CC BY
79
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 111-118
= ИНФОРМАТИКА =
УДК 517.954:681.5.042
Передаточная функция кручения упругого элемента с распределенными параметрами одномассовой системы
Д. В. Козлов
Аннотация. Определена трансцендентная передаточная функция крутильных колебаний упругого стержня с распределенными параметрами при наличии на одном конце сосредоточенной массы. Входом является закручивающий момент, приложенный к свободному концу стержня, выходом — угол поворота стержня. Задача решена методами структурной теории А.Г. Бутковского.
Ключевые слова: передаточная функция, крутильные
колебания, распределенный упругий элемент, волновое уравнение, краевая задача, функция Грина.
Первоначально понятие передаточной функции было разработано и успешно применялось для систем с сосредоточенными параметрами, поведение которых однозначно характеризуется изменением величин во времени и описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, для описания крутильных колебаний используют двух-[9, 10, 13], трех-, четырех- [2, 10] и многомассовые [10] математические модели, передаточные функции которых представляются правильными рациональными дробями. Увеличение количества рассматриваемых масс, как правило, связано с необходимостью более точного описания динамики таких систем.
Однако даже при высокой степени дискретизации не всегда представляется возможным адекватно описать происходящие в системе процессы. Это объясняется тем, что все реальные физические тела характеризуются определенной пространственной протяженностью, то есть являются распределенными. Их поведение описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, а передаточные функции зависят от пространственных координат. Нахождение этих функций базируется на более сложном математическом аппарате и, как правило, требует решения пространственной краевой задачи для некоторого уравнения математической физики. Решение задачи определяет множества собственных функций и чисел, которые в свою очередь задают
собственные частоты, то есть временные формы и характеристики состояний распределенной системы [1, 11].
Очевидно, что любую многомассовую систему можно представить в виде соединения одномассовых систем. По этой причине целесообразно определить передаточную функцию крутильных колебаний упругого элемента с распределенными параметрами при наличии на одном конце сосредоточенной массы (рис. 1).
Рис. 1. Одномассовая система с распределенной упругостью
В качестве упругого элемента примем прямой однородный изотропный стержень постоянного сечения, подчиняющийся закону Гука. Кручение стержня будем рассматривать с точки зрения наиболее простой теории — теории Кулона, в основе которой лежат две гипотезы:
— отсутствие деформации поперечного сечения в своей плоскости;
— отсутствие депланации сечения (выхода сечения из плоского состояния).
Согласно этим гипотезам, сечения стержня скользят друг по другу, поворачиваясь в своей плоскости как жесткие площадки [5]. Соответствующее волновое уравнение имеет вид
ді2
-
д 2ф ' дх2
0,
(1)
где ф (х, і) — угол поворота сечения стержня; Jx — осевой момент инерции единицы длины стержня; Jp — полярный момент инерции сечения стержня; ц — упругая постоянная Ламе (модуль сдвига) [6, 8, 10].
Будем считать, что стержень подвергается скручиванию под действием момента М (0,і), приложенного в сечении х = 0, а крутящий момент в сечении х = I равен моменту сил инерции сосредоточенной массы т.
Тогда граничные условия будут иметь следующий вид:
цJP
дф
дх
= М (0, і)
цJP
х=0
дф
дх
= ~
Х = 1
д 2ф 'ді2
(2)
Х = 1
где Jm — момент инерции сосредоточенной массы т относительно оси х; I — длина стержня.
Избавимся от постоянных коэффициентов в уравнении (1) для чего перейдем в новую систему координат (х,т), связанную с (х,і) линейным
преобразованием
х = к1х, і = к2т.
(3)
Определив частные производные по х и т сложной функции ф (х (х) ,і (т)) как [7]
дф дф йх к дф дф дф йі к дф
О- О.. 7~ дх ’ °
дх дх йх
д2ф д2ф
дхх2
д2ф
дх2
д2ф
йх
йхх
йі
дт ді йт й2х
ді
,д 2 ф
л™ ) + Я™ Л™2 к1 д™2
дх2 ’
_и. і +^_ = к2 йт ) + ді йт2 2 ді2 ,
дх йхх2 й2і
(4)
дт2 ді2
перепишем уравнение (1) в системе координат (х, т)
д2ф к2 цJp д2ф
дт2 к2 Jx дх2
0.
(5)
Положим к\ = I, тогда для отсутствия коэффициентов в (5) необходимо, чтобы к2 = \\/Зхир.
Окончательно уравнение (1) и граничные условия (2) запишем в виде
д2ф д2ф
дт2 дхх2
х=0
=кзМ (м) • дх
— — к4
х=1
дт 2
(6)
Х=1
где коэффициенты к3 = ¡и и к4 = <]т/<1хI.
В отличие от передаточной функции Ш (р) системы с сосредоточенными параметрами, которая зависит от одного аргумента р, передаточная функция Ш (х, п, р) системы с распределенными параметрами зависит еще от двух аргументов, представляющих собой пространственные координаты ее входа (аргумент п) и выхода (аргумент х). Очевидно, что входным сигналом в рассматриваемой системе является крутящий момент кзМ (0,і), выходным
— угол поворота стержня ф ( , і).
Как известно [1], для определения передаточной функции распределенной системы Ш (х, п,р)необходимо найти изображение по Лапласу ее импульсной переходной характеристики, которой является функция Грина С (х,п,т).
Функцию С (х, п, т) неоднородной краевой задачи (6) определим из уравнения [14]
^ ^ = * (х — п)5 (т) (7)
дт2 дх2
с граничными условиями
д х
х=0
0 —
, дх
= - к4
Х=1
д2С дт 2
Х=1
СТ=0 = 0, £
= 0, (8)
т=0
где 5 — дельта-функция Дирака.
2
Решение (7), (8) будем искать в виде ряда
Ж
G (х,п,т) = ^ Сп (п, т) фп (ж), (9)
п
п=0
где {фп (ж)} — система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с граничными условиями третьего рода [3, 15]
ФП (ж) + \2пфп (ж) = 0, ф'п (0) = 0, ФП (1) + \2пк4фп (1) = 0. (10)
Коэффициенты Сп (п, т) должны удовлетворять уравнению
СП (п,т) + Апсп (п,т) = фп (п) 8 (т) (11)
с нулевыми условиями
сп (п,т)Ir=0 = 0, С'п (п,т)1г=0 = 0 (12)
Найдем решение задачи Штурма-Лиувилля, когда Ап = 0.
Общее решение (10) запишется в виде
фп (ж) = Сі sin (Апж) + C2 cos (Апж) (13)
и из граничных условий вытекает
ÍСіАп = 0;
\СіАп (cos (Ап) + Апк4 sin (Ап)) + С2Ап (АпкА cos (Ап) - sin (Ап)) = 0.
(14)
Так как нас интересует нетривиальное решение, то для определения собственных значений Ап необходимо, чтобы определитель системы (14) был равен нулю, то есть
Ап 0
det ( An (cos (An) + Xnki sin (An)) \n {^nki cos (A„) - sin (An)) ) °' (15)
Упрощая (15), получим трансцендентное уравнение относительно An
sin (An) — Ank4 cos (An) = A, (16)
положительные решения которого являются искомыми собственными
значениями.
Из (14) и условия An = A следует, что С1 = A. Тогда собственные функции имеют вид
Фп (ж) = C2 COs (AnЖ) ' (17)
Из условия нормирования
1
/\Ф (Ж)\2 ií = 1 (18)
0
и уравнения (16) определим коэффициент С2 = ^ Cos2 (X ) '
Таким образом, в случае Ап = 0 нормированными собственными функциями задачи (10) являются
фп (ж) = л/2 cos (Anж) (1 + ki cos2 (An)) 2 , (19)
причем n = 1, 2, 3,...
В случае, когда А0 = 0 (при n = 0), общим решением (10) является
фо (ж) = С3ж + C4. Легко проверить, что определитель, составленный
аналогично (15), будет равен нулю. Это означает, что собственному
значению Ао = 0 соответствует нормированная собственная функция ~ _ i
фо (ж) = (1 + k4) 2, которую также необходимо включить в решение задачи. Решением уравнения (11) с условиями (12) являются функции
Со (п,т) = т (1 + k4)~2 , Сп (п,т) = фп (n)sin(AnT) А-1. (20)
Подставляя найденные выражения для сп (п, т) и фп (ж) при n = 0,1, 2,... в ряд (9), определим функцию Грина
G (ж п т)= т , 2 У" sin (Апт) cos (Апж) cos (АпП) (21)
G (,п,т) 1 + ki +2 ^ Ап (1 + ki cos2 (Ап)) , (21)
п=1
изображением которой по Лапласу является
ттг /— Ч 1 , oV^ cos (Агаж) COS (АгаП) ,ооЛ
W (Ж’П’Р)-(1+ k4) p2 + E(p2 + АП) (1+ k4 COS2 (An)) ' ( )
n=1
Так как необходимо определить передаточную функцию между крайними точками распределенного элемента п = 0 и ж = 1, необходимо домножить выражение (22) на соответствующие дельта-функции Дирака
W (1,0,p) = W (ж, п,р) 5 (п — 0) 5 (ж — 1). (23)
Получим
W (1, 0,p) =______1____+2 У______________COs(An)_________________. (24)
,Р) (1 + ki) p2^ ^ (p2 + An) (1 + ki cos2 (An)) 1 J
Ограничившись n-м членом, получим аппроксимацию (24) в виде цепочки параллельно соединенных звеньев с передаточными функциями Wi (p) = = (рис. 2).
Коэффициенты ai определяются как
2 cos (Ai) (1 + ki)
ai =
1 + k4 cos2 (Ai)
Для определения передаточной функции (24) в замкнутом виде воспользуемся теорией функций комплексного переменного.
Рис. 2. Структурная схема аппроксимированной передаточной функции
Известным следствием теоремы Миттаг-Леффлера [16, с.224] является возможность представления любой мероморфной функции комплексного переменного р = а + в виде ряда
/ (р) = Ъ (р) + ^ (дп (р) - Рп (р))
(25)
п=0
где Н (р) — целая функция; дп (р) — главные части разложения Лорана функции / (р) в полюсах, занумерованных в порядке возрастания их модулей; Рп (р) — некоторые многочлены.
Ряд (25) равномерно сходится в каждой ограниченной области, в которой / (р) аналитична [12, 16].
Сопоставляя (24) и (25), а также используя условие аналитичности Коши-Римана, можно восстановить замкнутый вид передаточной функции [4].
Опуская достаточно громоздкие выкладки, запишем
= р [вН (р) + к4р сН (р)]
-1
(26)
Найденная функция Ши является трансцендентной. Она зависит от единственного параметра — коэффициента к4, представляющего собой отношение момента инерции сосредоточенной массы т относительно оси х к полному осевому моменту инерции стержня.
Список литературы
1. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977. 320 с.
2. Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969. 368 с.
3. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов. СПб.: Питер, 2004. 539 с.
4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1108 с.
5. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: Физматлит, 2002. 208 с.
6. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. М.: ИЛ, 1955. 192 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. 832 с.
8. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики: учебное пособие для мех.-мат. фак. ун-тов. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.
9. Крутько П.Д. Управление исполнительными системами роботов. М.: Наука, 1991. 334 с.
10. Лашко В.А., Лейбович М.В. Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС: учебное пособие. Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2003. 211 с.
11. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2003. 299 с.
12. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В, Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного: учебник для вузов. М.: Наука, 1989. 480 с.
13. Синтез упрощенных структур двухмассовых электроприводов с нелинейной нагрузкой / Л.В. Акимов [и др.]. Харьков: НТУ "ХПИ, Запорожье: ЗНТУ, 2002. 160 с.
14. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 444 с.
15. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Ч. I. М.: ИЛ, 1960. 278 с.
16. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. 577 с.
Козлов Денис Вячеславович ([email protected]), аспирант, кафедра электротехники и электрооборудования, Тульский государственный университет.
Transfer function of torsion elastic element with the distributed parameters of the single-mass system
D. V. Kozlov
Abstract. Determined the transcendental transfer function of torsional oscillations of an elastic rod with distributed parameters in the presence at one end a concentrated mass. Input is the torque moment applied to the free end of the rod; output is the angle of rotation of the rod. The problem is solved by methods of structural theory A.G. Butkovskiy.
Keywords : the transfer function, torsional oscillations, the distributed elastic element, wave equation, boundary-value problem, Green’s function.
Kozlov Denis ([email protected]), postgraduate student, department of electrotechnics and electrical equipment, Tula State University.
Поступила 10.08.2011
