Определение фильтрационно-емкостных параметров пласта и трещины гидравлического разрыва, полученной на основе технологии с использованием проппанта с полимерным покрытием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ НЕФТЕДОБЫЧИ, НЕФТЕХИМИИ, НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ И ПРИМЕНЕНИЯ НЕФТЕПРОДУКТОВ

УДК 517.958

Е. Р. Бадертдинова, Х. Э. Харлампиди, И. Т. Салимьянов ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННО-ЕМКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПЛАСТА И ТРЕЩИНЫ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРЫВА, ПОЛУЧЕННОЙ НА ОСНОВЕ ТЕХНОЛОГИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОППАНТА С ПОЛИМЕРНЫМ ПОКРЫТИЕМ

Ключевые слова: трещина гидравлического разрыва пласта, кривая восстановления давления, коэффициентная обратная задача, фильтрационно-емкостные параметры.

В статье рассматривается задача о гидродинамическом взаимодействии пласта и трещины гидравлического разрыва. Предлагается вычислительный алгоритм определения фильтрационных параметров пласта и трещины. В качестве исходной информации для решения коэффициентной обратной задачи используются результаты нестационарных гидродинамических исследований вертикальных скважин.

Key words: hydraulic fracture, build up pressure, coefficient inverse problem, filtration and

capacitive parameters.

In this paper problem of hydrodynamic interaction between the reservoir and the fracture is presented. A computational algorithm for estimation reservoir and fracture parameters is proposed. As the input data for solving inverse problem the results of welltest are used.

Введение

Одним из эффективных средств повышения производительности скважин является гидравлический разрыв пласта (ГРП), представляющий собой механический метод воздействия на продуктивный пласт. Под действием жидкости разрыва, которую закачивают в скважину под большим давлением в пласте образуется трещина. Чтобы после снятия избыточного давления трещина ГРП не сомкнулась обратно, ее заполняют твердым гранулярным материалом - проппантом. В результате образуется новый канал для поступления пластовой жидкости в скважину [1].

В данной работе рассматривается нестационарная фильтрация слабосжимаемой жидкости в пласте, который эксплуатируется скважиной, пересеченной симметричной вертикальной трещиной. Для моделирования гидродинамического взаимодействия пласт-трещина предлагаются два подхода. В основе первого подхода лежит использование равномерной «грубой» сетки; второй подход связан с применением неравномерной сетки, сгущающейся к скважине. Для оценки параметров пласта и трещины ГРП используются кривые восстановления давления (КВД).

Моделирование трещины ГРП на равномерной «грубой» сетке

В данном пункте численно моделируется гидродинамическое взаимодействие пласта и трещины на «грубой» сетке. Скважина аппроксимируется по методу Г.Г. Вахитова [2].

Предполагается, что квадратный нефтяной пласт со стороной 1_ имеет постоянную толщину Н. Трещина полудлиной 1^ и раскрытием w имеет проницаемость кг. Высота трещины равна толщине пласта. Задача нестационарной фильтрации нефти в рассматриваемом неоднородном пласте формулируется следующим образом:

в* О- = сЛуГ- Ур 1,0 < 1 < Т, (х, у) е й ;

(1)

с начальным

р(х,у,0)= ф(х, у)

и граничными условиями:

кн Ф _ () ар

(2)

^ 0= °< = Рк- (3)

01 1

*

Здесь Р - упругоемкость пласта, д - вязкость жидкости, 0(1) - дебит скважины, Рк -

контурное давление, й = {(х,у):0 < х,у < 1_}, 0° - внешняя граница, О1 - окружность радиуса Гс, к(х,у) - кусочно-постоянная функция: к(х,у) = kf,(x,y) е Df и

к(х,у) = кг,(х, у) е D\Df, где Df - область трещины гидроразрыва, кг - проницаемость пласта.

Задача (1)-(3) решается методом конечных разностей. Область фильтрации Б покрывается равномерной квадратной сеткой Dh = {х|,у]): х| = |И, yj = ]И;|, ] = 0,ы} с шагом И =0.5^2м так, чтобы центр скважины совпал с узлом сетки (|у,jу). Для построения

разностной схемы, аппроксимирующей систему (1)-(3), используется интегро-интерполяционный метод [3]. Конечно-разностный аналог краевой задачи (1)-(3) имеет вид:

1

,п+1 „п+1

« ■ 1 VР|.j+1 - Р|.j М.. 1Ры - Рп-

п +1 п +1

|.j

I, ] = 1,М -1, п = 1,МТ- 1,ч" =

п _ 0(1п)

Н

Р0 = Фи

Рпj = Рк,

0,(|,]) * (|у ,]у ),

1 2

П

у,}у. ,(И) = (|у ,] у )

'и-1

Рп+1 - Рп.

О* М И _ £ ...п+1 Р д ОуЧ ,

1 т+1

2

п

1

2

п

Здесь рП = p(xj,yj;tn). Если через ячейку (у) проходит трещина, то

коэффициенты а 1 , а 1 вычисляются следующим образом: j+—j i,j+—

2 2

у,+1„ у;-ш/2 у;+ш/2 у | +1/2

г Ьу г йу г Ьу г Ьу . И - w к^

а 1 = 1 —--------------= I -ц^+ I -г^+ I тгг = кг-----+ —1—,

j+1,1 * х.+1 нх .. 1о И/ .. Lo И/ Г И И

2 у,-1/2 I dx у,-1/2 /кг у,-w/2/kf у] + w/2/7kr

х к(х,у)

х .х +1/2 ^У2 с1х Ч Ьх

а. ■ 1 = I

1,14— ■> у, +1 1 w/ И - w/ ,Л, И - w/

2 х-,/2 1 Су х, -1/2^ +И /2 ^ +И ^

* I / \ kf кг 2^ кг

у к(х,у) f г f г

Ч

И - w . w о и w .

Cчитaя, что---------------------------------= 1,-= и, п-= п, получим:

И 2kf 2

. kfw И

а 1 . = кг + -^а.. 1 = = кг-

j+—,, И j,j+— п/

2 2 /кг

Аналогично вычисляются коэффициенты а 1 , а 1.

i—,j —

2 2

Моделирование трещины ГРП на сгущающейся сетке

Задача нестационарной фильтрации нефти в круговом пласте к скважине, пересеченной вертикальной трещиной, в полярной системе координат описывается дифференциальным уравнением

в

Ф = 1 к (г, Ф) г ф^ +1 к(г, Ф) ф^ (4)

д г дг ^ ^ дг J г2 дф ^ д дф

0 < t < Т, гс < г < К- ,0 < ф < 2л:; с начальным: р(г, Ф,0) = ф(г, ф) и граничными условиями:

2л"- др' * =ОЙ*

гсН дф

г=г с

д дг

г=г с

р(Кк, ф,0 = Рк

(5)

(6) (7)

Для численного решения задачи (4)-(7) применяется метод конечных разностей. Область решения покрывается неравномерной сеткой, которая сгущается к скважине.

Построение такой сетки проводится с помощью преобразования координат и = ІПГ [1]. В области О = {ІПГС = ис < и < = ІпКк,0 < ф < 2л:,0 < 1 < Т} вводятся сетки узлов:

wh = ](и|,ф)): иі = ио + ihu,Ф) = ^ф,і = 1,Иг,І = гыф,Ии = ^ ^ф = ^2л

ф

wх = 11 п,0 = 1і <... < = Т,1п _ ^_1 =Тп кПолагаем, что рП = р(иі,фі, 1п)

Краевая задача (4)-(7) запишется следующим образом:

„п „п-1

* 2иі Р|Г_Р|]_

в е

кг

^ф

х

П

аі+г і(рП+и _рЩ)_аі_г і(рпі _рп-і,і)

+

(+, _ 2рП + рЩ-і) і=2. Ыи _ г і=г Ыф, п=і, мт _ г

(8)

N

р0 =. х а (рП рП ) ф = дО(1п ) рП = р

рі) =Фі), Xа1ІГ2) р1)^ = н ,рЫ) = рк. і=і 2і hu п

(9)

2кмк|+1;

Коэффициенты а 1 определяются следующим образом: а 1 =-------—.

1 ± ^ 1+кУ + к1 ±и

Проницаемости к у вычисляются как средневзвешенные по площадям, занимаемым

трещиной и пластом в ячейке (і, і): кі) =

кГ

Эу _ Э1\.

Л

+

і)

Э)

расчетной ячейки, Эг - площадь трещины в расчетной ячейке.

і)

, где Э і) - площадь

Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин

Одним из основных методов, позволяющих получить оценку качества проведения ГРП, являются нестационарные гидродинамические исследования скважин.

Ниже предлагается вычислительный алгоритм оценки фильтрационно-емкостных параметров пласта и трещины гидравлического разрыва. Параметры

Lf,kfW,P*,Pk (а = (, а 2, а 3, а 4 ))>т I < а| < М|,1 — 1,4 определяются из минимума функционала:

р(а)—Е(Р(го,11 )-#1)2, (10)

п=1

когда процесс нестационарной фильтрации описывается уравнением (4) с соответствующими начальным и граничными условиями (5)-(7). Здесь ) и Р(гО,*| ) -наблюдаемая и вычисленная кривые восстановления забойных давлений на скважине; т|,М| - известные величины.

і

Итерационная последовательность для минимизации функционала-невязки (10) строится на основе метода Левенберга-Марквардта. Новые значения переменных

k+1

1-1

минимизации на к-ой итерации вычисляются по формуле: а = а - Н + уБ^ VF,, где

Hk - приближенная матрица вторых производных, Нк = АТА, {Д}= | - матрица

чувствительности, у - параметр Марквардта, Б - единичная матрица, VF - градиент функционала-невязки, ^ = (р(гс,^)-у(^))2 .

Критерием остановки ите

из условий:

Б

(ак+1)-г(ак )

<81,

рационного процесса служит выполнение хотя бы одного

<8

а к+1 -ак

где 81 и в 2 - заданные положительные числа.

Результаты численных экспериментов

Рассматривается модельный нефтяной круговой пласт со скважиной, пересеченной трещиной ГРП, со следующими параметрами: Н=5 м; Р|< =200 м; кг =

д =25 мПа • с ; 0=3м3/сут;

0.05 мкм2; ге=0.1м; Ьг=50м; w=0.005м; р* = 3 • 10-4МПа-1;

Рк =10МПа.

В работе Н. Стсо-Ьеу [4] представлена математическая модель нестационарной фильтрации жидкости в неограниченном по простиранию пласте, содержащем скважину с вертикальной трещиной гидроразрыва конечной проводимости. Полуаналитическое решение основано на разделении трещины ГРП на конечное число сегментов. В каждом сегменте трещины предполагается равномерный приток, но распределение всего притока к трещине неизвестно и определяется в процессе решения задачи.

На рис. 1 и 2 приводятся результаты расчетов, проведенных с помощью предложенных выше подходов и модели Н. Стсо-Ьеу [4] - полученные кривые падения давления хорошо согласуются.

Рис. 1 - Изменение давления р после пуска скважины: 1 - (■) численное

решение (круговой пласт),

1ЧГ = 60, Ыф = 60; 2 - (А) численное

решение (квадратный пласт), И=1м; 3 -(—) полуаналитическое решение

Рис. 2 - Кривые изменения давлений и их производные: 1 - (—) численное решение (круговой пласт); 2 - (- - -) полуаналитическое решение Н. Стео-Ьеу

Далее проводится тестирование предложенного вычислительного алгоритма решения коэффициентной обратной задачи на модельном примере. На рис. 3 величина cal / mod

a,j / a j - отношение вычисленных значений параметров к модельным на каждой итерации. Для проверки устойчивости предложенного алгоритма в исходные данные y(tj) вводились случайным образом погрешности в пределах ±0.5 атм.

Рис. 3- Сходимость вычислительного алгоритма на модельной обратной задаче

На рис. 4 приводятся результаты интерпретации гидродинамических исследований скважины №6406 РТ (табл. 1). В расчетах использовались следующие данные по пласту и скважине: Н=2.8м, К|< =150м, кг=0.012 мкм2, Гс=0.1м, |д=3.9мПа'с, 0=8.3м3/сут.

Рис. 4 - Измеренная (1) и вычисленная (2) КВД по скважине №6406

Параметры Вычисленные значения

Lf (м) 60

kfW (мкм -м) 50.2

Р* (атм-1) 7.8'10"6

Pk (атм) 150.4

Результаты численных экспериментов показали, что предложенный в работе вычислительный алгоритм устойчив относительно погрешностей входной информации и позволяет оценить фильтрационно-емкостные параметры пласта и трещины ГРП.

Литература

1. Басниев, К.С. Подземная гидромеханика / К.С. Басниев и др.- М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. - 488 с.

2. Вахитов, Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов методом конечных разностей / Г.Г. Вахитов. - М.: Гостоптехиздат, 1963. - 216 с.

3. Самарский, А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.:Наука,1989.-432с.

4. Cinco-Ley, H. Transient pressure behavior for a well with a finite-conductivity vertical fracture / H. Cinco-Ley, V.F. Samaniego, A.N. Dominguez // SPE. J. - 1978. - V.18. - №4. - Р. 253-264.

© Е. Р. Бадертдинова - канд. техн. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КГТУ, badertdinova@yandex.ru; Х. Э. Харлампиди - д-р хим. наук, проф., зав. каф. общей химической технологии КГТУ, kharlampidi@kstu.ru; И. Т. Салимьянов - асп. той же кафедры, inisal@yandex.ru.