CC BY
23
3. Построенный алгоритм поэлементного контроля элементов управления 16-элементной ЦАР при обеспечении ' точной установки луча антенны в заданном направлении показал, что эффективность контроля антенной решетки возросла в 2,078 раза по сравнению с контролем по ' строчно-столбцевому алгоритму. 5
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК 6.
1. Кудрицкий В.Д., Синица М.А., Чинаев П.И. Автоматизация контроля радиоэлектронной аппаратуры/Под ред. Чинаева П'И. - М.1 Сов. Радио, 1977. - 2560. 7
2. Габриэльян Д.Д., Шацкий В.В., Шацкий Н.В. Алгоритм по- ' элементного контроля фазированной антенной решетки по одному определяющему параметру // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общие вопросы радиоэлектроники. - 1999,
вып.№19.
Шацкий Н.В. Принцип построения алгоритма поиска неисправностей в антенной решетке с оценкой его эффективности // Исследовано в России, 38, стр.499-507, 2000. http://zhurnal.mipt.rssi.ru/articles/2000/038.pdf.
Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. - М.: Радио и связь, 1983.
Габриэльян Д.Д., Звездина М.Ю., Шацкий Н.В. Точность установки луча в цилиндрической антенной решетке при наличии отказов в каналах управления амплитудой // Изв. вузов: Радиоэлектроника..- 1999, т.42, №5-6, с.19-23. Габриэльян Д.Д., Шацкий Н.В. Оценка характеристик плоской фазированной антенной решетки при наличии отказов в каналах управления фазой // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общие вопросы радиоэлектроники. - 1998, вып.№18, с. 64-69.
Самойленко В.И., Шишов Ю.А. Управление фазированными антенными решетками. - М.: Радио и связь, 1983. - 240с.
УДК 517+ 681.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЛАНЖЕВЕНА ЦЕПНОЙ ДРОБЬЮ
В.И.Грядун, В.П.Пинчук, В.П.Шаповалов
Для получения контролируемого с заданной точностью расчета функции Ланжевена предложено разложение в цепную дробь. Разработанный алгоритм расчета реализован в системе программирования МЛТЬЛБ. Модель позволяет достигать
минимальную машинную погрешность £ = 0, которая эквива-10-16.
лентна точности
Для проведення контрольованого з заданою точтстю розрахунку функцИ Ланжевена запропоновано розкладення у ланцюговий др1б. Розроблений алгоритм розрахунку реал1-зовано у систем1 програмування MATLAB. Модель дозволяв
досягти мгнгмальну машинну похибку £ = 0, яка еквгвалентна
точностг
10
16
For receipt of the Langeven's function computation controlled with set exactness is offered decomposition in continueted fraction. Worked up computation algorithm realized in the MATLAB programming system. Model allows to achieve minimum machine
error £ = 0, which equivalent to exactness ~ 10-16 .
ВВЕДЕНИЕ
Расчет функции Ланжевена
L(x) = cth(x) -
1
(1)
на ЭВМ в области малых положительных величин х дает результаты с большой погрешностью, достигающей миллионов процентов. Действительно, на рис. 1 хорошо видны недостатки расчета, причем, наблюдаются даже отрицательные значения функции, которая является положительной в рассматриваемом диапазоне аргументов [1].
Рисунок 1 - Расчет функции Ланжевена по определению (1)
Такие недостатки расчетов функции Ланжевена проявляются на всех типах ЭВМ и характерны для различных систем программирования, например, MathCAD, Matlab, Pascal и др.
Рассматриваемая погрешность негативно проявляется в физических приложениях. Так, при вычислении средней проекции электрического диполя pe частицы на направление электрического поля по формуле
Pe = PeL(x), как раз реализуются малые значения аргумента
68
ISSN 1607-3274 "Радтелектронжа, ¡нформатика, управл1ння" № 1, 2001
В.И.Грядун, В.П.Пинчук, В.П.Шаповалов: МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЛАНЖЕВЕНА ЦЕПНОЙ ДРОБЬЮ
х =
квт,
(3)
где ре - электрическии дипольныи момент молекулы, Кл • м ; Е - напряженность электрического поля, В/м; кв - постоянная Больцмана, Дж/К; Т - абсолютная температура, К.
Для молекул воды, например, электрический диполь-
-30
ныИ момент, составляет величину 6, 1 • 10 Кл • м [2] и при комнатноИ температуре в электрических полях
101... 106В/м аргумент х составляет величины ~
10 8... 10 3 , которые попадают в критическую область расчета среднеИ проекции диполя по формуле (2).
В табл. 1 приведены результаты расчета среднеИ проекции электрического дипольного момента молекулы 30
анилина (ре = 5 • 10 Кл • м) в широком диапазоне электрических полеИ. Видим, что только в сильных
7
электрических полях ~10 В/м абсолютная погрешность заметно снижается.
Таблица 1- Расчет зависимости средней проекции дипольного электрического момента молекулы анилина от величины электрического поля
Электрическое поле Б, В/м Аргумент, х Проекция дипольн. момента молекулы, Кл • м
Расчет по формуле (2) Корректное значение
1 9 1, 208 • 10 9 -29 -1,161 • 10 29 39 2, 0167 • 10 39
10 1, 21 • 10-8 31 7, 42 • 10 31 2, 0167 • 10-38
100 7 1, 21 • 10 7 32 1, 71 • 10 32 37 2, 0167 • 10 37
1000 1, 21 • 10-6 1, 91 • 10-34 2, 0167 • 10-36
104 1, 21 • 10-5 35 1, 8546 • 10 35 2, 0167 • 10 35
105 4 1, 21 • 10 4 2, 0128 • 10-34 2, 0167 • 10-34
106 3 1, 21 • 10 3 33 2, 0128 • 10 33 33 2, 0167 • 10 33
107 2 1, 21 • 10 2 32 2, 0128 • 10 32 32 2, 0167 • 10 32
108 1 1, 21 • 10 1 31 2, 0109• 10 31 31 2, 0147 • 10 31
9 109 1, 21 30 1, 841 • 10 30 30 1, 8438 • 10 30
-24 2
рт составляет величину ~1, 64 • 10 А • м при удель-
-9 3
ноИ восприимчивости 3, 19 • 10 м /кг [3]. Здесь также наблюдаются громадные абсолютные погрешности, которые снижаются только при достижении напряженности магнитного поля ~ 105 А/м.
Таким образом, вычисление функции Ланжевена по ее оригинальному определению (1) не представляется достаточно надежным и возникает вопрос о необходимости обеспечения контролируемоИ точности расчета. В связи с этим предлагается к рассмотрению метод цепных дробеИ в вычислительноИ математике [4].
Таблица 2 - Зависимость проекции магнитного момента атома титана на направление магнитного поля от его величины
Напряжен-ность магнитного поля, А/м Аргумент, х Проекция парамагнитн. момента 2 атома, А • м
Расчет по формуле (2) Корректное значение
1 10 4, 98 • 10 10 -22 -3, 14 • 10 22 2, 7224 • 10-34
10 9 4, 98 • 10 9 1, 64 • 10-24 33 2, 7224 • 10 33
2 102 4, 98 • 10-8 1, 75 • 10-26 32 2, 7224 • 10 32
3 103 7 4, 98 • 10 7 -4, 53 • 10-28 31 2, 7224 • 10 31
104 4, 98 • 10-6 31 -8, 75 • 10 31 30 2, 7224 • 10 30
105 4, 98 • 10-5 2, 72 • 10-29 29 2, 7224 • 10 29
106 4, 98 • 10-4 2, 72 • 10-28 2, 7224 • 10-28
107 3 4, 98 • 10 3 27 2, 72 • 10 27 27 2, 7224 • 10 27
108 2 4, 98 • 10 2 2, 72 • 10-26 2, 7219 • 10-26
9 109 0, 498 25 2, 6781 • 10 25 25 2, 6784 • 10 25
1010 4, 98 1, 311 • 10-24 1, 311 • 10-24
1011 49, 794 1, 607 • 10-24 1, 607 • 10-24
1. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ЛАНЖЕВЕНА ЦЕПНОЙ ДРОБЬЮ
Для выражения функции Ланжевена через цепную дробь удобно воспользоваться представлением гиперболического тангенса в виде отношения [5]
Аналогичная картина наблюдается при расчете средних проекциИ магнитных диполеИ на направление внешнего магнитного поля. В табл. 2 представлены результаты расчетов для титана, у которого магнитныИ момент атома
Ш(х) =
Сх (х )'
(4)
где С1(х) - бесконечная цепная дробь, определяемая выражением
С1(х) = 1 + -
(5)
3 + -
5 +
7 + ...
Ь (х) =
С2 (х ) '
2. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА И АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Представим аргумент функции Ланжевена с учетом его погрешности в следующем виде
х = х + 5х ,
(1)
Подставляя затем (4) в (1) с учетом (5) и проведя несложные упрощения, получим
где х - приближенное значение аргумента; 5х - погрешность. Тогда погрешность функции, рассчитанной по формуле (1), определится выражением
(6)
ЪЬ (х) =
1
1 - агк(х) + — х -
Ъх.
(12)
где С2(х) - часть цепной дроби (5), определяемая выражением
Из (12) видно, что при малых значениях аргумента, когда х« 1 , погрешность функции очень велика и составляет
С2(х) = 3 + -
(7)
5 + -
7+
9 + ...
С2 (х) = 3 + -5-
1
7+
1
— +--1—
х2 + 11 + .
+ -
а2 + -
ач + -
а4 + ...
которая сходится [6], если
Е ап = то.
п = 1
1
Ъ Ь (х) « —2 Ъх ,
2х 2
(13)
Теорема. Бесконечная цепная дробь (7) сходится в области значений аргумента от нуля до бесконечности. Доказательство. Перепишем (7) в следующем виде
а при больших значениях аргументов, когда х» 1 погрешность мала и составляет величины, определяемые
отношением
(8)
1
ЪЬ (х) « — Ъх . х
(14)
Теперь, обозначая: ао = 3; а1 = 5/х2 ; а2 = 7;
а3 = 9/х2 ; а4 = 11 и т.д., получим обыкновенную цепную дробь
1
С2(х) = ао +---,
(9)
(10)
Таким образом, действительно, использование формулы (1) для расчета функции Ланжевена в области малых аргументов является крайне нежелательным из-за неконтролируемой точности в^гчислений.
Покажем, что расчет функции Ланжевена по формуле (6) с использованием цепной дроби (7) позволяет получать результат с наперед заданной точностью.
Известно [7], что если обыкновенная бесконечная цепная дробь сходится, то ее значение больше любой подходящей дроби четного порядка и меньше любой подходящей дроби нечетного порядка. Поскольку цепная дробь находится в знаменателе формулы (6), то функция Ланжевена для заданного положительного значения аргумента будет меньше ее значения рассчитанного с помощью любой подходящей дроби четного порядка и, соответственно, большей ее величины полученной с помощью любой подходящей дроби нечетного порядка.
Такое поведение функции Ланжевена, рассчитанной с помощью конечных цепных дробей, позволяет ввести максимальную погрешность ее расчета для двух ближайших подходящих дробей с помощью разности
Ряд (10) расходится, т.к. его нечетные члены составляют целочисленную арифметическую прогрессию.
Сходимость цепной дроби (9) позволяет моделировать функцию Ланжевена в области положительных аргументов. Но т. к. она бесконечна, то возникает вопрос о выборе количества звеньев дроби при расчетах. Естественным будет путь установления связи между погрешностью расчета и количеством звеньев в цепной дроби.
ЪЬ (х) = Ь2к(х) - Ь2к - 1(х) ■
(15)
Введя теперь желаемую точность расчета £ и наращивая количество звеньев подходящей конечной цепной дроби, можно достигнуть выполнения необходимого условия
+
70
1607-3274 "Радтелектронжа, шформатика, управл1ння" № 1, 2001
А.Ю.Дорогов: ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ НАСТРОЙКА ЯДЕРНОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ
5L ((х )<Е)
(16)
Так как разрядность представления чисел в ЭВМ ограничена, то можно потребовать достижения макси-мальноИ точности, то есть положить
Е = 0,
(17)
-16
что обеспечивает точность расчета ~ 10
РассмотренныИ алгоритм расчета функции Ланжевена с помощью подходящих дробеИ по формуле (6) с максимально допустимоИ машинноИ точностью практически реализован в системе МаНаЬ 5.3, рис. 2.
малых аргументов, причем, количество звеньев цепноИ дроби, необходимых для достижения максимальноИ точности расчета, небольшое и составляет величину ~ 7.
При дальнеИшем увеличении аргумента количество ветвеИ цепноИ дроби (6) для достижения предельноИ точности возрастает. Однако, следует учесть, что при достижении аргументом х величины ~ 48 расчет функции Ланжевена с помощью цепноИ дроби по точности не отличается от расчета по определяющеИ формуле (1). Более того, анализ показывает, что при х > 48 гиперболическиИ котангенс с двоИноИ точностью равен машинноИ единице, и поэтому функцию Ланжевена удобнее рассчитывать по формуле
L (х) = 1 -
1
(18)
Рисунок 2 - Моделирование функции Ланжевена цепной
дробью
ВЫВОДЫ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
ПостроенныИ алгоритм расчета функции Ланжевена с помощью бесконечноИ цепноИ дроби С2( х) хорошо реализуется в критически неустоИчивоИ области расчета
которая дает такой же результат, как и формулы (1) и (6).
Таким образом, учтя в алгоритме расчета функции Ланжевена минимальную величину аргумента, при котором уже нет необходимости пользоваться цепной дробью, мы имеем во всей области определения функции Ланжевена предельную контролируемую точность расчета.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. - М.: Наука, 1968. - 344 с.
2. Краткий справочник физико-химических величин. / Под ред. К. Мищенко и А. Равделя. - Ленинград: Химия, 1974. -200 с.
3. Свойства элементов.Часть 1. Физические свойства. / Под ред. Г. В. Самсонова. - М.: Металлургия, 1978. - 600 с.
4. В. Я. Скоробогатько. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. - М.: Наука, 1983. - 312 с.
5. А. Н. Хованский. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. - М.: Госизд. ТТЛ, 1956. - 203 с.
6. Stern. Ueber der Kennzeichen der Convergenz eines Kettenbruches // J. Reine und angew. Math. 37 (1848), 255-272.
7. А. Я. Хинчин. Цепные дроби. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961. - 112 с.
YAK 681.32:007.52
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ НАСТРОЙКА ЯДЕРНОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ
А.Ю.Дорогов
В статье рассматривается многослойные нейронные сети с ядерной организацией. Исследуются вопросы предварительной настройки синаптической карты нейронной сети перед выполнением процедуры обучения. Предложены принципы оптимальной настройки. Получены расчетные формулы вычисления синаптических весов. Представлена методика статического обучения.
The article multilayer neural networks with kernel organization are considered. The problems of initial setting of neural network synaptic card before learning procedure are investigated. The principles of optimum setting are offered. The formulas for
calculation of synapses weights are obtained. The technique of static tutoring is represented.
ВВЕДЕНИЕ
Для обучения многослойных нейронных сетей в подавляющем большинстве случаев используется алгоритм Error Backpropagation [1] или его модификации. Алгоритм обучения данного класса предполагает, что начальные значения синаптических весов предварительно установ-
