Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины гидравлического разрыва пласта Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:532.546

В.И. Астафьев, Г.Д. Федорченко

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕЩИНЫ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРЫВА ПЛАСТА

Исследуется процесс фильтрации жидкости к скважине при наличии трещины гидравлического разрыва пласта (ГРП). Данная трещина представляется в виде тонкого эллипса, пересекающего скважину. Использование аппарата ТФКП позволило найти точное решение данной задачи, получить аналитическое выражение для величины скин-фактора, отражающего влияние трещины ГРП на продуктивность скважины. В завершение представлена упрощённая постановка данной задачи, когда трещина ГРП представляется в виде разреза нулевой толщины, но конечной проводимости.

Введение. Гидравлический разрыв пласта (ГРП) представляет собой механический метод воздействия на продуктивный пласт, состоящий в том, что порода разрывается по плоскостям минимальной прочности под действием избыточного давления, создаваемого закачкой в скважину жидкости с расходом, который скважина не успевает поглощать. Флюиды, посредством которых с поверхности на забой скважины передаётся энергия, необходимая для разрыва, называются жидкостями разрыва. После разрыва под воздействием давления жидкости трещина увеличивается, возникает её связь с системой естественных трещин, не вскрытых скважиной, и с зонами повышенной проницаемости. Таким образом, расширяется область пласта, дренируемая скважиной. В образованную трещину жидкостями разрыва транспортируют зернистый материал (проппант), закрепляющий трещину в раскрытом состоянии после снятия избыточного давления.

В результате ГРП повышается дебит добывающих или приёмистость нагнетательных скважин за счёт снижения гидравлических сопротивлений в призабойной зоне и увеличения фильтрационной поверхности скважины, а также повышается конечная нефтеотдача за счёт приобщения к выработке слабодренируемых зон и пропластков.

Метод ГРП имеет множество технологических решений, обусловленных особенностями конкретного объекта обработки и достигаемой целью. Технологии ГРП различаются, прежде всего, по объемам закачки технологических жидкостей и проппантов и, соответственно, по размерам создаваемых трещин [1].

Проведение гидроразрыва с образованием протяжённых трещин приводит к увеличению не только проницаемости призабойной зоны, но и охвата пласта воздействием, вовлечением в разработку дополнительных запасов нефти и повышению нефтеизвлечения в целом.

В данной работе рассмотрена задача о фильтрации жидкости к скважине при наличии уже созданной трещины ГРП.

1. Постановка задачи. Рассмотрим плоскую задачу стационарной фильтрации однородной жидкости, обусловленной стоком интенсивности <3, расположенным в центре конфокального эллипса с полуосями 1, 6 и фокусным расстоянием / (/2 = I2 — 62).

Предполагается, что пласт имеет постоянную толщину Н и проницаемость кі.

Эллипс ограничивает включение, моделирующее трещину гидроразрыва пласта (ГРП), которая характеризуется величиной проницаемости к2 (рис. 1).

Пусть движение жидкости в пласте и трещине подчиняется линейному закону фильтрации Дарси [1,2]

к

V = — gradp. (1)

Тогда из условия несжимаемости

divv = 0 (2)

распределение потенциала ф в области пласта и области трещины ГРП определяется уравнением Лапласа

кіНрі

Уфі =0, фі = -^, (3)

где рі — давление; л — вязкость жидкости; Н — толщина пласта; индекс і = 1 соответствует внешней области (пласту), і = 2 соответствует трещине.

Перейдём к комплексному потенциалу Ф = ф+іЦ комплексной переменной г = х + іу = те1 а, где Ц — функция тока рассматриваемого течения. Тогда общее решение задачи (3) будет иметь вид [1]:

Скважина ТрещИна

Пласт

О +о

Ф1 = — 1пг + ^ £ Бпг~2п,

2л

О

п=0

+оо

Ф2 = 2п 1пг + к2 £ °пг П•

(4)

(5)

п=0

В этих выражениях чётные степени г объясняются центральной симметрией течения, из осевой симметрии течения следует, что коэффициенты Вп и Бп являются вещественными.

Граница трещины в комплексной форме имеет вид [1]:

гі = Г- ( е— +*-) = іеіа (1 + „2е—2іа) , 1 2 I а е1 V 2а V I

(6)

где q = ^/ ^, 0 ^ а ^ 2п.

На линии раздела трещины и пласта давление р и функция тока у должны быть непрерывны, т. е. на границе (6) должны выполняться следующие граничные условия:

1) равенство давлений:

Рис. 1. Пласт, пересеченный вертикальной трещиной гидроразрыва

11

—Ие Ф1(г1) = — Ие Ф2(г1); к1 к2

2) условие непрерывности линии тока:

1т Ф1(г1) = 1т Ф2(г1).

(7)

(8)

2. Построение решения. Вдоль линии (6) справедливо следующее представление отрицательной степени комплексной переменной г:

2п

ґ\—2п

і І ~2п „-2і

.іпа ^+а2е—2іа

2п

2п

а 2Пе—2іпа

к _2к „-2іка

^(—1)ка е

к=0

2п

(9)

Следовательно, ряд по отрицательным степеням г\ в выражении (4) может быть представлен в виде

( ) 2п

Е Бпг—2п = ЕЛп(Че-") •

п=1 п=1

Ряд по положительным степеням г1 в выражении (5) запишется следующим образом:

ТО ТО / £\2п / То . '

X Япг2п = £ Оп[Ц СПп + £ сп-к (?е- а)2к + (^е- а)-2к

п = 1 п=1 У2) к=1 1 ,

где С% = к!(п'-к)! — биномиальные коэффициенты.

Так как |д2е~2га| < 1, то вдоль кривой (6) функцию 1п2 можно разложить как

(10)

(11)

Ї о

1п г1 = 1п — + і а + V 2р =1

(—1)

п+1

(. )2 п

ае—ш) •

(12)

г

2

п

Подставляя разложения (10)—(12) в уравнения (7)-(8) и приравнивая соответствующие коэффициенты, получим:

Q (-1)" A(1 - q4n) 2nki n 1 - Aq4

An = ^_ : ; (13)

£ Dn\ If an = аъ- D °+2nkir+i lnf; (14)

п=1

ТО Вк [Г- 12к Ск-п = 0- (-1)п+1 ^4п (15)

к=п Н 2/ 2к 2пк2 п 1 - Хц4п ’ ( )

где X = к2— к1 где Х = к2+к1 .

Подстановка соотношений (13)-(15) в выражения (4) и (5) дает следующее распределение комплексного потенциала в области пласта и области трещины ГРП:

Ф1 = к1В0 + 2П ^1п2 + (1 -Л)1пу -X 1пV +(1 -X) £ Хт 1п[1 + q4mV2]!;

, то т=1 . (16)

Ф1 = к2Во + 2| [1пг +32-X + ДХт 1п [1 + ц8т + ц4т -2)]),

где V = е1 а.

Пусть гш << / — радиус скважины, Яс » / — радиус удалённого контура питания, на котором задано постоянное давление рс. Тогда при гш = тшега, где |гш| = гш << /, распределение (16) даёт следующее выражение для величины давления на скважине:

ц Q ц Г 2A f “ Aq4n

Pw = - Въ +

h 2nk2h

ln rw + -—-ln— - 2£

1 - A 2q n=1 n(1 - Aq4n)

(17)

Учитывая, что давление на контуре питания гс = Ясе1 а определяется выражением

*=ъь+^ьь. <18>

из соотношений (17) и (18) можно записать выражение для дебита скважины Q с трещиной ГРП:

ln R-

Q = Q0—. (19)

ln ^ + S

r w

Здесь Q0 — дебит скважин без трещины ГРП; S — скин-фактор, отражающий наличие у скважины трещины ГРП:

2nk1hpc - pw 2A ( l + f S q4n ^

Q0 =---— D ; S =---------ln------(1 - A) V---------. (20)

И- ln ^ 1 + A I 2rw n=1 n(1 - Aq4n)J

r w

На практике при оценке эффективности ГРП широко используется параметр безразмерной проводимости трещины Fcd = kf [3]. Обозначим е\ = к~, £2 = f • Учитывая, что £1 << 1 и £2 << 1

выражения для A = k^-^1, q = и Fcd можно записать в виде A = 1 - 2£i, q = 1 - £2 и Fcd = .

В этом случае второе выражение (20) при £1 ^ Ъ, £2 ^ Ъ, но Fcd = const, можно представить как функцию от Fcd :

l ~ 1

S = - ln-+ У-----------. (21)

2rw n=1 n(2nFcD + 1)

Характер изменения скин-фактора S как функции от Fcd приведён на рис. 2. Из рис. 2 видно, что при Fcd > 1Ъ величина S меняется слабо, т. е. дальнейшее повышение Fcd с целью увеличения величины дебита скважины Q становится неэффективным.

Зависимость (21) и построенный на её основе график изменения скин-фактора 5 полностью соответствует результатам работ [4, 5], основанным на обработке различных эмпирических данных.

3. Модифицированная постановка задачи. Рассмотрим модифицированную постановку задачи (1)-(3), позволяющую наиболее просто найти выражения для скин-фактора 5.

Величину давления р1 и комплексной скорости ^1+г^1 течения жидкости в пласте можно выразить через комплексный потенциал Ф1(г) следующим образом:

р 1 = 7^- Ие Фі(г); щ + г^ = — Ф1(г). (22)

к1 Н 1

Рис. 2. Зависимость величины скин-фактора 5 от величины Рсб

Тогда нормальную компоненту скорости течения жидкости на линии раздела трещины и пласта ип можно выразить через Ф1(г) как

ип = -1т

і Фі йв

(23)

где г = г1(в) — уравнение границы трещины в комплексной форме.

С учётом граничного условия на контуре питания (18) выражение (4) для Ф1(г) можно представить в виде

к1Н — г О Ф1(г) =-------рс + — 1п — + к1 £ Бпг

л

2п Я

(24)

с п=1

Для записи уравнений фильтрации в области, занятой трещиной, усредним уравнения (1)-(2) по у при |х| < I и запишем их в виде

к2Н йр2 йй . .

й (х) =-------ш (х) ——; —— = — ип (х),

Л йх йх

(25)

ш (х)

где ц(х) = ^ и2(х,у)йу; ип = р2(х, ш(х)); ш(х) = 5\/1 - (хII)2.

0

В безразмерной переменной £ = хII эти уравнения можно переписать в виде

“Ц-Ю1Га>^* %=-,и"К)-

Из второго уравнения (26) и выражения (23) для ип следует, что

ц (£) = 1т Ф1«).

(26)

(27)

Первое уравнение (26) с учетом (22), граничного условия (7) и условия 6/1« 1 можно переписать как

(28)

Следовательно, уравнения (27)—(28) можно записать в виде дополнительного граничного условия на потенциал течения Ф1(г):

Рсв^1-№Ф1ю = 1тФ1Ю, К1^ 1 или, после замены $ = ео8а, в виде

(29)

¥свКеФ1(а) + 1шФ1(а)=0, 0 ^ а ^ п. (30)

Заменив последнее слагаемое в (24) выражением (10), граничное условие (30) можно записать как

(ТО \ ТО

tgа + £ 2пап 8т2па + £ ап вт2па = 0, (31)

п=1 > п=1

где ап = 2пк1 Ап^.

Из уравнения (31) легко находятся неизвестные коэффициенты ап в представлении для потенциала Ф1(г):

а (-1)п 2п¥си (-1)п (1 1 Ч (32)

п п 1+2п¥Сп п 1 1+2пРс^

Оставшееся граничное условие (равенство давления р на контуре скважины zw = тшвга величине рш) позволяет связать значение дебита скважины с величиной перепада давления рс - рш в виде выражения (19), где значение скин-фактора 5 вычисляется как

I ТО 1

5 = - 1п--+ V-------------. (33)

2гш п=1 п(2пРсв + 1)

Как видим, выражение (33) для 5 полностью совпадает с (21), но получено значительно проще. Данная модифицированная постановка задачи фильтрации жидкости с учётом тонких трещиноподобных включений может быть успешно применена в различных задачах: фильтрация с трещиной ГРП при переменном коэффициенте проницаемости в трещине к2(х,у), фильтрация жидкости в пласте с системой трещиноподобных включений и т.п.

Заключение. Таким образом, задача о фильтрации трещины жидкости к скважине при наличии узкой области с более высокой проницаемостью (трещина ГРП) сводится к задаче сопряжения двух аналитических функций на границе раздела «пласт-трещина». Наиболее просто такая задача решается при представлении трещины в виде разреза нулевой толщины, но конечной преводимости. В работе получена аналитическая зависимость величины скин-фактора трещины 5 от безразмерного коэффициента проводимости ¥сб, которая соответствует известным экспериментальным данным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта [Текст] / Р. Д. Каневская. — М.: Недра, 1999. — 212 с.

2. Азиз,Х. Математическое моделирование пластовых систем [Текст] / Х. Азиз, Э. Сеттари. — М.-Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., — 2004. — 416 с.

3. Мукерджи,Х. Производительность скважин [Текст] / Х. Мукерджи. — М.: Schlumberger, 2001. — 184 с.

4. Prats, M. Effect of Vertical Fractures on Reservoir Behavior-Incompressible Fluid Case [Text] / M. Prats // SPE J.— 1961. — No. 1. —P. 105-118.

5. The Effect of Vertical Fractures on Well Productivity [Text] / W. Mc. Guire // J. of Petroleum Technology. — 1960. — No. 12. —P. 72-74.

Самарский государственный университет, г. Самара [email protected]

Поступила 15.03.2007