Моделирование процесса генерации волны удвоенной частоты в твердом теле с дилокациями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородс кого университета им. Н.И. Лобачевск ого, 2008, № 3, с. 1 37-141

УДК 534.1

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГЕНЕРАЦИИ ВОЛНЫ УДВОЕННОЙ ЧАСТОТЫ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ С ДИСЛОКАЦИЯМИ

© 2008 г. О.В. Артамонова, В.И. Ерофеев, В.П. Ромашов

Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

[email protected], [email protected]

Поступила в редакцию 30.04.2008

Показано, что при распространении в твердом теле с дислокациями продольной акустической волны проявляется квадратичная нелинейность, приводящая к возможности генерации волны удвоенной частоты. Взаимодействие первой и второй гармоник носит несимметричный характер: первая гармоника всегда генерирует вторую гармонику, вторая же воздействует на первую лишь при наличии сигнала первой гармоники. Получена характерная длина, на которой следует ожидать значительную перекачку энергии основной волны в энергию второй гармоники. Проанализированы зависимости этой длины от частоты основной волны, массы дислокаций и коэффициента акустодислокационного взаимодействия.

Ключевые слова: процесс генерации, твёрдое тело, дислокация.

Традиционное теоретическое описание закономерностей распространения акустической волны в твердом теле с дислокациями использует струнную модель Гранато-Люке [1], которая описывает поглощение энергии упругих колебаний за счет колебаний дислокационной линии в поле упругих напряжений внутри кристалла. Эта модель пренебрегает взаимодействием дислокаций с решеткой кристалла, а также взаимодействием дислокаций между собой.

Для учета таких взаимодействий в [2] предложена следующая математическая модель:

д2 д

=т- Р*, а^ и + в-ч — /г. (1)

дt дх, ^

д_

дt

(2)

где - модули упругости, ск - модули «жесткости» дислокации, Руи - тензор акустодислокационного взаимодействия, Ь- вектор Бюр-герса и используя равенства

да

дЧ

(3)

можно с учетом выражения для свободной энергии кристалла Е вычислить правые части в уравнениях (1).

Рассматривая далее плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в кубическом кристалле, однородном вдоль осей у и 7, получим следующие уравнения движения (и = и, 0к = 0, 1,к =1):

д'

д2

Хк ^

Здесь 0 - акустическое смещение, и - дислокационное смещение, А - масса дислокации, В -сила трения на единицу длины дислокации, Рк - тензор напряжений, р - плотность материала, /- сила, действующая на дислокацию. Записывая свободную энергию кристалла Е в виде функции переменных деформаций 0^ и

дислокационного смещения и■

2 0-с 6 —и,

дt дх р дх

д2 д д

А^и + В—и — -В—0. дt дt дх

(4)

где с - скорость продольной волны в материале, а в = Руи, Ь^ - коэффициент акустодислокацион-ного взаимодействия.

В рамках линейных уравнений (4) в [3, 4] проанализировано влияние плотности дислокаций на дисперсию фазовой скорости волны, величину и характер затухания. Произведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными по изучению характеристик распространения упругих волн в образцах с изменяющейся плотностью дислокаций (деформируемых и циклически нагружаемых образцах).

Начиная с некоторого порогового значения амплитуды ультразвука и плотности дислокаций в материале, амплитуда колебаний дислокаций достигает величины, соизмеримой с расстоянием

между дислокационными линиями. При этом будет происходить активное взаимодействие дислокаций, которое приводит к необходимости учета нелинейности дислокационной подсистемы, т.е. массу дислокации и силу трения на единицу длины дислокации следует рассматривать как сумму постоянной и пульсационной составляющих. При этом пульсационную составляющую будем считать пропорциональной дислокационному смещению и: А = А (1 + А1и),

В = Во (1 + ви), тогда уравнения (4) перепишутся следующим образом:

д

д2

АР^_ Р - с

дt4 дх 2дt2

с 2Ара д3

Л

и

+Вд?и—

2р дt дх ^ дх

—и

(6)

Подставляя теперь в волновое уравнение (6) выражение (7), получаем в первом приближении по малому параметру в следующую систему укороченных уравнений для амплитуд, зависящих от пройденного расстояния х:

ёиг с 2А1к 2ю2рАо

дх е(—с ю АдР — В )

и и,

22

ди 2

дх

с А1к а рА1

є - 4(-с 2т2 А0р- Р2)

-и2.

(8)

(9)

0-с 2 0 = -—и,

дt дх р дх

(5)

д2 д д

Ао(1 + А!и) —и + Во(1 + ВхиV-и = -Р—0 .

дt дt дх

Считая дислокационную подсистему консервативной (В0 = 0), перепишем (5) в виде одного уравнения:

описывающего распространение волны дислокационного смещения.

Заметим, что уравнение (6), кроме кубической нелинейности и нелинейности более высоких степеней, содержит квадратичную нелинейность. Как известно, в среде, обладающей квадратичной нелинейностью, возможен процесс генерации второй гармоники. Будем считать, что другими нелинейными эффектами (самовоздействием, генерацией высших гармоник и т.д.) можно пренебречь. Тогда, в среде распространяются только две волны: на основной (ю) и удвоенной (2ю) частотах. Если считать среду слабо нелинейной, то амплитуды волн будут изменяться на малую величину при прохождении волной расстояния порядка длины волны, т.е. амплитуды волн будут медленно меняющимися функциями координат. В соответствии с этим решение уравнения (6) будем искать в виде

и — и1 (ех У(ш-кх) + и2 (ех )є2і (ш-кх) + к.с, (7)

где буквами «к.с.» обозначены комплексно-сопряженные члены, и1,и2 - медленно меняющиеся комплексные амплитуды; е - малый параметр; ю - частота основной волны; к - волновое число.

Из (8), (9) видно, что взаимодействие первой и второй гармоник имеет несимметричный характер. Квадрат амплитуды первой гармоники входит в уравнение второй гармоники в виде вынуждающей силы. Амплитуда второй гармоники входит в уравнение для первой параметрическим образом. Следовательно, первая гармоника всегда генерирует вторую гармонику, вторая же гармоника воздействует на первую лишь при наличии сигнала первой гармоники.

Выявим основные закономерности генерации второй гармоники на основе решения укороченных уравнений (8), (9). Будем считать, что на границе материала х = 0 была возбуждена лишь волна частоты ю, а волна удвоенной частоты на границе отсутствовала, что позволяет задать следующие условия:

и1(0) = и0, и2(0) = 0. (10)

Проанализируем генерацию гармоники в условиях, когда ее амплитуда мала по сравнению с амплитудой основной волны |и2| << |и^ .

В этом случае, следует пренебречь обратным влиянием второй гармоники на основную волну, положив правую часть в (8) равной нулю. Тогда очевидно, что амплитуда основной волны не меняется (и 1(х) « и0), и вторая гармоника возбуждается в заданном поле основной волны:

где а —

2 —-2 дх 4 0 ■

с2 А1к 2ю2рА0 е(-с2ю2А0р-р2) '

(11)

Интегрируя последнее уравнение, находим

Р2—а и02 х.

(12)

Амплитуда гармоники растет пропорционально пройденному расстоянию. В силу условия |и2| << |и^ формула (12) справедлива при

х << , где

Р2

2є

и, —

1 + -

с 2а2рА0

и 0 к2 А1

(13)

2

Рис. 1. Зависимость амплитуд первой (и1) и второй (и2 ) гармоник от пройденного расстояния

Согласно закону дисперсии, значение волнового числа к равно

к2 =-

ю

1 + -

^2 Л0рс2ю

(14)

2 2

Если малый параметр в принять равным в = А1/2 , то соотношение (13) примет вид:

= -

1 +

Р2

с 2ю2рЛ0

U 0ю2

(15) L

x << L,,

, амплитуда второй гармоники дости-

гает половины значения

1

т.е.

и 2 = 2 Uo •

1^ aT 72

— U0 = — U0 • X. 2 0 4 0

2

x = -

aU„

L„„ = -

2 2в(с 2ю2 Л0р +Р2)

aU0 U0(c2 Ajk 2ю2рЛ0)

Проанализируем зависимость Ьш от частоты ю, амплитуды дислокационного смещения и0 , массы дислокации А0 и коэффициента аку-стодислокационного взаимодействия -.

Рассмотрим зависимость длины Ьш от частоты основной волны ю. При больших значениях ю: Ьнл ~ 1/ю2, при малых значениях ю: -4

Таким образом Lm ~ 1/U0 . При длине

.е. Lнл -V

, т.е

ю8 •

Аналогично рассмотрим зависимости Ьнл от массы дислокаций. При малых значениях А0: Ьт -V Ас2 , при больших значениях А0 Ьнл

(16)

от нее не зависит: L„

Зависимости первой и второй гармоник от пройденного расстояния представлены на рис. 1 При х ^ да происходит полная перекачка энергии основной волны в энергию второй гармоники. Запишем (12) с учетом условия (16)

U0 ю2

= const. Зависи-

(17)

(18)

мость Ьш от массы дислокаций представлена на рис. 2.

При малых значениях - длина волны не зависит от коэффициента акустодислокацион-

Следовательно длина, на которой следует ожидать значительную перекачку энергии основной волны в энергию второй гармоники, равна

ного взаимодействия:

В4

U0Ю2

= const, при

нл 4л 8 2 ,,2 ’ нл

с ^0® р Л

; Lm ~Р4.

(19)

больших -: Ь

",#/0ю р А0

Зависимость Ьнл от коэффициента акусто-дислокационного взаимодействия представлена на рис. 3.

2

с

2

2

с

2

с

2

с

U 0 Ltmrnl

Рис. 2. Зависимость длины L от массы дислокаций

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№ 06-02-1715, 06-02-00520,

08-08-97058-р_поволжье).

Список литературы

1. Granato A., Lucke K. Theory of mechanical damping due to dislocation // J. Appl. Phys. 1956. V. 27, № 6. P. 583-593.

2. Бурлак Г.Н., Островский И.В. Гистерезисные

акустические явления, связанные с дислокационной нелинейностью в кристаллах // Письма в ЖТФ. 1997.

Т. 23, № 18. С. 69-74.

3. Ерофеев В.И., Ромашов В.П. Влияние дислокаций на дисперсию и затухание ультразвука в твердом теле // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 6. С. 6-11.

4. Ерофеев В.И., Ромашов В.П. Влияние циклического нагружения и деформации материала на характеристики распространения в нем продольной акустической волны // пефектост,опия 2004 № 1 С 59 64

SECOND HARMONIC GENERATION MODELING IN A SOI O. V. Artamonova, V.I. Erofeyev, V.P. Rom

In solids with dislocations, a propagating longitudinal acoustic wave h: nonlinearity which may lead to second-harmonic generation. Characteristic significant energy transfer from the first harmonic into the second one can be on the frequency of the main wave, mass of dislocations and acoustic-disloi analyzed.

Моделирование процесса генерации волны удвоенной частоты в твердом теле с дислокациями 141