ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ НЕУПРАВЛЯЕМОГО АВИАЦИОННОГО СРЕДСТВА ПОРАЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 623.5 ГРНТИ 78.25.13

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ НЕУПРАВЛЯЕМОГО АВИАЦИОННОГО СРЕДСТВА ПОРАЖЕНИЯ

А.В. КАЛМЫКОВ

А.А. ИСПУЛОВ, кандидат технических наук, доцент А.Ю. ТРУЩИНСКИЙ, кандидат технических наук, доцент С.Ю. ГРИГОРОВ, кандидат педагогических наук

Совокупность различного рода факторов, влияющих на точность применения неуправляемых авиационных средств поражения, требует внедрения дополнительных мер и процедур по их устранению и (или) учету в процессе баллистического обеспечения неуправляемых авиационных средств поражения. Значительную роль при расчете траектории неуправляемых авиационных средств поражения играет выбор метода интегрирования. В статье проводится анализ и обоснование методов интегрирования для решения баллистической задачи по критериям максимальной точности и минимальных вычислительных затрат. На основании системы дифференциальных уравнений, описывающей движение авиационной бомбы, получены правила формирования экстраполированных оценок для координат, скорости и угла кабрирования авиационной бомбы с использованием пяти методов: Эйлера, модифицированного Эйлера, Рунге-Кутта, алгоритмов в линейном и квадратичном представлении. Анализ результатов моделирования показывает высокую сходимость модифицированного метода Эйлера с методом Рунге-Кутта по точности (ошибка не более 0,007 у.е.), а также то, что данный метод является оптимальным по выбранным критериям.

Ключевые слова: метод интегрирования, неуправляемое авиационное средство поражения, метод Рунге-Кутта, метод Эйлера, критерий.

Введение. Эффективность применения неуправляемых авиационных средств поражения (НАСП) определяется совокупностью различного рода ошибок: установочные, методические, инструментальные, технические [1, 2]. Последние вызваны турбулентностью атмосферы, колебаниями летательного аппарата, аэродинамической асимметрией средства поражения, такие ошибки еще называются индивидуальными, т.е. связанными непосредственно с НАСП. Выделяют также групповые ошибки, к которым относятся первые три: установочные - вызваны погрешностями установки и юстировки датчиков информации и установок авиационного вооружения; методические - обусловлены гипотезами, допущениями, упрощениями при описании движения НАСП; инструментальные - вызваны ошибками датчиков и вычислительных устройств.

Актуальность. В настоящее время исследования направлены на снижение групповых ошибок [3]. В работах [4-7] снижают методические ошибки, вызванные несоответствием баллистических характеристик реальным условиям применения, в работе [8] снижают инструментальные ошибки, вызванные маневрированием воздушной цели, в работе [9] снижают групповые ошибки за счет учета ветровых возмущений. При этом для решения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение НАСП, зачастую используют

ы и

метод численного интегрирования - метод Рунге-Кутта 3-го или 4-го порядка [10]. Преимуществом данного метода является высокая точность решения, а недостатком -значительные вычислительные затраты. Кроме того, в представленных работах отсутствует сравнительный анализ методов интегрирования с учетом точности решения задачи баллистики и быстродействия этих алгоритмов.

Таким образом, целью работы является обоснование метода интегрирования для решения баллистической задачи НАСП по критериям минимума ошибки решения уравнения движения НАСП и вычислительных затрат.

Математическое описание решаемой задачи. Для достижения цели исследования рассмотрим задачу бомбометания с летательного аппарата авиационной бомбой (АБ) в вертикальной плоскости. Движение АБ описывается каноническим уравнением в стартовой системе координат:

V = -ЕУ - вяп (0), У(0) = У0;

(1)

0 = -^со8(0), 0(0) = 0О; х = Усоз(0), х(0) = х0;

(2) (3)

у = У8ш(0), у(0) = у0

(4)

id2

где 0 - угол наклона траектории; Е = — пр0Н(у)Схэ (М)V - функция сопротивления АБ;

8т

/ ч V

Схэ (M) - эталонный закон сопротивления АБ от числа Маха М = — ; a - скорость звука;

а

1 - коэффициент формы; т, ё - масса и диаметр миделевого сечения АБ;

20000 - у

нормированная плотность

р0 - плотность стандартной атмосферы; Н(у) = ■ ^^ 20000+у

атмосферы, формула Ветчинкина В.П.; g - ускорение свободного падения.

Основная идея всех численных методов заключается в разбиении всего интервала интегрирования на несколько мелких участков и замене на каждом участке интегрируемой, неизвестной функции, подходящей интерполирующей функцией достаточно простого вида, у которой имеется аналитическое выражение для определенного интеграла [10]. Для обоснования метода интегрирования рассмотрим пять методов: Эйлера; модифицированный Эйлера; Рунге-Кутта 4-го порядка, а также два по подходу из работы [11].

Метод Эйлера является исторически первым для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, заменяя производную по времени на ее аппроксимацию через конечную разность, получим следующее выражение [12]

* к+1 = 2 к + ТГ (к • Т, г к ),

(5)

где Ж (•) - векторная функция (правые части уравнений (1)-(4); г - вектор параметров

(координаты, скорость и угол наклона АБ); Т - шаг интегрирования.

Для метода Эйлера выражения для экстраполированных элементов траектории АБ примут

вид:

У*+1 =(1 -ТЕэк)Уэк -вТ81п(0эк);

(6)

ы и

0зк+1 = 0зк - ^ сов (0эк);

зк

х эk+l = х эk + Ч^^0 Эk);

Уэk+1 = Уэk + У,кТяп(0 эk ),

(8) (9)

где к = 1,К , К - число отсчетов.

Рекуррентная процедура вычисления экстраполированного значения параметра для модифицированного метода Эйлера вычисляется следующим образом [12]

г к+1 = г к + -

Г(к-Т,жк) + Г((к + 1)-ТЛ+1)]:

(10)

где гк+1 =гк+ТР(к-Т>к).

Тогда для этого метода уравнения (1)-(4) для экстраполяции на следующий шаг примут

вид:

Т

I--х

2

+1 = ^ - Т Eмэk ^ - В Т ^ (^ )

Eмэk Vэk (1 - TEмэk ) - gTEмэk(0мэk )

ВСОВ (^)

0мэk - Т

ВСОВ (0мэk

V,

(11)

0 ^ = 0 СОБ

мэk+1 мэk ч/ч./^

2 V

(^)-

мэk

2 Yмэk (1 - TEмэk)- §ТВ1П (0мэk)'

(12)

Т Т

Хмэk+1 = Хмэk + - YмэkСОs(0мэk ) + - х

^ - т

(^)

V,

л

(Vмэk (1 - TEмэk )- gTsin (0мэk ))

(13)

Т Т

Умэk +1 = Умэk + - Yмэkslп(0мэk ) + - х

0мэk - Т

ВСОВ (0мэk )

л

V

эk

(Vмэk (1 - TEмэk )- gTsin (0мэk ))

(14)

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка является наиболее распространенным среди одношаговых методов. Правило вычисления параметра на следующий шаг выглядит следующим образом [12]

^ к+1 = ^ к + - [ N + 2П1 + 2П2 + N3 ],

(15)

где П0= Г (к • Т, гк);

((

1

1

((

;

1

1

; N3 = Г ((к + !)• Т, г„ + N).

Ы Э1

и

Для данного метода экстраполированные значения системы (1)-(4) принимают громоздкий вид, в качестве примера приведем только уравнение для экстраполированной скорости АБ

^р^ + 1 ^р^ ~

gsin(Аk ) + EрKk I VрKk -Bk 1 + Вь

т

--х

6

^ Х«к + gsin (^)+gsin

л

0рлк - т

+Е

ркk

VрKk - т

gcos (Ак)

V к-^

ркk 0

V 2 У

^т(Аk) + EрKk ГVрKk -тВ^

(16)

gcos

где Ак = eрKk +

6рkk - т

gcos (V )

2У

ркk

У .

Еркк Vркk + gsin (0ртк )- 2Vркk

вк =

6ркк - т

(0ркк )

2У

ркк

+ Е

ркк

т

Хркк- т (Еркк Хркк + (6ркк))

В работе [11] представлен подход описания нелинейных динамических систем в дискретном времени, следуя данной методике, запишем систему (1)-(4) в дискретном времени для двух случаев. Первый случай, когда при разложении в ряд Тейлора ограничимся только линейным членом, а для второго - рассмотрим дополнительно квадратичный член ряда. С учетом этого получим для первого случая:

V: к+1 =(1 -ТЕ)к) V! к -gтelk008(0!к)-(gsin(0!к)-gelkсев(0!к))

т -

т2Е:к 1 , т g2

2 V

cos (01к )(2008 ( 01к ) + elkSin (01к ))

(17)

01к+1 -

( т Л

g sin ( 0Э к ) +1

V

1к

01к -

У

V

Т + —— sin

1 к

2У

1( 0 3 к )

1к

х (2^ ( 01к ) + elkSin (01к )) + ^ 008 (0 3 к )

Мк

т 2

22

V м к У

COS ( 01к )( 28Ш (01к ) + 01к 008 ( 01к ))

(18)

х1к+1 - х1к + TУlkCOs(elk ) - — 8се8(01к )х

т 2

(sin (01к ) - 01кСО8 (01к )) + у 88ш(01к ) (2сев (^ ) + elkSin (01к ))

(19)

э1

и

X

X

2

У1к+1 = У1к + TVlksin(Qlk) -—gsin(0lk);

т2

(б.П (01к) - 01к cos (01к)) - у gcos(elk) (2cos (01к ) + elkSin (01к ))

По аналогии с первым случаем получены выражения в дискретном времени для второго случая, однако, как и для метода Рунге-Кутта выражения получились громоздкие, в качестве примера приведем выражения для скорости АБ

V-

2 к+1

(

Е2

2к т т-2

1 - ТЕ2к +■

V

СОБ

2 к

т^

V

- 0 2к§Т

у

V2 к - g (^П (02к ) - 02кС^ (02к )) Х

С08 (02к ) - Т Е2кС^ (02к ) - ^ (02к ) Sin (02к )

2 к

(21)

т2 g2

+--— СОБ

2 V

2 к

(02к )(2С08 (02к ) + 02к8Ш (02к )).

Анализ представленных зависимостей параметров движения АБ для разных методов интегрирования показывает их аналитическое усложнение от метода Эйлера до метода Рунге-Кутта, что в конечном счете приведет к увеличению вычислительных затрат при решении задачи баллистики.

Результаты моделирования. В целях обоснования оптимального метода интегрирования по критериям высокой точности и минимальных вычислительных затрат, примем следующее, что «истинное» экстраполированное значение каждого параметра формируется по правилу Рунге-Кутта 4-го порядка. В качестве показателя точности примем сумму нормированных ошибок по каждому параметру движения АБ

IV

ъ-ъ.

тах

(г-г,)'

(22)

где ъ - вектор «истинных» параметров, сформированный по методу Рунге-Кутта 4-го порядка; zi - вектор параметров траектории АБ, соответствующий одному из /-ых методов интегрирования, I - метод Эйлера, II - модифицированный метод Эйлера, III - в соответствии с работой [11] для линейного представления, IV - в соответствии с работой [11] для квадратичного представления.

Следует отметить, что нормировка проводилась по максимальным ошибкам метода Эйлера, как наибольших для рассматриваемых методов. В таблице 1 представлены максимальные ошибки методов интегрирования. Условия моделирования: масса и диаметр АБ 233 кг, 0,31 м; коэффициент формы 3,5; высота сброса 5 км; скорость бросания 100 м/с; угол наклона траектории - 45 градусов.

Таблица 1 - Максимальные ошибки методов интегрирования

Параметр траектории МЭ ММЭ ЛП КП

Скорость, м/с 2,5 0,0035 2,4 0,62

Угол наклона, град. 1,35 0,001 2,65 0,02

Координата х, м 43 0,195 63 2,18

Координата у, м 60 0,161 110 5

2

и

На рисунке 1 представлены зависимости суммарной нормированной ошибки каждого метода, где 1 - метод Эйлера; 2 - модифицированный метод Эйлера; 3 - подход, изложенный в работе [11] при линейном представлении; 4 - при квадратичном представлении.

Рисунок 1 - Суммарная нормированная ошибка методов интегрирования

Анализ результатов моделирования, представленных в таблице 1 и на рисунке 1, показывает, что:

существующие методы численного интегрирования позволяют производить расчеты элементов траектории АБ;

наибольшей точностью обладает, в сравнении с методом Рунге-Кутта 4-го порядка, модифицированный метод Эйлера. Максимальные ошибки по скорости и углу наклона траектории не превышают третьего порядка, а по координатам первого порядка. Данный метод по своим точностным характеристикам близок к методу Рунге-Кутта, суммарная ошибка не превышает 0,007 у.е.;

худшими показателями точности обладает подход, основанный на линейном представлении системы (1)-(4), ошибки по всем параметрам на несколько порядков больше. Максимальное значение суммарной нормированной ошибки составляет 1,5.

В интересах достижения цели исследования проведен вычислительный эксперимент, который проводился на персональном компьютере, в результате которого определены: интервалы времени выполнения суммирования двух вещественных величин и времени выполнения одной итерации каждым из /-ых методов интегрирования; число элементарных операций, затрачиваемое микропроцессором для выполнения одной итерации /-ым методом интегрирования. С учетом производительности бортового вычислителя (например, 6106 млн. опер/с), время одной итерации алгоритма определяется отношением числа элементарных операций /-ым методом интегрирования к производительности бортового вычислителя. В результате обработки 104 испытаний получено следующее время одной итерации для: метод Эйлера - 68 мкс; модифицированный метод Эйлера - 0,27 мс; метод Рунге-Кутта 4-го порядка -4,6 мс; линейное представление - 0,82 мс; квадратичное представление - 1,5 мс.

Результаты вычислительного эксперимента подтверждают значительные вычислительные затраты метода Рунге-Кутта 4-го порядка, которые на несколько порядков больше чем к примеру для метода Эйлера. Остальные методы интегрирования по показателю вычислительных затрат находятся между этими двумя методами. Сравнивая методы интегрирования по двум показателям «точность - вычислительные затраты», оптимальным методом является модифицированный метод Эйлера.

Выводы. В ходе проведенного исследования для решения баллистической задачи обоснован модифицированный метод Эйлера, как оптимальный по критериям максимальной точности и минимальных вычислительных затрат. Максимальные ошибки по скорости и углу наклона траектории не превышают третьего порядка, а по координатам первого порядка. Данный метод по своим точностным характеристикам близок к методу Рунге-Кутта 4-го порядка, суммарная нормированная ошибка не превышает 0,007 у.е. В ходе оценки вычислительных затрат установлено, что для данного метода требуется не более 0,27 мс для выполнения одной итерации алгоритма. Кроме того, следует отметить, что увеличение количества уравнений в системе, описывающей движение НАСП, приведет к аналитическому усложнению конечных выражений параметров движения и, как следствие, к росту вычислительных затрат.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ганулич А.К. Авиационные прицельные системы, их исследование и испытание. Материалы лекций. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1984. 210 с.

2. Постников А.Г. Внешняя баллистика авиационных неуправляемых средств поражения. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 2003. 396 с.

3. Миропольский Ф.П., Пырьев Е.В., Головенкин В.В., Хрулин С.В. Авиационные боеприпасы: учебник для слушателей и курсантов высших инженерных военно-учебных заведений ВВС. М.: Изд. ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010. 407 с.

4. Николаев А.В. Математическая модель выстрела авиационного артиллерийского оружия // Сборник научных статей по материалам докладов Всероссийской научно-практической конференции «Академические Жуковские чтения». Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2015.

5. Должиков В.И., Николаев А.В. Определение аэродинамических характеристик вращающегося летательного аппарата при неуправляемом полете с помощью систем инженерного анализа // Вестник Московского авиационного института. 2015. Т. 22. № 3. С. 47-53.

6. Татаренко Д.С., Ефанов В.В., Лобанов К.Н. Алгоритм определения параметров движения неуправляемых объектов на основе вторичной обработки радиолокационных данных // Вестник Московского авиационного института. 2016. Т. 23. № 4. С. 122-130.

7. Замолоцких О.А., Николаев А.В., Николаев А.В. Методика расчета баллистических характеристик идентичных моделей в условиях аэродинамической интерференции от носителя // Труды МАИ. 2018. № 99. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://trudymai.ru (дата обращения 10.08.2022).

8. Испулов А.А., Иванов С.Л., Зледенный Н.П. Экстраполяция координат и параметров движения маневренной воздушной цели с использованием модели Сонга // Труды МАИ, 2016. № 85. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://trudymai.ru (дата обращения 10.08.2022).

9. Лебедев В.В., Моисеев С.Н., Филиппов А.В. Анализ влияния ветровой функции реальной атмосферы на траекторию движения объекта со сложной баллистикой // Сборник научных статей по материалам II Всероссийской научно-практической конференции «Калибр». Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2018. С. 242-248.

10. Постников А.Г., Чуйко В.С. Внешняя баллистика неуправляемых авиационных ракет. М.: Машиностроение, 1985. 248 с.

11. Колтышев Е.Е., Иванов С.Л., Испулов А.А., Трущинский А.Ю. Представление нелинейных динамических систем в дискретном времени // Воздушно-космические силы. Теория и практика. № 14. 2020. С. 206-214. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (дата обращения 10.08.2022).

12. Иванов С.Л., Испулов А.А., Надточий В.Н., Трущинский А.Ю. Математическое обеспечение радиоэлектронных систем военного назначения: учебное пособие / С.Л. Иванов, А.А. Испулов, В Н. Надточий, А.Ю. Трущинский. Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2021. 152 с.

REFERENCES

1. Ganulich A.K. Aviacionnye pricel'nye sistemy, ih issledovanie i ispytanie. Materialy lekcij. M.: VVIAim. N.E. Zhukovskogo, 1984. 210 p.

2. Postnikov A.G. Vneshnyaya ballistika aviacionnyh neupravlyaemyh sredstv porazheniya. M.: VVIA im. N.E. Zhukovskogo, 2003. 396 p.

3. Miropol'skij F.P., Pyr'ev E.V., Golovenkin V.V., Hrulin S.V. Aviacionnye boepripasy: uchebnik dlya slushatelej i kursantov vysshih inzhenernyh voenno-uchebnyh zavedenij VVS. M.: Izd. VUNC VVS «VVA im. prof. N.E. Zhukovskogo i Yu.A. Gagarina», 2010. 407 p.

4. Nikolaev A.V. Matematicheskaya model' vystrela aviacionnogo artillerijskogo oruzhiya // Sbornik nauchnyh statej po materialam dokladov Vserossij skoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Akademicheskie Zhukovskie chteniya». Voronezh: VUNC VVS «VVA», 2015.

5. Dolzhikov V.I., Nikolaev A.V. Opredelenie a'erodinamicheskih harakteristik vraschayuschegosya letatel'nogo apparata pri neupravlyaemom polete s pomosch'yu sistem inzhenernogo analiza // Vestnik Moskovskogo aviacionnogo instituta. 2015. T. 22. № 3. pp. 47-53.

6. Tatarenko D.S., Efanov V.V., Lobanov K.N. Algoritm opredeleniya parametrov dvizheniya neupravlyaemyh ob'ektov na osnove vtorichnoj obrabotki radiolokacionnyh dannyh // Vestnik Moskovskogo aviacionnogo instituta. 2016. T. 23. № 4. pp. 122-130.

7. Zamolockih O.A., Nikolaev A.V., Nikolaev A.V. Metodika rascheta ballisticheskih harakteristik identichnyh modelej v usloviyah a erodinamicheskoj interferencii ot nositelya // Trudy MAI. 2018. № 99. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://trudymai.ru (data obrascheniya 10.08.2022).

8. Ispulov A.A., Ivanov S.L., Zledennyj N.P. 'Ekstrapolyaciya koordinat i parametrov dvizheniya manevrennoj vozdushnoj celi s ispol'zovaniem modeli Songa // Trudy MAI, 2016. № 85. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://trudymai.ru (data obrascheniya 10.08.2022).

9. Lebedev V.V., Moiseev S.N., Filippov A.V. Analiz vliyaniya vetrovoj funkcii real'noj atmosfery na traektoriyu dvizheniya obekta so slozhnoj ballistikoj // Sbornik nauchnyh statej po materialam II Vserossijskoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Kalibr». Voronezh: VUNC VVS «VVA», 2018. pp. 242-248.

10. Postnikov A.G., Chujko V.S. Vneshnyaya ballistika neupravlyaemyh aviacionnyh raket. M.: Mashinostroenie, 1985. 248 p.

11. Koltyshev E.E., Ivanov S.L., Ispulov A. A., Truschinskij A.Yu. Predstavlenie nelinejnyh dinamicheskih sistem v diskretnom vremeni // Vozdushno-kosmicheskie sily. Teoriya i praktika. № 14. 2020. pp. 206-214. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://vva.mil.ru/Izdaniay/VKS-teoriya-i-praktika (data obrascheniya 10.08.2022).

12. Ivanov S.L., Ispulov A. A., Nadtochij V.N., Truschinskij A.Yu. Matematicheskoe obespechenie radio'elektronnyh sistem voennogo naznacheniya: uchebnoe posobie / S.L. Ivanov, A.A. Ispulov, V.N. Nadtochij, A.Yu. Truschinskij. Voronezh: VUNC VVS «VVA», 2021. 152 p.

© Калмыков А.В., Испулов А.А., Трущинский А.Ю., Григоров С.Ю., 2022

UDK 623.5 GRNTI 78.25.13

justification of the integration method for solving the ballistic problem of an unguided aircraft weapon

A.V. KALMYKOV

A.A. ISPULOV, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor A.Y. TRUSCHINSKIY, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor S.Y. GRIGOROV, Candidate of Pedagogical Sciences

The combination of various factors affecting on the accuracy of the unguided aviation weapons application requires the introduction of additional measures and procedures to eliminate them and (or) take into account in the process of ballistic support of unguided aviation weapons. A significant role in calculating the trajectory of unguided aircraft weapons is played by the choice of the integration method. The article analyzes and substantiates integration methods for solving a ballistic problem according to the criteria of maximum accuracy and minimum computational costs. The rules for the formation of extrapolated estimates for the coordinates, velocity and angle of the aircraft bomb using five methods (Euler, modified Euler, Runge-Kutta, algorithms in linear and quadratic representation) are obtained on the basis of a system of differential equations describing the motion of an aircraft bomb. The analysis of the simulation results shows the high convergence of the modified Euler method with the Runge-Kutta method in accuracy (error no more than 0,007 conventional unit), as well as the fact that this method is optimal according to the selected criteria.

Keywords: integration method, uncontrolled aircraft weapon, Runge-Kutta method, Euler method, criterion.