoriyu gidrodinamicheskoi ustoichivosti [Introduction to hydrodynamic stability]. Moscow: Fizmatlit, 2005, 288 p.

9. Zhiglyavskii A.A., Zhilinskas A.G. Metody poiska global'nogo ekstremuma [Methods of finding the global extremum]. Moscow: Nauka, 1991, 248 p.

10. Rastrigin L.A. Sistemy ekstremal'nogo upravleniya [Systems of extremal control]. Moscow: Nauka, 1974, 632 p.

11. Momin J., Xin-She Y. A literature survey of benchmark functions for global optimization problems. Int. J. of Mathematical Modelling and Numerical Optimization. 2013, vol. 4, No. 2, pp. 150-194.

Поступила в редакцию /Received

20 октября 2017 г. / October 20, 2017