Моделирование и анализ оптимальной процентной ставки кредитного контракта Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

НИКИТЕНКО Е.С.

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

КРЕДИТНОГО КОНТРАКТА

в условиях современной россии, когда ставка рефинансирования уменьшается, а фондовый рынок весьма далек от совершенства и характеризуется нестабильностью и низкой доходностью, кредитование становится основным источником дохода для большинства банков [2]. однако увеличение объемов кредитования сопровождается, как правило, ростом дебиторской задолженности. Это выдвигает в ряд фундаментальных задач кредитного учреждения эффективное управление кредитным портфелем, определение оптимальной процентной ставки кредитования, а также управление процентным и кредитным риском. ^

в этой статье разработаны теоретические основы анализа оптимальных кредитных конт- ь рактов в условиях рисковой симметричной информации. Анализ показывает, что оптимальная (□ кредитная процентная ставка зависит от ковариации между рыночной процентной ставкой, обеспечением кредита, доходом заемщика, а также от срока кредита и рисковых предпочте- ^ ний кредитора и заемщика. принципиальным отличием предлагаемых в настоящей статье ^ моделей от имеющихся в литературе [1, 4, 5] (рассматривается статическая постановка, стои- ш мость обеспечения кредита считается постоянной), является возможность учета корреляции ^ между рыночной процентной ставкой и стоимостью обеспечения кредита (также как и дохо- Ь дом заемщика). Эти интеркорреляции существенно модифицируют оптимальную кредитную процентную ставку контракта, поскольку стороны должны принимать во внимание прямое О воздействие риска, связанного с рыночной процентной ставкой и неявное влияние стоимос- ш ти обеспечения кредита и дохода заемщика. ^

модель, определяющая оптимальную процентную ставку кредитного контракта в условиях, когда обеспечение кредита является детерминированной функцией средне- £ рыночной процентной ставки, основана на следующих представлениях. предполагаем, ^ что кредитному контракту с оптимальной процентной ставкой соответствует предлага- ^ емая кредитором и принимаемая заемщиком процентная ставка, являющаяся функцией Ц среднерыночной процентной, которая максимизирует ожидаемую функцию полезности > кредитора, обеспечивая заемщику сохранение его ожидаемой полезности. зависимость ^ обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки наряду с будущим доходом х

заемщика считается известной обеим сторонам при заключении контракта. Кредитный ^

о

рынок считается конкурентным, так что существует минимальный ненулевой спред меж- а ду процентной ставкой контракта и среднерыночной процентной ставкой, ниже кото- < рого кредитование невозможно. Экономические агенты максимизируют ожидаемую по- о лезность со строго возрастающими предпочтениями. Кроме того, функция полезности о кредитора является слабо вогнутой (т.е. кредитор может быть нейтрально относящимся 9 к риску или отвергающим риск). Функция полезности заемщика считается строго вогну- т той, т.е. заемщик считается строго отвергающим риск. Функция полезности кредитора £ зависит от его чистой прибыли по кредиту. Функция полезности заемщика зависит от стоимости обеспечения кредита и другого потребления. например, если обеспечением Ц является недвижимость, заемщик получает полезность от покупки этой недвижимости и £ от другого, не связанного с недвижимостью, потребления. начальная стоимость обеспе- ® чения кредита и сумма кредита известны. плотность распределения вероятности среднерыночной процентной ставки известна. при заключении контракта кредитор занимает ^ на рынке и предоставляет заемщику кредит, который кредитор возвращает с процента- 1 ми по существующей среднерыночной процентной ставке. заемщик возвращает кредит с о процентами по кредитной ставке. заемщик доплачивает разницу между стоимостью обес- о печения кредита и размером кредита из собственных средств. Целью анализа является ^

разработка оптимального контракта, позволяющего обеим сторонам сделки оптимально распределить процентный риск.

Это стандартная задача условной максимизации, которая решена вариационным методом Яагранжа-Гамильтона [3]. получено аналитическое выражение для оптимальной процентной ставки по кредиту. с учетом зависимости стоимости обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки оптимальная ссудная ставка зависит от отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита. отношение изменения кредитной процентной ставки и изменения среднерыночной процентной ставки (т.е. наклон оптимальной ссудной процентной ставки) зависит от отношения коэффициентов абсолютного неприятия риска кредитора и заемщика. в частности, если кредитор нейтрально относится к риску, то наклон кривой, определяющий ссудную процентную ставку, равен предельному изменению отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита. поэтому, если стоимость обеспечения возрастает, когда возрастает процентная ставка, кривая, определя-^ ющая оптимальную ставку ссудного процента, будет иметь наклон вверх (т.е. процентная [] ставка, выплачиваемая заемщиком, должна быть скорректирована вверх, когда рыночная ® процентная ставка повышается, и вниз, когда рыночная процентная ставка понижается).

интуитивно ясно, что если увеличение рыночной процентной ставки связано с увеличе-^ нием стоимости обеспечения, для заемщика выгодно попытаться погасить заем досрочно. в случае если стоимость обеспечения является линейной функцией среднерыночной ^ процентной ставки, обеспечение кредита служит идеальным хеджем риска, связанного с □ процентной ставкой. поэтому в этой ситуации заемщик полностью принимает на себя процентный риск. противоположная ситуация будет иметь место, если стоимость обеспечения N падает при возрастании процентной ставки. в этом случае оптимальная процентная ставка § по контракту должна иметь отрицательный наклон. иначе говоря, кривая, определяющая Л оптимальную ставку ссудного процента, должна быть скорректирована вниз в случае, если О рыночная процентная ставка увеличивается, и вверх в случае, если рыночная процентная 0 ставка понижается, чтобы принять во внимание «совокупный риск», который в данном слу-ш чае включает и риск, связанный со стоимостью обеспечения кредита. модель, соответс-о твующая независимости стоимости обеспечения от рыночной ставки, напротив, всегда ф предсказывает фиксированную ссудную процентную ставку в случае, если кредитор имеет ^ нейтральное отношение к риску.

д заметим, что модель, предполагающая независимость стоимости обеспечения от ры-о ночной процентной ставки, приводит к выводу о том, что оптимальная кредитная ставка ^ никогда не уменьшается с ростом рыночной процентной ставки, и что нейтрально отно-£ сящийся к риску кредитор должен принимать на себя весь риск, связанный с процентной ставкой. Это означает, что контракт с корректируемой (плавающей) процентной ставкой ^ будет оптимальным только в том случае, если кредитор является отвергающим риск. Эти о выводы несправедливы, если стоимость обеспечения зависит от рыночной процентной о ставки. Фактически оптимальная ссудная процентная ставка может уменьшаться при уве° личении рыночной процентной ставки. Более того, если стоимость обеспечения является § возрастающей функцией рыночной процентной ставки, так что обладание такой собствен-о ностью обеспечивает хедж против рыночной процентной ставки, для заемщика может быть ^ оптимальным принять на себя весь риск, связанный с процентной ставкой, даже если кре-| дитор нейтрально относится к риску.

о рассмотрим ситуацию, когда стоимость обеспечения, доход заемщика и среднерыноч-™ ная процентная ставка представляют собой случайные величины, совместная плотность

| распределения вероятности которых известна. Анализ показывает [3], что в этом случае

о

ф оптимальная процентная ставка по кредиту зависит от рисковых предпочтений креди-| тора и заемщика, от предельных изменений в стоимости обеспечения кредита и доходе ° заемщика с учетом изменения рыночной процентной ставки, а также от корреляции стои-9 мости обеспечения и дохода заемщика со среднерыночной процентной ставкой. влияния ^ стоимости обеспечения и дохода заемщика могут усиливать друг друга, если производ-

ные стоимости обеспечения кредита и дохода заемщика по среднерыночной процентной ставке имеют одинаковый знак, и подавлять друг друга, если знаки этих производных противоположны. Оптимальная кредитная процентная ставка наибольшая, когда стоимость обеспечения и доход заемщика одновременно возрастают с ростом рыночной процентной ставки, и наименьшая, когда обе эти функции убывают с ростом рыночной процентной ставки. Оптимальная ссудная процентная ставка, находится между указанными экстремальными положениями и соответствует ситуации, когда эффекты дохода заемщика и стоимости обеспечения уравновешивают друг друга, что соответствует условию равенства нулю суммы производных стоимости обеспечения кредита и дохода заемщика по среднерыночной процентной ставке. Если кредитор нейтрально относится к риску, причем указанная сумма производных положительна, то совокупное благосостояние заемщика возрастает с увеличением рыночной процентной ставки, увеличивая тем самым его способность погасить заем досрочно и давая возможность кредитору требовать более высокую процентную ставку по кредиту, если рыночная процентная ставка увеличива- ^ ется. В таких обстоятельствах кредитная процентная ставка будет иметь наклон вверх. Ситуация будет противоположной рассмотренной, если сумма производных стоимости обеспечения кредита и дохода заемщика по среднерыночной процентной ставке. При наиболее простом распределении риска между кредитором и заемщиком увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора увеличивает наклон оптимальной кредитной ставки, в то время как увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска заемщика уменьшает его при прочих равных условиях. Несмотря на то, что увеличе- q ние коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора имеет эффект, противоположный увеличению коэффициента абсолютного неприятия риска заемщика при прочих N равных условиях, в этом случае имеется существенное отличие от детерминированной § модели. Знак совокупного эффекта такого изменения может быть положительным или ^ отрицательным в зависимости от степени изменения отношения приращения стоимости О обеспечения к сумме кредита. В частности, увеличение коэффициента абсолютного не- D приятия риска кредитора приводит к увеличению оптимальной кредитной процентной ш ставки только в том случае, когда совокупное благосостояние заемщика не увеличива- о ется слишком быстро с ростом рыночной процентной ставки (когда отношение прира- ф щения стоимости обеспечения к сумме кредита меньше единицы). Если это отношение ^ больше единицы, увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора q приводит к понижению оптимальной кредитной процентной ставки. Интуитивно ясно, о что одновременное увеличение абсолютного неприятия риска кредитора и обобщенно- ^ го отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита оказывают взаимно ^ противоположное воздействие на оптимальную кредитную процентную ставку. Если увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска доминирует, совокупный эффект ^ положителен (т.е. оптимальная кредитная процентная ставка увеличивается); если уве- о личение обобщенного отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита о превалирует, совокупный эффект отрицателен (т.е. оптимальная кредитная процентная ° ставка понижается). g

н-

ЛИТЕРАТУРА cl

1. башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФА-М, 1997. s

2. Жарковская Е.П. Банковское дело. М.: Омега-Л, 2003. о

3. Иикитенкое.с. Детерминированные и стохастические модели оптимальной ставки по кре- m диту // Сборник научных трудов Всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». Т. 1. Кисловодск, 2007. о

4. четыркин е.м. Финансовая математика. М.: Дело, 2002. |

5. Brueckner J.K. Borrower mobility, self-selection, and the relative prices of fixed- and adjustable- § rate mortgages // Journal of Financial Intermediation. 1992. V. 2. о

О