CC BY
43
УДК 517.958:532
М. Х. Хайруллин, М. Н. Шамсиев, Е. Р. Бадертдинова, И. Т. Салимьянов, В. Р. Гадильшина
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПЛАСТА И ТРЕЩИНЫ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРЫВА
Ключевые слова: вертикальная скважина, трещина гидравлического разрыва, стационарная фильтрация жидкости.
Предложена численная 2D модель фильтрации флюида к вертикальной скважине с трещиной гидравлического разрыва. Проводится верификация предложенной модели. Исследуется влияние параметров пласта и трещины на производительность скважины.
Keywords: vertical well, hydraulic fracture, steady filtration of a liquid.
Numerical 2D model offluid filtration to the vertical well with hydraulic fracture is suggested. This model is verified. The influence of reservoir parameters and cracks on the well productivity is researched.
Введение
Одним из эффективных методов повышения производительности скважин является гидравлический разрыв пласта (ГРП). Гидроразрыв пласта активно применяется при разработке низкопроницаемых коллекторов, а также для интенсификации притока жидкости к скважинам с загрязненной призабойной зоной [1, 2]. Основной сложностью при численном моделировании фильтрации жидкости к скважине с трещиной ГРП является разномасштабность геометрических параметров пласта и трещины. 1. Рассматривается стационарная фильтрация жидкости в многосвязной области Бг и (рис.1,2) с
границей О0 и 01, где О0 - окружность радиуса гс:
div(kgradp) = 0, (х, y) е Dr u Df,
= 0, p|G1 = Pk.
J
kH dp , „dp
--—ds = Q,—
ц dn dr
(1) (2)
Здесь к = к (х, у) - проницаемость, ¡1 - вязкость нефти, р = р(х, у) - давление, Q - дебит скважины, рк - давление на контуре питания, Н - толщина пласта, Ь^ - полудлина трещины, - раскрытие трещины.
Рис. 1 - Схема кругового пласта со скважиной, пересеченной трещиной ГРП
Проницаемость к (х, у) является кусочно-постоянной функцией (рис.1,2): С кг,(х, у) е Бг, [кг,(х, у) е Бг, где кг и ку проницаемости пласта и трещины соответственно.
k (х, y ) = ■
Рис. 2 - Схема квадратного пласта со скважиной, пересеченной трещиной ГРП
2. Далее приводится численная 2Б модель фильтрации жидкости к вертикальной скважине с трещиной гидроразрыва в круговом пласте (рис. 1). Область решения покрывается неравномерной сеткой, которая сгущается к скважине. Построение такой сетки проводится с помощью преобразования координат и = 1пг [3].
В области О = {1п гс = ис < и < ик = 1пЯк ,0 < ф < 2л} вводится сетка узлов:
(иг, Ф} ) : иг = ис + (г - 1)ки , Ф} = А
Ф'
Uk - uc h =
, Пф N
1 v Ф
Nr -1
г = 1, мг,} = 1, N ф, ки =-
и полагается Рг,} = р(Ыг, ф} } кг,} = к(Ыг, ф} ) .
Краевая задача (1)-(2) аппроксимируется на сетке (Оь следующей разностной схемой:
1
a 1 №+!,}■ . г+ 11
1
)-a. 1 (
г, 1
■ pi-1,
h
+4 (+1 - 2 Ри + А.у-1 )= 0 кф
(3)
/ = 2, Мг -1, . = 1, N_
Рм,, = Рк, . = 0, М ф-1,
-•ф .
у=0 2,.
Здесь а 1
г±
)
Ч и'
к, . + к:_
(4)
г,} '+1,. 2
. Проницаемость в ячейках
разностной сетки вычисляется как средневзвешенное значение по занимаемым площадям [4,5]:
кг - /)+ к/ЯЛ,. Ь<
к,. =
' кг + к/М/--
О J J О
где Я,. - площадь ячейки ((,.), Ь/. - длина трещины в ячейке ((,.).
Система линейных алгебраических уравнений (3)-(4) решается стабилизированным методом бисопря-женных градиентов Б1Св81аЪ [6].
3. Рассматривается стационарная фильтрация жидкости в квадратном пласте к вертикальной скважине с трещиной ГРП (рис.2). Область решения {0 < х, у < Ак } покрывается квадратной сеткой Бк с шагом к (к >> гс) так, чтобы центр скважины совпал с узлом сетки (' у, .у): к
О =
((, У.):
.г Х = ^ + (- l)k,
У. = к + ( -1)'. = 1, Мк, к = Ак / Мк
1.011
1.01
1.009-
1.008 -
(¡Ж
40
\
60
во
Рис. 3 - Сравнение численного и аналитического решений при стационарном режиме фильтрации
( N ф= 60 )
Конечно-разностный аналог задачи в этом случае можно записать в следующем виде:
1
к2
1 (
Рг+1,. рг,. 1 " 1 VI,.
'+-,} г—, ]
2 2
. )-а. 1 (,] - Рг-1.)
(5)
1 (,] +1 - Рг,] )- а . 1 {Рг,] - Рг,1 )
вР
= 6У И, = 1,Мк - 1,
= Рк .
Здесь 5у - сеточная функция:
0 к. М У, 4 ( .
Р,.) = (у , .у), Р',. = ^, ^ '
8у=] 1
I к2
Если через ячейку (г',.) проходит трещина, то коэффициенты а 1 , а 1 вычисляются следующим
образом:
г +—,. г,.+— 2 2
у.+1/ 2
йу
■ = к
к - М/ к/М/
г+~.
у.-1/2
1/2 |
йх
к
к
к (х, у) йх
г,]+-
у.+1
2 йу
1/2 |
М/ к - М/ / 2 '
к (х, у)
Считая, что
к - № ^
= 1,
2к.
№
= 0, к--— = к, получа-
2кг 2
ем:
кг№г 1 = кг + 7, 7 , а
г+1 .
к
уД " к/ 2
■ = кг. Аналогично
определяются коэффициенты а 1 , а 1.
г—,] г,.— 22
Забойное давление Рс и дебит скважины связаны соотношением [1]:
к/№ / вр К + ~
И
2л гс
Р 'у ,. у
(6)
где Гр = 0.2к - фиктивный радиус скважины.
Вследствие симметрии конечно-разностная задача (5)-(6) решается для одной четверти квадрата. 4. Далее приводятся результаты моделирования притока жидкости к вертикальной скважине с трещиной ГРП на прямоугольной равномерной и радиальной сгущающейся сетках.
а) Рассматривается нефтяной круговой пласт, эксплуатируемый вертикальной скважиной с трещиной ГРП, со следующими данными: И = 5м, гс = 0.1м, Як = 100м, Ьг = 20м,
= 0.01м, кГ = 0.05мкм 2, к/ = 70мкм 2, р = 25мПа • с, р с = 5МПа, р к = 10МПа.
На рис.3 - результаты сравнения аналитического и численного решений в зависимости от числа узлов МГ. Здесь вс - дебит скважины, вычислен-
1
+
а
2
к
а
х
х
г+1/2
к
а
Г
к
к
а
Г
с
ный согласно конечно-разностной схеме (3)-(4), при
Q/Q0
м
заданном забойном давлении рс, Qk = 7.65
сут
дебит, вычисленный по аналитической формуле [1].
Из полученных результатов следует, что для практических целей достаточно, чтобы
40 < Мг < 60 ; численное решение задачи (3)-(4)
более чувствительно к количеству узлов по ф , чем
по г.
б) Рассматривается нефтяной квадратный пласт со стороной Ак =4лЯк, эксплуатируемый вертикальной скважиной с трещиной ГРП с аналогичными данными, что и в предыдущем примере.
В таблице приводятся результаты моделирования притока жидкости к вертикальной скважине с трещиной ГРП на прямоугольной равномерной сетке с шагом к и радиальной сгущающейся сетке (начальный шаг гс/2). Из полученных результатов следует, что на прямоугольной регулярной сетке шаг к нужно брать в пределах 0.5-1.5 м. Таблица 1 - Результаты расчетов на сгущающейся сетке
Nr x N ф 0(м3/сут)
50 x 50 7.440
55 x 55 7.491
60 x 60 7.501
Таблица 2 - Результаты расчетов на равномерной "грубой" сетке
h 0(м3/сут)
1.25 м 7.480
1 м 7.530
0.5 м 7.545
Далее исследуется влияние проводимости и длины трещины гидроразрыва на дебит скважины в пластах с различной проницаемостью, а также при наличии загрязненной призабойной зоны (положительный скин-эффект). Рассматривается нефтяной круговой пласт, эксплуатируемый вертикальной скважиной с трещиной ГРП, с теми же данными, что и в примере а) Дополнительные данные: проницаемость и радиус призабойной зоны соответственно
равны кз = 0.005мкм2, гв = 3м. Результаты расчетов на рис.4. Q0 - дебит скважины до ГРП.
3.5-
1.5-
2-
1.5
—Г" 10
Т"
20
~I 30
40
so
Рис. 4 - Низкопроницаемый пласт (Аг=0.005 мкм )
Как следует из полученных результатов, для низкопроницаемых пластов существует предельное значение длины трещины, превышение которой не дает существенного прироста дебита. Для интенсификации притока жидкости к скважине с загрязненной призабойной зоной достаточно создания трещины, длина которой в несколько раз превышает радиус призабойной зоны.
Литература
1. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Каневская Р.Д., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. - 2006. - 488 с.
2. Желтов Ю.П. Деформации горных пород. - М.: Недра. -1966. - 199с.
3. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. - М.: Недра. - 1982. - 407 с.
4. Бадертдинова Е.Р., Харлампиди Х.Э., Салимьянов И.Т. Определение фильтрационно-емкостных параметров пласта и трещины гидравлического разрыва полученной на основе технологии с использованием проппанта с полимерным покрытием // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. - №2. - С.71 - 79.
5. Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е., Абдул-лин А.И., Гадильшина В.Р., Салимьянов И.Т. Численное решение прямых и обратных задач тепломассопереноса в нефтяных пластах // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - №24. - С.125 -128.
6. Saad Y., Iterative methods for sparse linear systems. -PWS Publishing, Boston. - 2000. - 447 p.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект №14-05-00861а).
© М. Х. Хайруллин - д.т.н., профессор, зав. лаб. подземной гидродинамики ИММ КазНЦ РАН, khairullin@mail.knc.ru, М. Н. Шамсиев - д.т.н., в.н.с. той же лаборатории, m khairullin @yandex.ru, Е. Р. Бадертдинова - к.т.н., доцент кафедры ИПМ КНИТУ, badertdinova@yandex.ru; И. Т. Салимьянов - к.т.н., доцент той же кафедры, inisal@yandex.ru; В. Р. Гадильшина - н.с. лаб. подземной гидродинамики ИММ КазНЦ РАН, venera_gadilshina@mail.ru.
© M. Kh. Khairullin, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head. Lab. UHD IME KazSC RAS, khairullin@mail.knc.ru, M. N. Shamsiev, Doctor of Technical Sciences, leading researcher Lab. UHD IME KazSC RAS, mshamsiev@yandex.ru, E. R. Badertdinova, - Candidate of Engineering Sciences., Associate Professor of chair. IAM KNRTU, badertdinova@yandex.ru, 1 T. Salimyanov, Candidate of Engineering Sciences., Associate Professor of chair. IAM KNRTU, inisal@yandex.ru; V. R. Gadilshina, research associate IME KazSC RAS, venera_gadilshina@mail.ru.
