Моделирование и оптимизация процентной ставки по кредиту Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Моделирование и оптимизация процентной ставки по кредиту

Филиппова Ирина Юрьевна, аспирантка Кисловодского института экономики и права;

in63@mail.ru

Аннотация: Разработаны теоретические основы анализа оптимальных кредитных контрактов. Оптимальная ставка по кредиту зависит от ковариации между рыночной процентной ставкой, обеспечением кредита, доходом заемщика, а также от срока кредита.

Ключевые слова: моделирование, кредит, неопределенность, оптимизация, риск

Abstract. The paper develops a theoretical framework for the analysis of optimal credit contracts. Optimal credit interest rate depends on covariation between the market interest rate, collateral of borrower, borrower income and contract time.

Keywords: modeling, credit, uncertainty, optimization, risk

Введение

В этой статье разработаны теоретические основы анализа оптимальных кредитных контрактов в условиях рисковой симметричной информации. Анализ показывает, что оптимальная ставка по кредиту зависит от ковариации между рыночной процентной ставкой, обеспечением кредита, доходом заемщика, а также от срока кредита и рисковых предпочтений кредитора и заемщика. Принципиальным отличием предлагаемых в настоящей статье моделей от имеющихся в литературе [2-4] (рассматривается статическая постановка, стоимость обеспечения кредита считается постоянной), является возможность учета корреляции между рыночной процентной ставкой и стоимостью обеспечения кредита (также как и доходом заемщика). Эти интеркорреляции существенно модифицируют оптимальную кредитную процентную

ставку контракта, поскольку стороны должны принимать во внимание прямое воздействие риска, связанного с рыночной процентной ставкой и неявное влияние стоимости обеспечения кредита и дохода заемщика.

Модель оптимальной ставки по кредиту

В этом разделе представлена модель, определяющая оптимальную процентную ставку кредитного контракта в условиях, когда обеспечение кредита V (активы) являются детерминированной функцией реальной среднерыночной ставки процента £. Функция У^) наряду с будущим доходом заемщика у1 считается известной двум сторонам при заключении контракта. Целью анализа является разработка оптимального контракта, позволяющего двум сторонам сделки оптимально распределить процентный риск. Принципиальные предположения, касающиеся разделов 1 и 2 статьи, следующие:

П1. Вся информация предоставляется двум сторонам сделки бесплатно при заключении контракта.

П2. Кредитный рынок считается конкурентным, так что существует минимальный ненулевой спред между процентной ставкой контракта и рыночной процентной ставкой, ниже которого кредитование невозможно.

П3. Экономические агенты максимизируют ожидаемую полезность со строго возрастающими предпочтениями. Кроме того, функция полезности кредитора V является слабо вогнутой (т.е. кредитор может быть нейтрально относящимся к риску или отвергающим риск). Функция полезности заемщика и считается строго вогнутой (т.е.

заемщик считается строго отвергающим риск).

П4. Функция полезности кредитора зависит от его чистой прибыли по кредиту. Функция полезности заемщика зависит от стоимости обеспечения кредита и другого потребления. Например, если обеспечением является недвижимость, заемщик получает полезность от покупки этой недвижимости и от другого, не связанного с недвижимостью, потребления.

П5. Начальная стоимость обеспечения У0 и сумма кредита известны.

П6. Обе стороны при заключении контракта согласны с тем, что процентная кредитная ставка в начальный момент совпадает с рыночной процентной ставкой, т.е. Г () = г0. Без этого допущения модель позволяет только предсказывать наклон оптимальной контрактной ставки как функцию среднерыночной ставки процента. Иначе говоря, это предположение позволяет получить единственное решение дифференциального уравнения, определяющего оптимальную кредитную процентную ставку.

П7. Плотность распределения вероятности среднерыночной ставки процента f (£) известна.

Помимо этих допущений, в этом разделе будем дополнительно предполагать, что:

Д1. Заемщик покупает обеспечение в момент 0 и продает в момент 1. Возможность дефолта заемщика не предполагается. Заметим, что это предположение может быть ослаблено допущением возможности экзогенного дефолта.

Д2. Существует детерминированная функциональная связь между суммой кредита и реальной процентной ставкой ¥^), известная двум сторонам.

Д3. Будущий доход заемщика (в первом периоде)

Уі известен двум сторонам сделки.

При заключении контракта кредитор занимает на рынке и предоставляет заемщику кредит в сумме Z0, который кредитор возвращает в конце периода 1 с процентами по существующей рыночной процентной ставке я. Заемщик возвращает кредит с процентами по кредитной ставке г(я) в конце периода 1. Таким образом, кредитор получает чистую прибыль (г(я) - я^0, поскольку получает (і + г (я) ^ 0 от заемщика, а сам выплачивает за использование капитала сумму в размере (1 + я) Z 0. С учетом сделанных предположений ожидаемая функция полезности кредитора принимает следующий вид:

^ = 1 Жг (я) - я ^ 01/(я №. (1)

Рассмотрим сделку с другой стороны. Заемщик получает кредит в сумме Z 0 при заключении контракта, а разницу между стоимостью обеспечения кредита и размером кредита Vo - Z0 доплачивает из собственных средств. В момент 1 заемщик получает доход у1 и продает обеспечение по цене V (я). Таким образом, ожидаемая функция полезности заемщика будет иметь вид:

Ш = | и (У1 + V(5) -(1 + г(5) )Z0 )/(я№ . (2)

Предполагаем, что кредитному контракту с оптимальной процентной ставкой соответствует предлагаемая кредитором и принимаемая заемщиком процентная ставка, являющаяся функцией среднерыночной ставки процента r = r (s), которая максимизирует ожидаемую функцию полезности кредитора Ev, обеспечивая заемщику сохранение его ожидаемой полезности: Еи = const. Это стандартная задача условной максимизации, которая может быть решена вариационным методом Лагранжа-Гамильтона. Имеет место следующее Утверждение (доказательство здесь не приводим ввиду его громоздкости).

Утверждение 1. Оптимальная процентная ставка для поставленной задачи оптимизации кредитор - заемщик удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

dr =(l Z о jdVlds У и + Уу , г(о) = <3)

ds Уи + У^ ’ ’

в котором коэффициенты абсолютного неприятия риска заемщика и креи" v"

дитора определяются следующим образом: У и = -JJ7, УV =—Г • Для

нейтрально относящегося к риску кредитора (уv = о) оптимальная контрактная ставка определяется дифференциальным уравнением dr l dV

— =-------, имеющим решение

ds Z о ds

r (s) = (v(s) - ^ VZо + го • (4)

Решение уравнения (3) в случае постоянного абсолютного неприятия риска заемщика и кредитора имеет следующий вид:

rst(s) = V(s)-V° Уи ++ *• (5)

Z о У и + Уv У и + Уv

Если сделать упрощающее предположение о том, что стоимость обеспечения не зависит от среднерыночной ставки процента, т.е. V(s) = Vo = const, то решение принимает вид [5]

r (s) = Го + sv . (6)

У и + Уv

Решение (6) будем использовать для сравнения с решениями, получаемыми при условии V(s) ф const. Заметим, что в обоих решениях, (3) и (6), отношение изменений кредитной процентной ставки и изменений среднерыночной ставки процента (т.е. наклон оптимальной ставки по кредиту) зависит от отношения коэффициентов абсолютного неприятия риска кредитора и заемщика. Кроме того, оптимальная ссудная ставка процента при условии V(s) ф const зависит от отношения приращения цены обеспечения к сумме m V (s) - V° ^

кредита ^ =----------. В частности, если кредитор нейтрально относится к

Z О

риску, уравнение (4) предполагает, что наклон кривой, определяющий ссудную процентную ставку, равен предельному изменению ^. Поэтому, если стоимость обеспечения возрастает, когда возрастает процентная ставка, кривая, определяющая оптимальную ставку ссудного процента, будет иметь наклон вверх (т.е. процентная ставка, выплачиваемая заемщиком, должна быть скорректирована вверх, когда рыночная процентная ставка повышается, и вниз, когда рыночная процентная ставка понижается). Интуитивно ясно, что если увеличение среднерыночной ставки процента связано с увеличением стоимости обеспечения, для заемщика выгодно попытаться погасить заем

Z

l + s 0

V°

получаем:

досрочно. В предельном случае, если V(я) = Уо

V ' 0

г (я) = Го + я. Обеспечение кредита в этой ситуации служит идеальным хеджем риска, связанного с процентной ставкой, поэтому заемщик полностью принимает на себя процентный риск. Противоположная ситуация будет иметь место, если стоимость обеспечения падает при возрастании процентной ставки. В этом случае оптимальная процентная ставка по контракту должна иметь отрицательный наклон. Иначе говоря, кривая, определяющая оптимальную ставку ссудного процента, должна быть скорректирована вниз в случае, если рыночная процентная ставка увеличивается, и вверх в случае, если рыночная процентная ставка понижается, чтобы принять во внимание «совокупный риск», который в данном случае включает и риск, связанный со

стоимостью обеспечения кредита. Модель (6), соответствующая независимости стоимости обеспечения от рыночной ставки, напротив, всегда предсказывает фиксированную ссудную процентную ставку в случае, если кредитор имеет нейтральное отношение к риску.

В случае отвергающего риск кредитора, как следует из уравнения (3), кривая, определяющая процентную ставку оптимального контракта, имеет наклон вверх, если стоимость обеспечения как функция среднерыночной ставки процента не убывает слишком быстро, или, более точно, всякий раз,

і ау у? „ 1 dv у?

когда-------->------. Если-------=------, наклон зависимости ссудной про-

го ^ Ги Zо ^ Ги

центной ставки от среднерыночной ставки процента равен нулю, что соответствует кредиту с фиксированной процентной ставкой. В том случае, когда

і ау у?

------<------, ссудная процентная ставка оптимального кредитного кон-

г0 ^ Ги

тракта будет убывающей функцией среднерыночной ставки процента.

Заметим, что модель, предполагающая независимость стоимости обеспечения от среднерыночной ставки процента, приводит к выводу о том, что оптимальная кредитная ставка никогда не уменьшается с ростом среднерыночной ставки процента, и что нейтрально относящийся к риску кредитор должен принимать на себя весь риск, связанный с процентной ставкой (т.е. контракт с корректируемой (плавающей) процентной ставкой будет оптимальным только в том случае, если кредитор является отвергающим риск). Эти выводы несправедливы, если стоимость обеспечения зависит от среднерыночной ставки процента. Фактически оптимальная ставка по кредиту может уменьшаться при увеличении среднерыночной ставки процента. Более того, если стоимость обеспечения является возрастающей функцией среднерыночной ставки процента, так что обладание такой собственностью обеспечивает хедж против среднерыночной ставки процента, для заемщика может быть оптимальным принять на себя весь риск, связанный с процентной ставкой, даже если кредитор нейтрально относится к риску.

Стохастические модели оптимальной ставки по кредиту

В предыдущем разделе показано, что оптимальная процентная ставка по кредиту в однопериодической модели, в которой будущая стоимость обеспечения является детерминированной функцией среднерыночной ставки процента и будущий доход заемщика известен при заключении контракта, определяется предельным отношением приращения стоимости обеспечения к сумме кредита, а также отношением коэффициентов абсолютного неприятия риска кредитора и заемщика. В этом разделе рассмотрена более общая стохастическая модель, в рамках которой результаты предыдущей модели будут являться частным случаем. Оставляя допущения П1-П7 и Д1 в силе, заменим допущения Д2 и ДЗ следующим предположением:

С1. Стоимость обеспечения V, доход заемщика у и рыночная процентная ставка я представляют собой случайные величины, совместная плотность распределения вероятности которых определяется функцией Я(У, у, я). Доход заемщика у является частью совокупного дохода заемщика, не связанной с рентой, получаемой от владения обеспечением. Условные функции распределения определяются следующим образом:

К(У, у, я) = с(У, у / я)/(я) = I(V / у^(у/ я)/(я). (7)

Условие согласования требует выполнения равенства /(я) = { Я(У, у, я)dVdy. С использованием уравнения (7) ожидаемые функции полезности кредитора и заемщика могут быть записаны следующим образом:

Еv = | Жг ( я) - я У о/ ( яМя; (8)

Еи = {([и(у + V -(1 + г(я))1 о)е(у,у /я)dVdy)/(я)dя. (9)

Выражение для Ev не зависит от дохода заемщика и стоимости обеспечения.

В частности, при I(V /у,s)= I(V /s)= д(У - V(з)) и g(y/s)= д(у- уі), где 5 -дельта-функция Дирака, уравнение (9) принимает вид:

Еи = {([ и (уі + V - (і + г (5) )г0 )с(у, у / 5 )ауау)/ (за = = |([и (уі + у - (і +г (з ))г о )ё(У - у (з )5( у - уі )уу)/(з)аз = = |и (уі + у (з ) - (і + г (з )г о))/ ( ^Ж.

Заметим, что дельта-функция Дирака принадлежит к классу обобщенных функций и может неформально рассматриваться как бесконечно «тонкая» функция Гаусса. Дельта-функция имеет следующее основное свойство: | р( х)д (х - Хо )аХ = р( Хо) для достаточно гладкой функции р( х).

Таким образом, модель, рассмотренная в разделе 2, является частным случаем рассматриваемой модели. Имеет место следующее Утверждение.

Утверждение 2. В однопериодической экономике при условии, что доход заемщика, стоимость обеспечения и рыночная процентная ставка являются случайными переменными с совместной плотностью распределения вероятности R(V, у, з) = с(У, у / з)/(з) и при предположениях П1-П7 и С1, оптимальная процентная ставка по кредиту удовлетворяет следующему уравнению:

г гоуу(ищ)с(у,у/з^у-1иЩ)с1с(У'у 15)ауау

— =----------------т----------ч------------------, (10)

аз 1о (и Щ)(уг + Ги (Щі) )с(У, у / з)ауау

щ = у+V -(і+г (з) )г о.

Если кредитор нейтрален к риску (гу = о), наклон оптимальной процентной ставки по кредиту будет определяться дифференциальным уравнением:

—=-----------------^------------. (11)

аз го/и'(щ,)Г„(Щі)с(у,у/зщиу

В случае постоянного абсолютного неприятия риска заемщика и кредитора уравнение (10) принимает следующий вид:

аг = Гу + Ги(г(s), з).

^ Ги + Гу (Ги + Гу )2о ’

І и ,(Сі) <к<У, у /»)

О1 (г (.0, і- ) =---------—------------.

Уи І и '(Сі )с(¥, у / !<)ЛМу ' 7

Функционал О, в уравнении (12) представляет собой меру предельного изменения в обеспечении и доходе как реакцию на изменение среднерыночной ставки процента. Поскольку

^,У / я) = ш (¥ / у,я) g (у / я) +І (V / у, я) ^(У / я),

ds ds ds

можно представить это предельное изменение в виде суммы двух составляющих:

О, = QV + Оу, (13)

где первый член в правой части представляет собой предельное изменение в стоимости обеспечения, а второй член представляет собой предельное изменение дохода заемщика. В частности, для детерминированной модели, пред-

о dV у dV

ставленной в разделе 2, получаем О, =-------и = 0, так что О, =----------. По-

1 ds 1 1 ds

этому отношение &11Z о можно рассматривать как обобщение предельного

отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита. Наклон кривой, соответствующей оптимальной процентной кредитной ставке, определяется отношением &11Zо и отношением коэффициентов абсолютного неприятия риска, а именно: если выполняется неравенство

>-—, (14)

Z о Уи

то кривая, определяющая оптимальную кредитную ставку, имеет наклон вверх; если имеет место равенство

= -—, (15)

Z о Уи

то оптимальная ставка по кредиту фиксирована, а если

^ <-^, (16)

Z о Уи

то кривая, определяющая оптимальную процентную ставку, наклонена вниз. Если кредитор нейтрально относится к риску, наклон оптимальной ставки по

кредиту определяется знаком функционала О1 , который противоположен dc „

знаку —. Когда О1 =о, обеспечение и доход заемщика стохастически не за-ds

висят от среднерыночной ставки процента, и стохастическая модель, определяемая уравнением (12), превращается в простейшую модель, соответствующую постоянной стоимости. В случае О1 Ф о решение уравнения (12) может

и не быть найдено в замкнутой форме, поскольку функционал О1 (г^), s) может быть очень сложной функцией кредитной процентной ставки г (s).

Анализ существенно упрощается в том случае, если обе стороны сделки имеют предпочтения, соответствующие постоянному абсолютному неприятию риска, а доход заемщика и стоимость обеспечения являются либо детерминированными функциями среднерыночной ставки процента, либо распределены нормально. Как было показано ранее, если стоимость обеспечения кредитов является детерминированной функцией среднерыночной

V dV

ставки процента, то О-. = —. Аналогично, если доход заемщика является

1 ds

детерминированной функцией среднерыночной ставки процента, получаем:

Оу = Ф . Направление воздействия обеспечения кредита (дохода заемщика)

1 ds

на кредитную ставку, т.е. рост или понижение наклона оптимальной процентной кредитной ставки, определяется знаком о|^ или Оу. Величина эф-

фекта определяется абсолютными значениями

о*'

и

Оу

. Аналогично, если

стоимость обеспечения кредита (доход заемщика) стохастически коррелиро-

f-V KV, saV

ванны с рыночной процентной ставкой, получаем £2-, =------------------ и

^s

у KУ s° у

q, =—^. Знак коэффициента корреляции Kv s и Ky s определяет на-1 ^s ’

правление влияния изменения стоимости обеспечения кредита (дохода заемщика) на наклон кредитной процентной ставки, а отношение средних квадратических отклонений определяет величину изменения наклона процентной ставки. Если стоимость обеспечения кредита (доход заемщика) не коррелированны с рыночной процентной ставкой или известны заранее, они не влияют на оптимальную кредитную процентную ставку.

В табл. 1 приведены результаты вычисления Q, для трех различных

ситуаций: обеспечение кредита (доход заемщика) не коррелированны с рыночной процентной ставкой (этот случай обозначен N), являются детерминированными функциями от среднерыночной ставки процента (этот случай обозначен D) и стохастически коррелированы с рыночной процентной ставкой (этот случай обозначен S). Каждый элемент матрицы, задаваемой табл. 1, представляет специфическую модель. Например, элемент NN соответствует наиболее простой ситуации, когда V = const, элемент ND соответствует базовой статической модели. Поскольку Q, представляет собой функцию

только от среднерыночной ставки процента, точное решение уравнения (6) имеет вид:

rst(S) = Г0 + S7V + Т-----7U W l Q1(s')ds', (17)

Vu + 7v Vu + 7v )Z oo

s s СГ

где l Q, (s')ds' = i(s) - i0 в детерминированном случае и l Q, (s')ds' = Kt s —l- в

0

стохастическом случае (/ = V; у). Поэтому, уравнение (17) полностью описывает возможные решения модели (7)-(9).

В качестве примера рассмотрим модель DD из табл. 1. В этом случае

Таблица 1

Значения О} в обобщенной статистической модели

Обеспечение кредита

Доход заемщика N В 5

N п dV к г 0 , s ds г s

В Ф ^ Ф Ф + ^ г ds ds ds ds ’ сг s

5 к ГУ к ГУ , ^ к ГУ + к Г КУ, s ку, s + , ку, s + KV, s у г х ds

доход заемщика и стоимость обеспечения являются детерминированными

функциями среднерыночной ставки процента, т.е. О} = + —, а уравнение

ds ds

(17) имеет следующее решение

Ъ (х) = ,0 + + V(х) - \+ У(s) - Уо . (18)

У и + -V Уи + -V Z 0

Из уравнения (18) следует, что изменение среднерыночной ставки процента приводит к изменению оптимальной процентной ставки по кредиту двумя путями: непосредственно, при распределении риска, связанного с рыночной процентной ставкой (второе слагаемое) и неявно, воздействуя на стоимость обеспечения кредита и доход заемщика (третье слагаемое). Влияния стоимо-

dV

сти обеспечения и дохода заемщика могут усиливать друг друга, если ------ и

ds

dy

— имеют одинаковый знак, и подавлять друг друга, если знаки этих произ-ds

водных противоположны. Анализ показывает, что оптимальная ставка по кредиту наибольшая, когда стоимость обеспечения и доход заемщика одно-

временно возрастают с ростом среднерыночной ставки процента, и наименьшая, когда обе эти функции убывают с ростом среднерыночной ставки процента. Оптимальная ставка по кредиту, находится между указанными экстремальными положениями и соответствует ситуации, когда эффекты дохода заемщика и стоимости обеспечения уравновешивают друг друга, что соответствует условию О} = + — =0. Условия (14)-(16) могут быть использо-

ds ds

ваны для определения характера наклона оптимальной ставки по кредиту.

т- - dV dy _

Если кредитор нейтрально относится к риску, причем і2і =------------1--->0, то

ds ds

совокупное благосостояние заемщика возрастает с увеличением среднерыночной ставки процента, увеличивая тем самым его способность погасить заем досрочно и давая возможность кредитору требовать более высокую процентную ставку по кредиту, если рыночная процентная ставка увеличивается. В таких обстоятельствах кредитная процентная ставка будет иметь наклон вверх. Ситуация будет противоположной рассмотренной, если выполняет не-^ dV dy _ ^

равенство £2} =------1--<0. При наиболее простом распределении риска ме-

ds ds

жду кредитором и заемщиком увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора уу увеличивает наклон оптимальной кредитной ставки, в то время как увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска заемщика уц уменьшает его при прочих равных условиях. Когда стоимость обеспечения и/или доход заемщика являются стохастическими (см. табл. 1), имеют место равенства:

sign

ґ д drst л

д-u ds

sign

ґ д drstл

д-v ds

sign

Q1 1

(19)

Несмотря на то, что увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора имеет эффект, противоположный увеличению коэффициента абсолютного неприятия риска заемщика при прочих равных условиях, в этом случае имеется существенное отличие от ситуации, описываемой в разделе 2.

Знак совокупного эффекта такого изменения может быть положительным или отрицательным в зависимости от степени изменения обобщенного отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита О}/2о . В частности, увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора приводит к увеличению оптимальной ставки по кредиту только в том случае, когда совокупное благосостояние заемщика не увеличивается слишком быстро с ростом среднерыночной ставки процента (т.е. когда О}/2о < 1). Если

01

—- = 1, изменение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора

2 о

(заемщика) не приводит к изменению оптимальной ставки по кредиту. Нако-

01

нец, если —- > 1, увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска

2 о

кредитора приводит к понижению оптимальной ставки по кредиту. Интуитивно ясно, что одновременное увеличение абсолютного неприятия риска кредитора и обобщенного отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита оказывают взаимно противоположное воздействие на оптимальную кредитную процентную ставку. Если увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска доминирует, совокупный эффект положителен (т.е. оптимальная ставка по кредиту увеличивается); если увеличение обобщенного отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита превалирует, совокупный эффект отрицателен (т.е. оптимальная ставка по

01

кредиту понижается); наконец, при условии —- = 1 оба эффекта балансиру-

2 о

ют друг друга, и оптимальная ставка по кредиту не меняется.

Литература

1. Жарковская Е.П. Банковское дело. - М.: Омега-Л, 2оо3.

2. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. - М.: «ИНФА-М»,

1997.

3. Brueckner J.K. Borrower mobility, self-selection, and the relative prices of fixed- and adjustable-rate mortgages // Journal of Financial Intermediation. -1992. - V. 2.

4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: «Дело», 2002.

5. Филиппова И.Ю. Статические модели оптимальной ставки по кредиту // Сборник научных трудов Всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». - Кисловодск, 2007. - Т. 1.