CC BY
0УДК 519.62
Соктоева И.В.
магистрант
Иркутский национальный исследовательский технический университет (г. Иркутск, Российская Федерация)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛОВЦА В ВОДОТОКЕ С ИЗВЕСТНЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ
Аннотация: данное исследование фокусируется на создании математической модели для анализа пересечения объектом водного потока. Целью является разработка модели, способной предсказать оптимальный угол входа в воду для минимизации пути пересечения. Процесс моделирования включает идеализацию объекта, формулировку управляющих законов, и применение вычислительных методов для анализа нелинейных объектов. Математическое моделирование выступает как инструмент для понимания сложных явлений и решения прикладных задач. Особое внимание уделяется численным методам решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности методам Эйлера и Рунге-Кутта, и их применению для определения оптимального угла пересечения реки пловцом. Исследование подчеркивает важность точности и соответствия модели реальности для успешного применения математического моделирования в различных областях науки и инженерии.
Ключевые слова: математическое моделирование, дифференциальные уравнения, метод Рунге-Кутты, метод Эйлера.
Введение.
Целью исследования является разработка решения для задачи, связанной с пересечением объекта через водный поток. Процесс создания математической модели для такой задачи включает в себя следующие шаги:
1. Создание модели начинается с детального описания объекта или явления, чтобы понять его сущность.
1904
2. Идеализация объекта подразумевает отбрасывание незначительных факторов и эффектов, не влияющих на основное поведение объекта.
3. Формулировка законов происходит после первых двух этапов, где выбирается или создается закон (например, вариационный принцип), который управляет поведением объекта, и выражается он в математической форме. При этом могут использоваться дополнительные данные об объекте.
4. Финализация модели включает в себя определение цели исследования и дальнейшее "оснащение" модели.
5. Исследование модели проводится с использованием всех доступных методов, включая проверку различных подходов. Так как большинство моделей сложно анализировать теоретически, особенно важно применять вычислительные методы, особенно при работе с нелинейными объектами, чье поведение сложно предсказать заранее.
В современном мире, где мы сталкиваемся с разнообразными и сложными задачами, математическое моделирование выступает как ключевой инструмент. Оно позволяет нам анализировать и понимать реальные объекты и процессы, преодолевая возникающие при этом препятствия. Благодаря математическим моделям, мы можем упростить сложные явления до управляемых формул и уравнений, что делает возможным их изучение и решение. Это особенно важно для прогресса общества, поскольку математические методы предоставляют надежные подходы к решению прикладных задач, от экологии до инженерии и финансов [1].
Математическое моделирование — это процесс, при котором реальный объект или явление заменяется его упрощенной копией, то есть математической моделью. Эта модель позволяет исследовать объект с использованием компьютерных алгоритмов, что делает возможным анализ без физического вмешательства в реальный объект.
Таким образом, математические модели помогают нам понять и предсказать поведение идеальных объектов и явлений, выявляя закономерности их развития без необходимости проведения реальных экспериментов [2].
1905
Методы математического моделирования.
Для успешного математического моделирования необходимо четко определить основные понятия и предположения, опираясь на имеющийся опыт. Важно также анализировать, насколько хорошо модель соответствует реальности, и обеспечивать точность вычислительных алгоритмов. Когда дело доходит до объектов, которые сложно описать формально, требуется дополнительная осторожность в различении математических и нематематических терминов и в применении математических инструментов. [3,
4].
Рисунок 1. Свойства моделей.
Виды математических инструментов моделирования:
- Методы оптимизации,
- Методы математического анализа,
- Методы дифференцирования,
- Методы численного интегрирования.
Чаще всего для описания моделей используют дифференциальные уравнения (ДУ), включая:
- простейшие ДУ первого порядка,
- ДУ с разделяющимися переменными,
- ДУ уравнениями с разделенными переменными,
1906
- линейные неоднородные ДУ первого порядка,
- ДУ Бернулли,
- уравнения в полных дифференциалах,
- ДУ второго порядка,
- линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами,
- линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами,
- линейные однородные ДУ и линейные неоднородные ДУ второго порядка,
- ДУ высших порядков,
- ДУ, допускающие понижение порядка,
- линейные однородные и неоднородные ДУ высших порядков с постоянными коэффициентами,
- линейные однородные и неоднородные ДУ высших порядков.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ)
являются наиболее распространенным типом ДУ для математических моделей, находящих применение во многих областях науки. Их популярность объясняется наличием эффективных методов для их решения.
В большинстве случаев для нахождения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) используют либо аналитические, либо численные методы. Аналитические методы применяются нечасто, так как многие СОДУ не имеют простых аналитических решений, или эти решения слишком сложны для реализации в программном обеспечении. В литературе описаны различные подходы к аналитическому решению СОДУ [5, 6].
На практике чаще всего используют численные методы, такие как методы Эйлера и Рунге-Кутта различных порядков, из-за их универсальности и простоты внедрения в вычислительные системы.
Метод Эйлера — это один из самых базовых численных методов для решения дифференциальных уравнений, который предполагает приближение
1907
решения с помощью линейной интерполяции. Метод Рунге-Кутта второго порядка улучшает эту аппроксимацию, используя дополнительные точки внутри интервала. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка еще более точен, так как учитывает информацию в четырех точках, что позволяет получить более точные результаты для широкого класса уравнений. Эти методы широко применяются для решения СОДУ в различных областях науки и инженерии. Опишем данные методы подробнее.
Метод Эйлера простейший метод решения системы дифференциальных
уравнений и' = / (х, и) получается при использовании разложения в ряд Тейлора.
Разложим и в узлах сетки х . < х .+1 (И. = хм - х . > 0):
И2 И2
и+1« и + Ии+у < +...« и + И/+у (д/ + (/, д и) /) +... (1)
Ограничиваясь первой производной, получаем метод Эйлера: и.+1 = и + И/(хг и). Этот метод является одним из самых простых и понятных, но
его точность оставляет желать лучшего. Из-за того, что ошибки могут накапливаться очень быстро и расти экспоненциально, метод Эйлера не рекомендуется для использования в точных вычислениях, особенно на длительных интервалах, поскольку размер шага не влияет на скорость роста ошибки.
Метод Рунге - Кутта 2 - го порядка. Для улучшения метода Эйлера при следующем порядке разложения в (1). Сложность состоит в нахождении второй
ч , ( / ( / ( х, и ))
производной и" = (/(х,и)) . Заменим её разностью и" = ---,где
2
х% хг + уИг - точка, принадлежащая интервалу [х1, хг+1 ].
Тогда разложение (1) до второго порядка принимает вид:
и+1 - и + И/ + И2 ( / (%% / (хг, и г)) = иг + аИ/1 + вИ/ (х + уИг, и г + б И ). (2)
1908
Формально в таком разложении следует положить а = в = 1, но введение
неизвестных параметров а ив позволяет получить целое семейство схем одинаковой точности.
Неизвестные параметры а, в,у,8 следует выбрать так, чтобы разложение (2) совпадало с рядом Тейлора при к ^ 0:
ы1+1 * и + к (а + в) / + вуЪ'д / +ве (8, д и) / +...
Это дает (т + 2) уравнения для (т + 3) неизвестных 1 /
а + в = 1, вТ = ~, в8 = ^. Таким образом, остается свободный параметр
0 < а < 1. Выбрать параметр а так, чтоб схема (2) правильно описывала и третий член формулы Тейлора, невозможно. Сводя все вместе, получаем семейство схем Рунге - Кутта 2 - го порядка:
и+1 * и +а/// + (1 -а), (3)
с
& = /
к к/ х +-■—, и +
V 2 - 2а 2 - 2а) Точность получившейся формулы равна о (к), поскольку кубический
член обратить в нуль не удалось. Свободный параметр чаще выбирают равным а = 0 или а = 1. Это соответствует формулам:
г и и -г \
и+1 * и + кг/
к к/ х +-■, и +
2 ■ 2
V ^ ^ /
(4)
и+1 * и + к(/ (х,и) + / (х + к,и + К/)), (5)
отвечающим взятию правой части в средней точке либо взятию среднего от правых частей.
Получившиеся формулы значительно точнее приближают решение системы дифференциальных уравнений в сравнении с формулой Эйлера.
1909
Постановка задачи.
Давайте рассмотрим пловца, который хочет пересечь реку, отталкиваясь от точки на одном берегу (точки входа) и стремясь достичь точки на противоположном берегу (целевой точки). Река имеет постоянную ширину, не имеет изгибов и скорость, которая может меняться со временем.
□ □- ширина водотока,
□ - вектор скорости пловца,
Ут=Ух, 0, Уг- вектор скорости потока,
^т = Ш-1 — модуль вектора скорости течение водотока,
а - угол между векторами скорости течения водотока Ц. и скорости объекта И/,
Нужно выбрать а так, чтобы объект преодолевал водоток по кратчайшему маршруту.
В этом случае подберем угол а так, чтобы объект попал в точку А (хА , уА). Длина пути будет равна расстоянию от точки входа до противоположного берега, что означает достижение безусловного минимума.
Для этого необходимо, чтобы движение происходило вдоль оси ординат . Найдем угол а, при котором движение будет обладать данным свойством.
1910
Запишем проекцию вектора скорости объекта на ось Ox: Wx = W cos a. Так как вектор скорости течения сонаправлен с осью , справедливо равенство VTx = \VT |.
Условием движения объекта вдоль оси OY является выполнение равенства Wx + VTx = 0. Отсюда следует, что W cos а + VT = 0 и, получаем, а =
arccos ~J.
Был найден угол а, обеспечивающий движение вдоль оси ординат из точки O в точку A, т.е. по кратчайшему маршруту.
Заключение.
В результате был исследован вопрос о моделировании движения объекта в водотоке. Задача состояла в том, чтобы определить, как объект (в данном случае пловец) может пересечь реку, которая течет в одном направлении с возможно изменяющейся скоростью, но без изгибов, так как ее берега параллельны друг другу. Пловец стартует с одного берега и стремится достичь противоположного берега напрямую, при этом он может самостоятельно регулировать свою скорость и направление движения, которые могут изменяться под воздействием течения реки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. М.: ИЛ, 1953 / Дж. Сансоне, пер. с англ. Н. Я. Виленкина. - Москва: 1953.- 347;
2. Киркинский А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. - М.: Академический Проект, 2006. - 256 с;
3. 7. Звонарев, С.В. Основы математического моделирования: учебное пособие / С.В. Звонарев. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 112 с;
4. Ибрагимов, И.М. Основы компьютерного моделирования нано систем: учебное пособие / И.М. Ибрагимов, А.Н. Ковшов, Ю.Ф. Назаров. — Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2010.— 384 с;
1911
5. Михайлов, В. Н. Гидрология: учебник для вузов / В. Н. Михайлов, С. А. Добролюбов. - М., Берлин: Директ-Медиа, 2017. - 752 с;
6. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры: монография / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — 2-е изд. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 320 с
Soktoeva I.V.
Irkutsk National Research Technical University (Irkutsk, Russian Federation)
MOTION SIMULATION SWIMMER IN WATERSTREAM WITH A FAMOUS CURRENT VELOCITY PROFILE
Abstract: this research focuses on creating a mathematical model for analyzing the intersection of an object with a water stream. The goal is to develop a model capable of predicting the optimal water entry angle to minimize the crossing path. The modeling process includes the idealization of an object, the formulation of governing laws, and the use of computational methods for the analysis of nonlinear objects. Mathematical modeling acts as a tool for understanding complex phenomena and solving applied problems. Particular attention is paid to numerical methods for solving systems of ordinary differential equations, in particular the Euler and Runge-Kutta methods, and their application to determine the optimal angle for a swimmer to cross a river. The study highlights the importance of accuracy and model fit to reality for the successful application of mathematical modeling in various fields of science and engineering.
Keywords: mathematical modeling, differential equations, Runge-Kutta method, Euler
method.
1912
