CC BY
30
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 6 (1), с. 203-204
203
УДК 534.1
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ В СПЕКТРЕ КРУТИЛЬНОЙ ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОМ СТЕРЖНЕ
© 2011 г.
А.В. Серов
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Поїтепива в редакцию 26.09.2011
Выявлено, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны. Определена зависимость амплитуды волны удвоенной частоты от длины волны: в длинноволновом диапазоне амплитуда второй гармоники может достигнуть половины амплитуды волны основной частоты, в коротковолновом диапазоне - лишь её четверти.
Ключевые слова: крутильная волна, спектр, нелинейность, стержень.
В теории стесненного кручения предполагается, что кручение стержня складывается из двух связанных друг с другом движений: поворота поперечных сечений в своей плоскости (кручение по Кулону) и их депланации, т.е. выхода поперечного сечения из первоначального плоского состояния. Депланация, возникающая в результате неодинакового растяжения продольных волокон при кручении, при этом считается пропорциональной относительному углу поворота, а крутильные волны описываются уравнением Власова [1-3]. Это уравнение, наряду с «волновым» оператором (оператор Да-ламбера), содержит слагаемое, описывающее дисперсию крутильной волны, т.е. зависимость ее скорости от частоты.
Обобщение модели Власова на случай учета геометрической нелинейности (нелинейная связь между деформацией и перемещением) проведено в работе [4].
Если в этой модели (уравнение (3) работы
~ О
[4]) ввести безразмерные переменные 9 =___________
Ос’
X С
х = — ~ 1 то получим следующее уравне-
Л’ л ’
ние:
I 1 С2 I
9' -(С2^ + 2а3)-19' +-^-9" -
П 3 2 XX 2 \г2 т хххх
1Р С С ХС 1Р
а„9,
I,
1РХо2
С\”» _ -0______--
а20„
10'2 + 2-
с
00' +-» 2
1 аЛ2_ 03 _
а,02 ,2 а,02 2 . а.03 3 „ а203 2 ,2
3 0 00'2 _ 3 0 020' ____ 2 0 030'' ____ 2 0 020'2
2с2 а 04 +^°030'2 _
3с2
2с2
а X 03
3^0 с3а/2 ^1^0°0 05
В уравнении (1) знак «волна» опущен и при-X2
нято, что - с2. Заметим, что это уравнение,
кроме кубической нелинейности и нелинейностей более высоких степеней, содержит квадратичную нелинейность. Наличие квадратичной нелинейности позволяет описывать генерацию крутильной волны удвоенной частоты, «запрещенную» теорией упругости, но наблюдаемую экспериментально.
г2
Будем считать, что --------> 1, тогда вместо
Л2 00
(1) можно записать следующее уравнение:
0;; _ (С + 2а3)0^ + С] I-0Ц _
Р Р
_у0:Х; -а20? + 2а200^.
(2)
Будем искать решения уравнения (2) в следующем виде:
0- Л(гх)в,( м; _кх) + Л\гх)в
_і( м; _кх)
+
(3)
(1)
6с2
12с2
+ В(гх)е2г(ш - Ь) + Б\гх)е-2г(а‘- Ь).
Сохраняя члены не выше первого порядка малости, получим систему укороченных уравнений:
Ах (2а\к& + 4bik Зв - 2акю2в) =
= А*B(4dk4 - 5ek2),
Вх(4ткг + 32ЫкЗв -16скю2е) =
= - А2(с1к2 + ек2).
Здесь буквами а, Ь, с, d, е по порядку обозначен^! коэффициенты уравнения (2), начиная со второго.
(4)
2
с
с
с
204
А.В. Серов
Видно, что взаимодействие первой и второй гармоник имеет несимметричный характер. Квадрат амплитуды первой гармоники входит в уравнение второй гармоники в виде вынуждающей силы. Амплитуда второй гармоники входит в уравнение для первой параметрическим образом. Следовательно, вторая гармоника воздействует на первую лишь при наличии сигнала первой гармоники.
Сделав замену
А = С/3\ В = С2е“2, (5)
получим систему уравнений:
dC1
dx
dC2
dx
a1 - -C1C2 b1 sin А,
-C1 b2 sin А,
dA ( C1 b2 dx C2a2
Cb
-) cos А,
где А - 2S1 - S2
a1 - 2k
I
C2 + 2a
x I
v p у
a2 - 4k
( I ^
C2 + 2a
x I
v p у
3
C - C.J^th b^2
C10J ^ x
aa
\
C1 - C^ch
C
b1b2
(7)
(б)
pp Поскольку C2 (0) - 0, то cos А =0 и, следова-
Ж т>
тельно, А - — + ли . В силу этого первые два
2
уравнения системы (б) примут вид:
dC±.a1 --C1C2b1, dC2 a2 - C12b2. dx dx
Решив эту систему уравнений, получим C1 и C2:
где С1с - амплитуда волны.
Таким образом, амплитуда второй гармоники при малых к достигает половины значения С1с и с ростом к убывает до уровня 0.25С1С. При х ^ да происходит полная перекачка энергии во вторую гармонику. В случае когда к ^ С, график второй гармоники имеет асимптоту 0.5С1С, при к ^ да амплитуда второй гармоники достигает значения 0.25С1С.
Значение функции С1 с ростом х убывает от С1с до нуля. При больших к значение С1 больше, однако при значениях к, близких к С, функция С1 также будет иметь значение, близкое к С1с.
По мере распространения волны происходит полная перекачка энергии в гармонику удвоенной частоты, причём при малых волновых числах к значение амплитуды второй гармоники устанавливается на уровне половины от первой, а при больших к амплитуда второй гармоники
достигает лишь А. амплитуды первой гармоники.
4
Список литературы
1. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.
2. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.1 / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978.
3. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: Физматлит, 2СС2. 2С8 с.
4. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Крутильные волны конечной амплитуды в упругом стержне // Известия РАН. Механика твердого тела. 2СС7. № 6. С. 157-163.
x
a1a1
а
2
a
MODELING SECOND HARMONIC GENERATION IN THE SPECTRUM OF TORSIONAL WAVES PROPAGATING IN NONLINEAR ELASTIC RODS
A. V. Serov
We have revealed that warping may occur due to the emergence in the spectrum of the torsional wave of an elastic double frequency (second harmonic) "forbidden" by the equations of nonlinear theory. The dependence of the second harmonic amplitude on the wavelength has been determined: in the longwave range it can reach half the amplitude of the fundamental wave, whereas in the shortwave range - only its quarter.
Keywords: torsional wave, spectrum, nonlinearity, rod.
