Граничные условия для задачи фильтрации жидкости при наличии несплошности нефтяного пласта Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 532.546

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ НЕСПЛОШНОСТИ НЕФТЯНОГО ПЛАСТА

© Е. В. Андриянова*, В. И. Астафьев

Самарский государственный технический университет Россия, 463100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Тел.: +7 (927) 008 71 14.

*ЕтаИ: andriyanovaev@inbox.ru

Исходя из того, что большая часть современных месторождений находится на позднем этапе разработки, появляется необходимость вовлечения в добычу трудноизвлекаемых запасов, разработка которых возможна только с применением методов увеличения нефтеотдачи. Так, например, многие низкопроницаемые пласты или вовсе непроницаемые глинистые сланцы разрабатываются с применением массового гидраразрыва пласта. Кроме того, как показывают многие современные исследования, большая часть месторождений осложнена разломами различной проницаемости. Данные разрывные нарушения оказывают существенное влияние на разработку месторождений и на работу конкретных скважин. В данной статье рассмотрен вопрос о граничных условиях задачи о фильтрации жидкости в пласте, осложненном несплошностью по проницаемости. Данная несплошность представляет собой узкую протяженную область, которая может быть как технологической трещиной ГРП, так и тектоническим разрывным нарушением.

Ключевые слова: фильтрация жидкости, закон Дарси, гидроразрыв пласта.

Введение

Эффективная разработка нефтяных и газовых месторождений представляет собой сложную задачу, в особенности в условиях низкой цены на нефть и истощающихся запасов. В наши дни все чаще вовлекаются в добычу трудноизвлекаемые углеводороды, разработка которых требует применение сложнейших технологий и современных исследований. Поэтому перед инженерами остро стоит задача быстрой оценки и подбора наиболее подходящей системы разработки и технологии закачивания скважин.

Одним из самых эффективных методов увеличения нефтеотдачи является гидравлический разрыв пласта (ГРП) [1]. Многие исследователи занимаются моделированием течения жидкости при наличии трещин ГРП в пласте [2-8]. В случае ГРП, как правило, рассматривается трещина, которая симметрично проходит через центр скважины.

Однако современные геофизические исследования позволяют получить более детальное представление о тектоническом строении месторождений, в результате чего можно увидеть, что большинство месторождений пересечены разломами и разрывными нарушениями различной геометрии. Появляется необходимость моделирования влияния данных несплошностей проницаемого пласта на добычу конкретной скважины и на работу всего месторождения. Следовательно, значительно усложняется постановка задачи о фильтрации жидкости к скважине, так как необходимо учитывать не только разные случаи взаимного расположения трещины и скважин, но также и разные значения величины проницаемости трещины.

В настоящей работе рассмотрен вывод граничных условий, позволяющих моделировать процесс

фильтрации жидкости при наличии неспошности нефтяного пласта. Данная несплошность представляют собой узкую протяженную область, отличную по проницаемости от основного пласта, которая может быть как тектоническим нарушением, так и технологической трещиной ГРП. В работах [9-14] были рассмотрены решения ряда краевых задач теории фильтрации жидкости к добывающим скважинам при наличии несплошности в нефтяном пласте. Были найдены формулы для потенциала течения как в случае одной скважины (добывающей), так и в случае двух скважин (добывающей и нагнетательной), т.е. элемента системы заводнения. Данные решения позволили учесть не только все возможные значения проводимости трещины на характер процесса фильтрации, но и симметричность или несимметричность постановки задачи, т.е. величину различия давлений на верхнем и нижнем берегах разреза. Однако вывод дополнительных граничных условий на такого рода несплошностях в работах [914] отсутствовал, чему и посвящена данная работа.

Вывод граничных условий

Рассмотрим плоскую задачу теории фильтрации однородной жидкости при наличии несплошности нефтяного пласта. В случае, когда данная несплошность является трещиной ГРП [1-4], высоко-проводимая область трещины ГРП представлялась в виде конфокального эллипса, который отображался с помощью функции Жуковского на внешность единичного круга.

В данной работе несплошность нефтяного пласта представим как некоторую линию разрыва АВ на плоскости (рис. 1), «толщина» которой Уравнение данной кривой будет иметь вид:

х = х(Б),

Г

(у =

У = у(^);

=> г (Б) = Х(Б) + ¿у(5).

(1)

Рис. 1. Линия разрыва АВ.

Пусть пласт имеет постоянную проницаемость к и давление р(х,у). Предположим, что к/ и р/ - соответствующие значения проницаемости и давления в трещине.

Пусть движение жидкости в трещине и в пласте подчиняется линейному закону Дарси. Тогда вектор скорости фильтрации в пласте в декартовой системе координат у^х, Vy) будет иметь вид:

к др

х у.дх

к д р

V =---—.

У у.ду'

(2)

Аналогично, вектор скорости фильтрации в трещине в криволинейной системе координат, связанной с трещиной (^ п) будет иметь вид:

^(5) = -11дЖ.^(5) = -11дЖ. (3)

V пК ' V дп 1/

Далее, условие несжимаемости жидкости в пласте и в трещине можно записать как

дУх | дух _ ф

дх

д У

dvt (s) + dv£(s) = 0 dt дп '

(4)

(5)

Уравнения (2)—(5) необходимо дополнить условием непрерывности решения на границе «пласт-трещина», т.е. условием непрерывности давления и нормальной компоненты скорости:

( л. д(8Л

Рг[5'±—) =

= р (Х(Б) ±^)5та,у(з) ±^)соз а*),

(6)

= Vп (х00 ±^зта,у(5) ±^со5а). Усредним по толщине трещины д(&) условие несжимаемости (5), то есть проинтегрируем это уравнение по толщине:

+vf (s,

(7)

Учитывая, что

ds '

S(s) 2

S(s) 2

tJ S(S)V1 (s,n)dn =

— i

J

(s.-'-f)^. 8

Уравнение (7) можно переписать в следующем

виде:

-( vi

ù fis) dn==dTs ¿h. vft(5, n)dn -

-, \ / -

S(S) 2

,

ô(s)

- V ( s, -

S(s)\\ S'(s)

f ( = vf

vf(s,-s-m-vf(s,s-^\

(9)

2 ) п V 2 )'

Обозначим суммарный поток жидкости вдоль трещины через q(s):

ад 2

2

В результате получим следующее уравнение:

q(s) = ¿ ¿(S)vf (s, n)dn.

(10)

dg(s) d

+

K^-v/^)^]- (11)

—

Учитывая, что vj и vf - это проекции вектора

vf в точке Р на линии L на векторы п и t, а в соотношениях (11) значения этих проекций записаны на линиях L1 и L2 (рис. 2), отстоящих от линии L по нормали на расстояние ±5 (s )/2, уравнения линий L1 и L2 будут следующие:

5 (s)

^(s) = x(s) +—— sin а ,

I rï rï 5(5) [У1ОО = y(s)--— cos а ;

5(s)

1 x2 (s) = x(s)--— sin а ,

5(s)

^00 = y(s) + ^-cosa.

Рис. 2. Положение линий L, Ll, Ь2.

Учитывая, что нормальные составляющие вектора скорости вдоль трещины выглядят следующим образом:

vUPl) = vl(s,^)-ví(s,S-fУ-f-, (12)

(13)

Подставив выражения (12)-(13) в уравнение (11), получаем следующее уравнение:

2

2

2

f

+v[(Pl)-vUP2) = 0.

"п (Р1) - "п (г2) = 0. (14)

Аналогичным образом, усредняя по толщине трещины д(&) уравнения Дарси (2)—(3), получим:

p¿vf{s,n) + k^)dn =

kLf^^lL^-

ц ds

dn = 0,

(15)

f2s_(v[{s,n)+k;dii)dn = 2 Ц

= (5,п)ап + Щр^РЛ - рг(Р2)) = о. (16) 2 ^ Таким образом, уравнение неразрывности (14) и уравнения Дарси в трещине (15)—(16) приобретают следующий вид:

dq(S) + vRPi)-vl(P2) = 0,

ds

q(s) = -kk^d(Pf(Pi) + PfP)).

2 ц ds

S(s) 2

(vf(Pi) + Vf(P2)) = = -^(pf(Pl)-Pf(P2)).

(17)

Если учесть условия непрерывности течения на границе «пласт-трещина», то есть, что в точках Р1 и Р2 выполняется УП[(Р1,2) = Уп(Р1,2) и р(Р1,2)=р(Р1,2), то получим следующую систему уравнений:

dq(s) d

+ vn(Pi) - vn(P2) = 0,

q(s) = -kk^dÁP(Pi) + P(P2)).

S(s) 2

2 ц ds

(vn(Pi) + vn(P2)) =

—k-(p(Pi)-P(P2)).

(18)

Устремив Р±-> Р+ и Р2-> Р-, получаем следующие дополнительные граничные условия на линии разрыва Ь:

' ач()- + уП1(з)-УП-(з) = 0,

d

q(s) = -kk^í(p+(s) + p-(s)),

2ц ds

sM(v+

2

= -kL(p+(s)-p-(s)).

S-f(v¿(s) + v-(s)) =

(19)

где д(&) - суммарный поток жидкости вдоль трещины, у() и р(&) - скорость притока жидкости из пласта в трещину через верхний и нижний берега разреза и давление на верхнем и нижнем береге разреза, отраженные, соответственно, знаками + и -.

Допустим, скважина расположена в точке 20, дебит скважины Q, радиус контура питания Яс и радиус скважины г». Обозначим комплексный потенциал течения для несжимаемой жидкости в области пласта через р(г). Тогда:

Р(х,у)=Яе ф(2),

Vn(P) = — -Im q'(z(s)) = —k Im^

ц ц ds

k d ц d

1т ф(х($)).

В этом случае уравнения (17) в трещине будут выглядеть следующим образом:

dqis) kd , + -л

-=--Im (ф+ — ф ),

d ц d

q(s) = —k-rd-s«e(*+ + *-)-

k -(s) d , +

--— Im (ф+ + ф ) =

ц2 d k

= —-Re (ф+ — ф-).

(20)

Из системы (20) мы получаем два уравнения

для ф+ и ф :

\Im(cp+ — Ф ) = —k--^YsRe (ф+ + ф

k -(s) d Im (ф+ + ф-) = Re (ф+ — ф-).

(21)

k-2 d

Осесимметричный относительно оси ОХ случай трещины (-l,l) был рассмотрен в работе [15]. В этом случае, при условии, что Re ф+ = Re ф- и 1т ф+ = —1т ф-, краевая задача (21) примет вид:

1т ф = — Fcd Jl — $2Re ф', (22) где £=x/l - безразмерная координата вдоль трещины, Fcü=kjdo/2kl - безразмерный коэффициент проводимости трещины.

Нессиметричные случаи были рассмотрены в работах [9-14], где благодаря использованию новых граничных условий (21) удалось найти выражения для потенциалов течения жидкости в пласте с несплошностью различной проводимости, построить линии тока, найти скин-фактор скважины с трещиной ГРП и иные характеристики таких задач.

Заключение

В данной статье подробно рассмотрен вывод граничных условий для задачи фильтрации однородной несжимаемой жидкости в пласте, осложненном узкой протяженной неоднородностью по проницаемости. Граничные условия могут быть использованы для трещин различной проводимости, например, для трещин гидроразрыва пласта, для высокопроницаемых каверн или непроницаемых завес. Так же полученные формулы позволяют решать задачи о фильтрации для всевозможных расположений несплошности и скважины.

Благодарности

Данная работа выполнена при поддержке гранта Российского Научного Фонда (Проект №1517-00019).

ЛИТЕРАТУРА

1. Экономидес М., Олайни Р., Валько П. Унифицированный дизайн гидроразрыва пласта. Наведение мостов между теорией и практикой. - М.: Петроальянс, 2004. - 306 с.

2. Prats M. Effect of vertical fractures on reservoir behaviour -incompressible fluid case // SPE Journal. - June 1961. - P. 103118.

3. Каневская Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. - М.: Недра, 1999. - 212 с.

4. Kanevskaya R. D., Andriasov A. R., Garipova A. A. Fracturing optimization for multi-well system // ECMOR IX - Proc. 9th European Conf. on the Mathematics of Oil Recovery. Cannes, France. - 2004.

V

5. Вахитова Г. Р., Галин Н. Н., Гумерова А. С. Анализ заводнения продуктивных пластов при наличии пространственной неоднородности // C6. научных трудов SWORLD по материалам международной научно-практической конференции. - 2011. - Т. 13, вып. 2. - С. 80-90.

6. Байков В. А., Жданов Р. М., Муллагалиев Т. И., Усманов Т. С. Выбор оптимальной системы разработки для месторождений с низкопроницаемыми коллекторами // Электронный журнал «Нефтегазовое дело». - 2011. - №11. - С. 84-98.

7. Хасанов М. М., Мельчаева О. Ю., Ситников А. Н., Рощек-таев А. П. Динамика добычи из скважин с гидроразрывом пласта в экономически правильных системах разработки // Нефтяное хозяйство. - 2013. - .№13. - С. 36-39.

8. Гильмиев Д. Р., Шабаров А. Б. Эффективность гидроразрыва пласта при рядной системе расстановки скважин // Вестник ТюмГУ. - 2013. - №7. - С. 54-63.

9. Астафьев В. И., Андриянова Е. В. Влияние неоднородности пласта по проницаемости на фильтрационное течение пластовой жидкости к добывающим скважинам // Вестник СамГТУ. Серия: Тех. науки. - 2015. - №3 (47). - С. 154161.

10. Astafiev V. I., Andriyanova E. V. Modeling of the fluid flow to the production well in the presence of discontinuities in the reservoir // Proc. 11th Int. Conf. on Fluid Mechanics. Fluids, Heat

and Mass Transfer, Mechanical and Civil Engineering. Budapest, Hungary. - 2015. - P. 65-68.

11. Astafiev V. I., Andriyanova E. V. Influence of reservoir's discontinuities on the process of oil filtration to the production well // Proc. Fourth Int. Geoscience Conf. Deep Subsoil and Science Horizons. Tyumen, Russia. - 2015. DOI: 10.3997/22144609.201412034.

12. Astafiev V. I., Andriyanova E. V. The influence ofthe reservoir discontinuities on fluid filtration to the production well // WSEAS Trans. on Fluid Mechanics. - 2015. - Vol. 11 (2). - P. 10-17.

13. Andriyanova E. V. The influence of discontinuities in the reservoir on well productivity // Proc. 78th EAGE Conference and Exhibition - Student Programme. Vienna, Austria. - 2016. DOI: 10.3997/2214-4609.201601621.

14. Andriyanova E. V., Astafev V. I., Kasatkin A. E. Modeling of the waterflooding process in the presence of discontinuities in the reservoir // ECMOR XV - Proc. 15 th European Conf. on the Mathematics of Oil Recovery. Amsterdam, the Netherlands. -2016. Volume 2 - P. 980-992. DOI: 10.3997/22144609.201601797.

15. Астафьев В. И., Федорченко Г. Д. Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины гидравлического разрыва пласта // Вестник СамГТУ. Серия: Физ. -мат. науки. -2007. - №2 (15). - С. 128-132.

Поступила в редакцию 05.12.2016 г.

32

MATEMATHKA h MEXAHHKA

BOUNDARY CONDITIONS FOR FILTRATION PROBLEM WITH DISCONTINUITY IN OIL RESERVOIR

© E. V. Andriyanova*, V. I. Astafev

Samara State Technical University 244 Molodogvardeiskaya Street, 443100 Samara, Russia.

Phone: +7 (927) 008 71 14.

*Email: andriyanovaev@inbox.ru

The effective oil and gas field development is a complicated problem especially in conditions of low oil price and depleted reservoirs. Nowadays, it is frequently required to produce hard-to-extract oil, which requires application of complicated enhance oil recovery methods and modern geophysical researches. Therefore, for engineers, there is an acute problem of fast evaluation and selection of a suitable production system and a well completion. Based on the fact that most of oil fields are on the late stage of field development, it becomes necessary to produce hard-to-extract oil, which can be obtained only by use of enhanced oil recovery methods. One of the most effective enhance of oil recovery techniques is hydraulic fracturing. For example, many low permeable or shale formations can be developed only by application of massive hydraulic fracturing technique. Many scientists are involved into the modeling of fluid flow in the well with hydraulic fracturing. However, the highly permeable fracture is generally considered to cross the well symmetrically, while modern geophysical studies show that most of oil bearing formations have complicated formations and various tectonic faults of different shape and permeability. These discontinuities exert essential influence on the field development process and on the well performance. In this article, the derivation of the boundary conditions is shown. Such boundary conditions allow us to model the fluid filtration process in the reservoir with discontinuities. The given discontinuity represents thin area with different permeability in comparison with the rock and it can be the tectonic fault or hydraulic fracture. In previous works, the number of solutions of boundary value problems of the theory of fluid flow in the producing wells in the presence of discontinuities in the oil reservoir were considered. The equations for the flow potential were defined both for the case of a single well (production) and for the case of two wells (production and injection), i.e. the element of water-flooding system. The solutions not only give all possible values of fracture conductivity but also reveal the symmetry or asymmetry of the problem statement, that is the value of the difference of pressures on the upper and lower banks of the cut. However, the derivation of additional boundary conditions for this kind of discontinuity in previous works was absent, which this work is devoted to.

Keywords: fluid flow, filtration, boundary conditions, hydraulic fracturing, impermeable boundary, Darcy flow.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Ekonomides M., Olaini R., Val'ko P. Unifitsirovannyi dizain gidrorazryva plasta. Navedenie mostov mezhdu teoriei i praktikoi [Unified fracture design: bridging the gap between theory and practice]. - Moscow: Petroal'yans, 2004. -

2. Prats M. SPE Journal. - June 1961. - Pp. 103-118.

3. Kanevskaya R. D. Matematicheskoe modelirovanie razrabotki mestorozhdenii nefi i gaza s primeneniem gidravlicheskogo razryva plasta [Mathematical modeling of oil and gas extraction using hydraulic fracturing]. - Moscow: Nedra, 1999. -

4. Kanevskaya R. D., Andriasov A. R., Garipova A. A. ECMOR IX - Proc. 9th European Conf. on the Mathematics of Oil Recovery. Cannes, France. - 2004.

5. Vakhitova G. R., Galin N. N., Gumerova A. S. Cb. nauchnykh trudov SWORLD po materialam mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii. - 2011. - T. 13, vyp. 2. - Pp. 80-90.

6. Baikov V. A., Zhdanov R. M., Mullagaliev T. I., Usmanov T. S. Elektronnyi zhurnal «Neftegazovoe delo». - 2011. - No. 11. -Pp. 84-98.

7. Khasanov M. M., Mel'chaeva O. Yu., Sitnikov A. N., Roshchektaev A. P. Neftyanoe khozyaistvo. - 2013. - No. 13. - Pp. 36-39.

8. Gil'miev D. R., Shabarov A. B. Vestnik TyumGU. - 2013. - No. 7. - Pp. 54-63.

9. Astafev V. I., Andriyanova E. V. Vestnik SamGTU. Seriya: Tekh. nauki. - 2015. - No. 3 (47). - Pp. 154-161.

10. Astafiev V. I., Andriyanova E. V. Proc. 11th Int. Conf. on Fluid Mechanics. Fluids, Heat and Mass Transfer, Mechanical and Civil Engineering. Budapest, Hungary. - 2015. - Pp. 65-68.

ISSN 1998-4812

BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2017. T. 22. №1

33

11. Astafiev V. I., Andriyanova E. V. Proc. Fourth Int. Geoscience Conf. Deep Subsoil and Science Horizons. Tyumen, Russia. - 2015. DOI: 10.3997/2214-4609.201412034.

12. Astafiev V. I., Andriyanova E. V. WSEAS Trans. on Fluid Mechanics. - 2015. - Vol. 11 (2). - Pp. 10-17.

13. Andriyanova E. V. Proc. 78th EAGE Conference and Exhibition - Student Programme. Vienna, Austria. - 2016. DOI: 10.3997/22144609.201601621.

14. Andriyanova E. V., Astafev V. I., Kasatkin A. E. ECMOR XV - Proc. 15th European Conf. on the Mathematics of Oil Recovery. Amsterdam, the Netherlands. - 2016. Volume 2 - Pp. 980-992. DOI: 10.3997/2214-4609.201601797.

15. Astafev V. I., Fedorchenko G. D. Vestnik SamGTU. Seriya: Fiz.-mat. nauki. - 2007. - No. 2 (15). - Pp. 128-132.

Received 05.12.2016.