Автомодельное решение задачи о разитии трещины гидроразрыва пласта Текст научной статьи по специальности «Математика»

34 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №4(54).

УДК 539.3

АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗИТИИ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА ПЛАСТА

© 2007 В.И. Астафьев, Г.Д. Федорченко1

В работе представлено автомодельное решение задачи о развитии трещины гидроразрыва пласта (ГРП). Предполагается, что трещина ГРП ориентирована вертикально и исследование процесса ее развития можно провести в рамках связанной плоской задачи теории гидродинамики (течение вязких жидкостей) и линейной теории упругости (движение квазихрупких трещин). Найдены условия существования автомодельного решения, представлены зависимости характера изменения формы трещины ГРП, дебита закачиваемой в нее жидкости и давления в создаваемой трещине ГРП.

Введение

Гидравлический разрыв пласта (ГРП) представляет собой механический метод воздействия на продуктивный пласт, состоящий в том, что он разрывается по плоскостям минимальной прочности под действием избыточного давления, создаваемого закачкой в скважину жидкости разрыва с расходом, который скважина не успевает поглощать. После разрыва под воздействием давления жидкости образовавшаяся трещина увеличивается, в развивающуюся трещину жидкостью разрыва транспортируется зернистый материал (проппант), закрепляющий берега трещины в раскрытом состоянии после снятия избыточного давления.

В результате ГРП многократно повышается дебит добывающих скважин, повышается конечная нефтеотдача скважины за счет приобщения к выработке слабодренируемых зон.

Метод ГРП имеет множество технологических решений, обусловленных особенностями конкретного объекта обработки и достигаемой целью. Технологии ГРП различаются, прежде всего, по объемам закачки жидкостей разрыва и проппантов и, соответственно, по размерам создаваемым трещин.

1 Владимир Иванович Астафьев, Геннадий Дмитриевич Федорченко, кафедра безопасности информационных систем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Технология применения гидроразрыва в первую очередь основана на знании механизма возникновения и распространения трещин в горных породах, что позволяет прогнозировать геометрию трещины и оптимизировать ее параметры. Математическое моделирование процесса трещинообразова-ния базируется на фундаментальных законах теории упругости, физики нефтегазоносных пластов, фильтрации, термодинамики. Первую теоретическую модель распространения двумерной трещины, получившую всеобщее признание, предложили С.А.Христианович и Ю.П.Желтов [1] (рис. 1). В данной модели высота вертикальной трещины постоянна и принимается за единицу.

1. Постановка задачи

Процесс развития трещины ГРП описывается двумя группами уравнений, связанными как с описанием движения вязкой жидкости разрыва пласта внутри трещины (уравнения несжимаемости и Навье-Стокса), так и условиями развития трещины в упругом пласте (уравнения линейной механики разрушения). Для вертикальной трещины ГРП (модель Христиано-

вича-Гиртсма-ДеКлерка [1,2]) эти уравнения имеют следующий вид [3,4]:

^ + ^ = 0 (1.1)

дI дх ’

(уравнение несжимаемости [5]),

9Р /1 оЛ

(12)

(закон Пуазейля для ламинарного течения вязкой жидкости [5]),

1

4(1 - V2) Г / х 5 \

'л'=А^г2]с{т1У^ <1Л>

0

(уравнение линейной механики разрушения [6,7]), где

л/і ~'%2 + -у/і —

■\/\ — 'в,2 — —

В уравнениях (1.1)—(1.3) обозначено (рис. 1):

Ж(х, г) — раскрытие трещины в сечении х в момент времени V; д(х, г) — дебит жидкости в сечении х в момент времени г; р(х, г) —давление в трещине в сечении х в момент времени г; 1(г) —длина трещины в момент времени г;

^ — вязкость жидкости;

Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона упругого пласта. К уравнениям (1.1)—(1.3) необходимо добавить начальное

2

У

X

Ці)

Рис. 1. Схема вертикальной трещины ГРП

W(х, 0) = Wo(х), 0 ^ х ^ 1о(0

(1.4)

и граничные

д(0, г) = ц„(г), г ^ 0,

р(0, г) = р*(г), г ^ 0

(1.5)

(1.6)

условия [3, 4].

Таким образом, имеем замкнутую постановку начально-краевой задачи (1.1)—(1.3) для нахождения текущих значений W(х, г), ц(х, г), и р(х, г) по заданному начальному Wо(х) и граничным ц^(г) и р*(г) условиям. Следует отметить, что начальное условие может быть задано для величины начального давления р0(х). В этом случае величина Wо(x) находится из уравнения

(1.3) при г = 0.

Для нахождения неизвестной зависимости 1(г) уравнения (1.1)—(1.3) необходимо дополнить условием роста трещины (критерием квазиупругого разрушения) [7]

Величину текущего значения коэффициента интенсивности напряжений К (р(х, г), 1(1)) удобнее находить из следующего выражения [7]:

2. Автомодельное решение для формы трещины

Предположим, что форма трещины Ж(х, г) при 0 ^ х ^ 1(г) определяется выражением [1]:

где ^ = х/1(г) — автомодельная переменная (0 ^ ^ ^ 1), Ь0(г) — максимальное раскрытие трещины W(х, г) при ^ = 0. Тогда из уравнений (1.1)—(1.3) следует, что и остальные функции также будут иметь вид

КІ (р(х, г), 1(г)) = Кіс, (1(г) > 0).

(1.7)

(1.8)

W (х, г) = б0(г)Ф©,

(2.1)

ц(х, г) = Ц0(гу¥(£), р(х, г) = р0(г)П(%),

(2.2)

(2.3)

где до(0 и ро(1) — максимальное значение дебита д(х, г) и давления р(х, г) в трещине при ^ = 0.

Очевидно, что на безразмерные функции Ф(^), ¥(%) и П(^) наложены дополнительные ограничения

Ф(0) = Т(0) = П(0) = 1.

(2.4)

Разделение переменных (2.1)—(2.3) в уравнениях (1.1)—(1.3) приводит к следующим системам уравнений для групп функций (Ф(^), ¥(%), П(Ю) и Фо(0, до(0, РоШ-

Щ) = -аФ(1),

П'(1) = -р¥(?)/Ф3(?),

1

ф(1) = у/ £(1, п)П(пУп;

6 (г) = ац0(г)/1(г), д0(г) = рб^г) р0(г)/12^1(г),

(2.5)

(2.6)

р0(г) = упЕб0(г)/4(1 - \2)1(г).

Система (2.5) представляет собой систему уравнений в нелинейной задаче на собственные значения — найти собственные числа а, в и у, при которых система (2.5) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условиям (2.4).

Накладывая на собственные функции Ф(1), 4(1) и П(1) следующие дополнительные ограничения по характеру их поведения при 1 = 1:

Ф(1) = 0 (нулевое раскрытие в вершине трещины),

Т(1) = 0 (нулевой дебит в вершине трещины),

П(1) = 0 (нулевое давление в вершине трещины), систему (2.5) можно представить в виде

¥(%) = а^ Ф(п)^п,

1

ф(1) = у/ °(1, Л)П(п)^Л.

0

(2.7)

Из граничных условий (2.4) следует, что система (2.7) может иметь решения лишь при следующих значениях а, в и у:

а = 1/ § Ф(п)^п>

0

1

(2.8)

Ф3(Г1)

0

1

у = 1/ § С(о, п)П(пУп-

о

Задача нахождения собственных чисел а, в, у и собственных функций Ф(1), 4(1), П(1), удовлетворяющих уравнениям (2.7) и (2.8) эквивалентна задаче о нахождении неподвижной точки X = F(X) оператора Е(Х), определяемого правой частью уравнений системы (2.7).

Вопросам, связанным с доказательством существования неподвижной точки оператора Е(Х) и алгоритмом ее нахождения, будет посвящено отдельное исследование. В настоящей работе реализован следующий итерационный процесс нахождения решения системы (2.7). Пусть известно г-ое приближение функции Фг(1). Вычислим в соответствии с уравнениями (2.7)

1 Г 4г(п)

и (2.8) значения 'Рг© = а,- Г Ф,(г|)й?г|, П,-(§) = (Зг- I —\-с1г\ и положим в каче-

1 ^ Ф3(п)

1 1 г

1

стве (г + 1)-го приближения Фг+1(1) = 0(1, п)П(п)^. Сходимость данного

_____ о

процесса для Фо(?) = л/1 ~1 представлена на рис. 2. Как видно, при удачном выборе начального приближения Фо(1) процесс быстро сходится и за 3-5 итераций дает характер формы трещины ГРП, распределения по ней дебита и давления при автомодельном представлении решения.

3. Временная зависимость процесса роста трещины ГРП

При решении второй части задачи — интегрировани по времени системы (2.6) с найденными значениями собственных чисел а, в и у, ее необходимо дополнить условием роста трещины (1.7)-(1.8), которое в автомодельных переменных примет следующий вид:

2ро(Ол/— = К1с/к, (3.1)

у П

1

где к = Г П(л) Лт) ^ 0.72.

Л VI - л2

Решение системы (2.6), (3.1) зависит от трех размерных параметров 12^, пЕ фт.К/г

------— и --------, начальной длины трещины /о и времени г.

4(1 - V2) 2к

Рис. 2. Форма трещины ГРП Ф(1) и характер распределения в ней дебита 4(1) и давления П(1)

Обезразмерив систему (2.6), (3.1), ее можно переписать в виде

£Й0 _ 20 сіх ~ “ / ’

п -

СЮ - р——, -

Ро = У

(3.2)

1о 9

Л /\,с

Ро = чг

где кс =

2(1 - у2)КГс

пЕг

т =

кЕл/л!0 ' 48(1 -у2)ц

функций бо(т), §о(т), Ро(т) и 1(т) выбраны величины 1о, и 1о, соответственно.

а в качестве масштаба у безразмерных

пЕ

пЕіО

48(1 - у2)^ 4(1 - V2)

Решение системы (3.2) легко находится и имеет следующий вид:

qo(%) = —г = const,

Y3

k

(3.3)

При выполнении условия т » у2/3а|3&3 данное решение можно переписать как

4. Заключение и выводы

Анализ представленного решения и выражений для зависимостей данного решения от переменных х и t показывает, что автомодельное решение начально-краевой задачи (1.1)—(1.6) существует. Пространственное распределение зависимостей W(х, t), q(х, t) и р(х, t) изображено на рис. 2, а временное их изменение определено соотношениями (3.3)—(3.4). Условием существования автомодельного решения является соответствие результатов полученного решения с начальными данными (1.4) и граничными условиями исходной задачи (1.5)—(1.6). Сравнивая полученные результаты с данными начальными условиями, можно утверждать, что в случае, когда функция Wo(x) соответствует решению системы (2.7)—(2.8), а функции qt(t) и р„(t) — решению (3.3), для данной начально-краевой задачи существует автомодельное решение. В частности, величина граничного дебита q*(t) в автомодельном случае должна быть постоянной, а значение давления на границе p*(t) должно убывать обратно пропорционально квадратному корню от текущей длины трещины.

qo = ~г = const,

(3.4)

Литература

[1] Geertsma, J. A rapid method of predicting with and extent of hydranlically induced stractures / J. Geertsma, F. Clerk de // J. Petr. Techn. - 1969. -V. 21. - No. 12. - P. 1571-1581.

[2] Garagash, D. An analysis of the influence of the pressurizationrate on the borehole breackdown pressure / D. Garagash, E. Detournay // Int. J. Solids Struct. - 1997. - V. 34. - No. 24. - P. 3099-3118.

[3] Garagash, D. Plane-strane propagation of a fluid-driven fracture during

injection and shut-ini Asymptotics of large toughres / D. Garagash // Eng.

Fract. Mech. - 2006. - V. 73. - No 4. - P. 456-481.

[4] Sheddon, I.M. Crack problems in the classical theory of elasticity / I.M.Sheddon, M.Lowengrub. - NY, 1969.

[5] Жестов, Ю.П. О гидравлическом рызрыве нефтяного пласта / Ю.П. Жестов, С.А. Христианович // Изв. АН СССР. ОТН. 1955. -№5. - С. 3-41.

[6] Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель,

Н.В.Розе. - Т. 2. - М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948.

[7] Астафьев, В.И. Нелинейная механика разрушения / В.И. Астафьев, Ю.Н.Радаев, Л.В. Степанова. - Самара: Изд-во СамГУ.

Поступила в редакцию 15/У/2007; в окончательном варианте — 15/У/2007.