ФЛУКТУАЦИИ СКОРОСТИ ЧАСТИЦЫ В ВЯЗКОМ ГАЗЕ СО СЛУЧАЙНОЙ СКОРОСТЬЮ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ЦВЕТНЫХ ШУМОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика и математическое моделирование. 2020. № 01. С. 33 - 49.

БО!: 10.24108/шаШш.0120.0000215

Математика й Математическое

моделирование

© Деревич И.В., Клочков А.К., 2020

Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

УДК 532.517.45

Флуктуации скорости частицы в вязком газе со случайной скоростью в виде суммы двух коррелированных цветных шумов

Деревич И.В.1 , Клочков А.К.1*

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия а1ехк!о 9339 @ §та Д.сот

Изучено влияние суммы двух коррелированных случайных флуктуаций скорости газа на параметры хаотической скорости инерционных частиц. Коррелированные компоненты случайной скорости газа и частиц моделируются как решение системы обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений. Методом спектрального анализа случайных процессов получены аналитические формулы для расчета дисперсий и корреляций компонентов скорости газа и частиц. Предложен метод прямого численного моделирования случайных реализаций скорости газа и частиц, основанный на современных алгоритмах численного решения системы стохастических дифференциальных уравнений. Результаты расчетов по аналитическим формулам и полученные путем статистической обработки массива данных прямого численного моделирования удовлетворительно согласуются.

Ключевые слова: турбулентность, случайный процесс, спектральный анализ случайных процессов, корреляционная функция, дисперсия, стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения, время динамической релаксации

Представлена в редакцию: 14.01.2020, исправлена 28.01.2020

Турбулентные двухфазные течения широко встречаются в природе и используются во многих технических приложениях. Параметры турбулентности в свободном потоке и для течений вблизи омываемой поверхности существенно отличаются. Вблизи стенки наблюдается сложное течение с ярко выраженными когерентными структурами [1, 2], которые, в частности, определяют скорость выпадения частиц или капель на омываемую поверхность, интенсивность эрозии стенки. Интенсивность флуктуаций скорости газа вблизи стенки является существенно неоднородной и анизотропной. Можно выделить высокочастотные флуктуации скорости газа и модулирующие низкочастотные случайные колебания, приводящие к образованию когерентных случайных структур. Имеющиеся в литера-

Введение

туре теоретические модели, описывающие влияние когерентных структур на интенсивность осаждения дисперсной фазы, построены на эмпирическом уровне и не удовлетворяют критериям математической корректности [3, 4].

Цель настоящей работы — исследовать качественные особенности хаотического поведения частиц в модулированном турбулентном потоке. Флуктуации скорости газа на траектории частицы мы представляем в виде суммы двух коррелированных случайных процессов. В отличие от популярного метода стохастического моделирования типа Монте-Карло в нашей работе параметры всех случайных процессов находятся на основе решения системы стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ). Численный алгоритм решения основан на обобщении метода Рунге — Кутты для стохастических дифференциальных уравнений. Это позволяет использовать предложенный метод при численном моделировании сложных технических систем.

Исследование статистических параметров турбулентного потока газа и частиц проводится в работе на основе подходов Эйлера и Лагранжа. Во-первых, используется метод спектрального разложения случайных процессов, популярный при изучении турбулентности [5, 6]. В результате получаются аналитические формулы для расчета интенсивности флуктуаций скорости газа и частиц и их корреляций. Спектральный метод основан на подходе Эйлера. Отметим, что реализация подхода Эйлера требует существенно больше интеллектуальных затрат, чем подход Лагранжа.

Второй подход Лагранжа основан на прямом численном моделировании случайных флуктуаций скорости газа и частиц, получаемых в ходе численного интегрирования системы СОДУ. Данные, представляющие практически интерес, получаются путем осреднения ансамбля выборочных реализаций с использованием приемов математической стати-

4 8

стики. Для получения осредненных параметров требуется моделирование порядка 10-10 случайных реализаций, что предъявляет повышенные требования к компьютерным ресурсам. В то же время следует отметить, что подход Лагранжа является аналогом физического эксперимента и используется для верификации аналитических результатов, полученных на основе подхода Эйлера.

1. Основные уравнения

Уравнения движения твердой сферической частицы в газе в приближении Стокса без учета массовых сил имеют вид

^^[«<х-»1V(,>] . ^" ^С>■

где X < / >, V (^ > — скорость и координата частицы; х¥ — время динамической релаксации частицы, которое в приближении Стокса является константой; и < х, /) — скорость газа.

Обозначим скорость газа на траектории частицы как , тогда ско-

рость частицы вдоль ее траектории описывается уравнением

Скорость газа на траектории частицы моделируем случайным процессом с нулевым средним значением = 0 (осреднение проводится по ансамблю реализаций случай-

ного процесса У(0). Флуктуации скорости газа на траектории частицы представляем в виде суммы двух коррелированных случайных процессов

Выборочные реализации процессов и(г), и® (г) моделируем как решение системы стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений

ёи(а)(г) 1

ёг Та)

Е

ёи (р)(г) 1

{;(а)(г )-х(р)и(р) (г)- и (а)(г)}, {^(р) (г ) + х(а)и(а) (г)- и(р) (г)}.

(3)

(4)

ёг т]р)

Здесь х(а) > 0, Х(Р) > 0 — коэффициенты взаимного влияния случайных процессов иг), иг) ; Т^, т.р) — временные макромасштабы; ^(а) (г), ^(р)(г) — заданные источники турбулентного движения газа; ^(а) = ^(р) = 0.

Случайные процессы ^(а) (г), ^(р) (г) моделируем как независимые статистически ста-

ционарные случайные процессы с заданными корреляциями:

(г')^(р)(гО) = 5аД(^(а)) ^(г'-г-Ц,

(5)

где ¥(а) (г) — автокорреляционная функция; ^ — дисперсия случайного про-

цесса.

Случайные процессы представляем в виде аналога разложения Фурье с использованием интеграла Стилтьеса (см., например, [7]):

^(а) (г) = \ е'шг ёа(а) (ш), ^(р) (г) = | е'шг ёа(р) (ш),

(6)

где ёа(а)(ш), ёа(р)(ш) — случайные меры в пространстве частот; i — мнимая единица (I2 =-1).

Корреляцию случайного процесса ^(а) (г) вычисляем следующим образом:

(г (г^ = Це'(ш'г'-ш'г^ (ш') ёа(а)* (ш")},

где звездочка обозначает комплексное сопряжение.

Из условия статистической стационарности (5) записываем выражение для корреляции случайных мер:

(ёа(а) <ш') ёа(а)* <ш">) = ^^ 5<ш" —ш"> <ш"> ёш"ёш". (7)

Здесь 5<ш> — дельта-функция Дирака; у(а)<ю> — спектр случайного процесса. С помощью вычислений находим

<г<г">) = ^^<|Г-г"|> =

. ш ш , . ш

2 | ёш'{ <ш'>е1(иГ-<Л"> = 2 { у(а> <ш>>ёш.

—ш —ш

В результате получаем связь между автокорреляционной функцией случайного процесса и его спектром:

ш

Т^г>= | е1шгу^Иёш .

—ш

Условие нормировки для спектра следует из условия 0 > = 1:

ш

{у^И ёш = 1.

—ш

Спектр, в свою очередь, можно рассчитать по известной автокорреляционной функ-

1 ш

<ш> = — { е—1шг^^> ёг.

ции:

V V ,

Как видно из системы уравнений (1)-(4), случайные процессы флуктуаций скорости частиц и газа в общем случае статистически нестационарные. Однако по истечению интервала времени, существенно превышающего время динамической релаксации частиц и

интегральные временные масштабы , процессы достигают стати-

стически стационарного состояния. Представленный далее спектральный анализ будет проведен именно для статистически стационарных случайных процессов.

Для статистически стационарных случайных процессов вводим корреляции

и (а> <г ' > и <а> < г " >) = ({у (а> Ф(a)<| г'—г " |>,

и < г'>и (р> <г ">) = (<и (р>>^ Ф<р> <| г" —г "|>, (и(а) <г'>и(р> (г">) = Ц^Ц^Ф^ <| г'—г"|>.

Спектры корреляций флуктуаций скорости газа определяем по следующим формулам:

ш ш

Ф<а> <г> = { е1шгф(a)<ш> ёш, Ф<р> <г> = { е1шгф(p)<ш> ёш, (8)

—ш —ш

ш

Ф<ар><г>={ е1шгф^^ёш . (9)

—ш

2. Спектральный анализ корреляций скорости газа

Вследствие отсутствия обратного влияния частиц на статистические параметры турбулентности газа (массовая концентрация примеси предполагается малой) мы вначале проведем спектральный анализ случайных флуктуаций скорости газа. Затем в известном случайном поле скорости газа исследуем статистические параметры скорости частиц.

Записываем разложение случайных процессов флуктуаций скорости газа в виде интеграла Стилтьеса по случайной мере в пространстве частот:

U(a) (t ) = \ eifflt dZ(a) (ш) , U(ß) (t ) = \ eifflt dZ(ß) (ш), (10)

где dE(a) (ш) , dE(ß) (ш) — случайные меры в пространстве частот.

В результате подстановки разложений (6) и (10) в уравнения (3) и (4) получаем систему уравнений для случайных мер dE(a) (ш), dE(ß) (ш) :

хш r]a)dS(a) (ш) = da(a) (ш) - X(ß)dS(ß) (ш)- dS(a) (ш), ^Tjß)dS(ß) (ш) = da(ß) (ш) + х(а^(а) (ш)- dS(ß) (ш), решение которой имеет следующий вид:

( Хш^ +1) da(a) (ш) - x(ß)da(ß) (ш)

»

dS(a) (ш) =......" ......

dS(ß) (ш) =

(1шГ^ +1)( Хш T^ + l) + X(ß)X(a) (1шГ]а)+1) da^^ + x^W^)

+ 1><1шТ<р)+ 1> + x(p)x(a)

Вычисляем автокорреляционную функцию статистически стационарного случайного процесса и^ <г>. Корреляция случайных мер процесса и^ <г> с учетом взаимной независимости случайных процессов-источников имеет вид

(ё <ш"> ё Е^* <ю"^ = <1+iш"гip)> <1 — ю"^

(1+1ш'Т^а))(1+1ш'Т^ß)) + x(ß)X(a) (1 - 1шТв))(1 -ХшТР)) + ЛИ ^^ (x(ß))2 .

+ 7-T1ÏT—-тъ-ггггт-ГТГ7—1--т-—— (da(ß) (ш')dG(ß>V)) . (11)

Из условия статистической стационарности процесса U(a) ( t ) записываем выражение для корреляции случайных мер в формуле (10):

(dS(a) (ш ' ) dS(a)* (ш ' }) Ф(а) (ш ' )5(ш '-ш '' ) dQ ' dQ ''

С учетом выражений (7) и (11) находим связь между спектром флуктуаций скорости газа и спектрами процессов-источников:

((и(а) У) ф(а)(ш):

1 + (шТ^)

2

+

[(1 + 1шГ]а))(1+1шГ]р)) + Х(р)Х(а)][(1 - 1ш7<а))(1 - 1шГ]р)) + Х(р)Х

и2

[(1 + 1шГ]«))(1+1шТ(р)) + Х(р)Х(«)][(1 - 1ш#>)(1 - !ш7?)) + Х(Р)Х(а)

^р))2\у(Р)(ш). (12)

Аналогичным образом вычисляем спектр взаимной корреляции компонентов скорости

газа:

и {аЬ (Р)}ф(аР)(ш) =

(Ыш7?>)

Х

(а)

(1+1шГ]а))(1+1шГ]р)) + х(Р)Х(а) (1 - 1ш^)(1 - 1шГ]р)) + х(Р)Х

х

(Р)

(1 - ь^)

х((^а))2} V»--х((^Р))2\у(Р)(ш). (13)

(ЫшГ^)(1+1шГ]р)) + Х(Р)Х(а) (1 - 1ш#>)(1 - 1ш7?>) + Х(Р)Х

Формулы (12) и (13) позволяют вычислить дисперсии компонентов флуктуаций скорости газа и автокорреляционные функции (8), (9). Например, корреляция флуктуаций скорости компонента а имеет вид

\ ад . .

(а)>2 , ■ . . . / /

(и(а)) 2 | е1йУа)(ш)ёш = /(и(а)) )ф(а)(/)

И 1 + (шГ]р))2" у(>)ф(Р))2)(х(Р))2 У(Р)(ш)" е1шу

[(1 + 1шГ]а))(ЫшГ]р)) + Х(Р)Х(а)^ "(1 - 1ш7^"))(1 - 1шГ]р)) + Х(Р)Х(а);

ёш (14)

Дисперсия флуктуаций скорости вычисляется при У = 0.

В качестве случайных процессов-источников ^(а) (у), ^(Р) (у) можно использовать широкую гамму случайных процессов. Мы представим результаты для дельта-коррелированных во времени случайных процессов (белого шума). Спектр дельта-коррелированного во времени случайного процесса находим из корреляции (5):

а) (у') ^ а) (У)) = / а) )2 \ ^(а) (|У - У|) = / (^(а) )Л 2т(а)8 (У - У),

.«ад -ад

у(а) (ш) = — | е-1ШУ(а) (|у|) ёУ = — | е-1шу2т(а)5(у) ёУ:

2 к J 2 к ' к

-ад -ад

Для белого шума процессов-источников интеграл (14) переписываем в виде

х

X

а

ад

{у («))2\ф(«)( I):

(а)

"'И' ^

[1+ии)2" е1шг

[(1 + 1шт")( Ншт/Ч + х^К 1 - 1шт] а))( ¡1 - 1шт]р))+хр)х(а);

ёш +

+ <

И Я

(Х(Р)) е"

к ¿[(1 + 1шГ]а))(1+1шГ]р)) + Х(р)Х(а)][(1 - 1ш7^)(1 - 1Ш7?)) + Л(а)

ёш.

Расчет интегралов реализуем на основании теоремы о вычетах. Контур интегрирования замыкаем в верхней полуплоскости переменной ш . Находим полюса знаменателя:

ш(ар) = 1У(ар) + АО( ар), ш(2ар) = 1у(ар) - АО(ар),

(аР) (ар) (ар) (ар)

ш( р) = -ш( р), р) = -ш(р),

где

АО(ар) =

, , 1 Д7-(ар) ,(ар) _ 1 Ат

у(ар)= 1 М + . 1

2 т(а)т(р) ' 21 т(а) ' т(р)

Корреляция флуктуаций скорости компонента а равна

Ат("р) = ^4Т(а)Т(р)х(а)х(р) -(т(а) - Т(Р))2

(Уа)) \ф(а)(г) = /(уН) \ | е1ш^ф(а)(ш)ёш = Л(а)(^) + 4а)(0

где функция (г) имеет вид

4 а)(* )=(И2

Да)

К

(т<">)2 (т<«)

2 2К1 ,«) +

а вычеты в верхней полуплоскости равны

I 1 + (ш|аИтМ)2

"" 8 ш<"р|у("р|АП|"р)

Для функции а) (г) имеем

ехр

4 2а) С }^(5,р))'

,2» р>

(ш!ар|г)

И

г), ЯеБ

1 1+(ш2ар)т]р))2

4ар) 8 ш(,арУар)АО(ар)

ехр

(1ш 2ар)г).

К

(т<">)2 (т<«)2

-2к1 {ЯеБ (ар) + Яе

■Дар)

где

(ар)

1 1 -1 (ш(ар)т^)

'8 ш(ар)у(ар)АО(ар)

ехр

(1ш(ар)г):

1 1 - 1(ш2ар)т^ ,=ш2ар) 8 ш(,арУар)АО(ар)

ехр

(1ш 2ар)г)

2

1

Аналогично получаем выражение для спектра взаимной корреляции компонентов флуктуаций скорости газа:

и а)и Р^ф(аР)(ш)=

(^Р))__Х!)_ /(Е(а))П (а)Г Ч

а))(1+1шТ1Р)) + Х(Р)Х(а) (1 -¡шТ^)(1 - 1шТ1Р)) + Х(Р)Х(а) ) Г (Ш)

(Ыш Т^) (1+1ш Т^Р) ) + Х(Р)Х(а) (1 - ¡ш т(а)) (1 - 1ш Т^Р) ) + Х(Р)Х(а) Х(Р) (1 - 1шТ]а))

__^__У Е /_^(?(Р))Лш(Р)(ш)

(1+1ш Т]а)) (1+1ш Т(р)) + Х(Р)Х(а) (1 - ¡ш Т]а)) (1 - шТ^Р) )+Х(Р)Х(а) 'Г ^

Для случая белого шума процессов-источников имеем для взаимной корреляции компонентов скорости газа

и а)и р)} Ф(аР) (у)=4аР) (у)+4аР) (у).

Здесь функция 4аР) (у) равна

4(аР) (у)= Ыа))2 ^-Х—

1 ^^ V к (тН)2 (т(Р))

!1 х " л 22к1 {ЯеБ (ар) + ЯеБ (ар)

где

1 1 +1 (ш(аР)Т]Р)) 1 1 +1 (ш(2аР)Т]Р))

^ (аР) = - « ш(аР)у(аР)АО(аР) ) , Н = « ^И^И) ^ Г) .

4(аР) (у) Функция 2 равна

4аР) (у) = -/МР))2\ ^-Х^-г 2к1 (Res (ар)+ Яе8 „Л,

^ ^ ^ V ^ / к (а))2(Г(Р))2 ^ ш=Ш1(аР) ш=ш<2аР)|'

где

¡1 -1 (шГР'ТГ>) ар ¡1 -1 (ш2аР¥/')

-(ар) - « ш^У^А^' ^^^) • = I ш'^А^" еХР(Ш'у).

Res

1ю=ю:

'1 V А— 8 Ш2

3. Спектральный анализ флуктуаций скорости частиц

Для статистически стационарных флуктуаций скорости частиц вводим автокорреляционную функцию

(К(У)К(у')) = V2)\у'-у"|).

где (у) — автокорреляционная функция Лагранжа флуктуаций скорости частицы вдоль ее траектории:

ад

^(у)= | е1шуV(ш)ёш ;

-ад

V (у) — спектр флуктуаций скорости частиц.

Флуктуации скорости частиц записываем в виде разложения по случайной мере ёЕ , (ш)

У(.) = / е1шгёЕ, (ш) . Выражение для случайной меры ёЕ, (ш) следует из уравнений (1)-(4):

_ё5(а)(ш) +ё5(р) (ш)

ёЕ, (ш) = -

1 + 1шт7/

С учетом статистической стационарности процесса У(.) имеем выражение для корреляции случайной меры скорости частиц:

(ёЕ, (ш') ёЕ^ (ш")) = [У2) 5(ш'-ш")у, (ш') ёш'ёш".

В результате находим связь между спектром Лагранжа флуктуаций скорости частицы и спектрами флуктуаций скорости газа на траектории частицы

У2)^ (ш)^^^у {((УI2)ФИ(ш) + ((ур))2ф(р)(ш)^Уа)Ур))(фИ)(ш) + ф(ра)(ш))|.

Для корреляции скорости частиц находим

^а.//.«.)^?... ар

I , \ ю ^^(а) / \ / о \ 00

2> ^ (' )=(.а ) | еш

+ (шТу)

ф^) Л(. )+((5т)2) Л•р) (.).

Здесь функции имеют вид

+ (шТу)2

ёш =

ла (г )=/ е-

(ш)

1 + (шТу )2

ёш.

(ш) = .

^(а)(ш)1 1 + (шт]р)) +х(а)(х(а)+ 2)

[(1 + 1шт]»))(1+1шт]р)) + х(р)Х(а)][(1 - 1шт<а))(1 - 1шт]р)) + х(р)Х(а)

Лу»(.)=/ е1ш

Е(р)(ш)

ёш.

70).

(ш) = -

1 + (шТу )

у(р)(ш)|1 + (шт]»))2 +х(р)(х(р)- 2)

[(1 + 1шт]а))(1+1шт]р)) + х(р)Х(а)][(1 - 1шт^)(1 - 1шт(р)) + Х(р)Х

(р)и„(рМа)

Вычисление интегралов реализуем методом теории вычетов:

(а)

1

К (тТ)2 (ф)

2к1 1

.„(ар)

+ Яе

.„(ар)

В данном случае

(а)

Res„_;/„ = — т

1 , 1 - (tf'/т, )2 + XW(xW + 2)

Ю=1/ T]

2

1

+(т,ИГ)2 1+(т„ и2"81)

exp

V V J

Н „

Res|

= 1 T2

(ар) = т

,1+(fT "Ну2) exp(^)

8 ш(ар)|1 + (Q(aplv) v^AQ^

(ар) — xv

1 , 1 + (ш.аРТр))2 +х(а)(х(а)+ 2)

8 ш(2ар)|1 +

exp

(1ш(2аР)^) -

Аналогично вычисляем

\2\ ТР)

J

(Р) (t)= (^

я Ta))2 Tp))2

1 {

2л1 {Res,_,,. + Res ,„„■, + Res

W=1ITV ffl=ffl2ар)

I

В этом случае

ReS«=VT] =- ^ т5

1 - TP)/v )2 +Х(Р) (х(Р) - 2)

+ (V ш(аР))2 1 + (v ш™)

exp

V V J

R i , 1 + (Ю1аРТ-')2 +XIW(XIW- 2) „р

ReS с^ш^ -, , „ ч2-] -—eXP(1®1 Plt)

8 т(ар)

ш(ар)|1 + (ш(а,Ч) v^AQ1

хр)

R , 1 2 1 + (№)2 +X(р|(x(р|-2)

М^«» ——expHрlt) -

8 ] т(«р)

шИ1 + (ш(2а,Ч) v^Afli

хр)

Несмотря на кажущуюся сложность полученных выражений с комплексными числами расчеты реализуются с использованием вкладок для аналитических вычислений популярных компьютерных сред, например, Matlab, Wolfram Mathematica, Mathcad.

5. Прямое численное моделирование

Полученные в предыдущих разделах в рамках подхода Эйлера аналитические формулы мы верифицируем путем сопоставления с данными прямого численного моделирования случайных скоростей газа и частиц (подход Лагранжа).

Подход Лагранжа реализуется на основе решения системы СОДУ (1)-(4). Вначале представим сопоставление с корреляционными функциями флуктуаций скорости газа. При условии, что случайные процессы-источники являются белым шумом, систему уравнений (1), (3), (4) записываем в каноническом виде

ёХ (у ) = а (у, X (у)) & + Ь (у, X (у)) (у) , (15)

где dW (/) — вектор приращений процесса Винера; а (У, X), Ь (у, X) — векторные детерминированные функции.

1

Явная ¿-стадийная схема интегрирования СОДУ (15) методом Рунге — Кутты записывается в виде (см., например, [8, 9]):

5 т А'

Х„+1 = Х„ + А. ^ а а (гя + Ц; А., П;) + Е А И £ р^ (.„ + Ц; А., п;),

1 =1 к=1 ]=1

где Ц = 0; 1 = 1К а — номер стадии интегрирования; п = 1,2, К — номер шага по времени; п = хп;

1-1 т 1-1

п = Хп (.п + ЦА, ) + £АИПк Еу^ + Ц/.,), 1 =1К а .

г=1 к =1 г=1

Здесь т — размерность системы СОДУ, к = 1К т; АИи — численная аппроксимация приращения процесса Винера на шаге по времени А.; коэффициенты а , ц , \ , у^ заимствованы из работы [8].

Использованный в работе явный алгоритм Рунге — Кутты, обобщенный для интегрирования стохастических дифференциальных уравнений, имеет порядок сильной сходимости 1.5 и слабой сходимости 2 [8]. Рассчитываем порядка 105 случайных реализаций скоростей газа и частиц. Методами математической статистики оцениваем осредненные параметры случайных флуктуаций скоростей газа и частиц.

6. Результаты расчётов

Приведем результаты сопоставления корреляций флуктуаций скорости газа, полученных с помощью подходов Эйлера и Лагранжа. Рис. 1 иллюстрирует удовлетворительное согласие результатов расчета корреляций флуктуаций скорости газа по аналитическим формулам раздела 2 и методом прямого численного моделирования.

Рис. 1. Сопоставление результатов расчетов по аналитическим формулам (кривые) с данными прямого численного моделирования (точки) автокорреляционной функции (а) и взаимной корреляционной функции (б)

\2\ / 4 /п\ /п\ // ,„ч\2\

при т(а)= 1, т()) = 0.1, = 10, х(а) = 7, т]р)= 1, т(р)= 0.1, = 10, х(р)= 3

Видно, что корреляции флуктуаций скорости газа в виде суммы двух коррелированных цветных шумов имеют немонотонное поведение во времени, осциллируя вблизи нулевого значения. Это качественно отличается от динамики корреляций скорости газа в случае однокомпонентного состава (см., например, [6]).

Рис. 2 иллюстрирует результат сопоставления автокорреляции Лагранжа флуктуаций скорости частиц в случайном поле скорости газа. Следует заметить, что в случае флуктуа-ций скорости газа в виде единичного цветного шума корреляция флуктуаций скорости частиц уменьшается с течением времени монотонным образом [6]. В случае модулированной турбулентной скорости газа автокорреляционная функция флуктуаций скорости частиц меняется немонотонно. Из рис. 2 также видно, что с ростом времени динамической релаксации частиц сложное поведение автокорреляционной функции частиц нивелируется. Для больших времен динамической релаксации автокорреляционная функция флуктуаций скорости частиц стремится к универсальному виду (7) = ехр (-7/ .

0 2 4 6 8 /

Рис. 2. Сопоставление результатов расчета автокорреляционных функций флуктуаций скорости частицы по аналитическим формулам (линии) с данными прямого численного моделирования (точки). Расчеты

проведены при г]а) = 1, Г® = 13 , ХИ = 7, х(Р) = 7, х(а) = 0.1, т(р) = 0.1, = 10, = 150.

Номера кривых обозначают времена динамической релаксации частиц: 1 — tv = 0.1; 2 — tv = 1; 3 — xF= 3; 4 — tv = 5 . Кривая 5 — предельная автокорреляционная функция для инерционных частиц

Воздействие на частицу двух коррелированных цветных шумов c существенно различными интегральными временными масштабами может приводить к ослаблению интенсивности флуктуаций скорости частиц по сравнению с однокомпонентным составом скорости газа.

Определим функцию отклика частиц на флуктуации скорости газа как отношение дисперсии скорости частицы и дисперсии случайной скорости газа из двух коррелированных компонент

/•ю _

/V

V2

и а)+ир))2

В случае действия на частицу одной компоненты случайных флуктуаций скорости газа с временным интегральным масштабом, например, Т"-1 функция отклика имеет вид (см,

например, [6])

/0 = Jv

V2

1

(и»>)2) 1

о •

На рис. 3 показано влияние времени динамической релаксации частиц на функцию отклика. Видно, что суммарное воздействие двух коррелированных цветных шумов с существенно отличающимися интегральными временными масштабами может приводить к ослаблению интенсивности турбулентного движения частиц.

Рис. 3. Зависимость функции отклика частиц от времени динамической релаксации. Точки — данные прямого численного моделирования, кривые — расчет по аналитическим формулам. Штриховая кривая —

функция отклика с эффективным интегральным временным масштабом Т

(ар)

На рисунке штриховая кривая представляет эффективную функцию отклика

-о 1

/ =

/v

1 +

(аР)

где Т(ар) — минимальный интегральный временной масштаб флуктуаций компонентов

скорости газа:

Т-Н) _ 1 7е 2

1 1

V1

Г (а V 7 Е

Т

<Р)

Е У

Заключение

В работе предложен новый метод численного моделирования случайной скорости частиц в турбулентном модулированном поле скорости газа, основанный на решении системы связанных стохастических дифференциальных уравнений. Расчет случайных реализаций скорости газа и частиц проводится в рамках единого алгоритма, в котором использованы современные методы интегрирования систем СОДУ, основанные на методах Рунге — Кутты, известных для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Впервые на основе спектрального метода анализа случайных процессов получены аналитические выражения для осредненных параметров турбулентных флуктуаций скорости газа сложной модулированной структуры и инерционных частиц. Показано, что корреляции флуктуаций модулированной случайной скорости газа и частиц качественно отличаются от поведения корреляций в случае однокомпонентного состава скорости газа.

Проведено сопоставление результатов расчета по аналитическим формулам спектрального анализа (подход Эйлера) и осредненным данным прямого численного моделирования на основе решения системы СОДУ (подход Лагранжа).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 20-08-01061.

Список литературы

1. Willmarth W.W., Lu S.S. Structure of the Reynolds stress near the wall // J. of Fluid Mechanics. 1972. Vol. 55. No. 1. Рр. 65-92. DOI: 10.1017/S002211207200165X

2. Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W. The structure of turbulent boundary layers // J. of Fluid Mechanics. 1967. Vol. 30. No. 4. Рр. 741-773.

DOI: 10.1017/S0022112067001740

3. Guingo M., Minier J.-P. A stochastic model of coherent structures for particle deposition in turbulent flows // Physics of Fluids A. 2008. Vol. 20. No. 5. Article 053303.

DOI: 10.1063/1.2908934

4. Jin C., Potts I., Reeks M.W. A simple stochastic quadrant model for the transport and deposition of particles in turbulent boundary layers // Physics of Fluids A. 2015. Vol. 27. No. 5. Article 053305. DOI: 10.1063/1.4921490

5. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. В 2 ч. Ч. 1-2. М.: Наука, 1965-1967.

6. Derevich I.V. Spectral diffusion model of heavy inertial particles in a random velocity field of the continuous medium // Thermophysics and Aeromechanics. 2015. Vol. 22. No. 2.

Pp. 143-162. DOI: 10.1134/S086986431502002X

7. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов: учеб. пособие. 2-е изд. М.: Наука, 1977. 567 с.

8. Rackauckas C., Qing Nie. Adaptive methods for stochastic differential equations via natural embeddings and rejection sampling with memory // Discrete & Continuous Dynamical Systems B. 2017. Vol. 22. No. 7. Pp. 2731 - 2761. DOI: 10.3934/dcdsb.2017133

9. Tocino A., Ardanuy R. Runge-Kutta methods for numerical solution of stochastic differential equations // J. of Computational and Applied Mathematics. 2002. Vol. 138. № 2. Pp. 219-241. DOI: 10.1016/S0377-0427(01)00380-6

MMoa^c^3an(4^9MathematicalModelin8, 2020 Mathematics & Mathematical

DOI: 10.24108/mathm.0120.0000215

Modelling

Electronic journal

© LV Derevich, A-K- Klochkov, 2020 http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

Particle Velocity Fluctuations in Viscous Gas with Random Velocity as the Sum of Two Correlated Color Noises

I.V. Derevich1, A.K. Klochkov1*

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia alexklo 9339 @ gmaiLcom

Keywords: turbulence, random process, spectral analysis of random processes, correlation function, variance, stochastic ordinary differential equations, dynamic relaxation time

Received: 14.01.2020, Revised: 28.01.2020

The article focuses on methods for studying the phenomenon of two-phase turbulent flows. The turbulence effect on the movement of solid particles in a viscous gas is under study. Dynamics of particles movement in a gas is written in the Stokes approximation, which allows us to suppose the dynamic relaxation time to be a constant value.

The random gas velocity is modeled by the sum of two correlated random noises. It is shown that this approach makes it possible to model noise of any structural complexity. The paper describes two research methods based on fundamentally different Euler and Lagrange approaches to the description of a continuous medium. The first approach uses a well-known generalization of the spectral analysis technique for random processes, a popular method for studying turbulence. The second approach implementation is based on the modern generalizations of the theory of numerical algorithms for solving stochastic ordinary differential equations. The spectral method is used to obtain analytical expressions of correlation functions and variance of random processes describing the velocity of gas and solid particles. The qualitative difference between the correlation of fluctuations of modulated random velocities and the behavior of correlations in the case of a single-component gas velocity composition is analyzed. A method of direct numerical simulation for studied processes based on the numerical solution of a stochastic ordinary differential equations system is proposed and analyzed in detail. An array of statistical data obtained as a result of direct numerical modeling is collected and processed. Analytical results are compared qualitatively with numerical results. The influence of input parameters on the character of turbulent flow is studied. The dynamic relaxation time has a significant effect on the complexity of the autocorrelation function of the particle velocity and the response function of particles to gas velocity fluctuations. It is shown that the obtained functions tend to the known results

of the standard theory. The considered methods for describing two-phase turbulent flows hold promise for further research.

References

1. Willmarth W.W., Lu S.S. Structure of the Reynolds stress near the wall. J. of Fluid Mechanics, 1972, vol. 55, no. 1, pp. 65-92. DOI: 10.1017/S002211207200165X

2. Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W. The structure of turbulent boundary layers. J. of Fluid Mechanics, 1967, vol. 30, no. 4, pp. 741-773.

DOI: 10.1017/S0022112067001740

3. Guingo M., Minier J.-P. A stochastic model of coherent structures for particle deposition in turbulent flows. Physics of Fluid A, 2008, vol. 20, no. 5, article 053303. DOI: 10.1063/1.2908934

4. Jin C., Potts I., Reeks M.W. A simple stochastic quadrant model for the transport and deposition of particles in turbulent boundary layers. Physics of Fluids A, 2015, vol. 27, no. 5, article 053305. DOI: 10.1063/1.4921490

5. Monin A.S., Iaglom A.M. Statisticheskaia gidromekhanika. Mekhanika turbulentnosti. V 2 ch. [Statistical fluid mechanics. Mechanics of turbulence. In two parts]. Pt. 1-2. Moscow: Nauka Publ., 1965-1967 (in Russian).

6. Derevich I.V. Spectral diffusion model of heavy inertial particles in a random velocity field of the continuous medium. Thermophysics and Aeromechanics, 2015, vol. 22, no. 2, pp. 143-162. 10.1134/S086986431502002X

7. Gikhman I.I., Skorokhod A.V. Vvedenie v teoriyu sluchajnykh protsessov [Introduction to the theory of random processes]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ., 1977. 567 p. (in Russian).

8. Rackauckas C., Qing Nie. Adaptive methods for stochastic differential equations via natural embeddings and rejection sampling with memory. Discrete & Continuous Dynamical Systems B, 2017, vol. 22, no. 7, pp. 2731 - 2761. DOI: 10.3934/dcdsb.2017133

9. Tocino A., Ardanuy R. Runge-Kutta methods for numerical solution of stochastic differential equations. J. of Computational and Applied Mathematics, 2002, vol. 138, no. 2, pp. 219-241. DOI: 10.1016/S0377-0427(01)00380-6