Моделирование двумерной двухфазной фильтрации методом трубок тока Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сидельников К.А.; Лялин В.Е.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ МЕТОДОМ ТРУБОК ТОКА

Модели трубок тока предшествовали современным математическим моделям пластовых систем. По известному распределению давления или по его оценке пласт делится на трубки тока; при этом предполагается, что перетоков между отдельными трубками нет. Решение задачи распределения пластового давления задает путь течения флюидов в пространстве, а физика вытеснения получается в соответствующем одномерном решении применительно к каждой трубке тока. Процесс вытеснения в каждой трубке рассчитывается отдельно, в результате чего двумерная задача сводится к нескольким одномерным.

Хотя реальные пластовые системы трехмерны, тем не менее, во многих практических случаях можно предположить, что течением в одном из трех координатных направлениях можно пренебречь, и исследовать фильтрацию в двух других направлениях. Будем исследовать двухфазную фильтрацию для так называемой профильной модели пласта, геометрически представляющего собой параллелепипед на плоскости х0у с размерами

Ь х Н х 1. При этом считается, что нагнетание осуществляется по всей левой грани области, а отбор - по всей правой грани. Верхняя и нижняя границы трактуются как непроницаемые. Выбор профильной модели осуществляется с целью лучшего понимания эффектов влияния неоднородной и анизотропной природы пласта на характер процесса фильтрации.

Обозначим область пласта, в которой ищется решение, в виде множества Я = |х, у; 0 < X < Ь, 0 < у < Н| с условиями на координаты точки, определяющие принадлежность к этому

множеству. Будем искать двумерные решения при постоянном начальном составе, определенном внутри области пласта:

ы(х, у, 0) = иш, х, у еЯ (!)

и граничном условии, которым является постоянный состав нагнетаемого флюида, записываемого в виде

и(0, у, г) = ипу, 0 <у < Н ' (2)

где и (х у I) - массовый или объемный состав флюидов; верхние индексы in.it и щ обозначают

нагнетаемый и начальный составы соответственно. Таким образом, в момент времени t=0 состав флюида в точке входа претерпевает разрыв от начального значения до нагнетаемого значения. Сразу отметим, что поскольку в основе метода трубок тока лежит преобразование исходных уравнений в одномерный вид с последующим их решением, то условия (1) и (2) как и область решения Я должны быть также видоизменены. Однако и в этом случае будет подразумеваться постоянство начального и граничного условий.

Постановка проблемы несмешивающейся фильтрации

Рассмотрим совместный поток двух несмешивающихся флюидов или фаз (например, вода и нефть) в пористой среде. Будем считать, что межфазное натяжение между двумя флюидами равно нулю, но внутри каждой поры существует отчетливая граница раздела двух фаз. Хиггинс и Лейтон (1962) впервые применили модели трубок тока в качестве быстрого метода предсказания двухфазного течения для пятиточечного шаблона. Они сообщили об отличном согласии с экспериментальными данными при отношении подвижностей от 0.083 до 754. Однако их трубки тока были неподвижны во времени, а слабые нелинейности в поле скоростей учитывались с помощью т. н. общего сопротивления системы (трубок тока). Единственной публикацией о неудаче метода трубок тока была статья Мартина и др. (1973) и, что удивительно, для благоприятного отношения подвижностей.

Основные уравнения

Уравнение массопереноса при двухфазной несмешивающейся фильтрации для многомерного случая в гиперболической форме имеет вид [0, 0]

ф—^ + йт=0' (3)

5/ т *

где ф - пористость; £ - насыщенность смачивающей фазой; Ц - вектор общей скорости фильтрации

фаз; f - коэффициент доли смачивающей фазы в общем потоке, который определяется следующим образом:

Г =К_ , (4)

J ^ л

1

где общая подвижность фаз = 1 + Л и подвижность у -й фазы

л =Щ_' (5)

1 X

где к - абсолютная проницаемость среды; к - относительная проницаемость для у-й фазы; ц -

Г ; м-]

вязкость у -й фазы; у = ^, п . Введем понятие отношения подвижностей нагнетаемой смеси к вытесняемой смеси фаз:

м= р' (6)

где 1 и 1 - общие подвижности нагнетаемой и вытесняемой смеси фаз. Важным параметром «степени

нелинейности» двухфазной фильтрации является отношение подвижностей в конечных точках: £ =1 и

£ =1. Он обозначается как М и вычисляется, как

Пм-=( X 1 (X1

в случае если вытесняющей является смачивающая фаза.

Фазы представляют собой несжимаемые жидкости, то есть

Уйт = О • (8)

В одномерном случае уравнение (3) примет вид

дхв

масштабные переменные, имеющие физический смысл.

Решение уравнения (9) представляет совокупность характеристик движущихся со скоростью

где x и t D lD

dxL

dtn

dS,„

(1O)

Sw = const

и слабых разрывов - скачков насыщенности фазой.

Одномерные решения

Для простоты относительные проницаемости рассматриваются как функции толь ко насыщенностей. Примером обычно принимаемого поведения относительных проницаемостей для двухфазной системы являются

следующие функции: k =S 2' k = (l — S V.Выбранным функциям относительной проницаемости соответ-

rw w > rn \ n ‘

ствует их единичные значения в конечных точках, поэтому из (7) получим Mend = •

(a) Функция f J w

(b) Производная функции f

w

Рис. 1. Идеализированная функция распределения потока f для M = О 5

Jw end

Несмотря на простой вид, выбранная модель демонстрирует ключевую особенность двухфазного потока через пористую среду: функция f является S-образной, а значит двояковыпуклой. Эти свойства функции определяют допустимые решения процессов двухфазного вытеснения. Автомодельное решение задачи Римана является комбинацией постоянных состояний, ударных волн, объединяющих постоянные состояния, и волн разряжения, соединяющих постоянные состояния или слабые разрывы.

Одиночная волна разрежения (7Z)

Волна разрежения - это гладкое решение уравнения (9). Пример решения с одиночной волной разрежения показан на рис. 2. Рисунок включает в себя: (a) функцию f с указанием левого и правого состояния;

J w

(Ь) производную от у1 ; (с) решение для момента времени (d) характеристики на плоскости ^)*

Одиночная ударная волна (S)

Ударная волна это движение скачка (фронта) насыщенности, характеризующая наличие разрыва в решении. Помимо параметра M Тил [ 0 ] предложил использовать отношение подвижностей фаз на фронте

end

ударной волны M , который вычисляется по формуле (6) . Введение этого параметра позволит объяс-

shock

нить относительно малую нелинейность задачи двухфазной фильтрации для сравнительно больших значений

Mend .

Скорость ударной волны определяется из соотношения Рэнкина-Гюгонио [0, 0, 0]: dxD fw (Sw) fw (Sw) . (11)

ст=~ж~в = S^w

На рис. З показан случай одиночного разрыва между двумя постоянными состояниями, включающий: (a)

функцию f с указанием левого и правого состояния; (b) производную от f ; (c) решение для момента

J w J w

времени tD =1; (d) характеристики на плоскости (xD, tD) . Решение удовлетворяет условиям энтропии,

означающее, что на линии разрыва должны пересекаться две приходящие характеристики, несущие начальные значения насыщенности.

(c)

(d)

Рис. 2. Пример с одиночной волной разрежения

(d)

Рис. 3. Пример решения с одиночной ударной волной Смешанная волна (<> )

В случае, когда левое и правое состояния невозможно соединить с помощью простой волны, требуется смешанная волна, состоящая из волны разряжения и ударной волны. Левое и правое состояния должны располагаться в областях с разным типом выпуклости, так что скорость характеристик уже не является монотонной.

Решение состоит только из одной волны разрежения и одной ударной волны, потому что функция f

Л ж

имеет только одну точку перегиба. Более того, поскольку точка перегиба соответствует максимальному

значению производной ^', то волна разрежения всегда медленнее ударной волны (см. [ 0]). Обе волны

соединяются в некоторой промежуточной точке с*, называемой пост-разрывным значением [ 0]. В этой

точке скорость левой характеристики (волна разрежения) совпадает со скоростью разрыва справа (ударная волна):

ГЧ,Л_._ f (SW) — f (Sw r )

Jw (Sw) Г С* C

(12)

Решение, которое включает смешанную волну, показано на рис. 4 с аналогичными обозначениями, как и в более ранних случаях.

(С)

/(d)

Рис. 4. Пример решения задачи Римана со смешанной волной Двумерные решения

Результаты моделирования методом трубок тока для одиночной волны разряжения с параметрами м_„ = 5 , Б? = 0,55 и = 1 приведены на рис. 5. Результаты моделирования методом трубок тока для

одиночной ударной волны с параметрами МпгШ = 5 , Б? = 0 и Б'Щ = 0,45 приведены на рис. 6. Из (6) и

(11) можно найти, что М % 1 32 и у % 1 72 . Результаты моделирования методом трубок тока для сме-

экоск 5 5

шанной волны с параметрами м_ = 5 , Б? = 0 и Бтп = 1 приведены на рис. 7. Из (6) и (12) можно

найти, что M ~ 1 17 и Г* = 1,73 . На рис. 5-7 буквой (а) обозначены графики коэффициента нефтеот-

shock 5

дачи E ; буквой (b) - профили насыщенности смачивающей фазой в момент времени tD = 0,55 . На рис. 57 под буквой (а) приведены результаты, полученные в коммерческом гидродинамическом симуляторе TEMPEST MORE фирмы ROXAR.

Сходимость метода

Кривые отбора для 1, 10, 20, 40 и 100 обновлений трубок тока демонстрируются на рис. 8. Можно

заметить, что 2 0 решений уже достаточно, чтобы получить сходящееся решение за период нагнетания соответствующего двум поровым объемам пласта.

Влияние пластовых неоднородностей

Важная дополнительная информация может быть получена методом трубок тока. В частности, на рис. 9 показано влияние степени неоднородности пласта на разброс кривых коэффициентов нефтеотдачи. Всего было проделано 3 0 испытаний, по 15 на каждый график, соответствующего пласту с заданным коэффициентом неоднородности HI . Интересно отметить, что разброс в кривых для HI = 0,2 почти полностью содержится в внутри большего разброса кривых для HI = 0,9 . Поэтому вполне возможно, что заданной реализации с HI = 0,2 (малая неоднородность) может соответствовать меньший уровень добычи, чем реализации с HI = 0,9 (большая неоднородность).

Постановка проблемы смешивающейся фильтрации

Рассмотрим двухфазный поток в пористой среде, в каждой фазе которого присутствуют два компонента. Примером может служить случай вытеснения газом, образованного преимущественно легкими компонентами (такими как метан CH4 или CO2), нефти, содержащей некоторое количество жидкого углеводорода (скажем декан C10). Считается, что компоненты обладают ограниченной взаимной растворимостью: определенное количество C10 испаряется в газовую фазу, а некоторый объем CH4 или CO2 растворяется в жидкой фазе. Данная проблема является современным обобщением хорошо известной задачи Баклея-Леверетта.

S.

(а)

Рис. 5. Результаты для одиночной волны разряжения

(Ь)

К

£

ч

н о

-I

е

и

к

■&

■&

т

о

И

(а)

Рис. 6. Результаты для одиночной ударной волны

(Ь)

к

£

н

о

Iе

-е

о

о

(а)

(Ь)

Рис. 7. Результаты для смешанной волны Основные уравнения

Уравнение массопереноса при двухфазной смешивающейся фильтрации для многомерного случая в гиперболической форме имеет вид [0]

ф^ + щ-^УС^О' (13)

5/ г асх 1

где общая объемная доля 1-го компонента

С, = С.Б + с,2 (1 - Б,) (14)

и общий коэффициент доли 1-го компонента в совместном потоке

^ = СиГ + С.2 (1 - Л ) . (15)

Причем для любой смеси образующей только одну фазу ( С < ^2 или С > сп )

^ = С. (16)

Кроме того, также выполняется условие несжимаемости фаз (8).

t

о

t

о

I—1 43 ь ь о 8

1 S ь ь £ ТЗ

у О X) X) 0 ш

0 Е я я

я 0 а си S 0

я м 0 I S о

0 м 43 £ я

£ д О 0 43 0 Sc 0 Ь 0 Sc X 0 0 д

0 Д X о го

я CD 0 я 0 у S £ 0 'С

X си 0 о в

|-3 (JJ О 0 в о

си ш ь го г<

X 43 & 0 си X

го о 0 43 3 я

43 д Д В £

я *3 V ш В S

Д 0 о X X

Е X) го о

0 Sc 0 К S (Ті го S 'С д л

о

а

В

ti і ь

її

О

О

X

о

X

о

о

а

д

(U _ Ь

Ь Й Я

£ Р О

CD ^ О

0^0

0 |

1 І

5l '

CD

О 43

Я CD (U Ь

Л !И Я S О Sc

О4 0

О

С\

Ш

^ CD О 10 нЗ

£ I

43 CD О ы

О Е

<< ГО

. 43 S

О р

К Я

^ у

си Я си

О ш О Ї CD 5 Ь О S ^

X 43

2Q CD § -< О ь

XI tr 0

И S о 43

g I

о в

Sc CD CD

43

£J Я ^ 0 43 О

CD нЗ

Н 43 CD О

О

О

ь

а

о

Д

Д

О

о

ил

Ю

О

1-3

и К

а о *< s ь ь

чо

Ui

л

о

Ж

о

Коэффициент нефтеотдачи, Е

8

О

Коэффициент нефтеотдачи, Еп

Коэффициент нефтеотдачи, Ен

X

менной величины насыщенности фазами, но сами фазовые составы (объемная доли с и с ) остаются неизменным. Это связано с предположением о равновесии, в котором находятся обе фазы. В зависимости от начального и нагнетаемого состава 1-го компонента получаются различные решения бинарного вытеснения, полный набор которых показан на рис. 12.

Двумерные решения

Результаты моделирования методом трубок тока для волны с параметрами Mnd = 2, C™ = 0,05

и Cmn = 1 приведены на рис. 13. Из (6) и (12) можно найти, что M % 161, M % 0 84, (Г* % 0 28

1 shock 1 5 shock2 5 1 5

и ст2* % 1,34 • Результаты моделирования методом трубок тока для волны SJI с параметрами Mmd = 2,

С‘"“ = 0,62 и c[nj = 1 приведены на рис. 14. Из (6) и (12) можно найти, что M h k 1 % 1,61 и q-* % 0,28 •

ns

• S{TZS2

Рис. 11. Пример решения для двухфазного двухкомпонент- Рис. 12. Схематическое дерево всех воз-

ного потока

можных решений

(a)

(b)

Рис. 13. Результаты для волны S{IZS2

*

u

u

X

D

(а) (Ь)

Рис. 14. Результаты для волны sxn

о

сЗ

Л

О

ю

н

о

ё

S

-е

о

о

(a)

Рис.

(b)

15.

StS2 с параметрами Mmd= 2' С'"" = О

2

что

Mshockl 2 ' Mshock2 1 '

5-7 .

- 0,26

Результаты для волны

Результаты моделирования методом трубок тока для волны c;nJ — 0,32 приведены на рис. 15. Из (6) и (11) можно найти,

& — 1. Обозначения на рис. 13-15 аналогичны обозначениям на рис.

Заключение

Метод трубок тока может быть успешно применен для моделирования двухфазного вытеснения. Для учета изменяющегося поля общих скоростей трубки тока периодически обновлялись с последующим отображением на них одномерного аналитического решения. Приведенные результаты демонстрируют хорошую точность и быструю

сходимость решений полученных методом уже для 20 обновлений трубок тока за интервал времени tD Е [0, 2] .

В результате может быть достигнуто существенное (на порядок) увеличение скорости вычислений по сравнению с традиционными численными методами. Это достоинство метода может использоваться, например, в статистическом подходе при прогнозировании нефтеотдачи, который показывает существенный разброс в добыче для разных равновероятных карт проницаемости пласта. Кроме того, эти результаты демонстрируют взаимодействие нелинейности и пластовой неоднородности, степень влияния которого на процесс фильтрации количественно можно выразить через вероятность попадания коэффициента нефтеотдачи в заданный интервал.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем: Пер. с англ. / Под ред. М. М. Максимова. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 416 с. Репринтное издание. Оригинальное издание: М.: «Недра», 1982 г.

2. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. - М.:

Недра, 1993. - 416 с.

3. Juanes, R., Displacement theory and multiscale numerical modeling of three-phase flow in porous media, Ph. D. Thesis, University of California, Berkeley, California, 2003.

4. Orr, F. M. Jr., Theory of gas injection processes, Stanford University, Stanford, 2005.

5. Thiele, M. R., Modeling multiphase flow in heterogeneous media using streamtubes, Ph. D. Thesis, Stanford University, Stanford, California, 1994.

t

D