CC BY
45
Моделирование кредита с корректируемой процентной ставкой
Филиппова Ирина Юрьевна, доцент, Кисловодский институт экономики и права;
in63@mail.ru
Аннотация: Разработаны теоретические основы анализа
оптимальных кредитных контрактов с корректируемой ставкой. Оптимальная ставка по кредиту зависит от функции полезности заемщика, дисконтного фактора и процентного риска.
Ключевые слова: моделирование, кредит, неопределенность,
оптимизация, риск
Abstract. The paper develops a theoretical framework for the analysis of optimal credit contracts. Optimal credit interest rate depends on borrower’s utility function, discount factor and interest risk.
Keywords: modeling, credit, uncertainty, optimization, risk
В [1,2] проанализированы различные постановки задачи максимизации ожидаемой полезности кредитора при условии сохранения фиксированной полезности заемщика. В настоящей работе рассматривается задача
максимизации ожидаемой полезности заемщика при условии, что ожидаемая полезность кредитора остается постоянной. Предполагаем, что срок
кредитного контракта составляет два периода (обозначаемые нулевой и
первый периоды). При заключении контракта кредитор занимает на рынке денежные средства, за которые должен выплатить рыночную процентную ставку r0 в период 0 и r1 в период 1. Процентная ставка r0 известна при подписании контракта, а процентная ставка r1 является случайной
переменной с плотностью распределения вероятности f (^) . Выплаты по кредиту в расчете на рубль ссуды в периоды 0 и 1 обозначим і0 и і1 . Поскольку процентная ставка г1 является случайной величиной, то нормированная выплата по кредиту і1 (т.е. процентная ставка по кредиту) зависит от среднерыночной процентной ставки: і1 = R(r1). Предполагаем, что кредитор характеризуется нейтральным отношением к риску и дисконтирует свою прибыль за период 1 фактором временного предпочтения (дисконтным фактором) в. Ожидаемая приведенная прибыль кредитора в расчете на рубль ссуды составляет
Функция полезности Неймана-Моргенштерна [3] заемщика ив (•) предполагается строго вогнутой. Заемщик имеет постоянный доход I и дисконтирует полезность первого периода кредита фактором § . Заемщик предполагается более нетерпеливым, чем кредитор: § < в. Это неравенство означает, что оценка заемщиком полезности будущего потребления ниже по сравнению с оценкой кредитора полезности будущей прибыли. При условии нормировки суммы кредита к единице функция ожидаемой полезности заемщика принимает следующий вид:
Поставим следующее условие оптимальности кредитного контракта: максимизировать ожидаемую полезность заемщика (2) (т.е. выбрать
соответствующие i0 и R(г) ) при условии, что ожидаемая прибыль кредитора (1) равна нулю (т.е. ожидаемая полезность кредитора фиксирована). Для решения этой задачи сначала выберем функцию R( г1), максимизирующую интеграл в (2) при условии, что интеграл в (1) равен /0 - г0. Введем переменную состояния
(1)
0
(2)
о
X(r1) = вJ [R(u) - u]f (u)du,
что дает
ах
— = в[R(rl) - г V (г1).
аг;
Составляем гамильтониан
ЗЦв[I - R(r1 )1/(г) + Яв[R(r1) - г V(г;)
и получаем необходимые условия оптимума:
8U'B[I - Rft)] = Хв (3)
dX
dr1
= 0. (4)
Условие (3) означает, что R(r1) = const . Условие первого порядка для выбора скаляра i0 имеет следующий вид:
C J r1max
-UB(I-i0)+ — = 0, J = 5 JUb[I-R(r)]f(r1)dr .
Ci0 0
CJ
Производная — может быть представлена в виде Ci0
CJ = CJ CX (r1)
Ci0 CX (r1) Ci0
Второй множитель в этом выражении равен - 1 (из уравнения (1)), а первый равен - X. Окончательно приходим к следующим условиям, определяющим оптимальный кредитный контракт:
5UB (I - i1 ) = Хв, U'b{I - Ч)= X,
3
(5)
(6)
причем условие (6) представляет собой условие первого порядка для выбора ’0. Поэтому оптимальный кредитный контракт представляет собой контракт с фиксированными выплатами, причем размер выплат зависит от соотношения между дисконтными факторами § и в . При условиях
§ < в , и"в< 0
уравнения (5), (6) означают, что должно выполняться неравенство
’0 < ^
что соответствует кредитному контракту с постепенно возрастающими выплатами.
Однако кредитные контракты с возрастающими выплатами предлагаются кредиторами крайне редко в силу риска дефолта заемщика, возникающего из-за низкого значения ’0 . В качестве альтернативного варианта заемщик мог бы попытаться удовлетворить свой спрос на предпочтительное текущее потребление в счет будущего дохода. Однако такое долгосрочное заимствование обычно не допускается в силу ограничения ликвидности. Поскольку эти пути закрыты, заемщик может использовать другие возможности кредитного рынка для достижения желаемой модели потребления. Кредитный рынок можно рассматривать как предлагающий заемщику выбор функции, определяющей ставку по кредиту, подчиненной ограничению, которое отсутствует в модели, построенной выше. Это ограничение состоит в том, что в обоих периодах функция, определяющая зависимость кредитной процентной ставки от рыночной процентной ставки, должна быть одной и той же: ’0 = R(r1) и ’1 = R(r1) . Поскольку процентная ставка по кредиту в нулевом периоде в этом случае связана с рентной стоимостью капитала (т.е. со стоимостью капитала для кредитора), такое ограничение может помочь преодолеть проблему отрицательной амортизации, возникающую в решении задачи без этого ограничения. Применение этого ограничения на практике может
рассматриваться как требование того, чтобы начальная и последующие процентные ставки в стандартной схеме кредитного контракта с корректируемой (плавающей) процентной ставкой рассчитывались бы с использованием одинаковой надбавки над среднерыночной процентной ставкой.
Целью последующего анализа является исследование природы оптимального кредитного контракта при данном реалистичном ограничении. Необходимо определить характеристики условно-оптимального кредитного контракта (являющегося решением задачи условной оптимизации с учетом упомянутого ограничения), т.е. найти функцию Я (•), которая максимизирует ожидаемую полезность заемщика (2) при условии постоянной ожидаемой полезности кредитора (1) (т.е. при условии нулевой ожидаемой прибыли кредитора) и дополнительного требования ’0 = Я(г0) . Заметим, что стандартные кредитные контракты с фиксированной процентной ставкой и с корректируемой (плавающей) процентной ставкой представляют собой только два возможных частных случая из неограниченного множества функций Я (•), определяющих связь между процентной ставкой по кредиту и среднерыночной процентной ставкой.
Начнем анализ с ситуации, когда заемщика и кредитор дисконтируют будущую полезность идентично, т.е. § = в . Имеет место следующее Утверждение.
Утверждение 1. Если § = в , то условно-оптимальный кредитный контракт представляет собой стандартный контракт с фиксированной процентной ставкой.
Доказательство. Этот результат непосредственно следует из того, что
решение задачи безусловной оптимизации ’0 = Я( г0), определяемое системой
. *
уравнений (5), (6), при условии § = в имеет вид: ’0 = ц = ’ . Поскольку постоянная функция, определяющая кредитную процентную ставку,
Рис. 1. Оптимальная линейная функция, определяющая процентную ставку по кредиту
Я (г) = ’ , может быть использована для определения платежей в обоих периодах, она решает задачу условной оптимизации. Результирующий контракт представляет собой стандартный кредитный контракт с фиксированной процентной ставкой.
Утверждение 1 показывает, что если временные предпочтения кредитора и заемщика совпадают, то риск, связанный с кредитной процентной ставкой, целиком лежит на кредиторе, несмотря на ограничение, налагаемое применением одинаковой в обоих периодах функции. Для того чтобы понять, как меняется ситуация, если временные предпочтения кредитора и заемщика не совпадают (а именно, заемщик более нетерпелив, чем кредитор), обратимся к рис. 1. Решение задачи безусловной оптимизации, определяемое системой уравнений (5), (6), соответствует горизонтальной линии ’1 , представляющей постоянную кредитную процентную ставку в первом периоде, а также точку (г0, ’0) , которая соответствует выплате в нулевой период (неравенство ’0 < ’1 имеет место,
поскольку § < в ). В этом случае выплата, соответствующая нулевому периоду, не лежит на графике функции, определяющей кредитную ставку для первого периода. Процентная ставка г0 лежит ниже ожидаемого значения г1
(обозначенного г1). Значение ’0 < ’ < ’1 соответствует кредитному контракту с фиксированной процентной ставкой.
В этих обстоятельствах возникает вопрос, какой тип функции, определяющей процентную ставку по кредиту, будет условно-оптимальной? Если не ограничивать выбор формы функции, то ответ таков: Я (г) должна
быть равна ’1 при г Ф г0 и равна ’0 при г = г0 . Функция, определяющая процентную ставку по кредиту, тогда должна была бы иметь разрыв при г = г0 , как показано на рис. 1, и дублировала бы решение задачи безусловной оптимизации. Поэтому процентная ставка по кредиту, определяемая функцией
Я (г) = Г г = Г0
1гЬ г Ф г0
неудобна для практического применения. Представляется целесообразным искать Я(г) в классе линейных функций вида
Я(г) = а + /Зг.
Условие «нетерпеливости» заемщика означает, что оптимальная линейная функция, определяющая процентную ставку по кредиту, должна приводить к низким платежам в нулевой период, когда г = г0. Это означает, что функция Я(г) должна быть возрастающей, как показано на рис. 1. Заметим, что при условии «нетерпеливости» заемщика выплата при г = г0 должна быть ниже
выплаты г* при контракте с фиксированной процентной ставкой. Но поскольку результирующая кредитная сделка менее прибыльна, чем контракт с фиксированной процентной ставкой в нулевой период, она должна быть для равновесия более прибыльной, чем контракт с фиксированной процентной ставкой в первый период. Это означает, что разница между
процентной ставкой по кредиту и прямой г на рис. 1, взвешенное
плотностью распределения вероятностей случайной величины г1 , должно быть положительно. Поскольку вес этой плотности лежит справа от г0, это может иметь место только в том случае, если функция, определяющая
процентную ставку по кредиту, возрастает с ростом среднерыночной
процентной ставки, как показано на рис. 1. Итак, если заемщик «нетерпелив» и стоимость заемного капитала о временем растет, оптимальная линейная функция Я должна возрастать с ростом среднерыночной процентной ставки. Такая функция подвергает заемщика процентному риску, но придает восходящий наклон ожидаемому потоку платежей, что удовлетворяет
условию предпочтения заемщиком потребления в настоящем будущему потреблению.
Для получения строгих результатов рассмотрим формальные характеристики оптимальных линейных кредитных процентных ставок.
Представим г1 в виде г0 + £ , где е - случайная переменная, имеющая математическое ожидание ц. При ц > 0 (ц < 0) ожидаемая среднерыночная процентная ставка в период 1 будет больше (соответственно меньше) г0 . Подставляя г1 в выражения (1) и (2) и используя для Я(г) линейную функцию, составляем функцию Лагранжа решения задачи оптимизации:
ив [1 -(а + р )]+ §| ив [1 -(а + з(г0 + £))]/ (г0 + £ )^£ + (7)
+ Л{а + (р - 1)г0 + в[а + (р - 1)(г0 + ц)]}.
Обозначая и'в 0 и и'В1 предельные полезности в нулевой и первый периоды,
получаем следующие условия первого порядка для выбора аир
соответственно:
- и'в0 - §| и'в1^£ + ^(1 + в)= 0=> (8)
г0иВ0 - иВ1 (г0 + £)№£ + ^[(1 + в)г0 + вц] = 0. (9)
С использованием условий (8), (9) устанавливается следующий результат.
Утверждение 2. Предположим, что § < в . Тогда, если и"В < 0 , то Р > 0 ( р < 0 ) в том случае, если ц > 0 ( ц < 0). Значение р = 0 имеет место, если ц = 0, независимо от знака и'В.
Доказательство. Умножим уравнение (8) на - г0 и прибавим
полученное выражение к уравнению (9). В результате получаем уравнение:
- §\и'тфе + в = 0. (10)
Умножая теперь уравнение (8) на - ц и прибавляя полученное выражение к уравнению (10), приходим к следующему равенству:
(и'в 0 - Я)ц = д\и'в1 (е - ц)/<1£. (11)
Используя уравнение (11), докажем, что Р > 0 при ц > 0, если ив < 0 . Предположим, что Р < 0 . Тогда
^ = -Ри"в1 < 0, ае
откуда следует, что
и'в, (е - ц)/ае < 0 (12)
(неравенство имеет место, поскольку вес производной и'в1 над
математическим ожиданием случайной величины е меньше, чем под математическим ожиданием е). Используя уравнение (11) и предполагая, что ц > 0, получаем:
и'в0 - Я < 0. (13)
С использованием уравнения (10) преобразуем неравенство (13):
§\ив1 /ае - яв = -(ив 0 - Я)> 0.
Предположим, что ив < 0 . Тогда
а 2П'
= р2ив < 0
ае
и, используя вогнутость функции полезности V и предположения Р < 0 и ц > 0, получаем:
ив 0 = ив[1 -(а + Рг0 )] > ив (! -[а + Р(г0 + ц)]) >
(14)
>1 ив(1 -[а + Р(г0 + | ив1/ае.
Наконец, предположим, что § < в. Тогда из неравенств (12) и (14) следует, что
§\ив1 /ае - яв <\ ив1 /ае - я< ив 0 - я< 0,
что находится в противоречии с неравенством (13). Итак, если
ив < 0, § <в, ц > 0,
то Р > 0 .
Доказательство того, что если ц < 0 , то Р < 0 при условии § < в и ив < 0 , проводится аналогично. Предполагаем Р > 0 , что меняет знак неравенства (12). Поскольку ц < 0 сохраняет знак неравенства (13), дополнительные предположения ив < 0 и § < в снова ведут к противоречию.
Вторая часть Утверждения 2 следует из уравнения (11): при ц = 0 ив1 может быть только постоянной, что в свою очередь приводит к условию Р = 0 независимо от знака ив. ■
Первая часть Утверждения 2 показывает, что рассуждение, касающееся рис. 1, справедливо, если производная ив не положительна. Неравенство Р > 0 , следующее из ц > 0 (г0 < г1) соответствует решению, предполагаемому на рис. 1. Противоположные неравенства Утверждения 2 показывают, что при г0 > г1 имеет место Р < 0 , и функция, определяющая кредитную процентную ставку, имеет нисходящий наклон. Этот вывод, который свидетельствует о том, что выплаты по займу убывают с ростом среднерыночной процентной ставки, может вызвать удивление. Его интуитивная интерпретация такова. «Нетерпеливость» заемщика приводит к
тому, что выплата в первый период составляет меньше г *. Поскольку вес плотности распределения г1 в этой ситуации находится левее г0 , прибыль кредитора может равняться нулю только в том случае, когда кредитная процентная ставка имеет наклон вниз. Заметим, что процентный риск, принимаемый на себя кредитором, выше в этом случае, чем при фиксированной процентной ставке по кредиту.
Вторая часть Утверждения 2 устанавливает, что, независимо от знака ив, линейная кредитная процентная ставка постоянна, если ц = 0. На рис. 1 это означает, что если г0 и г1 совпадают, то ожидаемая среднерыночная
процентная ставка постоянна во времени, и оптимальным кредитным контрактом является контракт с фиксированной ставкой, как в Утверждении 1. Причиной такого результата является то, что даже хотя выплата в нулевой
период ниже і * была бы желательной при 8 < в, нулевая прибыль кредитора
не может быть достигнута, если кредитная процентная ставка лежит ниже і *
при г0 = г1 (если кредитная процентная ставка лежит ниже і * при г0 = г1, то
контракт менее выгоден, чем контракт с фиксированной процентной ставкой
в обоих периодах, т.к. различие между процентной ставкой по кредиту и і * в первый период генерирует отрицательную прибыль). Но если выплата в
нулевой период должна равняться і , заемщик не получает никакого преимущества от того, что 3 отлично от нуля, что создает процентный риск.
Чтобы исследовать эффекты сравнительной статики, целесообразно получить решение для функции полезности конкретного типа. Поэтому дальнейший анализ проведем для квадратичной функции полезности. Квадратичная функция полезности удовлетворяет условиям Утверждения 2: иВ = 0. Для квадратичной функции полезности предельная полезность равна
и'В (^) = а - bz, а, Ь > 0.
Подставляя это соотношение в уравнения (8) и (9) и разрешая их относительно 3 , получаем выражение для 3 :
3 = Кв - 8){а - Ь(У - Г0) + в[а - Ь(У - г0 - М)]} (15)
ь[/л2(8 + в2) + 8<г2(1 + в)2 ] ’
в котором а2 есть дисперсия случайной величины г1. Знаменатель этого выражения положителен, также как и выражение в фигурных скобках в числителе. Заметим, что это выражение содержит предельные полезности, вычисленные при
I - г0 и I - г0 - ц,
которые должны быть положительны, поскольку и'в > 0 в соответствующем интервале. При условии § < в знак Р совпадает со знаком ц , как и указывает Утверждение 2.
Дифференцирование равенства (15) позволяет выявить следующие эффекты, устанавливаемые в Утверждении 3.
Утверждение 3. Для квадратичной функции полезности параметр Р, характеризующий наклон функции, определяющей кредитную процентную ставку, убывает по абсолютной величине, если:
1. процентный риск увеличивается (т.е. если дисперсия а случайной величины г1 увеличивается);
2. степень неприятия риска заемщика увеличивается (т.е. коэффициент абсолютного неприятия риска заемщика АЯАв увеличивается);
3. заемщик становится более терпеливым (т.е. дисконтный фактор заемщика § увеличивается);
4. среднерыночная процентная ставка уменьшается в обоих периодах (т.е. г0 снижается).
Кроме того, уменьшение ц приводит к снижению Р при условии, что ц мало и положительно.
Доказательство. Первый пункт Утверждения 3, непосредственно следующий из анализа выражения (15), показывает, что функция, определяющая кредитную процентную ставку, становится более пологой, а оптимальный контракт более приближается к контракту с фиксированной
процентной ставкой по мере роста дисперсии а2 случайной величины г1. Этот результат может быть интерпретирован следующим образом. По мере роста процентного риска оптимальный контракт придает большее значению защите заемщика от процентного риска и меньшее значение достижению более выгодного для заемщика графика платежей.
Второй пункт Утверждения 3 следует из того, что коэффициент абсолютного неприятия риска для квадратичной функции полезности составляет
ARAB (z) = —Ь—. a - bz
В результате выражение в фигурных скобках в числителе равенства (15), 1
умноженное на —, равно
1 в
где
ARAB ARAB
ARAB = ARAb(I - ro)
BB
и
ARAB = ARAb (I - r0 - м).
Это предполагает, что по мере того как заемщик становится более отвергающим риск, т.е. по мере того, как ARAB и ARAB растут, абсолютный наклон функции, определяющей кредитную ставку, уменьшается. Более сильное неприятие риска означает, что оптимальный контракт вновь стремится оградить заемщика от риска за счет менее выгодного для него графика платежей. Аналогично, анализ выражения (15) показывает, что P уменьшается по абсолютной величине по мере роста S (третий пункт Утверждения 3). Причина состоит в том, что большая терпеливость со стороны заемщика снижает потребность низкой выплаты в нулевой период, что делает кредитную процентную ставку более пологой.
Четвертый пункт Утверждения 3 демонстрирует влияние изменений среднерыночной процентной ставки на характеристики оптимального контракта. Снижение ожидаемой рыночной процентной ставки в обоих периодах (снижение r0 при неизменном м) делает контрактную кредитную ставку более пологой, так что оптимальный контракт приближается к
контракту с фиксированной процентной ставкой. Этот вывод находится в согласии с данными ряда экспериментальных работ, которые показывают, что заемщики предпочитают контракты с фиксированной процентной ставкой контрактам с корректируемой процентной ставкой при общем снижении уровня среднерыночных процентных ставок.
Заключительная часть Утверждения 3 устанавливается делением числителя и знаменателя выражения на ц . Поскольку знаменатель полученного выражения положителен и убывает по ц если ц мало и положительно, а знаменатель возрастает по ц, получаем, что уменьшение ц понижает Р . Если ц отрицательно или положительно и велико, его влияние на Р неоднозначно.
Итак, в работе показано, что оптимальной формой кредитного контракта, состоящего из нескольких периодов, при сделанных предположениях является контракт с фиксированными выплатами, причем размер выплат зависит от соотношения дисконтных факторов кредитора и заемщика. Если дисконтный фактор заемщика меньше, чем дисконтный фактор кредитора (т.е. заемщик является «нетерпеливым» и предпочитает настоящее потребление будущему), то оптимальными будут контракты с возрастающими выплатами. Заметим, что такие контракты предлагаются кредиторами крайне редко в силу большого риска дефолта при такой схеме выплат.
Проанализировано влияние на форму оптимального контракта дополнительного ограничения, которое состоит в том, что во всех периодах линейная функция, определяющая зависимость кредитной процентной ставки от среднерыночной процентной ставки, должна быть одной и той же. Установлена связь коэффициента, определяющего наклон этой функции, с кредитным риском, степенью неприятия риска заемщика, дисконтным фактором заемщика и математическим ожиданием среднерыночной процентной ставки. При таком подходе корректировка кредитной
процентной ставки в зависимости от среднерыночной процентной ставки и распределение риска между кредитором и заемщиком неразрывно связаны. Предположим, например, что ожидаемая среднерыночная процентная ставка выше, чем текущая. Тогда функция, определяющая рыночную процентную ставку, генерирует ожидаемый поток выплат, возрастающий со временем. Если заемщик «нетерпелив», он может принять на себя риск, связанный с таким контрактом, для получения удобного для себя графика выплат по кредиту.
Анализ показывает, что для модели, в которой распределение риска не может быть выбрано независимо от распределения потока платежей, контракты с регулируемой процентной ставкой оптимальны.
Литература
1. Филиппова И.Ю. Моделирование и оптимизация ставки процента по кредиту // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2012. - № 2 (38).
2. Филиппова И.Ю. Экономико-математическая модель кредитования с учетом взаимозависимых отношений банка и фирмы // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2012. - № 2 (38).
3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.
- М.: «Наука», 1970.
